第一章第一节菱形的性质与判定同步练（9题型+针对训练）2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第1章 特殊平行四边形 1 菱形的性质与判定 命题1：利用菱形的性质求角度………………………………………2 命题2：利用菱形的性质求线段长……………………………………3命题3：利用菱形的性质求面积………………………………………4 命题4：利用菱形的性质证明…………………………………………5 命题5：添加一个条件使四边形是菱形………………………………7命题6：证明四边形是菱形……………………………………………9 命题7：根据菱形的性质与判定求角度………………………………10命题8：根据菱形的性质与判定求线段长……………………………12命题9：根据菱形的性质与判定求面积………………………………13 针对训练………………………………………………………………13 命题1： 利用菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，E是的中点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，为菱形的对角线，于点E，若，则度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，已知，则 ． 4．如图，在菱形中，，为对角线，平分，若，则的度数为 °． 5．如图，在菱形中，点E是边上一点，，连接．若，求的度数． 命题2：利用菱形的性质求线段长 6．如图，在菱形中，，，是对角线，是上一点，过点E作，垂足为F，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 7．如图所示，四边形是菱形，，，于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图在菱形中，其边长为，，点E在的延长线上，满足，则 ． 9．如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为 ． 10．如图，菱形的对角线、交于点O，且，，E是上一点，若，求的长． 命题3：利用菱形的性质求面积 11．如图，菱形的对角线交于点，，，则菱形的面积为（  ） A．12 B．24 C．30 D．60 12．如图，为菱形的对角线，，菱形的面积是，过点D作，垂足为点，则的面积是（　　） A．2 B． C．3 D． 13．如图，在菱形中，点A在x轴上，点B的坐标为，点D的坐标为，则菱形面积为 ． 14．如图，把图1中周长为的菱形分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图2所示的弦图，且弦图中间的小正方形面积为，则菱形的面积为 ． 15．如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点M，N．已知四边形是菱形，若菱形的周长为52， ，求菱形的面积． 命题4：利用菱形的性质证明 16．如图，菱形中，点E、F、G分别是、、的中点，有下面两个结论：①；②．则这两个结论（   ） A．①②均对 B．①②均错 C．①对②错 D．①错②对 17．如图，在菱形中，，经过点A的直线l不经过点C，D，点D关于直线l的对称点为E，连接，连接交直线l于点F，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．连接，则 18．已知：如图，在菱形中，F为边的中点，与对角线交于点G，过G作于点E，若，且，则下列结论：①；②；③；④中，说法正确的是 ． 19．如图，在菱形中，过对角线上任意一点，作，，下列结论：①图中共有个菱形；② ；③四边形的面积等于的面积的一半；④四边形的周长等于四边形的周长．其中正确的是 ．（填序号） 20．如图，在菱形中，E、F分别是和的中点，连接、．求证：． 命题5：添加一个条件使四边形是菱形 21．如图，添加下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（   ） A． B．平分 C．， D． 22．四边形是平行四边形，对角线相交于点下列条件中，不能判定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 23．如图，在中，对角线相交于点，添加一个条件判定是菱形，所添加的条件为 （写出一个即可） 24．如图， 在四边形中， 对角线， 相交于点， 过点作交于点．已知，若再添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是 ． 25．如图，在中，E，F是对角线上的点，且． (1)求证：； (2)连接，．请添加一个与线段有关的条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 命题6：证明四边形是菱形 26．在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用工具进行了测量，甲测量出两组对边分别平行，然后乙测量出______，最后得到结论：地板瓷砖是菱形，则横线处为（    ） A．两组对边分别相等 B．一组邻边相等 C．两条对角线相等 D．一组邻角相等 27．在四边形A中，对角线与相交于点．现有五组条件：①；②；③；④；⑤．以下选项能判定四边形是菱形的是（   ） A．①③ B．②④ C．③⑤ D．①② 28．如图，小强在作线段的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点、为圆心，大于线段长度一半的长为半径画弧，相交于点、，则直线即为所求．连接、、、，则根据她的作图方法可知，四边形是 ． 29．如图，在四边形中，，当 时，四边形是菱形． 30．如图，在平行四边形中，连接，点E为上一点． (1)在边的下方求作一点F，使得且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接、、．若，求证：四边形是菱形． 命题7：根据菱形的性质与判定求角度 31．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 32．如图，四边形是菱形，等边的顶点分别在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 33．如图，按如下操作步骤画出的四边形：（1）画；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接．若，则的大小是 ． 34．如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转，得到四边形，连接，若，则的度数为 ．    35．如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 命题8：根据菱形的性质与判定求线段长 36．如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 37．如图，在中，于点H．将沿对角线翻折，如果点B与点D重合，则的长度为（   ） A． B． C． D．以上答案都不对 38．如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点． 若，，则的长为 ． 39．如图，四边形是平行四边形，是的平分线，过点P作，交延长线于点Q．若，则 ． 40．如图，在中，，，分别是，的中点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，，求的长． 命题9：根据菱形的性质与判定求面积 41．