专题2.6 圆与方程100道计算题专项训练（10大题型）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019选修第一册）

专题2.6 圆与方程100道计算题专项训练（10大题型） 题型一 由圆心(或半径)求圆的方程 题型二 求圆的一般方程 题型三 定点到圆上点的最值(范围) 题型四 点与圆的位置关系求参数 题型五 由直线与圆的位置关系求参数 题型六 直线与圆的位置关系求距离的最值 题型七 求直线与圆交点的坐标 题型八 已知切线求参数 题型九 已知圆的弦长求方程或参数 题型十 由圆的位置关系确定参数或范围 【经典计算题一 由圆心(或半径)求圆的方程】 1．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，且过点. (1)求直线的方程； (2)若圆经过原点和点，且圆心在直线上，求圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，设直线的截距式方程，再把已知点代入方程求出的值，从而得到直线方程. （2）先设圆的标准方程，根据圆经过原点和点以及圆心在直线上这三个条件列出方程组，然后求解方程组得到、、的值，进而得到圆的方程. 【详解】（1）设直线的方程为（）， 因为直线过点，将点的坐标代入直线方程可得， 化简方程即，解得， 所以直线的方程为. （2）设圆的标准方程为， 因为圆经过原点和点， 将原点坐标代入圆的方程可得， 将点代入圆的方程可得， 又因为圆心在直线上，所以， 由和相减可得： ，即， 联立方程，解得，， 把，代入得， 所以圆的方程为. 2．（24-25高二上·福建漳州·期中）已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求过点A，且在两坐标轴上的截距相等的直线m的方程； (2)求圆C的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分截距是否为0进行讨论即可； （2）思路一：设出圆心坐标、半径，由题意列出方程即可求解；思路二：先求得线段AB的垂直平分线的方程，进一步可得圆心坐标、半径，从而得解；思路三：设圆心C的坐标为，结合求得参数即可. 【详解】（1）（i）当直线过原点时，直线的斜率为2，此时直线的方程为． （ii）当直线不过原点时，可设直线的方程为． 因为直线过点，所以，解得． 此时直线的方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． （2）法一：设圆C的方程为， 依题意，有解得 所以圆的方程为． 法二：直线AB的斜率为，所以线段AB的垂直平分线的斜率为1． 又线段AB的中点坐标为，所以线段AB的垂直平分线的方程为． 由解得即圆心． 又圆C的半径为， 所以圆的方程为． 法三：因为圆心C在直线上， 所以可设圆心C的坐标为． 依题意，有，所以，解得． 所以圆C的圆心，半径， 所以圆C的方程为． 3．（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）直线，直线，且当时，直线与的交点为． (1)求坐标； (2)若，直线与的交点为，求以为直径的圆的标准方程． 【答案】(1); (2). 【分析】（1）联立直线求出交点的坐标即可; （2）求出直线与的交点为，再找到圆心和半径，写出圆的标准方程即可. 【详解】（1）当时, 直线, 联立直线得，即，所以点坐标为. （2）当时, 直线, 联立直线得,即，所以点坐标为, 由上问可知点坐标为. 由该圆是以为直径的圆， 所以圆心为的中点，半径为， 故以为直径的圆的标准方程为. 4．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知两点，直线． (1)若直线经过点P，且，求直线的方程； (2)若圆C的圆心在直线l上，且P，Q两点在圆C上，求圆C的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）易知直线的斜率为2，再根据结合直线经过点求解； （2）方法一：求得的中垂线方程，再由圆心C在直线l上，由求得圆心即可；方法二：根据圆C的圆心在直线l上，可设圆心C的坐标为，半径为r，再由P，Q两点在圆C上，代入圆的方程求解. 【详解】（1）解：直线的斜率为2， 设直线的斜率为k，由，得，解得， 又直线经过点， 所以直线的方程为，即． （2）方法一：，所以的中垂线的斜率为， 又的中点为，所以的中垂线的方程为，即． 因为两点在圆C上，所以圆心C在的中垂线上， 又圆心C在直线l上，由得即圆心C的坐标为， 又圆C的半径， 所以圆C的方程为． 方法二：因为圆C的圆心在直线l上，所以可设圆心C的坐标为，半径为r， 所以圆C的方程为， 又P，Q两点在圆C上， 所以，解得 所以圆C的方程为． 5．（23-24高二上·重庆·期中）已知直线过定点P，圆C经过P点且与x轴和y轴正半轴都相切. (1)求定点P的坐标； (2)求圆C的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将分离参数，可得，解方程组，即可求得答案. （2）设出圆的标准方程，由题意列出方程，求得参数，即可得答案. 【详解】（1）直线，即， 由于，故， 即直线过定点. （2）设圆C的方程为， 由题意得圆C经过P点且与x轴正半轴和y轴正半轴都相切， 则且，即， 解得或， 故圆C的方程为或. 6．（24-25高二上·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，已知是函数的图像上的动点，以为圆心的圆与轴交于两点，与轴交于两点. (1)求证：的面积为定值； (2)设直线与圆交于两点。若，求圆的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设可得圆的方程，求出两点的坐标计算出的面积即可证明； （2）由条件得出原点在线段的垂直平分线上，所以直线与直线垂直，由斜率之积为-1求得，从而得到圆C的方程. 【详解】（1）设圆心为， 圆过原点，，圆方程为， 令，得，令，得， 为定值； （2）垂直平分线段， ，直线的方程是， ，解得或（舍）， 则圆的方程为. 7．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算的垂直平分线，计算交点得到圆心，再确定半径得到答案. （2）根据垂直和中点得到关于直线对称的点为，即为所求直线. 【详解】（1），则的垂直平分线的斜率为，中点为， 故的垂直平分线为，，解得，即圆心为， 圆的半径， 故圆方程为. （2）反射光线恰好平分圆的圆周，故反射光线过圆心， 设关于直线对称的点为， 则，且，解得，即， ， 故反射光线为，即. 8．（23-24高二上·上海·课后作业）求过点，圆心在直线上，且与直线相切的圆的方程． 【答案】或 【分析】利用待定系数法，根据圆心的位置、圆上的点坐标及直线与圆的相切关系，得到相关参数的方程组，从而得解. 【详解】依题意，设圆的方程为，则圆心坐标为，半径为， 由题意得：， 由得， 将代入，得， 将代入，同时平方，得， 从而有，解得或， 当时，，，则圆的方程为； 当时，，，则圆的方程为； 综上：所求圆的方程为或． 9．（23-24高二上·全国·课后作业）已知圆C过点和且圆心C到直线的距离与半径长相等．求圆C的方程． 【答案】或. 【分析】由题圆心在线段的垂直平分线上，设圆心为，半径为，写出圆的方程，将点代入，利用圆心C到直线的距离与半径长相等，建立方程组解得，得解. 【详解】圆心在线段的垂直平分线上， 设圆心为，半径为，则圆的方程为. 将点代入得.① 而，代入①， 得， 解得，，或，. 故圆C的方程为:或. 10．（23-24高一下·四川成都·期中）已知以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O､B，其中O为坐标原点. (1)试写出圆C的标准方程（含表示）； (2)求证：的面积为定值； (3)设直线与圆C交于M，N两点，若，求圆C的标准方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）已知圆心，求出半径，就可圆的标准方程； （2）求出两截距的长度，即可求出面积； （3）由及弦的垂直平分线必过圆心可知直线斜率，则可求得值，也就得到圆的方程. 【详解】（1）圆心，圆过原点，所以，则圆的标准方程为； （2）证明：由（1）知，圆的标准方程为，令，得，令，得，则，所以的面积为定值； （3）由可知垂直平分线过原点，又弦的垂直平分线必过圆心，可得直线与直线垂直，则有，即，解得，所以圆心或，圆的方程为或，由于当圆的方程为时，圆心到直线的距离，直线与圆不相交，故舍去，所以圆C的标准方程为. 【经典计算题二 求圆的一般方程】 11．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知在中，AB边所在直线的方程为，AC边所在直线的方程为，AC边上的中线所在直线的方程为． (1)求C点的坐标； (2)求的外接圆方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由直线方程联立求交点，由边上的中线联立求得的中点，进而由中点坐标公式得点坐标； （2）联立边上的中线得点坐标，设出圆的一般方程，由三点坐标代入待定系数即得. 【详解】（1）由，得， 所以A点的坐标为， 由，得，即边AC的中点为， 所以C与A关于点M对称， 设，则，得， 所以C点的坐标为． （2）由，得， 故B点的坐标为， 设的外接圆方程为，且， 则，得， 则所求圆的方程为． 12．（23-24高二上·安徽宿州·期中）已知的三个顶点分别为． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求外接圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求，再由斜率之积为求出，再由点斜式写出直线方程； （2）设出圆的一般方程，带入三点坐标，解出即可. 【详解】（1）因为，设边上的高所在直线的斜率为， 则， 因为点在高线上， 所以，即 （2）设外接圆的方程为， 则，解得， 故外接圆的方程为 13．（23-24高二上·山西大同·期中）在中，已知. (1)求外接圆的一般方程； (2)求边上的高所在的直线与边上的中线所在直线的交点坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）的外接圆的一般方程为，将代入即可求解, （2）分别求出边上的高所在的直线方程与边上的中线所在的直线方程，联立即可求解. 【详解】（1）设的外接圆的一般方程为， 将代入可得， 解得. 所以的外接圆的一般方程为. （2）直线的斜率，边上的高所在直线的斜率， 所以边上的高所在直线的方程为. 又线段的中点，所以中线的斜率不存在， 所以边上的中线所在的直线方程为. 联立，解得，所以两直线的交点坐标为. 14．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与轴交于点，直线与交于点，点在轴的正半轴上，且，求外接圆的方程． 【答案】 【分析】先求得点的坐标，根据求得点的坐标，设出外接圆的一般方程，代入的坐标，从而求得外接圆的方程． 【详解】根据直线，令，得，所以的坐标为． 由与的方程联立方程组， 得，解得， 所以的坐标为． 设点的坐标为， 因为，所以． 解得，所以的坐标为． 设外接圆的方程为， 则，解得， 所以外接圆的方程为． 15．（22-23高二下·安徽·开学考试）已知直线过点，且与轴分别交于点，为等腰直角三角形． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，点在轴负半轴，求过，，三点的圆的一般方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设直线方程为，分别解出两点坐标和，利用解出的值即可； （2）设圆的一般方程为 ，将点代入解方法组即可. 【详解】（1）因为直线过点，所以设直线为，， 令，得，所以 令，得，所以， 又因为为等腰直角三角形，所以， 得， 解或， 当时直线过原点，不满足题意， 故直线的方程为或， 即或. （2）由题意可知直线的方程为，即， 设圆的方程为， 将，，代入 得，解得， 所以所求圆的方程为. 16．（22-23高二上·河南平顶山·期中）已知圆过点、、． (1)求圆的方程； (2)过直线上一点可作圆的两条切线、，切点分别为、，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的一般方程为，将题干中的三点坐标代入圆的一般方程，求出、、的值，即可得出圆的方程； （2）连接、，计算出的值，设点，利用两点间的距离公式求出的值，即可得出点的坐标. 【详解】（1）解：设圆的一般方程为， 由题意可得，解得， 因此，圆的方程为. （2）解：连接、， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 由切线长定理可得，又因为，， ，所以，， 因为，， 设点，则，解得或. 故点的坐标为或. 17．（23-24高二·全国·课后作业）根据下列条件，求圆的方程： (1)圆经过，两点，且圆心在直线上； (2)圆经过，，三点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的中垂线方程，联立方程组求出圆心坐标，计算圆的半径，从而得出圆的方程； （2）利用待定系数法求出圆的方程． 【详解】（1）的中点为，直线的斜率为， 线段的中垂线方程为，即． 联立方程组，解得，，即所求圆的圆心， 圆的半径， 圆的方程为． （2）设圆的方程为， 圆过点，，， 解得，，， 圆的方程为． 18．（23-24高二上·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，、、． (1)求的面积； (2)判断、、、四点是否在同一个圆上？并说明理由． 【答案】(1)； (2)、、、四点共圆，理由见解析. 【分析】（1）求出的方程，可求得点到直线的距离，并求出，利用三角形的面积公式可求得结果； （2）求出的外接圆方程，将原点坐标代入圆的方程，可得结论. 【详解】（1）解：直线的斜率为，则所在直线的方程为，即， ，点到直线的距离为， 因此，. （2）解：、、、四点共圆，理由如下： 设的外接圆方程为， 由已知可得，解得， 所以，的外接圆方程为， 因为，即原点在的外接圆上， 因此，、、、四点在同一个圆上. 19．（24-25高二上·湖南·期中）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（-2，3），C（-1，-2），求： (1)AC边上的中线所在直线的方程； (2)△ABC的外接圆的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出线段的中点坐标即得解； （2）设的外接圆方程为，列方程组解方程组即得解. 【详解】（1）解：因为线段的中点为， 所以边上的中线方程为，即. （2）解：设的外接圆方程为， 则 即 解得， 所以的外接圆的方程为. 20．（23-24高二上·河南濮阳·阶段练习）已知圆C过点A(3，-2)，B(-3，6). (1)求周长最小时圆C的标准方程； (2)求圆心C在直线x-5y-1=0上时圆C的一般方程. 【答案】(1)x2+(y-2)2=25. (2)x2+y2+8x+2y-33=0. 【分析】（1）当AB为圆C的直径时，圆C的半径最小，从而周长最小.