2.1等式性质和不等式性质讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式 ❊2.1 等式性质和不等式性质 思维导图 题型精析 一．等式性质 内容 性质1 如果a=b，那么b=a 性质2 如果a=b，b=c，那么a=c 性质3 如果a=b，那么a±c=b±c 性质4 如果a=b，那么ac=bc 性质5 如果a=b，c≠0，那么 二．不等式性质 内容 性质1 如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b 性质2 如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b 性质3 如果a>b，那么a＋c>b＋c 性质4 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc 性质5 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d 性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd 性质7 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2) 题型一 列不等式（组） 某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 .例1 【答案】 【分析】根据题意列式即可. 【详解】由题意得，即. 故答案为：. 在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（ ）变1 A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【答案】C 【分析】人跑开的路程应大于100米，可得结论. 【详解】导火线燃烧的时间为s，人在这段时间跑的路程为4×m． 由题意可得4×＞100. 故选：C. 为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来．变2 【答案】答案见解析 【分析】由题意列不等式组即可． 【详解】组建中型图书角x个，则组建小型图书角个， 由题意得 题型二 判断不等式是否成立 下列命题是真命题的是（ ）例1 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】举例说明判断ABC；作差推理判断D. 【详解】对于A，取，则，，此时，A错误； 对于B，取，则，，此时，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，由，得，， 因此，即，D正确. 故选：D （多选）已知，下列各式一定成立的是（ ）例2 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】应用不等式性质及所给条件依次判断各项的正误. 【详解】因为，不等式两边同乘，不等号改变方向，所以， 又，所以，A正确； 因为，所以，所以，B正确； 因为，所以， 由等价于，由题中条件无法得到此式， 例如取，则，C错误； 因为，所以，所以， 所以，又，所以，D正确． 故选：ABD 已知且，则下列不等式一定成立的是（ ）变1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质判断D；举例说明即可判断ABC. 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，但不成立，故B错误； C：当时，，故C错误； D：由，得，故D正确. 故选：D （多选）下列选项正确的是（ ）变2 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】A选项，利用立方根的性质可得A正确；BC选项，可根据不等式的性质进行推理，D选项可举出反例. 【详解】A选项，若，则，A正确； B选项，因为，所以，B正确； C选项，因为，所以由倒数法则得， 因为，由不等式性质（同向同正可乘性）知，C正确； D选项，举反例：当时，满足，， 此时，则，D错误. 故选：ABC 三．比较大小的方法 内容 方法1 1.方法：作差法； 2.步骤：作差→变形→判断与0的大小. 方法2 1.方法：作商法（作商法只能用于同号两式的大小比较）； 2.步骤：作商→变形→判断与1的大小. 题型三 比较大小 设，，则M与的大小关系为（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作差得的表达式，化简可得结果. 【详解】因为，所以 故选：D 设， ，则有（ ）变1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作差法判断两式大小. 【详解】，∴. 故选：A. 若，设，则的大小关系是 ．（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空）例2 【答案】＞； 【分析】利用作差法求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以 ， ， 则，即， 故答案为：＞ 若，设，，则M，N的大小关系是 ．变2 【答案】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】， 因为，所以，，所以， 所以. 故答案为： 已知，试比较和的大小.例3 【答案】 【解析】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 已知c＞1，且，，则x，y之间的大小关系是（ ）变3 A．x＞y B．x=y C．x＜y D．不能确定 【答案】C 【解析】由题设，易知x，y＞0，又，∴x＜y.故选：C. 四．利用不等式的性质求范围的方法 内容 方法 若a<x<b，m<y<n，则a+m<x+y<b+n；a-n<x-y<b-m. 【注意】1.不能多次使用不等式转化范围，这样可能扩大其取值范围； 2.不能通过分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围（范围会扩大）． 题型四 利用不等式的性质求范围 解决下列问题：例1 （1）已知，，求的取值范围； （2）已知，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由不等式性质可解决问题； （2）由待定系数法结合不等式性质可得答案； （3）由作差法结合条件可比较大小. 