某同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 42．如图，已知，分别以点 、 为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是（   ） A．12 B．24 C．30 D．48 43．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点O，连结，，过点C作，交的延长线于点F，连结．若，，则四边形的面积为 ． 44．如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，．若，，则四边形的面积为 ． 45．下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知：．求作：菱形使点在上，点在上，点在上． 作法：①作的角平分线，交于点；②作线段的垂直平分线，交于点，交于点；③连接，． 所以四边形为所求的菱形． (1)请你根据小明的作法使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)若，，则四边形的周长为______，它的面积为______． 针对训练： 1．在菱形中，，则菱形的周长为（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 2．如图，的对角线，交于点，以下条件能证明是菱形的是（ ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和4时，则阴影部分的面积为（   ） A．48 B．24 C．12 D．6 5．如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，，点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止，连结，．在形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是（   ） A．①③②③ B．③②①③ C．①③②① D．③②③① 7．如图，小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，，． 若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 8．如图，，是菱形的对角线，点P，E，F分别是对角线，边，边上的点．若，，则的最小值为（   ） A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．5 9．如图，在菱形中，，若，则菱形的周长为 ． 10．已知如图，菱形的边长为，，点是直线上的一个动点（不与重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，在平面内存在一点，若以点、为顶点的四边形也是菱形，则此时线段的长为 ． 11．如图，四边形为菱形，，在边上，将沿翻折得到，在直线上，作于点，若，则的长为 ． 12．如图，菱形纸片，，，将该菱形纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕与边、分别交于点、，则的长为 ． 13．如图，在菱形中，已知，，若点是线段上一动点，是的中点，则的最小值为 ． 14．数学课上老师出示了下面一道题，请同学们据此补全结论，每写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分． 如图，在菱形中，，点、分别是、的中点，相交于点，连接，交于点． 请补全下列结论： ① ，② ，③ ，④ ，⑤ ． 小明补全的结论为：①，②，③，④，⑤．如果你给小明批卷，小明可得 分． 15．已知：如图，平分，交于E，交于F． 求证：． 16．如图，在中，D是边的中点，M，N分别在及其延长线上，，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当满足什么条件时，四边形是菱形？判断并说明理由． 17．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则的度数是多少？ 18．尺规作图：过点作直线的垂线． 作法如下： （1）以点为圆心，为半径作弧交直线于两点； （2）分别以为圆心，长为半径作弧，两弧在下方交于点，连接； ①根据题意．利用直尺和圆规补全图形； ②作图依据为________；________． 19．在人教版八年级下册数学教材学习了以下内容：菱形的对角线互相垂直且平分． 【结论运用】 (1)如图①，菱形的对角线与相交于点O，，，则菱形的面积是______； (2)如图②，四边形是菱形，点F在上，连接，四边形是菱形，连接，若，求的度数． 20．如图1，，，，四点分别在四边形的四条边上，若四边形为菱形，我们称菱形为四边形的内接菱形． (1)如图2，网格中的每个小四边形都为正方形，每个小四边形的顶点叫做格点，由个小正方形组成一个大正方形，点、在格点上，请在图2中画出四边形的内接菱形； (2)如图3，矩形中，，点在线段上且，四边形是矩形的内接菱形，求的长度； (3)如图4，平行四边形，，，点在线段上且，． ①请你在图4中作出平行四边形的内接菱形，点在边上（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹，标出相应的字母）； ②若平行四边形存在以点为顶点的内接菱形，则的取值范围为___________． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 特殊平行四边形 1 菱形的性质与判定 命题1：利用菱形的性质求角度………………………………………2 命题2：利用菱形的性质求线段长……………………………………4 命题3：利用菱形的性质求面积………………………………………9 命题4：利用菱形的性质证明…………………………………………13 命题5：添加一个条件使四边形是菱形………………………………19 命题6：证明四边形是菱形……………………………………………23 命题7：根据菱形的性质与判定求角度………………………………26 命题8：根据菱形的性质与判定求线段长……………………………30 命题9：根据菱形的性质与判定求面积………………………………35 针对训练………………………………………………………………41 命题1： 利用菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，E是的中点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵E是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，为菱形的对角线，于点E，若，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 故选：B． 3．如图，在菱形中，已知，则 ． 【答案】64 【分析】本题主要考查了菱形的性质．平行线的性质，熟练掌握菱形的对角线平分一组对角，是解题的关键．根据菱形的对角线平分一组对角，以及邻角互补，即可得解． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴． 故答案为：64． 4．如图，在菱形中，，为对角线，平分，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题主要利用角平分线的定义和菱形的性质来求解的度数．首先，根据角平分线的定义计算的度数；然后，利用菱形的性质得出，从而得到；最后，利用三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．