1.3集合的基本运算讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第 1 页 共 9 页 ❊1.3 集合的基本运算 思维导图 题型精析 一．集合的并集运算 含义 符号表示 图示 并集 将两个集合的元素合并.  BxAxxBA  ，或 并集的性质 1. ABBA   ， BAA  ， BAB  ， AAA  ， AA  ； 2. BABBA  . 题型一 集合的并集运算 例 1 已知集合 {2,4,5,7}A  ， {3,4,6,7}B  ，则 A B  （ ） A．{2, 7} B．{4,7} C．{2,3,5,6} D．{2,3,4,5,6,7} 第 2 页 共 9 页 变 1 已知集合    1,2,4 , 1,0,1,2A B   ，则 BA （ ） A． 1,0,1,2,4 B． 0,1,2,4 C． 1,2 D． 1,0,1,2,3,4 例 2 已知集合  2 2A x x    ，  1 3B x x    ，则 A B  （ ） A． 2 3x x   B． 2x x   C． 1 3x x   D． 3x x  变 2 设集合  2 1A x x    ，  1 3B x x    ，则 A B  （ ） A． 2 3x x   B． 1 1x x   C． 1 1x x   D． 2 3x x   变 3 集合  | 1 4A x x    ，  | 1B x x  或 5x  ， A B  ． 二．集合的交集运算 含义 符号表示 图示 交集 两个集合元素的公共部分.  BxAxxBA  ，且 并集的性质 1. ABBA   ， ABA  ， BBA  ， AAA  ， A ； 2. BAABA  . 题型二 集合的交集运算 例 1 设 {2,6,7,8}A  ， {3,6,8,9}B  ，则 A B  （ ） A． 2,3,6,7,8,9 B． 6,8 C． 2,6,8 D． 3,6,8 变 1 设集合  2,0,2,4,6 , { 0 4}A B x x    ∣ ，则 A B  （ ） A． 2,0, 2, 4 B． 0,2,4 C． 0, 2 D． 40  xx 例 2 已知集合 { 4 1} { 1 5}M x x N x x       ∣ ， ∣ ，则M N  （ ） A．{ 4 1}x x   ∣ B．{ 1 1}x x  ∣ C．{ 4 5}x x  ∣ D．{ 5}x x ∣ 变 2 已知集合 { 1 2}, { 0 3}A x x B x x      ∣ ∣ ，则 A B  （ ） A．{ 0 2}x x ∣ B．{ 0 2}x x ∣ C．{ 1 3}x x  ∣ D．{ 0 2}x x ∣ 变 3 若集合  1 5A x x    ， { | 1B x x  或 4}x  ，则 A B  ． 例 3 设集合   | 3A x y y x  ， ，   | 2B x y y x  ， ，则 A B  ． 第 3 页 共 9 页 变 4 已知集合   , 2 0A x y x y   ，   , 3 0B x y x y   ，则 A B  （ ） A．  0,0 B．   0,0 C． 0, 0x y  D．   0, 0x y  三．集合的补集运算 1．全集 含义 记作 全集 如果一个集合含有所研究问题中的所有元素，那么就称这个集合为全集. U 2．集合的补集运算 含义 符号表示 图示 补集 对于一个集合 A，由全集 U中不属于集合 A的所有元素 组成的集合称为集合 A相对于全集 U的补集. ACU 补集的性质 1. UA ， UACU  ； 2. UACA U  ， AACC UU )( . 题型三 集合的补集运算 例 1 已知集合  0,1,2,3,4,5U  ，  1,2,4A  ，则 ACU （ ） A． 1,2,4 B． 0,1,2,3,4,5 C． 3,5 D． 0,3,5 变 1 设全集 { 3, 1,0,1,3}, { 1,0,1}U A     ，则 ACU （ ） A．{ 3,3} B．{ 3,0,3} C．{ 3, 1,3}  D．{ 3, 1,0,3}  例 2 已知全集  R, 0 1U A x x    ，则 ACU （ ） A． 0x x  B． 1x x  C．{ 0x x  或 1}x  D．{ 0x x  或 1}x  例 3 已知集合  43  xxU ，  41  xxA ，则 ACU （ ） A． 13  xx B． 13  xx C． 13  xx D． 13  xx 变 2 设集合 U=R，M={x|x＞2或 x≤-2}，则 CUM=（ ） A．{x|-2＜x＜2} B．{x|-2＜x≤2} C．{x|x＜-2或 x＞2} D．