精品解析：河北省张家口市NT20名校联合体2025-2026学年高二上学期入学摸底考试数学试题

NT20名校联合体高二年级入学摸底考试 数学 考试说明： 1.本试卷共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘法运算规则，计算结果即可. 【详解】. 故选：D 2. 某学校有高中学生3000人，初中学生2000人.学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用等比例分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查.已知在初中学生中随机抽取了200人，则在高中学生中抽取了（ ） A. 150人 B. 200人 C. 300人 D. 500人 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽样比即可求解. 【详解】因为初中学生2000人抽取了200人，所以抽样比为，所以高中生抽取了人. 故选：C. 3. 在中，满足，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合余弦定理可得，即可得结果. 【详解】因为，即， 所以，且，所以. 故选：A 4. 已知向量，满足，，，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的模和向量的数量积的知识进行求解即可. 【详解】∵， ∴， ∴. 故选：A. 5. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件，“出现的点数大于4”为事件，则下述正确的是（ ） A. 与对立 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 【答案】C 【解析】 【分析】抛掷一枚骰子的所有可能结果是：；事件A包含的结果是：；事件B包含的结果是：，由对立互斥独立的概念逐一判断各个选项即可求解. 【详解】抛掷一枚骰子的所有可能结果是：； 事件A包含的结果是：； 事件B包含的结果是：. 因为未包含所有可能结果（如1，3没包含在内），A与B不对立，故A错误； 因为，A与B不互斥，故B错误； 因为，， 因此A与B相互独立，故C正确； ，，， 而，故D错误. 故选：C. 6. 已知函数的周期为4π，且在上单调递增，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图象可判断A,B,C；由定义域可判断D. 【详解】对于A：，结合余弦函数图象知，时，单调递减，故A错误； 对于B：，，时，，结合正弦函数图象知，单调递增，故B正确； 对于C：，，周期为，时，，结合余弦函数图象知，在上单调递减，故C错误； 对于D：，时，函数无意义，所以在上不单调，故D错误； 故选：B. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解. 【详解】由，得，解得， 故. 故选：B. 8. 如图，在长方体中，，，点分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用过点作平面的平行平面，从而可得点的轨迹为线段，即可计算长度，得出结果. 【详解】 在长方体中，取，的中点，，连接，，， 由点为的中点，得，，则四边形是平行四边形， 所以， 又，，则四边形是平行四边形， 于是， 取中点E，在上取点F，使得，连接，，， 而，则四边形为平行四边形，， 而平面，平面， 于是平面， 由为的中点，E为中点，得， 而平面，平面，则平面， 又，平面， 因此平面平面， 又由直线平面，点平面， 则点在平面与平面的交线上， 从而点的轨迹就是线段， 而， 所以点的轨迹长度为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为 B. 若，则的值为 C. 若，则与的夹角为锐角 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由向量垂直得数量积为0从而列方程验算即可；对于B，由向量平行的充要条件列方程即可；对于C，由数量积大于0且不共线即可说明C正确；对于D，由条件求得，再举反例说明D错误即可. 【详解】若，则，解得，故A正确； 若，则，解得，故B错误； 当时，，由B知此时与不共线，所以与的夹角为锐角，故C正确； 若，则，即，即，解得， 当时，，，，，显然，故D错误. 故选：AC. 10. 如图，圆锥的底面半径为4，高为，过靠近的四等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（ ） A. 挖去圆柱的体积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 剩下几何体的表面积为 D. 圆锥母线与底面所成的角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用勾股定理可求圆锥的母线长，根据比例关系可得挖去圆柱的半径和高，逐项求解即可. 【详解】如图所示，因为为的四等分点，所以，， 对于A，挖去的圆柱的体积，故A错误； 对于B，圆锥母线长，所以圆锥的侧面积 ，故B正确； 对于C，圆柱的侧面积，剩下几何体的表面积 ，故C正确； 对于D，因为圆锥的底面半径为4，母线长， 则，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，，且有两解，则b的取值范围是 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，则的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，可得，求出b的范围，可判断A的正误；在锐角中，角A，的大小都不确定，即可判断B的正误；化简计算，根据二倍角的正弦公式，即可判断C的正误；根据余弦定理，结合均值不等式，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：如图，因为有两解，所以，解得，故A正确； 选项B：在锐角中，角A，的大小都不确定，和的大小也无法确定，故B错误； 选项C：因为， 所以，即， 所以或，即或， 故为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 选项D：由余弦定理得， 所以，即， 解得， 当且仅当时取等号，此时的最大值为，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知A，B两个事件相互独立，且，，则______. 【答案】0.42## 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式即可求解. 【详解】因为A，B相互独立，所以. 故答案为： 13. 某中学举行数学解题比赛，其中6人的比赛成绩分别为：，则这6人成绩的分位数与极差之和是______. 【答案】 【解析】 【分析】先对给定6人比赛成绩从小到大排序，利用百分位数和极差计算公式求解. 【详解】将6个数据从小到大排列为， 因为，所以这6人成绩的分位数是， 极差为， 所以分位数与极差之和是. 故答案为：. 14. 如图，在中，已知，，是线段与的交点，若，则的值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由A，P，D和B，P，E三点共线及平面向量基本定理即可得出. 【详解】由A，P，D三点共线，设，由得， 故， 由得， 故，——① 再由B，P，E三点共线，设， 所以，即——② 由①②及向量与不共线，由平面向量基本定理，得，解得. 故得 又，故，， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某市环保部门为了监测某条河流的水质情况，连续30天测量了河流的PH值，整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计这30天河流PH值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若PH值低于6.5的称为“酸性超标日”，其中PH值在的称为“轻度超标日”，PH值在的称为“重度超标日”.环保部门决定采用分层抽样的方法从“酸性超标日”中抽取3天，并从这3天中随机选择2天进行水质复检，求这2天都是“轻度超标日”的概率. