2025-2026学年人教版九年级数学上册第一次月考卷

2025-2026学年九上数学第一次月考卷 考试范围：人教版第二十一-二十二章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键：含有一个未知数且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：A、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程； B、方程整理可得，未知数的次数不是2，不是一元二次方程； C、方程是一元二次方程，符合题意； D、方程不是整式方程，不是一元二次方程． 故选：C． 2．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线的顶点式及其顶点坐标的确定，解题的关键是熟记抛物线顶点式（）中，顶点坐标为这一性质，并注意对的符号进行正确判断． 先明确抛物线顶点式的顶点坐标为；再将题目中抛物线转化为顶点式标准形式，对应找出，，进而确定顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点式为（），其中顶点坐标为． 题目中抛物线表达式为，可改写为． 对比顶点式可知，，，故顶点坐标为．   故选：D． 3．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．5 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题可直接利用一元二次方程根与系数的关系来求解两根之和．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握若是一元二次方程的两个实数根，则是解题的关键． 【详解】解：在方程中，， 故选：B． 4．若将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的二次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需要根据二次函数图象平移的规律，逐步分析函数图象平移后的解析式．本题主要考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵ 二次函数的图象向右平移个单位长度，根据“左加右减”的原则， ∴ 得到； ∵ 再将向上平移个单位长度，根据“上加下减”的原则， ∴ 平移后的二次函数解析式为． 故选：． 5．已知是方程的根，则代数式的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查了求代数式的值，一元二次方程的解，由a是方程的一个根，得到，则，然后利用整体代入求值即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴ ∴， ∴， 故选：B． 6．关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：抛物线， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而减小，即时，y随x增大而减小， ∴只有C选项正确． 故选：C． 7．某校截止2023年底，校园绿化面积为1000平方米，为美化环境，该校计划2025年底绿化面积达到1440平方米．利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列一元二次方程， 根据题意得出形如的方程即可. 【详解】解：根据题意，得. 故选：B. 8．二次函数的部分图象如图所示，对称轴方程为，图象与x轴相交于点，则方程的根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，掌握抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解是解题的关键． 根据抛物线的对称性由抛物线与x轴的一个交点为且对称轴为直线，得抛物线与x轴的另一个交点为，从得出答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点为，且对称轴为直线， 则抛物线与x轴的另一个交点为， ∴方程的解为，，可得， 设，可得， ∴，， 由上可得，方程的两个根为，， 故选：C． 9．关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（   ） A．14 B．10 C．14或10 D．10或12 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义；由方程的解求出，解方程求出另一个根，由等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 设另一根为， ， 解得：， 当为腰时， 此种情况不符合； 当为腰时， ， 符合题意， 的周长为：， 故选：A． 10．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④对于任意实数，都有，其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，包括开口方向、对称轴、与坐标轴交点，结合图象信息分析系数符号、利用对称性判断交点位置、通过距离对称轴远近比较函数值大小以及转化不等式验证恒成立问题是解题的关键． 由抛物线开口向上得，对称轴得，与y轴交于负半轴得，据此判断①；根据抛物线与x轴交点关于对称轴对称，结合已知交点范围判断②；通过两点到对称轴的距离及开口方向比较函数值大小判断③；将代入结合平方非负性判断④． 【详解】解：抛物线开口向上， ； 对称轴为，即， ； 抛物线与y轴交于负半轴， ； ，故①错误． 抛物线的一个根与x轴交于和0之间，且对称轴为， 另一个根在必然大于2小于3，故②正确． 对称轴为，点到对称轴的距离为1，点到对称轴的距离为，抛物线开口向上， ，故③错误． ， ， ，故④正确． 综上，正确结论为②④，共2个． 故选：A． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．方程的一次项为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次项的定义，理解一次项的定义是解题的关键． 先整理方程，再找出一次项即可． 【详解】解：， ， ， ∴一次项为． 故答案为： ． 12．若点在二次函数的图象上，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图像性质．通过分析二次函数的开口方向及对称轴，结合点的横坐标位置，可以判断纵坐标的大小关系． 【详解】解：当时，二次函数随x的增大而增大， 点在二次函数的图象上， ． 13．方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； 将方程变形为，再解方程即可． 【详解】方程变形为， 或， 解得，， 故答案为：，． 14．用配方法将写成的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了将二次函数的一般式转化为顶点式，熟练掌握配方法，利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，即可得解 【详解】解：． 故答案为：． 15．