求出圆心和半径可得圆的方程； （2）设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.代入已知条件，求解方程组可得圆的方程. 【详解】（1）解：当AB为圆C的直径时，圆C的半径最小，从而周长最小.即AB的中点(0，2)为圆心，半径r=|AB|=5， 此时圆C的标准方程为x2+(y-2)2=25. （2）解：设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 根据题意得，解得. ∴圆的一般方程为x2+y2+8x+2y-33=0. 【经典计算题三 定点到圆上点的最值(范围)】 21．（23-24高二上·湖南·期中）若圆的圆心在上，且圆与直线切于点． (1)求圆的标准方程； (2)已知点，，若为圆上任意一点，求的最大值并求出取得最大值时点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为53，的坐标为 【分析】（1）根据圆心在直线上，结合相切，即可求解圆心和半径， （2）方法一，利用三角换元，结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求解最值，方法二，利用坐标法可将问题转化为圆上的点到点距离的平方的最值，即可联立直线与圆的方程求解坐标． 【详解】（1） 设圆心，由于直线与圆相切于点，所以， 故，，所以圆的标准方程为 （2） 方法一：设， 则 ，其中，， 所以，当时，的最大值为53． 此时，，，，，所以． 方法二：设，则， ∴． 又，所以， 因为表示圆上的点到点距离的平方． 易得，的最大值为， 所以的最大值为53．此时，，和三点共线，且，位于两侧时， 直线方程， 联立直线与可得，解得或（舍去），则 故的坐标为．    22．（23-24高二上·甘肃武威·期中）已知某圆的圆心在直线上，且该圆过点，半径为，直线l的方程为． (1)求此圆的标准方程； (2)若直线l过定点A，点B，C在此圆上，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意，设圆心坐标，列圆的标准方程，代入，即可求出的值，从而得到圆的标准方程. （2）求得直线恒过定点，取BC中点为，则，可得点D的轨迹方程，可求得的取值范围，进而可得的取值范围. 【详解】（1）由题意可设此圆的方程为， 把点坐标代入得，则， 所以圆的标准方程为． （2） 直线l方程为，即， 则有，可得定点， 取线段BC中点为，则，令原点为O，， 即，化简可得， 即D的轨迹是以为圆心，为半径的圆， A到D轨迹圆心距离为，则的取值范围为， 所以的取值范围为． 23．（23-24高二上·甘肃临夏·期中）已知圆C经过两点，圆心C在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出圆的圆心坐标，利用圆心到圆上点的距离都等于半径，列出方程求解即可． （2）表示点到坐标原点距离的平方，数形结合可得解. 【详解】（1）圆心在直线上， 设圆心，由点和在圆上，可得 ，解得， 所以圆心坐标为，半径， 所以圆的标准方程为. （2）因为表示点到坐标原点距离，又点在圆上， 所以，又， ，即， 所以. 所以的取值范围是. 24．（22-23高二·全国·课后作业）平面上有两点，点P在圆周上，求的最大值、最小值及对应点P的坐标． 【答案】最大值：100，对应点；最小值：20，对应点. 【分析】设，然后可得，然后求出的最值及对应的点即可. 【详解】设，则， 则 因为，所以， 的最大值为，最小值为， 所以的最大值为，最小值为， 原点与点连线的方程为， 联立可解得或， 所以取得最大值时对应点，取得最小值时对应点. 25．（22-23高二上·北京怀柔·期中）已知圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)设点，动点在圆上，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设圆心，利用可构造方程求得圆心坐标和半径，由此可得圆的标准方程； （2）利用两点间距离公式可求得，由圆的几何性质可知，. 【详解】（1）由题意可设：圆心， 由半径得：， 解得：，圆心，半径， 圆的标准方程为：. （2）由（1）知：圆心，半径，， ，. 26．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心C在第一象限，直线截圆C所得的弦长为，直线平分圆的周长. (1)求圆C的方程； (2)已知，，若P在圆C上，求的最小值，及此时点P的坐标. 【答案】(1) (2)20， 【分析】（1）根据已知条件，设出圆心坐标，再结合垂径定理，即可求解. （2）设，则，当OP最小时，取最小值，即可求解. 【详解】（1）∵直线平分圆的周长，∴直线过圆心，设圆心为，， 又∵半径为2的圆的圆心C在第一象限，直线截圆C所得的弦长为， ∴圆心到直线的距离，解得， ∴圆心，半径为2，∴圆心C的方程为. （2）设，则， 当OP最小时，取最小值，∵， ∴，， ∴，此时点P的坐标为. 27．（23-24高一下·陕西延安·阶段练习）已知圆及点. (1)若点在圆上，求直线的斜率. (2)若是圆上任一点，求的取值范围. (3)若点在圆上，求的最大值与最小值. 【答案】(1)； (2)； (3)，. 【分析】（1）根据点在圆上求出的值，再求直线的斜率. （2）利用数形结合求的取值范围. （3）利用斜率的几何意义和数形结合求的最大值与最小值. 【详解】（1）在圆上， ， 即， （2），化简得， ，圆心，半径， , 又是圆上任一点， （3）表示点与定点连线斜率， 当直线与圆相切时， 圆方程为，设其圆心到直线的距离为， 则，解得， ， 28．（2024高二上·全国·专题练习）已知点和，圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)点是圆上任意一点，在轴上求出一点（异于点使得点到点与的距离之比为定值，并求的最小值． 【答案】(1) (2)M为（1,0），最小值为5 【分析】(1)设圆的圆心为，由题意可得关于，的方程组，解得，的值，则圆的方程可求； (2)设点，，，，则，由为定值，可得，解出，得到M坐标，再由，可得的最小值． 【详解】（1）设圆的圆心为， 由题意可得，，解得． 圆的方程为； （2）设点，，，，则． ， 为定值，是的倍数关系，且对任意的，成立， ，解得或(舍去)，， 此时为定值， ∴， 当且仅当、、三点共线时，的最小值为． 29．（23-24高二上·广东揭阳·期中）如图所示，、分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线，其中为、的交点.若、两点分别为该市1路公交车的起点站和终点站，且、之间的公交线路是圆心在上的一段圆弧，站点到直线、的距离分别为和，站点到直线、的距离分别为和. (1)建立适当的坐标系，求公交线路所在圆弧的方程； (2)为了丰富市民的业余生活，市政府决定在主干道上选址建一游乐场，考虑到城市民居集中区域问题和环境问题，要求游乐场地址（注：地址视为一个点，设为点）在点上方，且点到点的距离大于且小于，并要求公交线路（即圆弧）上任意一点到游乐场的距离不小于，求游乐场C距点距离的最大值. 【答案】(1)（，） (2) 【分析】（1）由题意建立适当的直角坐标系，可以用待定系数法来确定圆弧的方程. （2）由题意，结合可得对任意的恒成立，从而即可求得的范围. 【详解】（1）以为坐标原点，直线、分别为轴和轴建立平面直角坐标系如图所示， 则由题意，，设圆弧所在圆的方程为， 又因为、之间的公交线路是圆心在上的一段圆弧， 所以，解得， 故公交线路所在圆弧的方程为（，）. （2）如图所示： 因为游乐场距点的距离为，所以， 设为公交线路上任意一点， 则（，），即， 且，对公交线路上任意点均成立， 整理得，对任意的恒成立， 令，因为， 所以函数在上单调递减， 所以，解得或， 又，故， 即游乐场C距点距离的最大值为. 【点睛】关键点睛：第一问比较常规用待定系数法来做就可以了，第二问的关键是结合两点间的距离公式把问题转换为恒成立问题来做. 30．（23-24高二上·河北唐山·阶段练习）已知圆过点，且与直线相切于点. （1）求圆的方程； （2）平面上有两点，，点P是圆C上的动点，求的最小值. 【答案】（1）；（2）26. 【分析】（1）根据直线CN和直线垂直可得，根据圆过点可得： ，两式联立即可得出a，b，r的值，进而求出圆的方程； （2）设，经过分析可得，所以可将求的最小值转化为求的最小值，进而可得，最后求出答案即可. 【详解】（1）设圆的标准方程为，圆心坐标，半径为r， 直线CN的斜率为， 直线的斜率为， 所以有，（1） 又圆C过点，且与直线相切于点， 所以有，（2） 联立（1）（2）得：， 所以圆的方程为； （2）设，则 ， ，. 【经典计算题四 点与圆的位置关系求参数】 31．（24-25高二上·福建泉州·期中）如图，已知某市穿城公路自西向东到达市中心O后转向正北方向，，在公路段上距离市中心O点处有一古建筑C（视为点），现设立一个以C为圆心，为半径的圆形保护区E，并准备修建一条直线型高架公路L，在上设出入口A，在上设出入口B，满足且直线与圆E相切.    (1)若将出入口A设计在距离中心O点处，求R； (2)若点B到该圆上任意一点的距离均不少于，则如何设置出入口B，才能使该圆形保护区的半径R最小. 【答案】(1) (2)当时，圆形保护区的半径R最小 【分析】（1）设切点为F，连接,利用和边长即可求出R； （2）依题建立平面直角坐标系，设，由条件需使恒成立，即，化简得①，再由直线与圆C相切推得，代入①求解不等式得的范围，将的最小值回代此式即得的值. 【详解】（1）    如图，设切点为F，连接,则，且 在直角三角形中，，即 （2）    以O为原点，如图建立平面直角坐标系， 设，则直线方程：，即， 圆心，设P为圆C上任意一点， 由条件需使恒成立，即， 即，化简得，①， 又直线与圆C相切，得，由①知，，则有 将代入①式，整理得， 解得或（舍去） ，当且仅当时取得最小值， 即当时，圆形保护区的半径R最小. 32．（24-25高一上·陕西宝鸡·期末）已知圆和直线相切于点. (1)求圆的标准方程及直线的一般式方程； (2)已知直线经过点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1)圆的标准方程为，直线的一般方程为； (2). 【分析】（1）将点的坐标代入圆的方程，求出实数的值，可得出圆的标准方程，求出直线的斜率，由圆的几何性质可得，可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程，化为一般式即可； （2）分析可知直线过圆心，求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】（1）解：把点代入圆的方程，可得，解得， 得的方程为，即， 圆心为，所以，直线的斜率为， 由圆的几何性质可知，则直线的斜率为， 直线的方程为，即. （2）解：由（1）可知，圆的直径为，故直线经过圆心， 且直线的斜率为，直线的方程为，即． 33．（2024高二·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，Q为第一象限内一点，QA垂直于x轴，QB垂直于射线OM，垂足分别为A，B，且，，． (1)求OQ的值； (2)已知圆C通过四点， ①圆C的方程； ②设P是圆C上的任意一点，在x轴及射线OM上是否分别存在定点E，F，使为定值？若存在，指出定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在定点 【分析】（1）由题意得出OM的直线方程，设出Q点坐标，利用点到直线的距离公式得出Q点坐标，利用两点距离公式得出； （2）①由QA垂直x轴，QB垂直射线OM，垂足分别为A，B，所以圆C是以OQ为直径的圆，得出圆心，半径得出圆的方程； ②设圆C上的任意一点P的坐标为，点，点，，，得出关系式求出得出结论． 【详解】（1）解：直线OM的方程为，即，设，， 由题意可得，解得或（舍），所以点， 所以 （2）解：①由QA垂直x轴，QB垂直射线OM，垂足分别为A，B，所以圆C是以OQ为直径的圆，所以圆心坐标为，半径为， 所以圆C的方程为，即 ②设圆C上的任意一点P的坐标为，点，点，，， 所以，化简得， 又因为点P在圆上，所以， 所以， 点P为圆C上任意一点，所以 解得， 经检验符合题意，所以在x轴及射线OM上分别存在定点，使为定值． 34．（23-24高二·全国·课后作业）已知点及圆. (1)若点在圆C内部，求实数a的取值范围； (2)当时，求线段PC的垂直平分线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点与圆的位置关系列不等式直接求解； （2）先求出线段PC的中点的坐标，再求出斜率，利用点斜式写出直线方程. 【详解】（1）若点P在圆C内部，则，解得. 即实数a的取值范围为 （2）由题意知圆心坐标为. 当时，线段PC的中点的坐标为，， 则线段PC的垂直平分线所在直线的斜率为-2， 故所求直线方程为，即. 35．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知直线与圆相交于两点，弦的中点为 （1）求实数的取值范围以及直线的方程; （2）若以为直径的圆过原点，求圆的方程． 【答案】（1）,（2） 【分析】（1）根据方程表示圆以及点在圆内可求出的范围；根据圆心与弦的中点连线垂直于弦可求出弦的斜率，再根据点斜式可求出结果； （2）设，，联立直线与圆的方程，得到和，根据以为直径的圆过原点，得到，将和代入得，结合和，求出，即可得圆的方程. 【详解】（1）因为方程表示圆， 所以，解得． 因为在圆内，所以，所以． 综上可得． 因为弦的中点为，所以直线． 因为，所以，所以． 所以直线的方程为，即． （2）由，得， 设，， 则，， 因为以为直径的圆过原点， 所以，，所以， 所以， 所以， 所以，解得， 故圆． 36．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知点在圆 上，点关于直线的对称点在圆内. (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)求实数的取值范围. 【答案】(1)圆心坐标为，半径为. (2) 【分析】（1）由点在圆上，代入得到圆的方程化为标准方程即可求得圆心，半径； （2）先求出点关于直线的对称点，然后由点在圆内求解的取值范围即可. 【详解】（1）点在圆 上， 所以代入得：，所以， 化为标准方程为：， 所以圆心坐标为，半径为. （2）设点关于直线的对称点， 所以，解得：， 所以，由于点在圆内， 所以， 解得：，故实数的取值范围为. 37．（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）已知过点的圆的圆心在直线上，且与轴相切． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且被圆截得的弦长为的直线的方程． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）由题意列出知的方程组求解即可； （2）当直线斜率的情况分类讨论，设出直线方程，结合弦长及点到直线的距离公式求解. 【详解】（1）圆的圆心，半径为， 由题意知， 解得或（舍去），，， 所以该圆的标准方程为. （2）当直线斜率不存在时，方程为，此时圆心到直线距离为1， 此时弦长为，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 若弦长为，则圆心到直线距离为1， 即，解得， 将代入直线方程化成一般式为， 综上所述，直线方程为或. 