1.4充分条件与必要条件讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

❊1.4 充分条件与必要条件 思维导图 题型精析 一．充分条件与必要条件 条件 结论 若p⇒q 则p是q的充分条件 若q⇒p 则q是p的充分条件 若p⇒q，且qp 则p是q的充分不必要条件 若pq，且q⇒p 则p是q的必要不充分条件 若p⇔q 则p是q的充要条件 若pq，且qp 则p是q的既不充分也不必要条件 【总结】：“小集合”可以推出“大集合”，“大集合”不能推出“小集合”. 题型一 充分条件与必要条件的判断 已知，则“”是“”的（ ）例1 A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 “”是“”的（ ）例2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 “”是“方程有实数解”的（ ）变1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 “”是“”的（ ）变2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 已知，，则是的（ ）例3 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 已知，且，则是的（ ）变3 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 “”是“”成立的（ ）变4 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二．充分条件与必要条件的选择 条件 方法 充分条件 充分条件选择“子集”. 必要条件 必要条件选择“母集”. 充分不必要条件 充分不必要条件选择“真子集”. 必要不充分条件 必要不充分条件选择与之不相等的“母集”. 题型二 充分条件与必要条件的选择 （多选）“”的一个充分不必要条件可以是（ ）例1 A． B． C． D． “关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）例2 A． B． C． D． （多选）下列是“不等式成立”的必要不充分条件的是（ ）变1 A． B． C． D． 设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（ ）变2 A． B． C． D． 题型三 充要条件的证明 已知，求证：成立的充要条件是．提示：.例1 设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为-1的充要条件是.变1 已知，求证：成立的充要条件是.变2 三．充分条件与必要条件的集合关系 条件 结论 是的充分条件 是的必要条件 是的充分不必要条件 A⫋B 是的必要不充分条件 B⫋A 题型四 充分、必要条件的集合关系 已知集合，．例1 （1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）例2 A． B． C． D． 已知，，且是的充分条件，求实数的取值范围.变1 已知集合，集合．设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围．变2 课后强化 1.“小明是成都人”是“小明是四川人”的（ ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．必要条件 D．既不充分也不必要 3.已知 ，“且”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．必要条件 D．既不充分也不必要 4.是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．必要条件 D．既不充分也不必要 5.设，，则“且”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 6.使“或”成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B．或 C． D．或 7.关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ） A． B． C． D． 8.求证：是△ABC是等边三角形的充要条件.（这里，，是△ABC的三边边长）. 9.已知集合，，． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 10.已知，． （1）若，那么是的什么条件； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ❊1.4 充分条件与必要条件 思维导图 题型精析 一．充分条件与必要条件 条件 结论 若p⇒q 则p是q的充分条件 若q⇒p 则q是p的充分条件 若p⇒q，且qp 则p是q的充分不必要条件 若pq，且q⇒p 则p是q的必要不充分条件 若p⇔q 则p是q的充要条件 若pq，且qp 则p是q的既不充分也不必要条件 【总结】：“小集合”可以推出“大集合”，“大集合”不能推出“小集合”. 题型一 充分条件与必要条件的判断 已知，则“”是“”的（ ）例1 A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由推不出，故充分性不成立； 由推得出，故必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B “”是“”的（ ）例2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A “”是“方程有实数解”的（ ）变1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要性定义，根据条件间的推出关系判断关系即可. 【详解】若，对于有，即方程有实数解，充分性成立； 当时，方程有实数解， 当时，则有实数解，则，可得且，必要性不成立； 所以“”是“方程有实数解”的充分不必要条件. 故选：A 充分不必要条件. 故选：A “”是“”的（ ）变2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 已知，，则是的（ ）例3 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式得，根据与的关系判断p、q的关系. 【详解】因为，所以，能推出，但不能推出，所以是的必要不充分条件. 故选：B 已知，且，则是的（ ）变3 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】当且时，成立，但当时，且不一定成立，如且， 所以，，所以是的必要不充分 “”是“”成立的（ ）变4 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】对充分性和必要性分别给出反例即可. 【详解】当时，有，，但； 当时，有，但. 所以原条件不是充分的也不是必要的. 故选：D. 二．充分条件与必要条件的选择 条件 方法 充分条件 充分条件选择“子集”. 必要条件 必要条件选择“母集”. 充分不必要条件 充分不必要条件选择“真子集”. 必要不充分条件 必要不充分条件选择与之不相等的“母集”. 题型二 充分条件与必要条件的选择 （多选）“”的一个充分不必要条件可以是（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据充分不必要条件逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，“”是“”的一个必要不充分条件，故A错误； 对于B，“”是“”的一个充分不必要条件，故B正确； 对于C，“”是“”的一个充分不必要条件，故C正确； 对于D，“”是“”的一个必要不充分条件，故D错误. 