如图，在菱形中，点E是边上一点，，连接．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理的应用，等边对等角；根据菱形的性质得出，，，进而根据三角形内角和定理得出，进而根据菱形的性质以及等边对等角得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 命题2：利用菱形的性质求线段长 6．如图，在菱形中，，，是对角线，是上一点，过点E作，垂足为F，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据菱形的性质证明，都是等边三角形，得，，然后利用含30度角的直角三角形的性质证明，进而可以解决问题． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，， ，都是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， 故选：C． 7．如图所示，四边形是菱形，，，于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得，，，由勾股定理得，通过即可得的长，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 8．如图在菱形中，其边长为，，点E在的延长线上，满足，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了菱形的性质（对角线垂直平分）、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质以及一元二次方程的求解；解题的关键是利用菱形对角线构造直角三角形，结合得到等腰直角三角形，再通过勾股定理建立方程组求解，同时舍去不符合实际的负根． 先由菱形对角线垂直平分得 ，在 中用勾股定理求出 ；过 D 作 ，因 可得 为等腰直角三角形，计算出 ；设 、，分别在 和 中用勾股定理列方程组，消元后化简求解，舍去负根得 ． 【详解】如图，连接，与相交于点O，过点D作的垂线，垂足为点H，并设，． ∵菱形的对角线垂直平分，， ∴， 则． 在中，， ∵=， ∴是等腰直角三角形， ∴，又， ∴， 在与中，，， 即 ①②消去二次项，并整理得：， ∴， 代入②，， 化简整理得：，即， ∴或（不合题意，舍去） ∴． 故答案为：1． 9．如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，设直线交于点F，由菱形的性质可得，．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，，则，，，在中，由勾股定理得结论． 【详解】解：连接，设直线交于点F， ∵四边形为菱形， ∴，． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、菱形的性质、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10．如图，菱形的对角线、交于点O，且，，E是上一点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理．根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理可得的长，然后根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 命题3：利用菱形的性质求面积 11．如图，菱形的对角线交于点，，，则菱形的面积为（  ） A．12 B．24 C．30 D．60 【答案】B 【分析】此题重点考查菱形的性质、勾股定理等知识，推导出，，，进而求得是解题的关键．由菱形的性质得，，，而，求得，则，，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是菱形，对角线、交于点，，， ，，， ， ， ，， ， 故选：． 12．如图，为菱形的对角线，，菱形的面积是，过点D作，垂足为点，则的面积是（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，三角形的面积，连接BD，由菱形的性质推出，，判定是等边三角形，推出，的面积菱形的面积． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵的面积，菱形的面积， ∴的面积菱形的面积． 13．如图，在菱形中，点A在x轴上，点B的坐标为，点D的坐标为，则菱形面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．连接、交于点，由菱形的性质得出，，，由点的坐标和点的坐标得出，求出，，即可解决问题． 【详解】解：连接、交于点，如图所示： 四边形是菱形， ，，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 14．如图，把图1中周长为的菱形分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图2所示的弦图，且弦图中间的小正方形面积为，则菱形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理的运用，掌握菱形的性质，正确列式是关键．设菱形中的较长的对角线为，较短的对角线为，结合勾股定理，完全平方公式的变形计算即可求解． 【详解】解：由题意：， 设菱形中的较长的对角线为，较短的对角线为， ， ， 菱形的面积为， 故答案为：24． 15．如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点M，N．已知四边形是菱形，若菱形的周长为52， ，求菱形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，由菱形的性质得，，，再由勾股定理求出，则，然后由菱形面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，周长为52，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 命题4：利用菱形的性质证明 16．如图，菱形中，点E、F、G分别是、、的中点，有下面两个结论：①；②．则这两个结论（   ） A．①②均对 B．①②均错 C．①对②错 D．①错②对 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理．根据菱形的性质，三角形中位线定理即可判断． 【详解】解：连接，， ∵点E、F、G分别是、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，， ， ∵菱形， ∴， ∴，即； 而与不一定相等， ∴， ∴①对②错， 故选：C． 17．如图，在菱形中，，经过点A的直线l不经过点C，D，点D关于直线l的对称点为E，连接，连接交直线l于点F，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．连接，则 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质和菱形的性质即可判断A；以A为圆心，为半径作圆，则D、E在圆上，根据轴对称的性质可知，再根据圆周角定理得到，即可判断B、C；证明，得到，即可判断D． 