38．（23-24高二上·四川遂宁·阶段练习）已知圆心为的圆经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)已知在圆C外，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设圆的标准方程为：，代入，，求解即可； （2）因为在圆C外，所以，代入求解即可. 【详解】（1）解：设圆的标准方程为：， 代入，， 得，解得：， 所以圆的标准方程为：； （2）解：因为在圆C外， 所以， 又因为，， 所以， 解得或， 所以的取值范围为：. 39．（24-25高二上·广东广州·期中）小岛A处东偏南角方向的海面P处生成一个台风，台风侵袭的范围为半径圆形区域，并以h的速度不断增大．该台风以h的速度向西偏北方向移动． (1)10小时后，该台风是否开始侵袭小岛？说明理由； (2)一艘渔船在生成台风8小时后到达小岛躲避台风，渔船需在小岛停留多长时间才能离开小岛？ 【答案】(1)没有侵袭小岛，详见解析； (2)16小时. 【分析】（1）以A为原点建立直角坐标系，则，通过计算10小时后小岛与台风中心的距离，即得； （2）由题列出不等式可得台风侵袭小岛的时间，再结合条件即得. 【详解】（1）以A为原点，以正东方向为x轴，正北方向为y轴，建立直角坐标系，则为第四象限角， ∵，∴， ∴点P的坐标为即， ∴， ∵台风以h的速度向西偏北方向移动． ∴台风与x轴正方向成， 设t小时后台风中心为Q(x,y)， ∴， ∴， ∴，此时台风的半径为， ∴10小时后台风中心， ∴，即， ∴10小时后，该台风没有侵袭小岛. （2）若小岛受到台风侵袭，则， ∴， 化简得，， ∴，即台风生成后12小时到24小时之间侵袭小岛， ∴渔船需在小岛停留时间为24－8=16小时. 40．（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）在平面直角坐标系中，已知的方程为，平面内两定点、．当的半径取最小值时： (1)求出此时的值，并写出的标准方程； (2)在轴上是否存在异于点的另外一个点，使得对于上任意一点，总有为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明你的理由； (3)在第（2）问的条件下，求的取值范围． 【答案】(1),； (2)点F的坐标为,定值为2； (3). 【分析】(1)将圆的一般方程化为标准方程，确定半径的表达式，再求半径的最小值，即可得到所求圆的方程；(2)设，定点（为常数），由两点的距离公式求表达式，根据其值为定值可求定点的坐标和的值；(3)化简μ的关系式，结合对勾函数的单调性，即可得到所求范围． 【详解】（1）的方程为可化为 ， 当时，⊙C的半径取最小值，此时⊙C的标准方程为； （2）设，定点（），则． ∵，∴，代入上式， 得： ． 由于λ取值与x无关，∴（舍去）． 此时点F的坐标为， 即； （3）由上问可知对于⊙C上任意一点P总有， 故， 而（当P、F、G三点共线时取等号）， 又，，所以，故． ∴    ， 令，则， ，当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增，由此可得的图象为 观察图象可得的取值范围为． 【点睛】一般直线和圆的问题利用数形结合来解决，在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理. 【经典计算题五 由直线与圆的位置关系求参数】 41．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知圆，直线，的顶点在直线上，顶点都在圆上，且边过圆心，．求点横坐标的取值范围． 【答案】 【分析】过点作圆的切线（为切点），将问题转化为，再利用坐标运算即可. 【详解】过点作圆的切线（为切点），则， 所以． 化简为，即， 设，则有， 所以，所以， 则求点横坐标的取值范围为. 42．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆M的方程； (2)一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，求反射光线所在的直线方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）求得的中点，结合半径与的长度关系确定其为圆心，进而可求解； （2）由对称性确定点关于y轴的对称点，进而设反射光线所在的直线方程为，由位置关系列出等式求解即可； 【详解】（1），线段的中点， 点与点C的距离， 因此的外接圆M的圆心为，半径为2， 所以圆M的方程为． （2）由光的反射定律知，经y轴反射后的光线所在直线过点，点关于y轴的对称点， 直线与圆M不相切，设反射光线所在的直线方程为，即， 于是，整理得，解得或， 所以反射光线所在的直线方程为或． 43．（24-25高二上·福建厦门·期末）已知圆C的一条直径的端点分别为，． (1)求圆C的标准方程； (2)直线l：与圆C相切于点A，交y轴于点B，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法1：根据直径确定圆心和半径，可得圆的标准方程； 方法2：设圆C上任一点，根据可得圆的一般方程，再配方化成圆的标准方程. （2）方法1：根据点到直线的距离公式，利用几何法确定切线方程，再结合为直角三角形求； 方法2：求出切线方程，再确定的坐标，利用两点间的距离公式求. 【详解】（1）方法1：因为圆C以线段PQ为直径，所以圆心． 半径， 所以圆C的标准方程为． 方法2：设圆C上任一点，因为圆C以线段PQ为直径，所以． 又因为，，所以， 即，所以圆C的标准方程为． （2）方法1：因为直线l：与圆C相切，所以，所以， 所以或，即或，因为，所以， 所以直线l的方程为．所以， 又因为，所以． 因为，所以． 方法2：因为直线l：与圆C相切，所以， 所以，所以或，即或． 因为，所以，所以直线l的方程为．所以． 由，，解得， 所以，所以． 44．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知圆C关于直线对称，且两点，在圆C上. (1)求圆C的标准方程; (2)直线l经过点，且与圆C交于A，B两点.若的面积为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由圆的性质先求出圆心坐标，再求出圆的半径即可求解； （2）先求出圆心C到直线l的距离为，再由点到直线的距离公式求解即可． 【详解】（1）因为，点和点的中点为， 所以以两点，为端点的线段的中垂线方程为， 整理得， 由，解得， 所以圆心，所以半径， 所以圆C的标准方程为． （2）因为的面积， 所以， 因为，所以，所以圆心C到直线l的距离为 若直线l的斜率不存在，则l的方程为， 此时圆心C到直线l的距离为2，不符合题意，舍去. 设直线l的方程为，即， 则圆心C到直线l的距离，解得，或， 所以直线l的方程为或． 45．（24-25高二上·吉林·期中）已知圆的圆心在直线上，且过点，与直线相切. (1)求圆的标准方程； (2)设直线：（）与圆相交于不同两点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出圆心及圆的半径即可得出圆的标准方程； （2）联立直线与圆的方程，根据有两解列出不等式求解即可. 【详解】（1）因为圆的圆心在直线上，可设圆心坐标为， 由题意可列方程，解得， 所以圆心坐标为、半径为， 所以圆的标准方程为； （2）联立，并整理得， 因为直线与圆交于、两点， 所以，解得， 所以实数取值范围为. 46．（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）已知圆C的圆心在直线上，且经过点和点． (1)求圆C的标准方程； (2)一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆C相切，求反射后的光线所在直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆心坐标，由圆的半径建立方程，解出圆心坐标即圆的半径，写出圆C的标准方程； （2）求出点关于的对称点坐标，设对称后的直线方程，因为直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程，解得斜率，从而得到直线方程. 【详解】（1）设圆心为， 则， 即，解得， ∴， ∴圆C的标准方程：. （2）如图：是点关于的对称点. 显然，当反射后的直线斜率不存在时，反射后的直线与圆不相切， 所以反射后的直线的斜率一定存在， ∴设，即， ∵反射后的直线与圆相切，∴圆心到直线的距离， ∴，整理得， ∴，即，， ∴反射后的光线所在直线的方程：或. 47．（24-25高二上·江西南昌·期末）已知点和圆：. (1)求经过点的圆的切线方程； (2)若是圆上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）验证斜率不存在时是否符合题意，斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可； （2）设，则，根据是圆上一动点，可得直线与圆有公共点，根据圆心到直线的距离小于等于半径列不等式求解即可 【详解】（1）圆的方程可化为，圆心，半径. 过点且斜率不存在的直线与圆相切， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， ，解得，切线方程为， 所求切线方程为或. （2）设，则， 即， 因为是圆上一动点， 所以与有公共点， 所以，解得， 的取值范围 48．（24-25高二上·广东·期中）定义：是圆外一点，过点所作的圆的两条切线（为切点）相互垂直，记圆经过点，则称为圆的“伴随点”，圆为“伴随圆”.已知为坐标原点，圆为圆的“伴随点”，圆为“伴随圆”. (1)求点所在曲线的方程. (2)已知点的横坐标为6，且位于第一象限. （i）求圆的方程； （ii）已知为过点所作的圆的两条切线的切点，直线与轴分别交于点，过点且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，若，求的方程. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）应用伴随点定义得出进而求出曲线方程； （2）（i）应用伴随圆定义得出半径为，进而求出曲线方程；（ii）先求直线的方程为，得出，直线的方程为，代入方程，应用数量积计算求解得出直线. 【详解】（1）因为为圆的“伴随点”，所以四边形为正方形， 则， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故点所在曲线的方程为. （2）由题可知. （i）因为四边形为正方形，所以圆心的坐标为， 半径为， 故圆的方程为. （ii）因为直线为圆与圆的公共弦所在直线， 所以直线的方程为. 令，可得，令，可得， 所以. 由题意，可知直线的方程为， 代入方程，整理得. 设，则， 所以 . 由题意可得，解得或. 经检验，当时，不满足； 当时，满足. 故的方程为. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对新定义的应用，可以由圆与圆的公共弦所在直线的方程为，进而结合数量积公式计算即可. 49．（24-25高二上·四川成都·期中）彭塞列定理是解析几何中与曲线的切线有关的著名定理．当曲线是圆时，有如下结论：C1和C2是两个圆（C2内含于C1），过C1上一点P0作C2的切线，交C1于另一点P1，再过P1作C2的另一条切线，交C1于另一点P2；如此反复，得到C1上的一系列点Pi（i = 0，1，2，…）．如果有自然数n≥3，使得Pn = P0，则对于C1上任一点Q0，按上述方式得到Q1，Q2，…，Qn，也有Qn = Q0．下面分别是n = 3和n = 4的图示． 已知圆C1：x2 + y2 = 4，C2：．解答下列问题： (1)在C1上取点作圆C2的两条切线，与C1分别交于A，B两点．判断直线AB与圆C2的位置关系并证明； (2)取C1上的点Q（x0，y0）作圆C2的两条切线，且两切线互相垂直． （i）求出满足条件的点Q的坐标； （ii）若两切线与圆C1分别交于点M，N，猜想直线MN与圆C2的位置关系，并运用彭塞列定理进行说明． 【答案】(1)直线AB与圆相切，证明见解析 (2)（i）点Q坐标为（）；（ii）直线MN与圆C1相切，证明见解析 【分析】（1）求出过点圆C2的两条切线，从而可得A，B两点，判断圆C2直线AB的位置关系； （2）（i） 【详解】（1）直线AB与圆C2相切，证明如下： 易知PA斜率存在，设为k，则直线PA的方程为． 因为直线PA与圆C2相切，所以有圆心C2到直线PA距离， 即 ，解得， 不妨取（负值为切线PB的斜率）， 联立 ， 消去y可得 一个解2为点P的横坐标，另一个解为点A的横坐标， 则点A坐标为 ， 易知点B与点A关于x轴对称，则点B的坐标为， 则直线AB的方程为， C2到直线AB的距离为，所以直线AB与圆相切； （2）（i）显然两条切线斜率均存在， 不妨设其中一条切线斜率为QM斜率为k，则QN斜率为． 直线QM的方程为：． 因为QM与圆C2相切，所以有① 由直线QN与圆C2相切，同理可得 ② 由①②可得 ， 当，即③ 将③代入①， 有 ， 解得，此时点Q（）； 当，同理可得，与1）相同． 综上，点Q坐标为（）； （ii）因为（1）中过圆C1上的点作圆C2的两条切线PA，PB， 而直线AB也与圆C2相切． 由彭塞列定理可知，过圆C1上任意点R作圆C2的两条切线，与圆C1分别交于S，T， 则有直线ST与圆C2相切． 特殊地，过点Q作圆C2的两条切线与C1分别交于M，N两点，有直线MN与圆C1相切． 【点睛】关键点点睛：本题的关键就是直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径. 50．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知圆，过点的直线与相切，切点在第一象限，在轴上的射影为点. (1)求的坐标； (2)过且斜率不为零的另一条直线与交于两点，在线段上. ①若，求的坐标及线段的长； ②设为线段的中点，直线交直线于点，证明：与轴平行. 【答案】(1) (2)①的坐标为或者，；②证明见解析 【分析】（1）通过为以为斜边的等腰直角三角形，确定为的中点，即可求解； （2）①设，由，列出方程，结合在圆上即可求解；②设直线方程为，，，联立圆方程，结合韦达定理，通过 可求证 【详解】（1） 因为直线与圆相切，切点为，所以 由，所以为以为斜边的等腰直角三角形， 由第一象限的点在轴上的射影为，所以为的中点， 所以点的坐标为. （2）①设，，则， 即， 又， 解得，， 所以的坐标为或者 此时，取为线段的中点，则，由，且为 中点，则，所以. ②证明：因为为线段的中点，所以， 设直线方程为，， 联立方程组，得， ，且，，， 直线方程为，直线方程为，得， 则 ， 所以，又，所以与轴平行. 【点睛】利用韦达定理法解决直线与圆相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 【经典计算题六 直线与圆的位置关系求距离的最值】 51．（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆被轴截得的弦长为，点是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和． (1)求的值； (2)求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据弦长和圆心到直线的距离可求得半径，利用半径可求的值. （2）利用几何特征可得，问题转化为求的最小值，利用点到直线的距离可得结果. 