{x|x≤-2或 x≥2} 第 4 页 共 9 页 变 3 已知集合  2 5A x x   ，  3 4B x x   ，则 BCA （ ） A． 2,4,5 B． 2 3x x  或 4 5x  C． 2 3x x  或 4 5x  D． 2 3x x  或 4 5x  题型四 交并补的混合运算 例 1 已知全集  0,1,2,3,4U  ，集合  0,1,2,3A  ， { }0,3,4B = ，则 )( BCA U （ ） A． 1,3 B． 0,1,3 C． 1,2 D． 1,2,4 变 1 已知集合  1 2 3 6 7 8, , , , ,U  ，    1 2 3 6 , 2 3 6 8, , , , , ,A B  ， 则 )( BACU  （ ） A． 1,7 B． 1,7,8 C． 2,3,8 D． 1,2,3,6,8 例 2 已知集合 { 3 7}, { 2 10}A x x B x x     ∣ ∣ ，求 )( BACR  ， )( ACB R ． 变 2 已知集合  * 9A x x  ∣N ，  1,2,3B  ，  | 3 2 1 9C x x    Z ． （1）求 BA ， )( CBA  ； （2）求 )( CCB A ， )()( CCBC AA  ． 变 3 已知全集U  R，集合    1 2 , 0 3A x x B x x       ．求： （1） BA 及 A B ； （2） )( BACU  及 )( BCA U . 第 5 页 共 9 页 题型五 根据交并补运算求参数 例 1 设集合  2 8 12 0A x x x    ，   2 22 1 13 0B x x a x a      . （1）若  2A B  ，求实数 a的值； （2）若 A B A ，求实数 a的取值范围. 变 1 已知集合  2 3 2 0A x x x    ，  2| 4 0B x x ax a    .若 A B B ，求实数 a的取值范围. 例 2 设全集 RU  ，集合  1 5  A x x ，集合  1 2 2     B x a x a .若B A ，求实数 a的取值 范围. 变 2 已知集合  0 1A x x   ，  1 2B x a x a    .若 A B A ，求实数 a的取值范围. 第 6 页 共 9 页 例 3 设全集 RU  ，集合  1 5  A x x ，集合  1 2 2     B x a x a .若B A ，求实数 a的取值 范围. 例 4 已知  2 5A x x    ，  1 2 1B x a x a     . （1）若 3a  时，求 BA 、 )( BCA R ； （2）若 )( ACB R ，求 a的取值范围. 变 3 已知集合  2 4 3 0A x x x    ，集合  2 1B x m x m    ． （1）若 1m   ，求 BA ； （2）若 A B   ，求实数m的取值范围． 变 4 已知集合    | 2 5 , | 1 2 1 .A x x B x m x m         RU  ． （1）若 A B   ，求实数 m的取值范围： （2）若 UBCA U )( ，求实数 m的取值范围． 第 7 页 共 9 页 四．容斥原理 含义 容斥原理 在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏. 为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一 种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所 有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既 无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理. 题型六 容斥原理 例 1 某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌 课外活动的有89人，参加体育课外活动的有 47人，三种课外活动都参加的有 24人，选择两种课外活动参加 的有 46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人．则接受调查的小学生共有（ ） A．120人 B．144人 C．177人 D．192人 例 2 玉山一中校园文化节拟开展“笔墨飘香书汉字”书法大赛，高一年级共有 37名同学提交了作品进 行参赛，有 20人提交了楷书作品，有 14人提交了隶书作品，有 16人提交了行书作品，同时提交楷书作品 和隶书作品的有 4人，同时提交楷书作品和行书作品的有 5人，同时提交隶书作品和行书作品的有 6人， 则同时提交三种作品的有（ ） A．