【详解】（1）因，，则， 则； （2）设. 则.， 则； （多选）若实数a，b满足，，则下列说法正确的有（ ）例2 A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断AB；求得，然后利用不等式的性质判断CD； 【详解】由，两式相加得，即，故A正确； 由，得，又，两式相加得，即，故B正确； 设， 所以，解得，则， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即，故C正确，D错误. 故选：ABC. （多选）已知实数满足，则（ ）变1 A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】AB选项，利用不等式的性质直接进行求解；CD选项，先利用表达出和，结合求出答案. 【详解】A选项，，相加得，故，A正确； B选项，，相加得，故，B正确； C选项，设， 故，解得，所以， 故，相加得， 即，C错误； D选项，设， 故，解得，故， ， 相加得，，D错误. 故选：AB 已知实数满足，则的取值范围是（ ）变2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，得到，求得，得到，即可求解. 【详解】令，联立方程组，解得 ， 则， 因为，可得， 所以，所以，即. 故选：B. 课后强化 1.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为xm．试用不等式表示其中的不等关系． 【答案】 【分析】根据题意可得，以及菜园面积，即可得不等关系. 【详解】由于矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18m， 则，菜园的另一条边长为． 可得菜园面积， 依题意有，即， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为. 2.（多选）火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用A、B两种型号的货箱共节运送这批货物．已知吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排A、B两种货箱的节数，下列哪些方案满足（ ） A．A货箱节，B货箱节 B．A货箱节，B货箱节 C．A货箱节，B货箱节 D．A货箱节，B货箱节 【答案】ABD 【分析】设安排种型号的车厢节，种型号的车厢节，根据题意列出、满足的约束条件，求出的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：设安排种型号的车厢节，种型号的车厢节， 则，则，解得， ，解得，所以，， 则或或，共种方案． 故选：ABD． 3.（多选）下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】取特值可判断A；由不等式的性质可判断B，C，D. 【详解】对于A，当时，不等式不成立，故A是假命题； 对于B，若，则，，所以，故B是真命题； 对于C，若，则， 所以，故C是假命题； 对于D，若，则成立，故D是真命题. 故选：BD. 4.（多选）对于实数、、，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用作差法可判断AD选项；利用不等式的基本性质可判断BC选项. 【详解】对于A选项，因为，则，故，A错； 对于B选项，若，则，由不等式的基本性质可得，B对； 对于C选项，若，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，若，则， 所以，D对. 故选：BCD. 5.已知，则．（用“>”或“<”填空） 【答案】> 6.已知实数满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一：利用待定系数法，结合不等式的基本性质可求得的取值范围. 方法二：利用双换元法，结合不等式的性质求得正确答案. 【详解】方法一：设，则， 所以解得即， 因为则 因此． 方法二：设，则， 所以， 又因为，所以， 因此． 故选：D 7.（1）已知，，求的取值范围； （2）比较两个代数式与的大小； （3）若2，4，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）；(3) 【分析】（1）由不等式的性质即可求解； （2）根据作差法比较大小即可； （2）由不等式的性质即可求解. 【详解】（1）因为，，所以，所以. （2）， . （3）若2，4，则， 所以. 8.（1）若，试比较与的大小； （2）已知，，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由作差法代入计算，即可判断； （2）由待定系数法可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为， 所以； （2）设， 则，解得， 所以， 因为，则， 所以，即. 9.（多选）已知实数a，b满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据不等式的性质，判断AB，再根据凑配法，利用和表示和，再结合不等式的性质，即可求范围. 【详解】由条件可知，，两式相加得，即，故A正确； 由条件可知，，，两式相加得，得，故B正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故C正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故C正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故D错误. 故选：ABC 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 5 页 第二章 一元二次函数、方程和不等式 ❊2.1 等式性质和不等式性质 思维导图 题型精析 一．等式性质 内容 性质 1 如果 a=b，那么 b=a 性质 2 如果 a=b，b=c，那么 a=c 性质 3 如果 a=b，那么 a±c=b±c 性质 4 如果 a=b，那么 ac=bc 性质 5 如果 a=b，c≠0，那么 c b c a  二．