故选：BC. “关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）例2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的根为正实数，求得，即可根据真子集关系求解. 【详解】关于x的方程的根为正实数， 则需满足或，解得， 因此“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件设为， 则， 结合选项可知满足， 故选：B （多选）下列是“不等式成立”的必要不充分条件的是（ ）变1 A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先化简不等式，进而根据集合间的关系求解. 【详解】由可得， 设，则其必要不充分条件对应集合，则有是的真子集， 则BD选项符合． 故选：BD． 设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（ ）变2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 题型三 充要条件的证明 已知，求证：成立的充要条件是．提示：.例1 【答案】证明见解析. 【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可. 【详解】充分性： 若，则， 即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为-1的充要条件是.变1 【答案】答案见解析 【分析】先证明充分性，即由，得是方程的一个根；再证必要性，由是方程的一个根，得. 【详解】证明：①充分性：即证明关于x的方程的系数满足方程有一个根为－1； 由，得， 代入方程得，得， 所以，是方程的一个根. ②必要性：即证明若是方程的根； 将代入方程，即有. 综上由①②可知，故关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 已知，求证：成立的充要条件是.变2 【答案】证明见解析 【分析】先分清命题条件是，结论是，再根据充要条件的定义证明即可. 【详解】先证充分性：因为，所以， 所以 . 再证必要性：因为， 所以，又，所以且， 所以，所以，即. 综上可知，当时，成立的充要条件是. 三．充分条件与必要条件的集合关系 条件 结论 是的充分条件 是的必要条件 是的充分不必要条件 A⫋B 是的必要不充分条件 B⫋A 题型四 充分、必要条件的集合关系 已知集合，．例1 （1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为． 已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）例2 A． B． C． D． 【答案】D 已知，，且是的充分条件，求实数的取值范围.变1 【答案】 【分析】由题意得.根据集合的包含关系，分和两类讨论即可求解. 【详解】由题意得. 当，即时，解得，满足题意； 当，要使，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 已知集合，集合．设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围．变2 【答案】 【分析】由命题是命题的必要不充分条件得集合是集合的真子集，再分、讨论可得答案. 【详解】∵命题是命题的必要不充分条件， ∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，或， 解得， 综上所述，实数的取值范围为． 课后强化 1.“小明是成都人”是“小明是四川人”的（ ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分不必要条件的概念判断即可. 【详解】“小明是成都人”则一定有“小明是四川人”，反之不成立， 所以“小明是成都人”是“小明是四川人”的充分不必要条件. 故选：B 2.已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．必要条件 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的概念直接判断即可. 【详解】当时，，故充分性成立， 当时，或，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件 3.已知 ，“且”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．必要条件 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】由“且”可推出“”， 由“”不能推出“且”，由此可确定选项. 【详解】由“且”可得到“”， 由“”可得同正或同负，不能得到“且”， 故“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4.是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．必要条件 D．既不充分也不必要 【答案】D 【分析】根据反例可判断两者之间的条件关系. 【详解】若，如，满足， 但不满足，充分性不成立； 若，如，满足，但不满足，必要性不成立． 所以是的既不充分也不必要条件． 故选：D. 5.设，，则“且”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由且，根据不等式性质可以知道，故充分性成立； 但是，得不到且， 如且，满足，显然不成立，故必要性不成立； 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 6.使“或”成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据充分不必要条件的判定可得 【详解】各选项中，只有为或的真子集，其余均不为真子集， 故“”是“或”的一个充分不必要条件， 故选:C 7.关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有解可得，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 8.求证：是△ABC是等边三角形的充要条件.（这里，，是△ABC的三边边长）. 【答案】证明见解析 【分析】根据充分性与必要性定义证明即可. 【详解】先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 9.已知集合，，． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据充分不必要条件的性质，得到集合是集合的真子集，从而得到关于实数的不等式组，求解不等式组，即可得到实数的取值范围. （2）根据集合是否为空集进行分类讨论，结合，分别求出实数的取值范围，最后取并集即可. 【详解】（1）已知“”是“”的充分不必要条件，根据充分不必要条件的定义可知集合是集合的真子集. 已知，，则，解得. 故实数的取值范围为. （2）当时，因为，所以，解得，此时成立； 当时，，解得. 因为，，则或，解得或，故此时. 综上，若，则实数的取值范围为. 10.已知，． （1）若，那么是的什么条件； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)必要不充分条件（必要条件也正确） (2) 【分析】（1）根据集合关系判断是的必要不充分条件； （2）根据是的必要不充分条件，得是的真子集， 然后根据集合关系列不等式组求解即可. 