4人 B．3人 C．2人 D．1人 变 1 某校“田径运动会”上，共有 12名同学参加 100米、400米、1500米三个项目，其中有 8人参加“100 米比赛”，有 7人参加“400米比赛”，有 5人参加“1500米比赛”，“100米和 400米”都参加的有 4人，“100 米和 1500米”都参加的有 3人，“400米和 1500米”都参加的有 3人，则三项比赛都参加的有 人. 变 2 8月 11日，第 33届夏季奥林匹克运动会在巴黎法兰西体育场落下帷幕．中国体育代表团在巴黎 奥运会获得 40金、27银、24铜共 91枚奖牌，取得了我国 1984年全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史 最好成绩，小明统计了班级 60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有 20名同 学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每 人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为 ． 课后强化 1.已知集合 {2,3,5}, {1,2,3,8}A B  ，则 A B  （ ） A．{1,3,5} B．{2,3} C．{2,3,5} D．{1,2,3,5,8} 2.设集合 {1,2,3,4}, {1,2,3}, {3,4,5,6}A B C   ，则 A C  ， B C ∪ . 3.若集合 { 3 2}A x x   ∣ ， { 1 4}B x x   ∣ ，则 A B  （ ） A．{ 1 2}x x  ∣ B．{ 3}x x  ∣ C．{ 3 4}x x  ∣ D．{ 4}x x ∣ 4.已知集合  0 3A x x    ，  | 2B x x  ，则 A B  （ ） A． | 2x x  B． |1 3x x  C． | 0x x  D． | 3x x  第 8 页 共 9 页 5.已知集合    1 1 , 0 2A x x B x x       ，则 A B  （ ） A． 1 2x x   B． 0 2x x  C． 0 1x x  D． 1 1x x   6.已知集合  2 4A x x   ，  3 7 8 2B x x x    ，则 A B  （ ） A． 2 3x x  B． 2 3x x  C． 3 4x x  D． 3 4x x  7.若集合     , 0 , 2 3A x y x y B x x y      ，则 A B  （ ） A． 1, 1 B．   1,1 C．   1, 1 D． 8.已知集合 { 2 2}A x x   ∣ ，  2B x x ∣ ，则 ACB （ ） A．{ 2 2}x x  ∣ B．{ 2 2}x x  ∣ C．{ 2}x x  ∣ D． 2x x  ∣ 9.已知集合 U={x|-4＜x＜3}，A={x|-2≤x＜1}，则 CUA=（ ） A．  3124  xxx 或 B． 12  xx C． 3124  xxx 或 D． 12  xx 10.已知全集  6 5 , { 3 1 2 1}, { 3 2}U x x M x x N x x            ∣ ∣ ∣ . （1）求 NM  ， MCU ， NCU ； （2）求 )( NMCU  . 11.已知      0,1,2,3,4,5 , 0,1,2, , 2,3,4U A B   ，则 )( BCA U （ ） A． 0,5 B． 1,5 C． 0,1,5 D． 0,1 12.已知集合  2A x x  ，  2, 1,0,1,2,3B    ， 则 BACR )( （ ） A． 2, 1,0,1,2,3  B． 0,1,2,3 C． 1,2,3 D． 2,3 第 9 页 共 9 页 13.设全集为 R，  01522  xxxA ，  01 axxB ． （1）若 5 1 a ，求 BCA R ； （2）若 ABA  ，求实数 a的取值组成的集合 C． 14.已知集合  1A x x a   ，  2B x x  或 1x  . （1）求 BCR ； （2）若 AABCR )( ，求实数 a的取值范围. 15.已知集合     2 3 4 8 12A x a x a a B x x        R ， . （1）若 RBCA R )( ，求 a的取值范围； （2）若 A B   ，求 a的取值范围. 16.（多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有 12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有 8人参加“拔河”，有 7人参加“4人足球”，有 5人 参加“羽毛球”，“拔河和 4人足球”都参加的有 4人，“拔河和羽毛球”都参加的有 3人，“4人足球和羽毛球” 都参加的有 3人，则（ ） A．