【详解】解：∵点D关于直线l的对称点为E， ∴， ∵菱形， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； 连接， ∵， ∴以A为圆心，为半径作圆，则D、E在圆上， ∵点D关于直线l的对称点为E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，，故B、C正确，不符合题意； ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵ ∴，故D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，菱形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 18．已知：如图，在菱形中，F为边的中点，与对角线交于点G，过G作于点E，若，且，则下列结论：①；②；③；④中，说法正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】①中，根据菱形性质及，可得，再结合可得是中点，进而通过证和全等，可进一步求证； ②中，结合及是中点，可证是等边三角形，进而得到相关特殊角的度数；通过直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，以及勾股定理，可分别求出和的长度，结论可证； ③中，结合②中已求角度及线段长度，同理根据“所对的直角边等于斜边的一半，以及勾股定理”可求证； ④中，根据以及相关线段长度，即可求解四边形面积． 【详解】解：对于①，∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是中点，即， ∵是中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故①说法正确； 对于②，如图，连接，交于点， 由①中，又是中点， ∴垂直平分， ∴，即是等边三角形， ∴， ∴， 在菱形中，， ∴，， 在中，由， ∴， ∴， ∴， 故②说法正确； 对于③，由②知，， 在中，由， ∴， ∴， 故③说法正确； 对于④，∵， 又， ， ∴， 故④说法错误； 综上所述，①②③正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质．解题关键是熟练掌握特殊三角形及菱形的性质与判定，菱形中多关注等边三角形问题，直角三角形中注意含的边长问题，非特殊四边形的面积注意转化成特殊图形求解． 19．如图，在菱形中，过对角线上任意一点，作，，下列结论：①图中共有个菱形；② ；③四边形的面积等于的面积的一半；④四边形的周长等于四边形的周长．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定，掌握菱形的判定与性质是解题的关键．根据，，可得四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线平分，可得，由此可推出，再结合菱形的判定可知平行四边形即为菱形，进而判断①说法错误； 根据菱形的性质，可得、上一些对应条件，则可得出两三角形是否全等，判断②说法正确； 根据只有当为中点，为中点时，比较四边形的面积与的面积的关系，进而得到③说法错误； 根据菱形性质可得，，据此判断④说法正确，从而完成解答． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 同理可得四边形是菱形， 即有3个菱形，菱形、菱形、菱形， ①说法错误； 四边形是菱形， ， 在和中，， ， ②说法正确； 只有当为中点，为中点时，四边形的面积等于的面积的一半， ③说法错误； 易证四边形、四边形是菱形，四边形、四边形是平行四边形， ， ， 同理， 四边形的周长=四边形的周长， ④说法正确； 故答案为：②④． 20．如图，在菱形中，E、F分别是和的中点，连接、．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】此题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据已知和菱形的性质证明，即可得出． 【详解】证明：四边形是菱形， ， 、分别是和的中点， ，， ， 又， ， ． 命题5：添加一个条件使四边形是菱形 21．如图，添加下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（   ） A． B．平分 C．， D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键． 根据菱形的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ A、当时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不符合题意； B、当平分时，， ∵， ∴， ∴， ∴，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不符合题意； 、当，时，不能证明是菱形，故本选项符合题意； D、当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不符合题意； 故选：C． 22．四边形是平行四边形，对角线相交于点下列条件中，不能判定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定定理．根据菱形的判定条件，逐一分析各选项是否符合菱形的定义或判定定理． 【分析】如图， A．一组邻边相等的平行四边形是菱形，选项说法正确，不符合题意； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，选项说法正确，不符合题意； C．，此时平行四边形有一个角为直角，说明其为矩形，但不能判定为菱形，符合题意． D．∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为菱形，不符合题意． 故选C． 23．如图，在中，对角线相交于点，添加一个条件判定是菱形，所添加的条件为 （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定，在四边形是平行四边形的前提下，可添加邻边相等、对角线相互垂直等；根据菱形的判定条件添加即可． 【详解】解：添加，则是菱形； 故答案为：（答案不唯一）． 24．如图， 在四边形中， 对角线， 相交于点， 过点作交于点．已知，若再添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是 ． 【答案】 (答案不唯一) 【分析】本题考查了菱形的判定，熟悉掌握菱形的判定方法是解题的关键． 先判定出四边形为平行四边形，再根据菱形的判定添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴只需要添加一组邻边相等或对角线垂直即可证明是菱形， 故答案为：(答案不唯一) ． 25．如图，在中，E，F是对角线上的点，且． (1)求证：； (2)连接，．请添加一个与线段有关的条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握它们的性质和判定是解题的关键； （1）先由平行四边形的性质得到，则，再证明，即可证明． （2）由全等三角形的性质得，，推导出，则， 所以四边形是平行四边形，当时，则四边形是菱形，所以，则 四边形是菱形，所以添加的条件可以是 ，可以使四边形是菱形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）(2) 解：当时，四边形是菱形， 理由如下： 连接， 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， ， 由（1）得， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 命题6：证明四边形是菱形 26．