【详解】（1） 如图，设圆与轴交于两点，则， 过点作于点，连接，则， ∴，即圆半径为， ∴圆标准方程为，化为一般方程为， ∴. （2） 如图，连接. 由题意得，，与全等， ∴， 当取最小值时，四边形的面积有最小值， 的最小值为点到直线的距离，即， ∴四边形的面积的最小值为. 52．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆C经过，且圆心在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)已知斜率为直线l经过第三象限，且与圆C交于点M，N，求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2)的面积的取值范围为 【分析】（1）设圆的方程为，利用点在圆上，圆心在直线上，列出方程组求解即可； （2）设出直线方程，表示出的面积，根据参数范围即可求出的面积的取值范围． 【详解】（1）设圆的方程为， 因为点在圆上，圆心在直线上， 所以，解得，，， 所以圆的方程为，即． （2）设所求直线方程为，且,即，    由圆心到直线的距离为，所以 由垂径定理有， 由于，且直线与圆交于两点，因此，又，即， 所以， 由于，则，因此， 所以的取值范围为． 53．（2024高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值； （2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值； （3）首先设，再转化为直线与圆有交点， 【详解】（1）圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 解法二：设，则，其中， ∴得，即的最大值为，最小值为． （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设， 解得． 则，即的最大值为，最小值为． 54．（22-23高二上·全国·期中）已知圆过，，三点. (1)求圆的标准方程； (2)若点在圆上运动，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入圆方程求解参数即可. （2）转化为点到直线的距离求解即可. 【详解】（1）设圆的一般方程为， 则，解得， 圆的一般方程为， 即标准方程为. （2）设，则圆的圆心到直线的距离， 解得，的最大值为. 55．（23-24高二上·山西吕梁·期中）已知圆． (1)若直线过点且与圆相切，求直线的方程； (2)设直线与圆相交于，两点，点为圆上异于，的动点，求的面积的最大值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）确定圆心和半径，考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据直线与圆的位置关系得到答案. （2）确定圆心到直线的距离，计算，，计算面积的最大值得到答案. 【详解】（1）圆：，圆心的坐标为，半径． 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 圆心到的距离，与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由直线与圆相切，得，解得， 所以直线的方程为． 综上所述：直线的方程为或． （2）圆心到直线的距离，所以， 因为为圆上异于，的动点，所以点到直线的距离， 所以的面积， 当且，在圆心的两侧时，等号成立， 所以的面积的最大值为． 56．（22-23高二·全国·课后作业）若点在圆上运动，求： (1)的最大值； (2)的最值． 【答案】(1) (2)最小值，最大值 【分析】（1）确定圆心和半径，设，，当直线和圆相切时取最值，计算得到答案. （2）设，联立方程得到，计算得到答案. 【详解】（1），圆心为，半径. 设，表示的斜率，即，当直线与圆相切时取最值， 此时圆心到直线的距离为，解得， 故的最大值为 （2）设，则， 化简整理得到， ，解得， 故的最小值，最大值 57．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆交于点B，D，求的面积的取值范围； (3)若直线过点，且与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为与：的交点为，求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设出圆心坐标，借助两点间距离公式求出圆心和半径即可得圆的方程； （2）按直线的斜率存在与否分类，借助点到直线的距离公式求解即可. （3）设出直线的方程，求出点的坐标，再利用两点间距离公式计算即得. 【详解】（1）设圆心，由圆心在直线上及点和点都在圆上， 得，即， 解得，即，圆的半径， 所以圆的方程为． （2）设圆心到直线的距离为， 则， 因为直线与圆交于两点，所以． 所以， 由于，则，因此， 所以的面积的取值范围为． （3）当斜率不存在时，于圆C相切，不合题意； 如图，直线的斜率必定存在，且不为0， 设其方程为，即， 由，解得，即． 因为为PQ的中点，所以直线CM与垂直，则直线CM的方程为， 由，解得，即． 因此， 所以为定值． 58．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）已知定点，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)设，过点作与轴不重合的直线交曲线于、两点． （i）过点作与直线垂直的直线交曲线于、两点，求四边形面积的最大值； （ii）设曲线与轴交于、两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）在定直线上 【分析】（1）根据点点距离公式即可列方程，化简可得结论， （2）（i）根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式可计算的长度,即可根据面积公式得表达式,结合不等式即可求解最值, （ii）联立直线与圆的方程得韦达定理,即可根据点斜式求解直线的方程,联立两直线方程即可求解定直线. 【详解】（1）设动点的坐标为， 因为，，且， 所以， 整理得，即： 所以动点的轨迹的方程为； （2）（i）因为直线不与轴重合，所以设直线的方程为，即， 则直线为，设圆的圆心到直线和直线的距离分别为，， 则，，所以，， 所以， 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立， 综上所述，四边形面积的最大值为. （ii）设，，联立，得， 则，，， 因为曲线与轴交于，两点，所以，， 则直线的方程为， 直线的方程为， 联立两直线方程得， 所以在定直线上 【点睛】方法点睛:解析几何简化运算的常见方法： （1）正确画出图形，利用平面几何知识简化运算； （2）坐标化，把几何关系转化为坐标运算； （3）巧用定义，简化运算. 59．（23-24高二上·湖南·阶段练习）如图，已知圆，为直线上一动点，为坐标原点，过点作圆的两条切线，切点分别为，.    (1)证明直线过定点，并求出定点的坐标； (2)求线段中点的轨迹方程； (3)若两条切线，与轴分别交于点，，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析，定点； (2) (3) 【分析】（1）求出以为圆心，为半径的圆的方程，再根据线段为圆和圆的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，令直线方程中参数项的自变量为0得解； （2）设的中点为点，直线过的定点为点，根据几何性质可得始终垂直于，进而求得方程即可； （3）设切线方程为，根据直线与圆相切化简可得，设，的斜率分别为，，则，，为的两根，表达出，再代入韦达定理，结合函数的范围求解即可. 【详解】（1）由题，圆的圆心坐标，半径为1， 所以，，， 故以为圆心，为半径的圆的方程为， 显然线段为圆和圆的公共弦， 则直线的方程为， 即，所以， 所以直线过定点； （2）由（1）知，直线过定点，的中点为直线与直线的交点， 设的中点为，直线过的定点为， 易知始终垂直于，所以点的轨迹是以为直径的圆， ，， ∴点的轨迹方程为；    （3）设过点P的圆M的切线方程为，即， 故到直线的距离，即， 设，的斜率分别为，，则，， 把代入，得， 则， 故当时，取得最小值为. 60．（22-23高二上·河南郑州·阶段练习）已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，求直线的方程. 【答案】 【分析】根据题意，的值为四边形的面积的二倍，转化为求面积的最小值只需求的最小值，即当时最小，进一步求出最小值时对应的的坐标，写出以为直径的圆的方程，与圆的方程作差即可得到直线的方程. 【详解】由圆，① 得圆，所以圆心， 如图所示， 连接，易知四边形的面积为， 欲使最小，只需四边形的面积最小， 即只需的面积最小，因为，所以只需|最小， 又， 而的最小值是点到直线的距离，其大小为，此时， 所以直线的斜率，方程为整理得， 由解得，所以， 由题意知四点共圆， 为直径，圆心为,其方程为， 即，　② 由②①得直线AB的方程为2x＋y＋1＝0. 【经典计算题七 求直线与圆交点的坐标】 61．（2024高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆和直线（其中和均为常数，且），为l上一动点，为圆与轴的两个交点，直线与圆的另一个交点分别为. (1)若，M点的坐标为,求直线方程； (2)求证：直线过定点，并求定点的坐标． 【答案】(1)． (2)证明见解析，过定点． 【分析】（1）解法一：通过， ，求出．然后推出坐标，即可求直线方程； 解法二：通过， ，求出．直线与的方程，由在曲线，求出直线的方程． （2）证明法一：设，设，求出直线的方程，直线的方程，通过直线与圆的方程联立，求出直线的方程，然后说明经过定点，求定点的坐标；法二：设得，设，求出直线的方程，与圆的交点,设为，求出直线的方程，与圆的交点设为．点，在曲线上，有，在圆上，求出公共弦方程，说明经过定点，求定点的坐标． 【详解】（1）解法一：当，，则， 则直线的方程：，即， 解得． 同理可得直线的方程：，解得． 由两点式得直线方程为：，即． 解法二：通过， ，求出， 则直线的方程：，即， 解得． 同理可得直线的方程：，解得． 由在曲线， 则当时，求出直线方程为． （2）证法一：由题设得．设， 直线的方程是：，直线的方程是：．解得． 解得． 于是直线PQ的斜率， 直线PQ的方程为． 上式中令，得是一个与无关的常数． 故直线PQ过定点． 证法二：由题设得，．设M(a，t)， 直线MA1的方程是：，与圆的交点,设为， 直线MA2的方程是：,与圆的交点设为, 则点，在曲线上， 化简得   ① 又有，在圆上，圆② ①－×②得 化简得： ． 所以直线的方程为,    ③ 在③中令，得是一个与无关的常数． 故直线过定点． 62．（22-23高二·全国·课堂例题）求经过直线与圆的交点，且经过点的圆的方程． 【答案】 【分析】法一：联立直线与圆的方程求交点，根据三点在圆上，应用待定系数法求圆的方程；法二：设所求圆的方程为，由点在圆上求得，即可得方程. 【详解】法一：解方程组，得或， ∴直线与圆交于点． 设所求圆的方程为()， 将A，B，P的坐标代入，得，解得，满足， 故所求圆的方程为． 法二：设所求圆的方程为， 又在圆上，则，解得， 故所求圆的方程为，即．    63．（22-23高二上·广西钦州·期末）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点. (1)求圆心为，过A，B两点的圆D的方程； (2)求经过点A和点B且面积最小的圆的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）联立直线与圆的方程，求出交点，.求出圆的半径，即可得出圆的方程； （2）当线段为圆的一条直径时，面积最小.求出以及线段的中点，即可得出圆的方程. 【详解】（1）解：联立直线与圆的方程可得，， 解得，，代入直线方程可得，，不妨设，. 又圆心为， 则圆D的， 所以圆D的方程为. （2）解：要使圆的面积最小，则应使半径最小.当线段为圆的一条直径时，面积最小. ，所以圆的半径， 又圆心即线段的中点， 所以圆的方程为. 64．（24-25高二上·安徽芜湖·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，圆经过点，及.斜率为的直线经过点. （1）求圆的标准方程； （2）当时，过直线上的一点向圆引一条切线，切点为，且满足，求点的坐标. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）设出圆的方程，代入三点即可求出； （2）设点，根据题意可求出的方程，与直线联立即可求出坐标. 【详解】解：（1）设圆的方程为， 因圆经过点，及可得， 解得，，， 所以圆的一般方程为，化为标准方程为； （2）设点，由与圆切于点可得，又， 所以，整理可得， 因为直线的斜率为，且经过点，所以直线的方程为，即， 又在直线上，所以，且，联立方程解得或， 所以或. 65．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知，，圆的圆心在直线：上，圆与直线相切，线段为圆与圆的公共弦. (1)求圆与圆的方程； (2)若直线：与圆、圆交于非原点的点，，求证：以线段为直径的圆恒过定点. 【答案】(1)圆方程为，圆的方程为； (2)证明见解析． 【分析】（1）题意说明圆心均在线段的中垂线上，直接求出点坐标和圆心半径得圆方程，利用圆心到切线的距离等于半径求得点坐标，然后求得圆半径后得圆方程； （2）解方程组求得坐标，证明即可得结论． 【详解】（1）线段为圆与圆的公共弦,所以圆心均在线段的中垂线上， 设，则，，半径为， 设，则，解得，半径为， 所以圆方程为，圆的方程为； （2）设，，， 由，解得，即 由，解得，即， 则， 所以， 所以，即以为直径的圆恒过点． 66．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知点A是圆C：与y轴的公共点，点B是圆C上到x轴距离最大的点． (1)求直线的方程； (2)求经过A，B两点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标，再利用直线的斜截式方程求解即得. （2）求出线段的中垂线方程，求出直线的交点坐标，再求出圆的半径即可. 【详解】（1）由，解得，即， 显然轴，，点在轴上方，则， 所以直线的方程为，即. （2）由（1）知，，，线段的中点为，而直线的斜率为1， 因此线段的中垂线方程为，即， 由，解得，于是所求圆的圆心为，半径， 所以所求圆的标准方程为.    67．（22-23高二上·甘肃庆阳·期末）已知直线和直线相交于点P，O是坐标原点，直线经过点P且与OP垂直． (1)求直线的方程； (2)求以O点为圆心10为半径的圆与直线的交点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】 （1）解方程组求得点坐标，求出直线斜率后，由点斜式得直线方程并整理； （2）由直线方程设，然后由可得． 