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中概率之和等于1，可求出，平均数可利用同一组中的数据用该组区间的中点值和频率的乘积之和求解; （2）求出样本空间，再结合古典概型计算公式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以. 平均值： 【小问2详解】 抽取的3天中，“轻度超标日”有2天，记为a，b，“重度超标日”有1天，记为A， 样本空间， 设事件B为这2天都是“轻度超标日”，则. 因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型. 所以. 16. 如图，正三棱柱中，，点是的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求这个三棱柱的侧棱长. 【答案】（1）证明：连接，交于点N，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点， 又点是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点N，连接，易得，由线面平行的判定定理得证； （2）由三棱锥体积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为等边三角形，是的中点，所以， 又，故， 因为平面， 设，则， 所以，即，解得， 故这个三棱柱的侧棱长为3. 17. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. （1）求角B的大小； （2）若，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得结果； （2）根据数量积的定义结合余弦定理可得，，联立求得边a，进而可得面积. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 又因为，则， 可得， 因为，则， 可得， 显然，则，所以. 【小问2详解】 因为，且且， 可得，即①. 又因为，可得②. 联立①②可得，解得或（负根舍去）， 所以的面积为. 18. 在中，角A、B、C所对的边分别为.已知，，，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得； （2）由正弦定理及平方关系可得； （3）由二倍角公式及两角和与差的公式可得. 【小问1详解】 因为，即， 解得或，因为，所以. 【小问2详解】 因为，由（1）得，且， 因为，所以. 由正弦定理，所以， 因为，所以，，. 【小问3详解】 由（2）得，， 故. 19. 如图，三棱柱中，，且，延长到，使，连接，，. （1）证明：； （2）求四棱锥的体积； （3）求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，，可得，可得，，利用线面垂直的判定定理可证平面，得证； （2）过作于点，过作于点，连接，易证平面平面，可得平面，利用等体积转换可得，运算得解； （3）法1，易证平面，直线与平面所成的角即直线与直线所成角的余角，运算得解；法2，由题可得平面，点到平面的距离等于点到平面的距离，也就是点到平面的距离的，运算得解. 【小问1详解】 连接，因为，，所以. 同理，取中点，连接，， 由等腰三角形三线合一，得，. 又，平面，平面， 所以平面，平面，所以. 因为，所以. 【小问2详解】 如图，过作于点，过作于点，连接. 由（1）已证得平面，且平面，所以平面平面， 又因为两平面交线为，且，所以平面，所以， 又因为，，所以平面，所以. 因为，，所以，，所以. 所以. 【小问3详解】 法一：依题意，可知点在以为直径的圆上，所以. 由（1），，所以， 又，平面，平面， 所以平面，为平面的一个法向量. 直线与平面所成的角即直线与直线所成角的余角. 因为由（1）知，，所以为正三角形，故. 故直线与平面所成的角为30°. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 法二：依题意，可知点在以为直径的圆上，所以. 由（1），，所以， 又，平面，平面，所以平面. 又，平面，平面，所以平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离，也就是点到平面的距离的， 因为，所以点到平面的距离为. 由（2）知为正三角形，，直线与平面所成角的正弦值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ NT20名校联合体高二年级入学摸底考试 数学 考试说明： 1.本试卷共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（ ） A. B. C. D. 2. 某学校有高中学生3000人，初中学生2000人.学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用等比例分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查.已知在初中学生中随机抽取了200人，则在高中学生中抽取了（ ） A. 150人 B. 200人 C. 300人 D. 500人 3. 在中，满足，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 已知向量，满足，，，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. -2 5. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件，“出现的点数大于4”为事件，则下述正确的是（ ） A. 与对立 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 6. 已知函数的周期为4π，且在上单调递增，则可以是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长方体中，，，点分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为 B. 若，则的值为 C. 若，则与的夹角为锐角 D. 若，则 10. 如图，圆锥的底面半径为4，高为，过靠近的四等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（ ） A. 挖去圆柱的体积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 剩下几何体的表面积为 D. 圆锥母线与底面所成的角的余弦值为 11. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，，且有两解，则b的取值范围是 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知A，B两个事件相互独立，且，，则______. 13. 某中学举行数学解题比赛，其中6人的比赛成绩分别为：，则这6人成绩的分位数与极差之和是______. 14. 如图，在中，已知，，是线段与的交点，若，则的值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某市环保部门为了监测某条河流的水质情况，连续30天测量了河流的PH值，整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计这30天河流PH值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若PH值低于6.5的称为“酸性超标日”，其中PH值在的称为“轻度超标日”，PH值在的称为“重度超标日”.环保部门决定采用分层抽样的方法从“酸性超标日”中抽取3天，并从这3天中随机选择2天进行水质复检，求这2天都是“轻度超标日”的概率. 16. 如图，正三棱柱中，，点是的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求这个三棱柱的侧棱长. 17. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. （1）求角B的大小； （2）若，且，求的面积. 18. 在中，角A、B、C所对的边分别为.已知，，，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 19. 如图，三棱柱中，，且，延长到，使，连接，，. （1）证明：； （2）求四棱锥的体积； （3）求直线与平面所成的角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $