6.4.3余弦定理及其推论 教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦余弦定理及其推论，以隧道工程测算山脚长度为情境导入，将实际问题转化为已知两边及夹角求第三边的数学问题，衔接向量数量积、勾股定理等前备知识，搭建从三角形全等定性研究到边角定量关系的学习支架。 特色在于采用问题式教学，通过“联想向量数量积”“推导表达式”“联系勾股定理”等环环相扣的问题串引导探究，向量法推导过程培养逻辑推理（数学思维），从勾股定理推广体现从特殊到一般的数学眼光，助力学生提升探究能力与知识迁移能力，也为教师提供符合新课标以学生为中心的高效教学方案。

《余弦定理及其推论》教学设计 课题 余弦定理及其推论 课型 新授课 授课对象 高一学生 课时安排 1课时 教 学 内 容 分 析 “余弦定理及其推论”是人教版高中数学必修第二册第六章第4节的内容，是高考的高频考点。在此之前，学生已经学习了向量的数量积、向量在几何中应用等知识，获得了用向量解决几何问题的方法，同时学习了勾股定理、三角函数等，对三角形的边角关系有初步认识，这些内容是引入、证明和运用余弦定理的基础。学生在初中学习过勾股定理和锐角三角函数，那是直角三角形中边与角的定量关系，而余弦定理则是研究一般三角形中边、角的普遍性关系，教学过程中要注意发展学生数学学习中从特殊到一般的思考方式。 教材从初中学习过的三角形全等的判定方法出发，发现若给定三角形的某些元素，这个三角形唯一确定。于是引发思考：三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？在唤醒判定三角形全等的定性结论外，应启发学生思考三角形边角之间的定量关系，引导学生由定性研究上升到定量研究，开始余弦定理及其推论的学习，学生在这个过程中培养逻辑思维能力、探究能力，数学转化能力（定性到定量）。最后，将余弦定理及其推论转化为数学工具，应用于解三角形，培养解决问题的能力。 学 情 分 析 1.学生的学习情况分析： 学生在此之前已经学习了向量的数量积、向量在几何中应用等知识，获得了用向量解决几何问题的能力，学生有一定的逻辑推理能力、探究能力等。这些都为学习本节内容奠定了基础，但对于从定性研究三角形边角关系上升到定量研究，学生学习起来还是有一定的困难；由于个体认知水平不同及学习能力等方面的差异，也会表现不同的学习效果。 2.学生的心理状态分析： 高一学生正处于经验性抽象思维到理论性抽象思维的过渡期，思维活跃、活泼好动，学生容易注意力不集中，因此需要管理好课堂，充分调动学生的积极性，创设出更有利于学生理解的教学活动，帮助学生更好地理解知识。 教 学 目 标 1. 经历结合向量的数量积的推导余弦定理表达式的过程，理解并掌握余弦定理及其推论，能用文字语言叙述余弦定理，提高逻辑推理能力和数学表达能力。 2. 通过探究勾股定理和余弦定理的联系，体会余弦定理的一般性，提升从特殊到一般思考问题的能力。 3. 通过将余弦定理及其推论应用于解三角形的过程，加深对三角形边角关系的定量认识，体会数学的应用价值。 重点 余弦定理及其推论的内容、公式及向量法证明过程；运用余弦定理解决已知两边及其夹角求第三边，以及已知三边求三角的问题。 难点 理解向量法推导余弦定理中用向量解决几何问题的逻辑和思维，体会向量与三角形边、角关系的内在联系，以及能用余弦定理及其变形公式解决复杂三角形的问题，如判断三角形的形状、求解取值范围等。 教学工具 多媒体 教 学 策 略 ①新课标指出课堂教学要以学生为中心，确立学生的主体地位，因此本节课采用启发式教学法以及讲练结合的方法引导学生发现、研究和解决问题。 ②问题式教学策略 通过一系列环环相扣的问题，一方面可以激发学生的学习兴趣，另一方面良好的问题链设置，在追问过程中，学生可以越来越集中地去思考，去构建知识框架。学生每攻破一个问题，可以取得阶段性的成功，提升自信心， 教学过程 教学环节 师生活动 设计意图 情 景 引 入 教师：在初中，我们得到过勾股定理，锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系。对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了“SSS,SAS,ASA,AAS”等判定三角形全等的方法，这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的，那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系? 【情景】在隧道工程设计中，经常需要测算山脚脚的长度，工程技术人员先在地面上选一个适当位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪(测角仪)测出对A山脚BC的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC.现已知三角形ABC中，AB=8km,AC=3km,A=60°,则BC多长？ 教师：我们把这个问题转化为实际问题，也就是问在三角形ABC中,三个角A,B,C所对应的边分别是 a,b,c,怎样用c,b和A来表示a ? 学生活动：通过观察情境，跟随教师将情境问题转化为数学问题，并进行思考。 回忆初中所学知识，唤醒学生对“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”等定性结论的记忆之外，还启发学生思考三角形的边、角之间的定量关系，学生经历从定性研究到定量研究的数学研究过程，提升数学能力 从生活实际问题出发,引导学生用数学语言叙述问题,让学生体会数学来源于生活,提高学生的学习兴趣,体会数学建模思想，培养“数学三会”。 通过直观图形分析三角形的边角关系，将几何与代数联系起来，培养数形结合思想。 探 究 新 知 问题1：在这个问题中，涉及到三角形两边及其夹角。回忆之前的学习，有没有类似的情形？如果有，对解决这个问题有没有启发？ 预设回答：向量的数量积有类似的情形。或许可以将求BC的长和向量AB、向量AC的数量积运算联系起来。 教师：是的，如果想这样联系起来，首先要把向量BC用向量AB和向量AC表示出来，那么： 问题2：如何把向量BC用向量AB和向量AC表示出来？表示出来后如何通过数量积求BC的长？ 师生活动：小组合作探究，教师辅以提示指导，探讨后请小组代表叙述。 教师活动：板书展示推导过程（先推导一条表达式，另外两条让学生同理推出，并展示发现a,b,c的轮换关系） 教师：大家可以尝试把刚刚推导出的用符号语言表达的三角形边角关系用语言叙述出来吗？ 师生活动：回顾探究过程，分析所得结论，教师总结出利用余弦定理可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边 问题解决：你能求出情境中BC的长了吗？ 师生活动：学生解答过程并分享答案。 问题3：观察余弦定理的结构特点，大家能联想到哪个定理？能说说这两个定理之间的关系吗？ 【师生讨论发现】如果三角形ABC中有一个角是直角，例如，角C等于90°，这时cosC=0.由余弦定理可得c²=a²+b²，这就是勾股定理,由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例。 问题4：通过以上探究发现，已知三角形的两边及其夹角，可以求解三角形的第三条边的长度。那么余下的两个角能否求解？如果可以，又如何求解？ 师生活动：学生举手回答，教师点评。 教师：只需对余弦定理进行简单的变形，就可以得到其余角的余弦值（板书其中一条变形）。 教师活动：PPT展示：于是，我们可以得到余弦定理的推论： 教师：现在，请同学们归纳总结一下，余弦定理可以用来解决哪些问题呢？ 预设回答：余弦定理可以用来解决已知三角形两边及其夹角求第三边的问题，还能解决已知三角形三边求角的问题， 之后教师给出解三角形的定义（课件展示） 让学生回忆向量的数量积知识，通过设置问题,启发学生思考，找到知识的相通点，学生能够也因此接受用向量来解决问题，感受向量运算的优势。 以问题串的形式引领学生进行一系列连续的思维活动，使学生思维逐步到达新高度，逐步加深对问题本质的认识。 引导学生合作探究，突出重点，突破难点，提高学生自主学习和合作探究能力。在余弦定理推导过程中实现归纳、反思、交流合作，进而构建新知，培养逻辑推理、数学抽象的素养；用不同的语言表达数学知识，既可以加深对知识的理解，还能提高数学归纳、表达能力。 回归情境，首尾呼应，解答问题。 讨论余弦定理和勾股定理的联系，感受余弦定理的一般性，体会从特殊到一般的数学方法。 这个过程中，学生能逐渐真正掌握余弦定理，并能理解为什么要学习余弦定理及其用处，有助于构建完整的知识体系。 巩 固 练 习 课本例题讲解 通过课本例题练习，结合余弦定理解三角形，巩固本节课所学知识。且在解三角形的应用中，在已知两边及夹角或三边时，利益余弦定理求其它元素，体现“化未知为已知”的思想。 课 堂 小 结 同学们,通过本节课的学习，你们有哪些收获？ 学生总结, 提高学生的归纳概括能力，重视思想方法的总结，提高学生的数学核心素养。 布 置 作 业 ①完成课本课后习题。 ③请同学们思考：还有什么方法可以证明余弦定理？ 多角度证明，结合几何、向量、坐标法等多种方法，培养学生发散思维。 板 书 设 计 教 学 反 思 ①在数学教学过程中，要注意对学生的逻辑思维、分析问题、解决问题等能力的培养，不要把结论直接抛给学生。在本教学设计中，以问题引导，设置情境，给学生主动学习、合作探究的机会。 ②本节课问题设置具有启发性，鼓励学生自主思考、小组合作探究，培养学生的逻辑推理能力和知识迁移能力，提升数学表达能力，发展学生数学抽象、逻辑推理等核心素养。一系列问题环环相扣，从引导学生联想相关知识（如向量数量积），到逐步推导余弦定理表达式，再到对定理的深入剖析（与勾股定理关系、变形求角等），符合学生的认知规律，帮助学生逐步深入理解余弦定理。 不足之处: 可以设置一些具有梯度性的问题，比如可以设置一些包含根据边的比例关系求角度等基础题型，也有涉及向量数量积、边的取值范围等稍有难度的题目，满足不同层次学生的需求，逐步提升学生运用知识解决问题的能力。 学科网（北京）股份有限公司 $$