【详解】（1）由得，即， ，∴，的方程为，即； （2）设，由，解得或， 所以点坐标为或． 68．（22-23高二上·江苏南京·期中）已知圆M过原点O，圆心M在直线上，直线与圆M相切. (1)求圆M的方程； (2)过点的直线l交圆M于A，B两点.若A为线段PB的中点，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据几何法得到圆心也在直线上，联立直线求出圆心坐标，再计算出其半径长，得出圆标准方程； （2）设点，利用中点公式表示出，将两点代入圆的方程，则求出点坐标，再计算出直线方程即可. 【详解】（1）因为圆M过原点O，且与直线相切， 所以圆心M在直线上， 又圆心M也在直线上， 联立与，解得，故圆心， 所以半径， 因此圆M的方程为. （2）设，因为A为线段PB的中点，所以. 因为A，B在圆M上，所以解得或 当时，直线l的方程为； 当时，，故直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 69．（2023高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围； (2)求圆C的方程； (3)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论. 【答案】(1)，且 (2)（，且）； (3)过定点和，证明见解析. 【分析】（1）令得抛物线与轴交点，此交点不能是原点；令，则方程＞0，即可求的范围． （2）设出所求圆的一般方程，令得到的方程与是同一个方程；令得到的方程有一个根为，由此求得参数及圆的一般方程． （3）把圆方程里面的合并到一起，令的系数为零，得到方程组，求解该方程组，即得圆过的定点． 【详解】（1）令得抛物线与轴交点是； 令， 由题意，且，解得，且． 即实数的取值范围，且． （2）设所求圆的一般方程为， 由题意得函数的图像与两坐标轴的三个交点即为圆和坐标轴的交点， 令得，，由题意可得，这与是同一个方程，故，． 令得，，由题意可得，此方程有一个根为，代入此方程得出， ∴圆的方程为（，且）． （3）把圆的方程改写为，令， 解得或，故圆过定点和． 70．（24-25高二上·广东·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，其中一发现可表述为“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.如平面内动点到两个定点，的距离之比为定值2，则点的轨迹就是阿氏圆，记为. (1)求的方程； (2)若与轴分别交于E，F两点，不在轴上的点是直线上的动点，直线HE，HF与的另一个交点分别为，，证明直线MN经过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1). (2)证明见解析，定点坐标为. 【分析】（1）设，用坐标表示已知条件化简后可得； （2）不妨设. 设，设，由直线与圆相交求得的坐标（用表示），求出直线方程，观察方程得定点． 【详解】（1）设，根据，得， 即，所以的方程为. （2）根据圆的对称性，不妨设. 设，则， 所以直线HE的方程为，直线HF的方程为. 设. 联立方程得， 所以，即，则，所以. 联立方程得， 所以，即，则，所以. 当时，， 所以直线MN的方程为，化简得， 所以直线MN过定点; 当时，，此时直线MN过定点. 综上，直线MN过定点. 【点睛】方法点睛：解析几何中直线过定点问题，用参数设出动点坐标或动直线方程等，设交点坐标为，由直线与曲线方程联立方程组消元应用韦达定理得或者直线解出，写出两交点所在直线方程（韦达定理的结论需代入），化简后观察可得定点坐标． 【经典计算题八 已知切线求参数】 71．（24-25高二上·云南·期中）已知直线，圆. (1)若直线与圆相切，求的值； (2)记圆的圆心为，若直线与圆交于，两点，为等边三角形，求的值. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）先求出圆心和半径，再根据点到直线距离公式列出关于的方程求解. （2）当为等边三角形时，根据等边三角形的性质可知圆心到直线的距离与半径的关系，同样根据点到直线距离公式列出关于的方程求解. 【详解】（1）由圆的方程可知圆心，半径. 直线，即. 因为直线与圆相切，则，解得或. （2）因为为等边三角形，所以圆心到直线的距离. 同样根据点到直线距离公式得. 化简得. 解得. 72．（24-25高二上·浙江台州·阶段练习）已知半径为2的圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程. (2)已知，P为圆上任意一点，在y轴上找出定点B（异于点A），使得为定值，不需证明.. (3)在（2）的条件下，若点，试求 的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设圆C的圆心坐标为，根据直线与圆相切，可求得圆心，进而得到方程； （2）假设存在定点B，设，表示出，进而求解； （3）结合（2）可得，进而转化为P、B、三点共线问题. 【详解】（1）由题意设圆C的圆心坐标为，则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以，故圆的标准方程为；. （2）假设存在定点B，设， 设，则， 则， 当，即或（舍去）时，为定值，且定值为， 故存在定点B使得为定值， B的坐标为； （3）由（2）知，故，从而， 当且仅当P、B、三点共线时，最小， 且， 所以的最小值为. 73．（23-24高二上·福建漳州·阶段练习）已知直线l：与圆C：相切. (1)求实数a的值； (2)已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由圆心到直线的距离等于半径可求得参数值； （2）由三角形面积求得圆心到直线的距离，然后再由圆心到直线的距离公式求得得直线方程． 【详解】（1）将圆C：化为标准方程， 得，故圆心，半径为. 因为直线l：与圆C相切，所以， 解得，所以圆C的标准方程为. （2）设圆心C到直线m的距离为d. 则，所以，解得. 故，解得或. 所以直线m的方程为或. 74．（22-23高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆与直线有公共点． (1)求圆C的最小半径，并写出此时圆C的方程； (2)若直线l与（1）中的圆C相切，求m的值． 【答案】(1)的最小值为5，圆方程为； (2)10 【分析】（1）首先求得直线所过定点坐标，在圆上或圆内时，直线与圆总有公共点，由此可得半径的最小值，从而得圆方程； （2）直线与圆相切，则为切点，由有，从而可得参数值． 【详解】（1）直线方程整理为， 由得，即直线过定点， 圆与直线恒有公共点，由在圆上或圆内，， 所以，即的最小值为5， 此时圆方程为； （2）直线与圆相切，则为切点，所以， ，所以，解得， 75．（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）已知圆C与直线相切于点，且与直线也相切. (1)求圆C的方程； (2)若直线与圆C交于A，B两点，且，求实数m的范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设出圆的标准方程，利用切点与圆心连线和切线垂直、圆上的点到圆心的距离等于、圆心到切线的距离为进行求解； （2）利用数量积为负得到为钝角或平角，转化为圆心到直线的距离小于进行求解. 【详解】（1）解：设圆C的方程为， 由题意得，即， 解得，，， 即圆C的方程为. （2）解：由题意，得为钝角或平角， 当A，B，C共线时，，此时为平角； 当A，B，C不共线时，，为钝角， 设圆心C到直线l的距离为d，则， 于是，有， 解之得或，且； 综上，实数m的取值范围是或. 76．（23-24高二上·福建三明·期中）已知以点为圆心的圆与直线相切． (1)求圆C的方程； (2)过点的作圆C的切线，求切线方程． 【答案】(1)； (2)和． 【分析】（1）由点到直线距离公式得圆半径后可得圆方程； （2）分类讨论，检验斜率不存在的直线是否为切线，斜率存在时设出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径得结论． 【详解】（1）由题意，圆半径不， 所以圆方程为； （2）易知过点斜率不存在的直线是圆的切线， 再设斜率存在的切线方程为，即， ，解得，直线方程为，即． 所以切线方程是和． 77．（23-24高二下·浙江金华·期末）已知圆，直线，为直线上一动点，为坐标原点 (1)若直线交圆于两点，且，求实数的值； (2)若，过点作圆的切线，切点为，求的最小值． 【答案】(1) (2)最小值为4 【分析】（1）利用圆心到直线的距离为1可得答案； （2）转化为求的最小值，利用点到直线的距离计算可得答案. 【详解】（1）∵，∴圆心到直线的距离为1，，∴； （2）∵， ∴求的最小值相当于求的最小值， ， ∴的最小值为． 78．（24-25高二上·福建厦门·期中）平面直角坐标系中，圆经过直线与的交点，且过点，圆心在直线上 (1)求圆的方程； (2)若，直线上有且仅有一点A满足：过点A作圆的两条切线、，切点分别为，，且使得四边形为正方形，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得两直线交点为，进而可求圆心和半径，即可得方程； （2）分析可知有且仅有1个点A，使得，即点到直线的距离为，列式求解即可. 【详解】（1）联立方程，解得，即两直线交点为， 可知线段的中垂线为， 联立方程，解得， 即圆心为，半径 所以圆的方程为. （2）由题意可知：有且仅有1个点A，使得， 即点到直线的距离为， 则，且，解得， 所以的值为. 79．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴的非负半轴上. (1)求圆的方程； (2)设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆心的坐标为，根据直线与圆相切，可得出关于的等式，解出实数的值，即可得出圆的方程； （2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数的值，综合可得出直线的方程. 【详解】（1）解：由题意，设圆心的坐标为， 因为直线，半径为的圆与相切， 则，因为，解得，因此，圆的方程为. （2）解：由勾股定理可知，圆心到直线的距离为. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为， 合乎题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 80．（22-23高二上·湖北孝感·期末）已知圆心在轴上的圆与直线切于点. (1)求圆的标准方程； (2)已知，经过原点且斜率为正数的直线与圆交于，.求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程. （2）设出直线的方程，并与圆的方程联立，化简写出根与系数关系，求得的表达式，结合换元法以及基本不等式求得的最大值. 【详解】（1）由圆心在轴上的圆与直线切于点，设， 直线的斜率为， 则，所以． 所以，所以，，即， 所以圆的标准方程为． （2）设直线，与圆联立方程组， 可得， ，由根与系数的关系得，， ， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以的最大值为. 【点睛】本题的难点在于第二问，求最值.求解最值有关的题目，首先要将表达式求出，本题是结合根与系数关系求得表达式.然后根据表达式的结构来选择求最值的方法，可考虑二次函数的性质、基本不等式或函数的单调性来求解最值. 【经典计算题九 已知圆的弦长求方程或参数】 81．（24-25高一下·四川内江·开学考试）已知的圆心在y轴上，且经过点和 (1)求的标准方程； (2)过点的直线l与交于A，B两点.若，求直线l的方程. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）设：，结合题意建立关于b、r的方程组，解之即可得到本题的答案； （2）根据直线l的斜率是否存在进行讨论，利用点到直线的距离公式与圆的弦长公式加以计算，可得直线l的方程． 【详解】（1）设：， 根据题意，得,解得, 所以的标准方程为； （2）①当过点的直线l与x轴垂直时，直线l的方程为， 此时直线l与相交于、，可得，符合题意； ②当过点的直线l与x轴不垂直时， 设l：，即, 由直线l被截得的弦长， 可知点到直线l的距离d满足，解得， 所以，解得， 所以直线l的方程为，即, 综上所述，直线l的方程是或 . 82．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知圆，直线：. (1)当为何值时，直线与圆相切； (2)当直线与圆相交于两点，且时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由圆心到直线的距离等于半径即可求解； （2）由弦长公式即可求解； 【详解】（1）根据题意，圆， 则圆的标准方程为， 其圆心为，半径， 若直线与圆相切，则有 解得. （2）设圆心到直线的距离为， 则， 即，解得 则有， 解得或， 则直线的方程为或. 83．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若过定点的直线被圆所截得的弦长为6，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先求出线段的垂直平分线方程，然后与直线联立方程组可求出圆心的坐标，从而可求出圆的半径，进而可求出圆的方程； （2）先求出圆心到直线的距离，然后判断出直线的斜率存在，设直线为，再利用点到直线的距离公式列方程求出，从而可求出直线的方程. 【详解】（1）由题意得线段的中点坐标为，直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即， 由，得，即， 所以圆的半径为， 所以圆的方程为； （2）因为直线被圆所截得的弦长为6， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线为，则圆心到直线的距离为3，不合题意， 所以直线的斜率存在，设直线为，即， 则，化简整理得，解得或， 所以直线为或. 84．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知圆经过点，，半径为5． (1)求圆的标准方程； (2)当位于轴右侧时，若直线经过点，且与圆交于，两点，且，求的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意可知：圆心在直线上，设，根据半径可得，即可得方程； （2）由题意可知圆心为，且圆心到直线的距离，分类讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离运算求解. 【详解】（1）由题意可知：圆心在直线上，半径， 设，因为，解得， 所以圆的标准方程为. （2）若圆心位于轴右侧，则，圆的标准方程为， 由题意可知：圆心到直线的距离， 又因为直线经过点， 若直线的斜率不存在，则直线，此时圆心到直线的距离，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 此时直线； 综上所述：的方程为或. 85．