在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用工具进行了测量，甲测量出两组对边分别平行，然后乙测量出______，最后得到结论：地板瓷砖是菱形，则横线处为（    ） A．两组对边分别相等 B．一组邻边相等 C．两条对角线相等 D．一组邻角相等 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定．根据菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”进行判断即可得． 【详解】解：∵甲测量出两组对边分别平行， ∴此地板瓷砖是平行四边形， A、两组对边分别相等，也只能说明四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项符合题意； C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项不符合题意； D、一组邻角相等，不能说明平行四边形是菱形，故本选项不符合题意； 故选：B． 27．在四边形A中，对角线与相交于点．现有五组条件：①；②；③；④；⑤．以下选项能判定四边形是菱形的是（   ） A．①③ B．②④ C．③⑤ D．①② 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定，根据菱形的判定条件，逐一分析各选项组合即可求解． 【详解】解：菱形判定条件包括：① 平行四边形且邻边相等；② 平行四边形且对角线互相垂直；③ 四边均相等． 选项A（①③）： ① 给出两组对边平行，说明四边形为平行四边形． ③ 对角线互相垂直．根据判定条件，平行四边形的对角线垂直则为菱形．故选项A正确，符合题意． 选项B（②④）： ② 对角线相等，④ 一个角为直角．对角线相等的四边形可能是矩形，但无法确定四边相等，故不一定是菱形，不符合题意． 选项C（③⑤）： ⑤ 一组对边平行且另一组对边相等，可能为等腰梯形．即使对角线垂直，无法成为菱形．因此条件⑤无法确保平行四边形，选项C不成立，不符合题意． 选项D（①②）： ① 为平行四边形，② 对角线相等，此时四边形为矩形而非菱形，不符合题意． 故选：A． 28．如图，小强在作线段的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点、为圆心，大于线段长度一半的长为半径画弧，相交于点、，则直线即为所求．连接、、、，则根据她的作图方法可知，四边形是 ． 【答案】菱形 【分析】本题考查了作图复杂作图、作线段的垂直平分线、菱形的判定．根据四条边都相等的四边形是菱形即可得答案． 【详解】解： 分别以点，为圆心，以大于长度的长为半径画弧，两弧相交于，， ， 四边形是菱形． 故答案为：菱形 29．如图，在四边形中，，当 时，四边形是菱形． 【答案】4 【分析】本题考查了菱形的判定，根据四边形相等的四边形是菱形即可求解． 【详解】解：当时，四边形是菱形， 故答案为： ． 30．如图，在平行四边形中，连接，点E为上一点． (1)在边的下方求作一点F，使得且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接、、．若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）在的下方作，且，连接即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】（1）解：图形如图所示： ； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 命题7：根据菱形的性质与判定求角度 31．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图、菱形的判定与性质，由作图可知：，根据四条边都相等的四边形是菱形，可知四边形是菱形，根据菱形的对角相等可得：． 【详解】解：由作图可知：， 四边形是菱形， ． 故选：B． 32．如图，四边形是菱形，等边的顶点分别在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四边形的四边都相等，可证得四边形是菱形，又由等边的顶点、分别在、上，且，可设，根据三角形的内角和定理得出方程，解此方程的解即可求出答案． 【详解】解：四边形的四边都相等， 四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形，， ，， ，， 由三角形的内角和定理得：， 设， 则， ， ， 解得：， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查对菱形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及平行线的性质等知识点．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键． 33．如图，按如下操作步骤画出的四边形：（1）画；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接．若，则的大小是 ． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图画菱形，菱形的性质等知识，掌握这两部分知识是解题的关键；由作图知，四边形是菱形，则由，即可求解． 【详解】解：由作图知， 故四边形是菱形， 则，， ∴； 故答案为：． 34．如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转，得到四边形，连接，若，则的度数为 ．    【答案】 【分析】根据旋转的性质结合菱形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得： 故答案为： 【点睛】本题考查旋转及菱形的性质．推出是解题的关键． 35．如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先证得再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论； （2）由菱形的性质得 则即可求解． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识， 熟练掌握菱形的判定与性质，证明是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∵垂直平分， 在和中， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（1）可知， 四边形是菱形， 命题8：根据菱形的性质与判定求线段长 36．如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】首先证明四边形是菱形，得出，，，利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】解：连接，设与交于点，如图，    平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ∵由作图可得， ∴， ， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形， ，，， 在中，由勾股定理得：， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形为菱形是解决问题的关键． 37．如图，在中，于点H．