【详解】（1）当时，， 显然是的真子集， 所以是的必要不充分条件（注：必要条件也正确）． （2）若是的必要不充分条件， 则是的真子集， 则有或解得， 故实数的取值范围为． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 5 页 ❊1.4 充分条件与必要条件 思维导图 题型精析 一．充分条件与必要条件 条件 结论 若 p⇒q 则 p是 q的充分条件 若 q⇒p 则 q是 p的充分条件 若 p⇒q，且 q⇒/ p 则 p是 q的充分不必要条件 若 p⇒/ q，且 q⇒p 则 p是 q的必要不充分条件 若 p⇔q 则 p是 q的充要条件 若 p⇒/ q，且 q⇒/ p 则 p是 q的既不充分也不必要条件 【总结】：“小集合”可以推出“大集合”，“大集合”不能推出“小集合”. 题型一 充分条件与必要条件的判断 例 1 已知 xR ，则“ 1x  ”是“ 0x  ”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 例 2 “  21  xxx 或 ”是“  21  xxx 或 ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 第 2 页 共 5 页 变 1 “ 1 8 a  ”是“方程 2 2 0ax x   有实数解”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变 2 “ 30  xx ”是“ 31  xx ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例 3 已知 2 2 1 1:p a b  ， : 0q a b  ，则 p是 q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变 3 已知 : 6p xy   ， : 3q x  且 2y   ，则 p是 q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变 4 “ a b c d ， ”是“ ac bd ”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二．充分条件与必要条件的选择 条件 方法 充分条件 充分条件选择“子集”. 必要条件 必要条件选择“母集”. 充分不必要条件 充分不必要条件选择“真子集”. 必要不充分条件 必要不充分条件选择与之不相等的“母集”. 题型二 充分条件与必要条件的选择 例 1 （多选）“ 1 2 2 x   ”的一个充分不必要条件可以是（ ） A． 4 3x   B．0 1x  C． 1 1 2 2 x   D． 2x  例 2 “关于 x的方程 2 1 0ax x   的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A． 0a  B． 0a  C． 1 0 4 a   D． 1 0 4 a   变 1 （多选）下列是“不等式 1 1 4 2 x   成立”的必要不充分条件的是（ ） A． 1 3 2 x   B． 1 4 2 x   C． 13 2 x   D． 1 3x   第 3 页 共 5 页 变 2 设集合  2| 6 0}, | 2 0}A x x x B x mx       ，则 B是 A的真子集的一个充分不必要条件是 （ ） A． 20, 3 m      B． 20, 3 m       C． 20, ,1 3 m       D． 20, ,1 3 m      题型三 充要条件的证明 例 1 已知 0ab  ，求证： 3 2 2 32 2 0a a b ab b    成立的充要条件是 0a b  ．提示：    3 3 2 2a b a b a ab b     . 变 1 设 a，b， Rc ，求证：关于 x的方程 2 0ax bx c   有一个根为-1 的充要条件是 0a b c   . 变 2 已知 0ab  ，求证： 3 3 2 2 0a b ab a b    成立的充要条件是 1a b  . 三．充分条件与必要条件的集合关系 条件 结论 Ax 是 Bx 的充分条件 BA Ax 是 Bx 的必要条件 AB  Ax 是 Bx 的充分不必要条件 A⫋ B Ax 是 Bx 的必要不充分条件 B⫋ A 题型四 充分、必要条件的集合关系 例 1 已知集合  1 1A x x a x a    或 ，  1 2B x x x   或 ． 第 4 页 共 5 页 （1）若“ x B ”是“ x A ”的必要不充分条件，求实数 a的取值范围； （2）若“ x B ”是“ x A ”的充分不必要条件，求实数 a的取值范围． 例 2 已知不等式 11  mxm 成立的充分条件是 2 1 3 1  x ，则实数m的取值范围是（ ） A．        3 4 2 1 mmm 或 B．        3 4 2 1 mmm 或 C．        3 4 2 1 mm D．        3 4 2 1 mm 变 1 已知  : | 3 1 5p A x k x    ，  : | 10 9q B x x    ，且 p是 q的充分条件，求实数 k的取值范围. 变 2 已知集合  2 1 5A x x    ∣ ，集合   1 2 1B x m x m m     R∣ ．设命题 :p x A ；命题 :q x B ，若命题 p是命题 q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 课后强化 1.“小明是成都人”是“小明是四川人”的（ ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知 xR ，则“ 1x  ”是“  1 ( 1) 0x x   ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．必要条件 D．既不充分也不必要 3.已知 , Rx y ，“ 0x  且 0 y  ”是“ 0xy  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．必要条件 D．既不充分也不必要 4. A B   是 A B 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 第 5 页 共 5 页 C．必要条件 D．既不充分也不必要 5.设 a， Rb ，则“ 2a  且 4b  ”是“ 6a b  ”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 6.使“  3x x x  或 1 2 x     ”成立的一个充分不必要条件是（ ） A． 0x  B． 0x  或 2x  C．  1,3,5x  D． 3x  或 1 2 x   7.关于 x的一元二次方程 2 0x x m   有实数解的一个必要不充分条件的是（ ） A． 1 2 m  B． 1 4 m  C． 1 2 m   D． 1 4 m  8.求证： 2 2 2a b c ab ac bc     是△ABC是等边三角形的充要条件.（这里 a，b，c是△ABC的三边边长）. 9.已知集合  1 3A x x   ，  2 1B x m x m    ，U  R ． （1）若“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件，求实数m的取值范围； （2）若 A B   ，求实数m的取值范围． 10.已知 : 2 6p x   ， : 1q m x m   ． （1）若 2m  ，那么 p是 q的什么条件； （2）若 p是 q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．