若，是方程的两根，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由方程可知：，然后代入进行求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴由韦达定理可知：， ∴； 故答案为7． 16．已知，是二次函数图象上不同两点，那么当时，值为 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．根据二次函数图象的对称性得出，然后将其代入二次函数关系式即可求解． 【详解】解：∵，是二次函数图象上不同两点， ∴关于对称轴直线对称， ∴， ∴， 当时， ． 故答案为：2023． 17．已知，且有，则的值等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将变形，得到是的两根是解题的关键．将两边同除以，即可得是的两根，根据根与系数的关系，即可解答． 【详解】解：当时，不成立，故， 两边同除以后，可得， ∵，即， 可以看作是的两根， ， 故答案为：． 18．已知和是二次函数图象上两个不同的点，一次函数的图象经过点． （1）若，且，则的值为 ； （2）若函数的图象与轴仅有一个交点，则的值为 ． 【答案】 1 【分析】本题考查的是一次函数与二次函数的综合应用； （1）表示，可得，结合题意可得，，则，求解，进一步可得答案； （2）表示，结合题意可得，可得：，可得，，，，再进一步求解即可. 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵和是二次函数图象上两个不同的点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∵一次函数的图象经过点． ∴， 解得：， 故答案为：； （2）∵二次函数，一次函数，， ∴， ∵函数的图象与轴仅有一个交点， ∴， ∴， 解得：， ∵和是二次函数图象上两个不同的点，一次函数的图象经过点， ∴，，， ∴，， ∴， 解得：， 故答案为： 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．按要求解下列方程 (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（适当方法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了解一元二次方程，掌握方程解法的步骤是解题的关键． （1）首先移项化简，再在等式的两边加上一次项系数的一半的平方，即可得出答案； （2）找出方程的二次项系数一次项系数及常数项，计算出根的判别式的值大于0，将的值代入求根公式，即可求出方程的解； （3）首先去括号和移项，再进行分解因式，即可得出答案； （4）运用直接开平方法即可得到答案． 【详解】（1）解：， 整理得， ， ， ， 即或， ∴． （2）解：方程化为， ， ， 即， ∴． （3）解：， ， ， 即或， ∴． （4）解：， 整理得， 即， ∴． 20．二次函数的自变量x与函数值y的对应值如表，根据下表回答问题． x … 0 … y … 0 4 … (1)求出该二次函数的表达式； (2)写出向下平移2个单位后，图象所对应的二次函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数图象的平移，注意计算的准确性． （1）将和代入，即可求解； （2）上下平移改变因变量的值：上加下减． 【详解】（1）解：将和代入得： ， 解得：， ∴该二次函数的表达式为： （2）解：向下平移2个单位后，二次函数得表达式为： ， 即： 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程有一个根为3，求方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)该方程的另一个根为2 【分析】本题考查根的判别式和根与系数的关系．掌握的正负与一元二次方程之间的关系是解题关键；熟记根与系数的关系是解题关键． （1）判断即可证明； （2）设方程的另一个根为m，根据根与系数关系即可得出，解方程组求出另一根． 【详解】（1）解：∵， ∴方程总有两个实数根； （2）解：设方程的另一个根为m，则， 解得， 故该方程的另一个根为2． 22．如图，利用函数的图象，解决下列问题：      (1)当随x的增大而减小时，x的取值范围是_______； (2)当时，的取值范围是_______； (3)当时，x的取值范围是_______． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握数形结合的数学思想是解题关键． （1）根据图象求出对称轴即可求解； （2）求出当时，的最大值和最小值即可求解； （3）求出时的的值，即可求解． 【详解】（1）解：由图象可得： 函数的对称轴为：直线 ∵抛物线开口向上， ∴当时，随x的增大而减小； 故答案为：； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，； 故答案为：； （3）解：由图象可知，当时，； 再由对称性可知，当时，； ∴当时，或． 故答案为：或． 23．阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，当时， ，当时，．∴原方程有四个根是： ， ，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． (1)解方程：． (2)已知实数a，b满足，试求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，代数式求值，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）设，则，整理，得，解关于y的一元二次方程，然后解关于x的一元二次方程即可求解； （2）设，则，整理得，解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则， 整理得：， 解得：， 当，即时， 解得； 当，即时， 解得． 综上，原方程的解为，． （2）设，则， 整理得：， 解得： (舍去)， ∴． 24．如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部（原点O处），石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙．已知石块的运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算说明石块能否飞越城墙． 【答案】(1) (2)石块不能飞越城墙，见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，求出二次函数解析式是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，将C点坐标代入求解； （2）计算出时对应的y值，得出当到达城墙时，石块的高度，与比较大小即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的表达式为：， 将点代入得：， ∴． ∴石块运动轨迹所在抛物线的表达式为：． （2）解：当时，， ∴当到城墙时，石块高度为， ， ∵， ∴石块不能飞越城墙． 25．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】(1)二、三这两个月的月平均增长率为； (2)当商品降价5元时，商场获利4250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴的两个交点分别为，．