（24-25高二下·湖南·开学考试）已知圆关于轴对称且经过点和． (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆交于，两点；若，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意，设到和的距离相等代入求解t，再求半径即可；（2）利用直线与圆的弦长公式求解. 【详解】（1）因为圆关于轴对称，所以圆心在轴上， 设，由于圆经过和，所以到和的距离相等， 所以，解得， 此时半径， 所以圆的标准方程为； （2）取中点，连接，易知为直角三角形， 因为，，所以， 即圆心到直线的距离为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，到其距离为1，不符合题意； 当直线斜率存在时，设为，直线方程为，化成一般式：， 所以，解得或， 故直线的方程为或． 86．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心为C的圆经过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】根据圆心在弦的中垂线上，也在直线上求解可得圆心，进而求得半径即可得圆的方程； 先讨论直线l斜率不存在时，再设直线l的点斜式，根据垂径定理求解即可. 【详解】（1）由题意圆心在弦的中垂线上， 又中点，， 则弦的中垂线斜率，故中垂线方程：，即， 联立可得，，即， 故圆的半径. 故圆的方程： （2）当直线斜率不存在时，直线l与圆不相交； 当直线斜率存在时，设方程， 因为直线l截圆C所得的弦长为2，故圆心到的距离. 则到的距离， 则，即，解得或. 故方程，即或. 87．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知圆C关于y轴对称且经过点和． (1)求圆C的标准方程； (2)过点的直线l与圆C交于A，B两点；若，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意，设圆的标准方程为，再将点的坐标代入求解； （2）利用直线与圆的弦长公式求解. 【详解】（1）由圆C关于y轴对称知：圆心C在y轴上，故设圆心；   ∴设圆的标准方程为，   则解得： 故圆C的标准方程为； （2）∵  ∴圆心C到直线l的距离为；   当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时，圆心C到直线l的距离为，满足题意；     当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 即     则圆心C到直线l的距离， 解得     此时直线l的方程为，即；     综上所述：直线l的方程为或． 88．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知直线被圆：截得的弦长为，且. (1)求圆的方程； (2)已知直线的方程为、直线的方程为和直线的方程为，且圆是的内切圆，令的面积，求的解析式. 【答案】(1) (2)（）. 【分析】（1）根据弦长列方程求得的值，从而求得圆的方程. （2）根据点到直线的距离公式求得，求得点的恒坐标，根据三角形的面积公式求得. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 依题意，直线被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离为， 即，由于，所以， 所以圆的方程为. （2）由于直线与圆相切于原点，如图所示， 切线不过原点，所以且. 圆心到直线，即的距离为： ，两边平方并整理得. 圆心到直线，即的距离为： ，两边平方并整理得. 依题意可知， 由消去并化简得， 由于在轴上，圆是的内切圆，所以在轴的右侧， 则，且， 所以 ， 其中， ， ，符合题意. 所以（）. 【点睛】求解直线和圆相切有关问题，首先要判断两点：一个是判断已知点是在圆上还是在圆外，如果已知点在圆上，则只有一条切线；另一个是要判断切线的斜率是否存在，此时可以结合图象来进行判断. 89．（24-25高二上·四川遂宁·期中）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； (3)过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值. 【答案】(1) ； (2)或； (3). 【分析】（1）由题意，设圆方程为，根据直线与圆的位置关系和两直线的位置关系可得，解之即可求解； （2）根据几何法求弦长可得圆心到直线的距离为，易知当直线斜率不存在时满足题意；当斜率不存在时，设直线方程，利用点线距公式计算建立关于k的方程，解之即可求解； （3）直线方程联立圆的方程，解得，同理可得，则，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】（1）由题可知，设圆的方程为，圆心为， 由直线与圆相切于点， 得，解得， 所以圆的方程为； （2）设圆心到直线的距离为d， ∵，∴，. ①当直线斜率不存在时，，满足到直线的距离； ②当直线斜率存在时：设方程：，即， ，整理得，解得， ，即， 综上：直线的一般式方程为或； （3）由题意知，， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得， 解得或，则点A的坐标为， 又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为， 由题可知：， ， 又，同理， ， 当且仅当时等号成立， 的最大值为. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：配方法；基本不等式法；单调性法；三角换元法；导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 90．（23-24高二上·全国·期末）设为实数，直线和圆相交于，两点. (1)若，求的值； (2)若点在以为直径的圆外（其中为坐标原点），求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将圆的方程转化为标准方程，可得圆心与半径，再根据垂径定理可得圆心到直线的距离，进而可得的值； （2）根据点在以为直径的圆外，可知，联立直线与圆的方程，结合韦达定理可得参数的取值范围. 【详解】（1）   将圆的方程化为标准方程， 圆心，半径， 由， 可知圆心到直线得距离为， 所以， 解得或； （2）   设，， 联立，得， 由，得， 且，， 因为点在以为直径的圆外，所以， 即， 即 ， 解得，所以的取值范围是. 【经典计算题十 由圆的位置关系确定参数或范围】 91．（2025高三·全国·专题练习）已知圆，圆，动点，到两圆的切线长分别相等，且，点在圆上，点在圆上，求四边形面积的最小值和最大值． 【答案】最小值2，最大值8 【分析】根据题意得到的方程，根据圆与圆的位置关系得到的最值，利用四边形对角线垂直求面积即可. 【详解】，， 则圆心，对应半径，， 因为动点，到两圆的切线长分别相等， 所以在直线上， 即， 如图，，， 又圆心所在直线方程为，所以， 则，，    所以四边形面积的最小值2，最大值8. 92．（24-25高二上·陕西榆林·期末）设，，，，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中的三个点． (1)求圆Q的方程； (2)若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）首先分析圆只能过点，，三点，再求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； 【详解】（1）若圆经过，，则圆心必在的垂直平分线上，不合题意； 又与关于轴对称，圆心在轴的正半轴上，所以圆只能过点，，三点， 因为，的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即， 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组解得， 所以圆心为，半径为，所以圆的方程为． （2）设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即可两圆相交， 又， 则，解得． 93．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知点，，是平面内的一个动点，且，点为坐标原点. (1)求动点的轨迹方程； (2)圆与只有一个公共点，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设出点坐标，求出、坐标，根据已知条件利用向量的坐标运算即可求解； （2）写出圆的标准方程，根据两圆位置关系，分两圆内切和外切两种情况，得到方程，解方程即可求解. 【详解】（1）设，则，， 因为，可得，即 所以动点的轨迹方程为. （2）由圆，可得为圆， 则满足，解得，且圆心，半径， 又由圆心，半径为3， ①当两圆内切，可得，即， 整理有：，解得： ②当两圆外切，可得，即， 整理有：，解得： 且满足，所以或. 94．（24-25高二上·山西晋城·期中）已知圆的圆心在直线：上，且圆与两坐标轴都相切，圆：． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆相切，求的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据题意先根据圆心在直线l上并且与坐标轴相切求出圆心坐标和半径，再根据圆心和半径写出圆的标准方程. （2）讨论两圆内切和外切的情况，利用两圆相切圆心距与两圆半径的关系可得到关于a的关系式，进而求出a的值. 【详解】（1）由圆与两坐标轴都相切可知，圆的圆心在直线或上， 又直线与直线平行，所以圆心在直线上． 联立，可得圆心，半径， 所以圆的标准方程为． （2）由题意：， 可得圆心，半径， 所以． 当两圆外切时，，解得， 当两圆内切时，，解得． 综上，的值为或． 95．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知圆：和圆：． (1)若圆与圆相交，求r的取值范围； (2)若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）先求出两圆的圆心和半径，然后由两圆相交，得，从而可求出r的取值范围； （2）设，，将直线方程代入圆方程化简，利用根与系数的关系，再结合列方程可求出实数k的值． 【详解】（1）圆：的标准方程为，则圆心，， 圆：的标准方程为，则圆心，， 所以． 因为圆与圆相交，所以， 即，解得， 所以r的取值范围为． （2）已知直线l：与圆交于P、Q两点， 设，，联立，得， 由，得， 所以， 所以，解得， 因为，所以． 96．（23-24高二上·湖北荆门·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆C的半径为1，圆心在l上． (1)若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； (2)若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意求圆C的方程，结合切线性质求切线方程，注意讨论切线的斜率是否存在； （2）根据题意可知点M的轨迹方程为，结合两圆的位置关系分析求解. 【详解】（1）根据题意，圆心C在直线上，也在直线上， 联立方程，解得，即， 所以圆． 当切线斜率存在时，过点A的切线方程可设为，即， 则，所以切线方程． 当切线斜率不存在时，直线也与圆相切； 综上所述：所求切线直线方程为或． （2）设点，， 因为，则， 即点M的轨迹方程为， 又点M在圆C上，所以， 若存在这样的点M，则与有公共点， 即两圆的圆心距d满足，即， 解得或， 所以圆心C的横坐标a的取值范围为. 97．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆及圆内一点，P为圆M上的动点，以P为圆心，PA为半径的圆P． (1)当且P在第一象限时，求圆P的方程； (2)若圆P与圆恒有公共点，求r的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，得出轴，求得，进而得到圆的标准方程； （2）根据题意，得到，结合题意，得到对任意的恒成立，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由圆，可得圆心，半径， 又由且时，， 可得轴，所以，则， 因为P在第一象限，所以， 所以圆P的方程为. （2）解：由圆，可得圆心坐标， 因为，所以， 要使得圆P与圆恒有公共点，且圆心距为， 所以对任意的恒成立， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 98．（22-23高二上·河南·阶段练习）已知圆与圆相切． (1)求圆的半径； (2)若圆与圆相内切， 设圆与轴的负半轴的交点为， 过点作两条斜率之积为-3的直线， 分别交圆于两点， 求点到直线距离的最大值． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）根据两圆外切或内切进行分类讨论，从而求得. （2）设出直线和直线的方程，求得两点的坐标，根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，求得直线的方程，进而求得点到直线距离的最大值. 【详解】（1）由题易知，圆C的标准方程是． 因为圆与圆相切，所以分两圆外切与内切两种情况讨论． 若圆与圆相外切，则，解得； 若圆与圆相内切， 即圆内切于圆， 则，解得．综上可得，或． （2）由（1）知，若圆与圆相内切，则．由圆，可得． 设，，直线，的斜率分别为，，则直线，． 联立方程整理得， 所以，即．所以． 同理得．由，可得． 将代入，可得点， ， 当时，直线MN的斜率存在，． 所以直线MN的方程为， 即， 化简得．所以直线恒过一定点，该定点为，． 故点P到直线MN的距离小于； 当时，直线MN的斜率不存在， ，或，， 所以直线MN的方程为，点P到直线MN的距离为． 综上所述，点P到直线MN距离的最大值为． 【点睛】圆与圆的位置关系中，“相切”包括了内切和外切，在解题过程中，如果题目所给条件是“相切”，则可能为内切和外切两种情形.要求直线的方程，首先要判断直线的斜率是否存在. 99．（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆：与圆：. (1)若圆与圆有公共点，求正实数的取值范围； (2)求过点且与圆相切的直线的方程； (3)当时，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由两圆相交可得，解之可得的取值范围； （2）分类讨论切线的斜率情况，再由线圆相切得到，解之可得直线的方程； （3）利用弦定长公可将问题转化为圆心到直线与圆心直线的距离相等，由此列出方程化简，可得到等式，再由的无穷多解判定得的取值，进而得求. 