将沿对角线翻折，如果点B与点D重合，则的长度为（   ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换—折叠问题，平行四边形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 证明是菱形，由勾股定理和菱形的性质求出，根据菱形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：设，相交于点O，如图， ∵将沿对角线翻折，如果点B与点D重合， ∴垂直平分线段， ∴是菱形， ∴， 在中，， ∵菱形的面积， ∴， ∴． 故选：B． 38．如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点． 若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理．连接，设交于点，证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】如图，连接，设交于点， 由作图可知：，平分， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 在中， ，， ， ． 故答案为：． 39．如图，四边形是平行四边形，是的平分线，过点P作，交延长线于点Q．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 过点作，交于点，证明是菱形，利用菱形的性质得出相等的边，再利用直角三角形的性质得到，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：过点作，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，四边形是平行四边形， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴， , ∴, 故答案为：． 40．如图，在中，，，分别是，的中点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先根据，可判定四边形是平行四边形，再证为的中位线，从而得，然后根据等腰三角形的性质得，据此，可得出，进而可得出结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得，可在中利用勾股定理求出，然后证为的中位线，进而可得的长． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 点，分别是，的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形． （2）解：如图所示，连接，   ，点为的中点， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形为菱形， ，，且， 又∵点为的中点， 为的中位线， ． 命题9：根据菱形的性质与判定求面积 41．某同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了尺规作图作线段，菱形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．连接，交于点，由作图过程可知四边形为菱形，得出，，，勾股定理求出，得出，即可求解． 【详解】解：连接，交于点， 由作图过程可知，， ∴四边形为菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴四边形的面积为， 故选：D． 42．如图，已知，分别以点 、 为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是（   ） A．12 B．24 C．30 D．48 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 首先根据题意得到四边形是菱形，进而得到，，然后利用勾股定理得到，求出，最后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∴四边形 是菱形， ∴设 和 交于点O， ∴，， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 故选：B． 43．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点O，连结，，过点C作，交的延长线于点F，连结．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】24 【分析】根据平行线的性质可得，根据垂直平分线的性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可得，，根据平行四边形的判定和菱形的判定可推得四边形为菱形，根据勾股定理求得，根据菱形的性质即可求得四边形的面积． 【详解】∵， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴，， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又∵，，， ∴平行四边形为菱形， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故菱形的面积为， 故答案为：24． 44．如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记性质并利用三角形全等判定与性质得到对角线被互相平分是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明和全等，得，同理可得，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，根据菱形面积公式解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ， ， ，， 四边形的面积． 故答案为：600． 45．下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知：．求作：菱形使点在上，点在上，点在上． 作法：①作的角平分线，交于点；②作线段的垂直平分线，交于点，交于点；③连接，． 所以四边形为所求的菱形． (1)请你根据小明的作法使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)若，，则四边形的周长为______，它的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)8， 【分析】（1）根据小明的作法，按照尺规作图的要求补全图形即可； （2）由，，证明是等边三角形，则，所以，由，得，由，求得，则，所以，，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解：根据小明的作法补全图形如图所示， 理由：设交于点， 垂直平分，交于点，交于点， ，，， 平分，交于点， ， ，， ， ， ， 四边形为所求的菱形 （2）解：，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形的周长为8，它的面积为， 故答案为：8；． 针对训练： 1．在菱形中，，则菱形的周长为（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质和勾股定理，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得，在中，根据勾股定理可以求得的长，即可求菱形的周长． 