不等式性质 内容 性质 1 如果 a>b，那么 b<a；如果 b<a，那么 a>b 性质 2 如果 a>b，b>c，那么 a>c，即 a>b 性质 3 如果 a>b，那么 a＋c>b＋c 性质 4 如果 a>b，c>0，那么 ac>bc；如果 a>b，c<0，那么 ac<bc 性质 5 如果 a>b，c>d，那么 a＋c>b＋d 性质 6 如果 a>b>0，c>d>0，那么 ac>bd 第 2 页 共 5 页 性质 7 如果 a>b>0，那么 an>bn(n∈N，n≥2) 题型一 列不等式（组） 例 1 某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过 1000万元的资金购买单价分别为 40 万元、90万元的 A型汽车和 B型汽车，根据需要，A型汽车至少买 5 辆，B型汽车至少买 6 辆，设购买 A 型汽车和 B型汽车分别为 x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 . 变 1 在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是 0.5 cm/s，人跑开的速度为 4 m/s，为了使点燃导火 线的人能够在爆破时跑到 100 m以外的安全区，导火线的长度 x（cm）应满足的不等式为（ ） A．4× 0.5 x ≥100 B．4× 0.5 x ≤100 C．4× 0.5 x ＞100 D．4× 0.5 x ＜100 变 2 为打造“书香校园”，某学校计划用不超过 1900本科技类书籍和 1620本人文类书籍组建中、小型 两类图书角共 30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍 80本，人文类书籍 50本；组建一个小型图书 角需科技类书籍 30本，人文类书籍 60本．设组建中型图书角 x个，用不等式组将题目中的不等关系表示 出来． 题型二 判断不等式是否成立 例 1 下列命题是真命题的是（ ） A．若 ba  ，则 2 2a b B．若 ba  ，则 2 2 1 1 a b  C．若 ba  ，则 2 2ac bc D．若 0a b  ， 0c  ，则 b c b a c a    例 2 （多选）已知 0, 0x y m n    ，下列各式一定成立的是（ ） A． x m y n   B． xm yn C． 1 1 x n y m    D． 2 2 y x m n  变 1 已知 , ,a b cR 且 a b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A． 1 1 a b  B． 2 2a b C． a c b c D． 2 21 1 a b c c    变 2 （多选）下列选项正确的是（ ） A．若 0a b  ，则 3 3a b B．若 ba  ，则 2 2ac bc C．若 0, 0a b d c    ，则 a b c d  D．若 ,a b c d  ，则 a c b d   第 3 页 共 5 页 三．比较大小的方法 内容 方法 1 1.方法：作差法； 2.步骤：作差→变形→判断与 0的大小. 方法 2 1.方法：作商法（作商法只能用于同号两式的大小比较）； 2.步骤：作商→变形→判断与 1的大小. 题型三 比较大小 例 1 设 22 5 3M a a   ，   1 2N a a   ，则 M与 N的大小关系为（ ） A．M N B．M N C．M N D．M N 变 1 设  2 2 7M a a   ，   2 3N a a   ，则有（ ） A．M N B． NM  C．M N D． NM  例 2 若 0 yx ，设      2 2 2 2,M x y x y N x y x y      ，则 ,M N的大小关系是M N．（用 “＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空） 变 2 若 0x y  ，设   2 2M x y x y   ， 2 2N x y xy  ，则 M，N的大小关系是 ． 例 3 已知 1a  ，试比较 1M a a   和 1N a a   的大小. 变 3 已知 c＞1，且 ccx  1 ， 1 ccy ，则 x，y之间的大小关系是（ ） A．x＞y B．x=y C．x＜y D．不能确定 四．利用不等式的性质求范围的方法 内容 方法 若 a<x<b，m<y<n，则 a+m<x+y<b+n；a-n<x-y<b-m. 【注意】1.不能多次使用不等式转化范围，这样可能扩大其取值范围； 2.不能通过分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围（范围会扩大）． 题型四 利用不等式的性质求范围 例 1 解决下列问题： （1）已知 6 8a   ， 2 4b  ，求 2 3a b 的取值范围； （2）已知1 4a b   ， 1 2a b    ，求 2 3a b 的取值范围. 第 4 页 共 5 页 例 2 （多选）若实数 a，b满足 51  ba ， 31  ba ，则下列说法正确的有（ ） A． 40  a B． 31  b C． 10232  ba D． 14236  ba 变 1 （多选）已知实数 ,a b满足 3 2 2, 1 2 4a b a b        ，则（ ） A． 21  a B． 2 1b   C． 2 0a b    D．0 4a b   变 2 已知实数 ,x y满足 4 1, 1 4 5x y x y         ，则 9z x y  的取值范围是（ ） A． 7 26z z   B． 1 20z z   C． 4 15z z  D． 1 15z z  课后强化 1.用一段长为 30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18m，要求菜园的面积不小于 2110m ，设靠墙 的一边长为 xm．试用不等式表示其中的不等关系． 2.（多选）火车站有某公司待运的甲种货物306吨，乙种货物 230吨．现计划用 A、B两种型号的货箱共50节 运送这批货物．已知7吨甲种货物和3吨乙种货物可装满一节A型货箱，5吨甲种货物和7吨乙种货物可装 满一节 B型货箱，据此安排 A、B两种货箱的节数，下列哪些方案满足（ ） A．A货箱 28节，B货箱 22节 B．A货箱 29节，B货箱 21节 C．A货箱 31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱 20节 3.（多选）下列命题为真命题的是（ ） A．若 0 ba ，则 2 2ac bc B．若 0 ba ，则 a ba b b a    C．若 0a b  ，则 2 2a ab b  D．