【详解】（1）因为圆：，故，半径为； 又因为：，故，半径为2， 所以两圆圆心距为：， 因为圆与圆有交点， 所以，得，即. （2）当直线的斜率不存在时，直线符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为即， 因为直线与圆相切，则，即， 此时直线的方程为，即， 综上：直线的方程为或. （3）设点坐标为，因为有无数条直线符合要求，不妨设直线与的方程分别为： ，，即：，， 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等， 由垂径定理可知圆心到直线与圆心直线的距离相等， 故有，即或， 由于关于的方程有无穷多解，故，或， 解得或，即点坐标为或. 100．（23-24高一下·福建三明·阶段练习）已知，，，记的外接圆为． (1)求的方程． (2)对于线段上的任意一点，是否存在以为圆心的圆，在圆上总能找到不同的两点，满足，若存在，求圆的半径的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A(4, 0)，B(2, 2），C (6, 0)代入圆方程，解方程组即可得结果；或者求出AB的中垂线方程和AC的中垂线方程，求出它们交点坐标，即得圆心坐标，最后求半径即可. （2）假设存在圆B:满足题意， ，又A(4, 0)，PA的直线方程是：，设G(m, n）（），设F(x, y)，则中点，根据E、F在圆B上可得，进而可得结果. 【详解】（1）解法一：设的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0． 因为点A，B，C均在所求圆上，所以 解得         故的方程是． 解法二：A(4, 0)，B(2, 2)，C(6, 0)，          AB的中垂线方程为：，①      AC的中垂线方程为：,②         联立①②可得圆心，        半径，     故的方程是． （2）假设存在圆B:满足题意， ，又A(4, 0)， PA的直线方程是：，               设G(m, n)（） 则有，， 设F(x, y)，则中点， 由E、F在圆B上可得：， 即① 存在E、F即方程组①有解，即圆与圆有公共点，       所以， 把代入可得 ， 故对任意恒成立， 在上单调递减，在单调递增， ，， ，解得，      又 E为线段GF的中点， E、F在圆B上， G在圆B外，                                         ，即在恒成立， ，   . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 圆与方程100道计算题专项训练（10大题型） 题型一 由圆心(或半径)求圆的方程 题型二 求圆的一般方程 题型三 定点到圆上点的最值(范围) 题型四 点与圆的位置关系求参数 题型五 由直线与圆的位置关系求参数 题型六 直线与圆的位置关系求距离的最值 题型七 求直线与圆交点的坐标 题型八 已知切线求参数 题型九 已知圆的弦长求方程或参数 题型十 由圆的位置关系确定参数或范围 【经典计算题一 由圆心(或半径)求圆的方程】 1．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，且过点. (1)求直线的方程； (2)若圆经过原点和点，且圆心在直线上，求圆的方程. 2．（24-25高二上·福建漳州·期中）已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求过点A，且在两坐标轴上的截距相等的直线m的方程； (2)求圆C的方程． 3．（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）直线，直线，且当时，直线与的交点为． (1)求坐标； (2)若，直线与的交点为，求以为直径的圆的标准方程． 4．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知两点，直线． (1)若直线经过点P，且，求直线的方程； (2)若圆C的圆心在直线l上，且P，Q两点在圆C上，求圆C的方程． 5．（23-24高二上·重庆·期中）已知直线过定点P，圆C经过P点且与x轴和y轴正半轴都相切. (1)求定点P的坐标； (2)求圆C的方程. 6．（24-25高二上·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，已知是函数的图像上的动点，以为圆心的圆与轴交于两点，与轴交于两点. (1)求证：的面积为定值； (2)设直线与圆交于两点。若，求圆的方程. 7．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程． 8．（23-24高二上·上海·课后作业）求过点，圆心在直线上，且与直线相切的圆的方程． 9．（23-24高二上·全国·课后作业）已知圆C过点和且圆心C到直线的距离与半径长相等．求圆C的方程． 10．（23-24高一下·四川成都·期中）已知以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O､B，其中O为坐标原点. (1)试写出圆C的标准方程（含表示）； (2)求证：的面积为定值； (3)设直线与圆C交于M，N两点，若，求圆C的标准方程. 【经典计算题二 求圆的一般方程】 11．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知在中，AB边所在直线的方程为，AC边所在直线的方程为，AC边上的中线所在直线的方程为． (1)求C点的坐标； (2)求的外接圆方程． 12．（23-24高二上·安徽宿州·期中）已知的三个顶点分别为． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求外接圆的方程． 13．（23-24高二上·山西大同·期中）在中，已知. (1)求外接圆的一般方程； (2)求边上的高所在的直线与边上的中线所在直线的交点坐标. 14．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与轴交于点，直线与交于点B，点在轴的正半轴上，且，求外接圆的方程． 15．（22-23高二下·安徽·开学考试）已知直线过点，且与轴分别交于点，为等腰直角三角形． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，点在轴负半轴，求过，，三点的圆的一般方程． 16．（22-23高二上·河南平顶山·期中）已知圆过点、、． (1)求圆的方程； (2)过直线上一点可作圆的两条切线、，切点分别为、，且，求点的坐标． 17．（23-24高二·全国·课后作业）根据下列条件，求圆的方程： (1)圆经过，两点，且圆心在直线上； (2)圆经过，，三点. 18．（23-24高二上·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，、、． (1)求的面积； (2)判断、、、四点是否在同一个圆上？并说明理由． 19．（24-25高二上·湖南·期中）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（-2，3），C（-1，-2），求： (1)AC边上的中线所在直线的方程； (2)△ABC的外接圆的方程. 20．（23-24高二上·河南濮阳·阶段练习）已知圆C过点A(3，-2)，B(-3，6). (1)求周长最小时圆C的标准方程； (2)求圆心C在直线x-5y-1=0上时圆C的一般方程. 【经典计算题三 定点到圆上点的最值(范围)】 21．（23-24高二上·湖南·期中）若圆的圆心在上，且圆与直线切于点． (1)求圆的标准方程； (2)已知点，，若为圆上任意一点，求的最大值并求出取得最大值时点的坐标． 22．（23-24高二上·甘肃武威·期中）已知某圆的圆心在直线上，且该圆过点，半径为，直线l的方程为． (1)求此圆的标准方程； (2)若直线l过定点A，点B，C在此圆上，且，求的取值范围． 23．（23-24高二上·甘肃临夏·期中）已知圆C经过两点，圆心C在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)求的取值范围. 24．（22-23高二·全国·课后作业）平面上有两点，点P在圆周上，求的最大值、最小值及对应点P的坐标． 25．（22-23高二上·北京怀柔·期中）已知圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)设点，动点在圆上，求的最大值和最小值． 26．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心C在第一象限，直线截圆C所得的弦长为，直线平分圆的周长. (1)求圆C的方程； (2)已知，，若P在圆C上，求的最小值，及此时点P的坐标. 27．（23-24高一下·陕西延安·阶段练习）已知圆及点. (1)若点在圆上，求直线的斜率. (2)若是圆上任一点，求的取值范围. (3)若点在圆上，求的最大值与最小值. 28．（2024高二上·全国·专题练习）已知点和，圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)点是圆上任意一点，在轴上求出一点（异于点使得点到点与的距离之比为定值，并求的最小值． 29．（23-24高二上·广东揭阳·期中）如图所示，、分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线，其中为、的交点.若、两点分别为该市1路公交车的起点站和终点站，且、之间的公交线路是圆心在上的一段圆弧，站点到直线、的距离分别为和，站点到直线、的距离分别为和. (1)建立适当的坐标系，求公交线路所在圆弧的方程； (2)为了丰富市民的业余生活，市政府决定在主干道上选址建一游乐场，考虑到城市民居集中区域问题和环境问题，要求游乐场地址（注：地址视为一个点，设为点）在点上方，且点到点的距离大于且小于，并要求公交线路（即圆弧）上任意一点到游乐场的距离不小于，求游乐场C距点距离的最大值. 30．（23-24高二上·河北唐山·阶段练习）已知圆过点，且与直线相切于点. （1）求圆的方程； （2）平面上有两点，，点P是圆C上的动点，求的最小值. 【经典计算题四 点与圆的位置关系求参数】 31．（24-25高二上·福建泉州·期中）如图，已知某市穿城公路自西向东到达市中心O后转向正北方向，，在公路段上距离市中心O点处有一古建筑C（视为点），现设立一个以C为圆心，为半径的圆形保护区E，并准备修建一条直线型高架公路L，在上设出入口A，在上设出入口B，满足且直线与圆E相切.    (1)若将出入口A设计在距离中心O点处，求R； (2)若点B到该圆上任意一点的距离均不少于，则如何设置出入口B，才能使该圆形保护区的半径R最小. 32．（24-25高一上·陕西宝鸡·期末）已知圆和直线相切于点. (1)求圆的标准方程及直线的一般式方程； (2)已知直线经过点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程． 33．（2024高二·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，Q为第一象限内一点，QA垂直于x轴，QB垂直于射线OM，垂足分别为A，B，且，，． (1)求OQ的值； (2)已知圆C通过四点， ①圆C的方程； ②设P是圆C上的任意一点，在x轴及射线OM上是否分别存在定点E，F，使为定值？若存在，指出定点的位置；若不存在，请说明理由． 34．（23-24高二·全国·课后作业）已知点及圆. (1)若点在圆C内部，求实数a的取值范围； (2)当时，求线段PC的垂直平分线所在直线的方程. 35．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知直线与圆相交于两点，弦的中点为 （1）求实数的取值范围以及直线的方程; （2）若以为直径的圆过原点，求圆的方程． 36．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知点在圆 上，点关于直线的对称点在圆内. (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)求实数的取值范围. 37．（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）已知过点的圆的圆心在直线上，且与轴相切． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且被圆截得的弦长为的直线的方程． 38．（23-24高二上·四川遂宁·阶段练习）已知圆心为的圆经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)已知在圆C外，求的取值范围. 39．（24-25高二上·广东广州·期中）小岛A处东偏南角方向的海面P处生成一个台风，台风侵袭的范围为半径圆形区域，并以h的速度不断增大．该台风以h的速度向西偏北方向移动． (1)10小时后，该台风是否开始侵袭小岛？说明理由； (2)一艘渔船在生成台风8小时后到达小岛躲避台风，渔船需在小岛停留多长时间才能离开小岛？ 40．（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）在平面直角坐标系中，已知的方程为，平面内两定点、．当的半径取最小值时： (1)求出此时的值，并写出的标准方程； (2)在轴上是否存在异于点的另外一个点，使得对于上任意一点，总有为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明你的理由； (3)在第（2）问的条件下，求的取值范围． 【经典计算题五 由直线与圆的位置关系求参数】 41．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知圆，直线，的顶点在直线上，顶点都在圆上，且边过圆心，．求点横坐标的取值范围． 42．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆M的方程； (2)一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，求反射光线所在的直线方程． 43．（24-25高二上·福建厦门·期末）已知圆C的一条直径的端点分别为，． (1)求圆C的标准方程； (2)直线l：与圆C相切于点A，交y轴于点B，求． 44．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知圆C关于直线对称，且两点，在圆C上. (1)求圆C的标准方程; (2)直线l经过点，且与圆C交于A，B两点.若的面积为，求直线l的方程. 45．（24-25高二上·吉林·期中）已知圆的圆心在直线上，且过点，与直线相切. (1)求圆的标准方程； (2)设直线：（）与圆相交于不同两点，求实数的取值范围. 46．（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）已知圆C的圆心在直线上，且经过点和点． (1)求圆C的标准方程； (2)一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆C相切，求反射后的光线所在直线的方程． 47．（24-25高二上·江西南昌·期末）已知点和圆：. (1)求经过点的圆的切线方程； (2)若是圆上一动点，求的取值范围. 48．（24-25高二上·广东·期中）定义：是圆外一点，过点所作的圆的两条切线（为切点）相互垂直，记圆经过点，则称为圆的“伴随点”，圆为“伴随圆”.