【详解】解：菱形对角线互相垂直平分， ∴， ∴， ∴菱形的周长． 故选：C． 2．如图，的对角线，交于点，以下条件能证明是菱形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质以及勾股定理的逆定理．由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，， ∵， ∴，则， ∴是矩形，不能说明是菱形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴不能说明是菱形，故本选项不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是菱形，故本选项不符合题意， D、， ， ， 不能证得是菱形，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．如图，在菱形中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．由菱形的性质得到，利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：在菱形中，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和4时，则阴影部分的面积为（   ） A．48 B．24 C．12 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，中心对称，熟记菱形的性质并判断出阴影面积为菱形面积的一半是解决本题的关键． 先由菱形的面积等于对角线乘积的一半求解菱形的面积，再根据中心对称的性质得到阴影面积为菱形面积的一半求解即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和4， ∴菱形的面积为， ∵是两条对角线的交点， ∴阴影部分的面积为． 故选：D ． 5．如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查菱形的性质、勾股定理、三角形的中位线等知识，根据勾股定理求出的长是解题的关键．由菱形的性质得，，，则，继而证明是的中位线，即可解答． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， 点为的中点， 是的中位线， ． 故选：B． 6．如图，在菱形中，，点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止，连结，．在形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是（   ） A．①③②③ B．③②①③ C．①③②① D．③②③① 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质等知识点，把点P从点B出发，沿折线方向移动的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在菱形中，， ∴，， 当点P与点B重合时，则，此时为等腰三角形； 当时，，则，此时为直角三角形； 当点P到达点C处时， ∵，， ∴此时为等边三角形； 当P为中点时， ∵是等边三角形 ∴ ∴为直角三角形． ∴排序正确的是①③②③． 故选：A． 7．如图，小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，，． 若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键； 根据作图可得四边形是菱形，根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可知，， 四边形是菱形， ，． 故选：B． 8．如图，，是菱形的对角线，点P，E，F分别是对角线，边，边上的点．若，，则的最小值为（   ） A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 设点G是上一点且与点F关于直线对称，连接，则，设与交于点O，得到当点E，P和点G共线，时，有最小值，即为的长，然后求出，，勾股定理求出，然后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴与关于直线对称， 如图，设点G是上一点且与点F关于直线对称，连接，则，设与交于点O． ∴． 当点E，P和点G共线，且时，有最小值，即为的长． ∵，，四边形是菱形， ∴，． ∴，． ∴，即， 解得，即的最小值为4.8． 故选：C． 9．如图，在菱形中，，若，则菱形的周长为 ． 【答案】 【分析】先根据菱形的性质和已知角度，得出三角形的形状，进而求出菱形的边长，最后计算周长．本题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的四条边相等以及有一个角是的等腰三角形是等边三角形是解题的关键． 【详解】解：∵ 四边形是菱形 ∴ ， ∴ ∵ ∴ ∴ 是等边三角形 ∵ ∴ ∴ 菱形的周长为 故答案为：． 10．已知如图，菱形的边长为，，点是直线上的一个动点（不与重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，在平面内存在一点，若以点、为顶点的四边形也是菱形，则此时线段的长为 ． 【答案】或或 【分析】分如图，当时，如图，当时，如图，当时三种情况分析，通过菱形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质进行求解即可． 【详解】解：如图，当时，过作于点，则， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 如图，当时，过作于点，则， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图，当时，过作于点，过作于点， ∴，， ∴， 由旋转性质可知，，， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上可知：线段的长为或或， 故答案为：或或． 11．如图，四边形为菱形，，在边上，将沿翻折得到，在直线上，作于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，菱形的性质，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 连接交于点，交于点，由菱形性质得，由翻折性质得，，，则，进而得，证明，继而依据“”判定和全等得，则，由此可得的长． 【详解】解：连接交于点，交于点，如图所示： 四边形是菱形，， ，，， 由翻折性质得：， ， ， ， ，， ， 在中，， 在中，， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．如图，菱形纸片，，，将该菱形纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕与边、分别交于点、，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠性质，解直角三角形，勾股定理，方程思想，关键是作辅助线构造直角三角形． 过点作，与的延长线交于点，解直角三角形得，设，用表示，再用勾股定理列出的方程进行解答． 【详解】解：过点作，与的延长线交于点， 四边形是菱形， ， 是的中点， ， ， ， ， 由勾股定理可得，， 设，则， 由折叠性质知，， 由勾股定理得， ， 解得，， 故答案为：． 13．