点P是抛物线上一点，其横坐标为m． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的取值范围是______； (3)设抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点），记为图象G．若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的取值范围； (4)已知平面内一点M的坐标为，点的坐标为，连结、，以、为边构造矩形．当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题关于抛物线，考查了抛物线的性质的应用，抛物线与几何性质的结合，解题的关键是分类讨论． （1）已知抛物线与轴的两个交点坐标，利用待定系数法，将交点坐标代入抛物线表达式建立方程组，求解系数和，即可得到函数表达式； （2）先将抛物线表达式化为顶点式，确定对称轴和开口方向，找到最大值点；再计算区间端点处的函数值，结合抛物线单调性确定该区间内的取值范围； （3）明确最值差的含义，结合抛物线顶点坐标和增减性讨论，不同范围内的最高点与最低点，求解的取值范围； （4）由、两点坐标特征可知平行于轴，结合抛物线对称轴及单调性，分析矩形位置与对称轴的关系，确定需满足的条件，进而得到的取值范围． 【详解】（1）解：把，代入抛物线方程得， ， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为， 观察函数图象可知，在范围内， 此时的函数值最大，此时的函数值最小， 把代入抛物线表达式得， 把代入抛物线表达式得， 故答案为：； （3）解：∵ 又∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y有最大值为2， 由题意可知， ， ∴分两种情况， 当点P在点左侧时， 此时点在与之间时，符合， ∴当时，则 解得：（不合题意，舍去）， ∴； 当点P在点右侧时， 此时点在与之间时，符合， 当时，则 解得：，， 当时， 解得：，， ∴， 综上所述，的范围为或； （4）解：∵ 又∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x增大 而增大，当时，y随x增大而减小， 若要使矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，矩形应在抛物线对称轴的左半部分，如图 ，，， ∴ 解得：． 【点睛】①求当t为何值时？P是[B,A]的弱点． ②求当t为何值时？P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的强点． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九上数学第一次月考卷 考试范围：人教版第二十一-二十二章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．5 B． C．1 D． 4．若将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的二次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 5．已知是方程的根，则代数式的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 6．关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而增大 7．某校截止2023年底，校园绿化面积为1000平方米，为美化环境，该校计划2025年底绿化面积达到1440平方米．利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 8．二次函数的部分图象如图所示，对称轴方程为，图象与x轴相交于点，则方程的根为（   ） A．， B．， C．， D．， 9．关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（   ） A．14 B．10 C．14或10 D．10或12 10．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④对于任意实数，都有，其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．方程的一次项为 ． 12．若点在二次函数的图象上，则与的大小关系是 ． 13．方程的解是 ． 14．用配方法将写成的形式是 ． 15．若，是方程的两根，则的值为 ． 16．已知，是二次函数图象上不同两点，那么当时，值为 ． 17．已知，且有，则的值等于 ． 18．已知和是二次函数图象上两个不同的点，一次函数的图象经过点． （1）若，且，则的值为 ； （2）若函数的图象与轴仅有一个交点，则的值为 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．按要求解下列方程 (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（适当方法） 20．二次函数的自变量x与函数值y的对应值如表，根据下表回答问题． x … 0 … y … 0 4 … (1)求出该二次函数的表达式； (2)写出向下平移2个单位后，图象所对应的二次函数表达式． 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程有一个根为3，求方程的另一个根． 22．如图，利用函数的图象，解决下列问题：      (1)当随x的增大而减小时，x的取值范围是_______； (2)当时，的取值范围是_______； (3)当时，x的取值范围是_______． 23．阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，当时， ，当时，．∴原方程有四个根是： ， ，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． (1)解方程：． (2)已知实数a，b满足，试求的值． 24．如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部（原点O处），石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙．已知石块的运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算说明石块能否飞越城墙． 25．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴的两个交点分别为，．点P是抛物线上一点，其横坐标为m． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的取值范围是______； (3)设抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点），记为图象G．若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的取值范围； (4)已知平面内一点M的坐标为，点的坐标为，连结、，以、为边构造矩形．当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$