已知为坐标原点，圆为圆的“伴随点”，圆为“伴随圆”. (1)求点所在曲线的方程. (2)已知点的横坐标为6，且位于第一象限. （i）求圆的方程； （ii）已知为过点所作的圆的两条切线的切点，直线与轴分别交于点，过点且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，若，求的方程. 49．（24-25高二上·四川成都·期中）彭塞列定理是解析几何中与曲线的切线有关的著名定理．当曲线是圆时，有如下结论：C1和C2是两个圆（C2内含于C1），过C1上一点P0作C2的切线，交C1于另一点P1，再过P1作C2的另一条切线，交C1于另一点P2；如此反复，得到C1上的一系列点Pi（i = 0，1，2，…）．如果有自然数n≥3，使得Pn = P0，则对于C1上任一点Q0，按上述方式得到Q1，Q2，…，Qn，也有Qn = Q0．下面分别是n = 3和n = 4的图示． 已知圆C1：x2 + y2 = 4，C2：．解答下列问题： (1)在C1上取点作圆C2的两条切线，与C1分别交于A，B两点．判断直线AB与圆C2的位置关系并证明； (2)取C1上的点Q（x0，y0）作圆C2的两条切线，且两切线互相垂直． （i）求出满足条件的点Q的坐标； （ii）若两切线与圆C1分别交于点M，N，猜想直线MN与圆C2的位置关系，并运用彭塞列定理进行说明． 50．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知圆，过点的直线与相切，切点在第一象限，在轴上的射影为点. (1)求的坐标； (2)过且斜率不为零的另一条直线与交于两点，在线段上. ①若，求的坐标及线段的长； ②设为线段的中点，直线交直线于点，证明：与轴平行. 【经典计算题六 直线与圆的位置关系求距离的最值】 51．（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆被轴截得的弦长为，点是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和． (1)求的值； (2)求四边形面积的最小值． 52．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆C经过，且圆心在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)已知斜率为直线l经过第三象限，且与圆C交于点M，N，求的面积的取值范围. 53．（2024高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 54．（22-23高二上·全国·期中）已知圆过，，三点. (1)求圆的标准方程； (2)若点在圆上运动，求的最大值. 55．（23-24高二上·山西吕梁·期中）已知圆． (1)若直线过点且与圆相切，求直线的方程； (2)设直线与圆相交于，两点，点为圆上异于，的动点，求的面积的最大值． 56．（22-23高二·全国·课后作业）若点在圆上运动，求： (1)的最大值； (2)的最值． 57．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆交于点B，D，求的面积的取值范围； (3)若直线过点，且与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为与：的交点为，求证：为定值． 58．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）已知定点，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)设，过点作与轴不重合的直线交曲线于、两点． （i）过点作与直线垂直的直线交曲线于、两点，求四边形面积的最大值； （ii）设曲线与轴交于、两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 59．（23-24高二上·湖南·阶段练习）如图，已知圆，为直线上一动点，为坐标原点，过点作圆的两条切线，切点分别为，.    (1)证明直线过定点，并求出定点的坐标； (2)求线段中点的轨迹方程； (3)若两条切线，与轴分别交于点，，求的最小值. 60．（22-23高二上·河南郑州·阶段练习）已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，求直线的方程. 【经典计算题七 求直线与圆交点的坐标】 61．（2024高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆和直线（其中和均为常数，且），为l上一动点，为圆与轴的两个交点，直线与圆的另一个交点分别为. (1)若，M点的坐标为,求直线方程； (2)求证：直线过定点，并求定点的坐标． 62．（22-23高二·全国·课堂例题）求经过直线与圆的交点，且经过点的圆的方程． 63．（22-23高二上·广西钦州·期末）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点. (1)求圆心为，过A，B两点的圆D的方程； (2)求经过点A和点B且面积最小的圆的方程. 64．（24-25高二上·安徽芜湖·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，圆经过点，及.斜率为的直线经过点. （1）求圆的标准方程； （2）当时，过直线上的一点向圆引一条切线，切点为，且满足，求点的坐标. 65．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知，，圆的圆心在直线：上，圆与直线相切，线段为圆与圆的公共弦. (1)求圆与圆的方程； (2)若直线：与圆、圆交于非原点的点，，求证：以线段为直径的圆恒过定点. 66．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知点A是圆C：与y轴的公共点，点B是圆C上到x轴距离最大的点． (1)求直线的方程； (2)求经过A，B两点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 67．（22-23高二上·甘肃庆阳·期末）已知直线和直线相交于点P，O是坐标原点，直线经过点P且与OP垂直． (1)求直线的方程； (2)求以O点为圆心10为半径的圆与直线的交点Q的坐标． 68．（22-23高二上·江苏南京·期中）已知圆M过原点O，圆心M在直线上，直线与圆M相切. (1)求圆M的方程； (2)过点的直线l交圆M于A，B两点.若A为线段PB的中点，求直线l的方程. 69．（2023高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围； (2)求圆C的方程； (3)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论. 70．（24-25高二上·广东·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，其中一发现可表述为“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.如平面内动点到两个定点，的距离之比为定值2，则点的轨迹就是阿氏圆，记为. (1)求的方程； (2)若与轴分别交于E，F两点，不在轴上的点是直线上的动点，直线HE，HF与的另一个交点分别为，，证明直线MN经过定点，并求出该定点的坐标. 【经典计算题八 已知切线求参数】 71．（24-25高二上·云南·期中）已知直线，圆. (1)若直线与圆相切，求的值； (2)记圆的圆心为，若直线与圆交于，两点，为等边三角形，求的值. 72．（24-25高二上·浙江台州·阶段练习）已知半径为2的圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程. (2)已知，P为圆上任意一点，在y轴上找出定点B（异于点A），使得为定值，不需证明.. (3)在（2）的条件下，若点，试求 的最小值. 73．（23-24高二上·福建漳州·阶段练习）已知直线l：与圆C：相切. (1)求实数a的值； (2)已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程. 74．（22-23高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆与直线有公共点． (1)求圆C的最小半径，并写出此时圆C的方程； (2)若直线l与（1）中的圆C相切，求m的值． 75．（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）已知圆C与直线相切于点，且与直线也相切. (1)求圆C的方程； (2)若直线与圆C交于A，B两点，且，求实数m的范围. 76．（23-24高二上·福建三明·期中）已知以点为圆心的圆与直线相切． (1)求圆C的方程； (2)过点的作圆C的切线，求切线方程． 77．（23-24高二下·浙江金华·期末）已知圆，直线，为直线上一动点，为坐标原点 (1)若直线交圆于两点，且，求实数的值； (2)若，过点作圆的切线，切点为，求的最小值． 78．（24-25高二上·福建厦门·期中）平面直角坐标系中，圆经过直线与的交点，且过点，圆心在直线上 (1)求圆的方程； (2)若，直线上有且仅有一点A满足：过点A作圆的两条切线、，切点分别为，，且使得四边形为正方形，求的值. 79．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴的非负半轴上. (1)求圆的方程； (2)设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程. 80．（22-23高二上·湖北孝感·期末）已知圆心在轴上的圆与直线切于点. (1)求圆的标准方程； (2)已知，经过原点且斜率为正数的直线与圆交于，.求的最大值． 【经典计算题九 已知圆的弦长求方程或参数】 81．（24-25高一下·四川内江·开学考试）已知的圆心在y轴上，且经过点和 (1)求的标准方程； (2)过点的直线l与交于A，B两点.若，求直线l的方程. 82．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知圆，直线：. (1)当为何值时，直线与圆相切； (2)当直线与圆相交于两点，且时，求直线的方程. 83．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若过定点的直线被圆所截得的弦长为6，求直线的方程. 84．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知圆经过点，，半径为5． (1)求圆的标准方程； (2)当位于轴右侧时，若直线经过点，且与圆交于，两点，且，求的方程． 85．（24-25高二下·湖南·开学考试）已知圆关于轴对称且经过点和． (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆交于，两点；若，求直线的方程． 86．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心为C的圆经过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程． 87．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知圆C关于y轴对称且经过点和． (1)求圆C的标准方程； (2)过点的直线l与圆C交于A，B两点；若，求直线l的方程． 88．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知直线被圆：截得的弦长为，且. (1)求圆的方程； (2)已知直线的方程为、直线的方程为和直线的方程为，且圆是的内切圆，令的面积，求的解析式. 89．（24-25高二上·四川遂宁·期中）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； (3)过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值. 90．（23-24高二上·全国·期末）设为实数，直线和圆相交于，两点. (1)若，求的值； (2)若点在以为直径的圆外（其中为坐标原点），求实数的取值范围. 【经典计算题十 由圆的位置关系确定参数或范围】 91．（2025高三·全国·专题练习）已知圆，圆，动点，到两圆的切线长分别相等，且，点在圆上，点在圆上，求四边形面积的最小值和最大值． 92．（24-25高二上·陕西榆林·期末）设，，，，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中的三个点． (1)求圆Q的方程； (2)若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围． 93．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知点，，是平面内的一个动点，且，点为坐标原点. (1)求动点的轨迹方程； (2)圆与只有一个公共点，求的值. 94．（24-25高二上·山西晋城·期中）已知圆的圆心在直线：上，且圆与两坐标轴都相切，圆：． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆相切，求的值． 95．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知圆：和圆：． (1)若圆与圆相交，求r的取值范围； (2)若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值． 96．（23-24高二上·湖北荆门·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆C的半径为1，圆心在l上． (1)若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； (2)若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a的取值范围． 97．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆及圆内一点，P为圆M上的动点，以P为圆心，PA为半径的圆P． (1)当且P在第一象限时，求圆P的方程； (2)若圆P与圆恒有公共点，求r的取值范围． 98．（22-23高二上·河南·阶段练习）已知圆与圆相切． (1)求圆的半径； (2)若圆与圆相内切， 设圆与轴的负半轴的交点为， 过点作两条斜率之积为-3的直线， 分别交圆于两点， 求点到直线距离的最大值． 99．（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆：与圆：. (1)若圆与圆有公共点，求正实数的取值范围； (2)求过点且与圆相切的直线的方程； (3)当时，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 100．（23-24高一下·福建三明·阶段练习）已知，，，记的外接圆为． (1)求的方程． (2)对于线段上的任意一点，是否存在以为圆心的圆，在圆上总能找到不同的两点，满足，若存在，求圆的半径的取值范围；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$