若 0a b  ，则 1 1 a b  4.（多选）对于实数 a、b、 c，下列说法正确的是（ ） A．若 0a b  ，则 ba 11  B．若 2 2ac bc ，则 ba  C．若 ba  0 ，则 2ab a D．若 0c a b   ，则 a a b c c b    5.已知 Rba ， ，则 aabba 24_____25 22  ．（用“>”或“<”填空） 6.已知实数 ,x y满足1 4, 1 2x y x y       ，则 4 2x y 的取值范围是（ ） A． 4 4 2 10x y    B． 3 4 2 6x y    C． 5 4 2 13x y    D． 2 4 2 10x y    第 5 页 共 5 页 7.（1）已知 1 8x   ，5 6y  ，求 2x y 的取值范围； （2）比较两个代数式   2 1 3p p  与   6 3 10p p   的大小； （3）若1 m n   2， 2 m n  4，求 4 2m n 的取值范围. 8.（1）若 xR ，试比较 xx 63 2  与 1624 2  xx 的大小； （2）已知1 4a b   ， 1 2a b    ，求 4 2a b 的取值范围. 9.（多选）已知实数 a，b满足 3 2 2a b    ， 1 2 4   a b ，则（ ） A． 21  a B． 2 1b   C． 2 2a b    D． 42  ba 第二章 一元二次函数、方程和不等式 ❊2.1 等式性质和不等式性质 思维导图 题型精析 一．等式性质 内容 性质1 如果a=b，那么b=a 性质2 如果a=b，b=c，那么a=c 性质3 如果a=b，那么a±c=b±c 性质4 如果a=b，那么ac=bc 性质5 如果a=b，c≠0，那么 二．不等式性质 内容 性质1 如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b 性质2 如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b 性质3 如果a>b，那么a＋c>b＋c 性质4 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc 性质5 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d 性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd 性质7 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2) 题型一 列不等式（组） 某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 .例1 在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（ ）变1 A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来．变2 题型二 判断不等式是否成立 下列命题是真命题的是（ ）例1 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 （多选）已知，下列各式一定成立的是（ ）例2 A． B． C． D． 已知且，则下列不等式一定成立的是（ ）变1 A． B． C． D． （多选）下列选项正确的是（ ）变2 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三．比较大小的方法 内容 方法1 1.方法：作差法； 2.步骤：作差→变形→判断与0的大小. 方法2 1.方法：作商法（作商法只能用于同号两式的大小比较）； 2.步骤：作商→变形→判断与1的大小. 题型三 比较大小 设，，则M与的大小关系为（ ）例1 A． B． C． D． 设， ，则有（ ）变1 A． B． C． D． 若，设，则的大小关系是 ．（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空）例2 若，设，，则M，N的大小关系是 ．变2 已知，试比较和的大小.例3 已知c＞1，且，，则x，y之间的大小关系是（ ）变3 A．x＞y B．x=y C．x＜y D．不能确定 四．利用不等式的性质求范围的方法 内容 方法 若a<x<b，m<y<n，则a+m<x+y<b+n；a-n<x-y<b-m. 【注意】1.不能多次使用不等式转化范围，这样可能扩大其取值范围； 2.不能通过分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围（范围会扩大）． 题型四 利用不等式的性质求范围 解决下列问题：例1 （1）已知，，求的取值范围； （2）已知，，求的取值范围. （多选）若实数a，b满足，，则下列说法正确的有（ ）例2 A． B． C． D． （多选）已知实数满足，则（ ）变1 A． B． C． D． 已知实数满足，则的取值范围是（ ）变2 A． B． C． D． 课后强化 1.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为xm．试用不等式表示其中的不等关系． 2.（多选）火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用A、B两种型号的货箱共节运送这批货物．已知吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排A、B两种货箱的节数，下列哪些方案满足（ ） A．A货箱节，B货箱节 B．A货箱节，B货箱节 C．A货箱节，B货箱节 D．A货箱节，B货箱节 3.（多选）下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4.（多选）对于实数、、，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5.已知，则．（用“>”或“<”填空） 6.已知实数满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7.（1）已知，，求的取值范围； （2）比较两个代数式与的大小； （3）若2，4，求的取值范围. 8.（1）若，试比较与的大小； （2）已知，，求的取值范围. 9.（多选）已知实数a，b满足，，则（ ） A． B． C． D． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$