如图，在菱形中，已知，，若点是线段上一动点，是的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及最短路线问题．连接，，判定，即可得到，进而得出，当D，M，N在同一直线上时，的最小值等于的长，依据勾股定理即可得到的长． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 当D，M，N在同一直线上时，的最小值等于的长， 又∵中，，， ∴， 故答案为：． 14．数学课上老师出示了下面一道题，请同学们据此补全结论，每写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分． 如图，在菱形中，，点、分别是、的中点，相交于点，连接，交于点． 请补全下列结论： ① ，② ，③ ，④ ，⑤ ． 小明补全的结论为：①，②，③，④，⑤．如果你给小明批卷，小明可得 分． 【答案】70 【分析】由菱形的性质与已知条件，得到和是等边三角形，根据等腰三角形的性质得到，，由三角形的外角的性质得出①正确；根据证得，得到，由勾股定理得，得到②错误；由推出③正确；由全等三角形的性质求得，得到④错误；由勾股定理得，根据三角形面积公式求得⑤正确． 【详解】解：∵菱形中， ∴， ∵， ∴， ∴和是等边三角形， ∴，， ∵点E、F分别是、的中点， ∴，， ∴，①正确； ∵，， ∴， 同理， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴，②错误； ，③正确； ∵， ∴， ∴，④正确； 在中，，， 由勾股定理得：， ∴，⑤正确； ∴小明得分为：分， 故答案为：70． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质和判定是解决问题的关键． 15．已知：如图，平分，交于E，交于F． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，角平分线的定义，等角对等边等知识，利用菱形的判定与性质是解题的关键；由可得四边形是平行四边形，再由平行与平分易得，从而得，由此即可得四边形是菱形，再由菱形的性质即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴． 16．如图，在中，D是边的中点，M，N分别在及其延长线上，，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当满足什么条件时，四边形是菱形？判断并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，四边形是菱形，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形和菱形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质． 对于（1），先根据“角边角”证明，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得出答案； 对于（2），先根据等腰三角形的性质得，再根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：当满足时，四边形是菱形，理由如下： 由可知，四边形是平行四边形， ，是边的中点， ， 平行四边形是菱形． 17．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则的度数是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查菱形的判定与性质以及平行线的性质．通过作图条件得到边的关系从而判定菱形，再利用菱形性质和平行线性质求解角度是解题的关键． （1）根据菱形的判定定理，四边相等的四边形是菱形，通过作图条件得出四条边相等来证明； （2）利用菱形的性质，先得出，再根据平行线的性质求出． 【详解】（1）证明：由作图过程可知，， 四边形是菱形． （2）四边形是菱形， 18．尺规作图：过点作直线的垂线． 作法如下： （1）以点为圆心，为半径作弧交直线于两点； （2）分别以为圆心，长为半径作弧，两弧在下方交于点，连接； ①根据题意．利用直尺和圆规补全图形； ②作图依据为________；________． 【答案】①见解析；②菱形的对角线互相垂直；到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 【分析】本题考查作图﹣基本作图、垂线、菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． ①按照要求直接作图即可． ②根据菱形的判定与性质可得答案． 【详解】解：①如图所示． ②连接， 由作法得，， ∴四边形为菱形， ∴． ∴作图依据为：菱形的对角线互相垂直；到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 故答案为：菱形的对角线互相垂直；到线段两端距离相等的点在线段 的垂直平分线上． 19．在人教版八年级下册数学教材学习了以下内容：菱形的对角线互相垂直且平分． 【结论运用】 (1)如图①，菱形的对角线与相交于点O，，，则菱形的面积是______； (2)如图②，四边形是菱形，点F在上，连接，四边形是菱形，连接，若，求的度数． 【答案】(1)96 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）根据菱形性质求出，进而求出面积； （2）根据菱形性质证明，得出，再根据等腰三角形性质求出，根据三角形外角的性质求出结论． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ， 在中，，， ， ， ∴菱形的面积； （2）解：四边形是菱形，四边形是菱形， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 20．如图1，，，，四点分别在四边形的四条边上，若四边形为菱形，我们称菱形为四边形的内接菱形． (1)如图2，网格中的每个小四边形都为正方形，每个小四边形的顶点叫做格点，由个小正方形组成一个大正方形，点、在格点上，请在图2中画出四边形的内接菱形； (2)如图3，矩形中，，点在线段上且，四边形是矩形的内接菱形，求的长度； (3)如图4，平行四边形，，，点在线段上且，． ①请你在图4中作出平行四边形的内接菱形，点在边上（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹，标出相应的字母）； ②若平行四边形存在以点为顶点的内接菱形，则的取值范围为___________． 【答案】(1)见详解 (2) (3)①见详解② 【分析】（1）利用方格纸作，则，菱形即为所求； （2）如图2，连接，证明 ，可得； （3）①作法：以为圆心，为半径画弧，交于，连接，再作的垂直平分线，交、于、，得四边形即为所求作的内接菱形； ②如图5，当与重合，则与重合时，此时的长最小，即有最小值，根据直角三角形30度角的性质和勾股定理计算可得结论． 【详解】（1）解：如图2，利用方格纸作，则，菱形即为所求； （2）如图3，连接， 四边形是矩形， ，，， ， 四边形是菱形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ． （3）如图，以为圆心，为半径画弧，交于，连接，再作的垂直平分线，交、于、，得四边形即为所求作的内接菱形； ②如图5，当与重合时，是菱形的边长最短时，最短边长，此时与重合，过作于， 在中，，， ， ，， 四边形是菱形， ， ， ， 即最短值是， ， ， 故答案为：． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$