三项都参加的有 1人 B．只参加拔河的有 3人 C．只参加 4人足球的有 2人 D．只参加羽毛球的有 4人 16.周末不忙，来趟衡阳，某校高一一班的 58名同学国庆假期自愿报名参加游园活动，据统计其中 38人参 观酃湖公园，48人参观了石鼓书院，48人参观了船山书院，32人既参观了酃湖公园又参观了石鼓书院，40 人既参观了石鼓书院又参观了船山书院，30人既参观了酃湖公园又参观了船山书院，24人三个地方都参观 过，则三个地方都没参观的同学有 人. ❊1.3 集合的基本运算 思维导图 题型精析 一．集合的并集运算 含义 符号表示 图示 并集 将两个集合的元素合并. 并集的性质 1.，，，，； 2.. 题型一 集合的并集运算 已知集合，，则（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的运算规则运算即可. 【详解】因为，，所以. 故选：D. 已知集合，则（ ）变1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的并集运算即可得出答案. 【详解】由集合，知． 故选：A. 已知集合，，则（ ）例2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用并集的定义可求得集合． 【详解】因为，， 则． 故选：A． 设集合，，则（ ）变2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的含义即可得到答案. 【详解】根据并集的含义得. 故选：D. 集合，或， ．变3 【答案】或 【分析】根据并集的运算直接求解即可. 【详解】由题意：或. 故答案为：或 二．集合的交集运算 含义 符号表示 图示 交集 两个集合元素的公共部分. 并集的性质 1.，，，，； 2.. 题型二 集合的交集运算 设，，则（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据交集的定义求解即可. 【详解】由，， 则. 故选：B. 设集合，则（ ）变1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合交集的定义求解即可. 【详解】由题可得， 故选：C 已知集合，则（ ）例2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义即可求得. 【详解】因， 则. 故选：B 已知集合，则（ ）变2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的交集运算即可求解. 【详解】由集合，则，故B正确. 故选：B. 若集合，或，则 ．变3 【答案】 或 【分析】应用集合的交、并运算求集合即可. 【详解】因为，或， 所以或. 故答案为：或 设集合，，则 ．例3 【答案】 【分析】将两集合的交集问题转化为两直线的交点问题求解即可. 【详解】依题意，集合和集合都是点集，其中，集合表示在直线上的点，集合表示在直线上的点，因此集合和集合的交集元素为直线和直线的交点坐标. 联立，解得，得. 故答案为：. 已知集合，，则（ ）变4 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立方程，求出解，得到交集. 【详解】联立，解得， 故. 故选：B 三．集合的补集运算 1．全集 含义 记作 全集 如果一个集合含有所研究问题中的所有元素，那么就称这个集合为全集. U 2．集合的补集运算 含义 符号表示 图示 补集 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集. 补集的性质 1.，； 2.，. 题型三 集合的补集运算 已知集合，，则（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】D 设全集，则（ ）变1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合的补运算求集合即可. 【详解】由，则. 故选：A 已知全集，则（ ）例2 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据补集的定义求解即可. 【详解】因为全集， 所以或. 故选：C 已知集合，，则（　　）例3 A． B． C． D． 【分析】由补集的定义求解． 【解答】解：因为U={x|-3＜x≤4}，A={x|-1≤x≤4}， 所以CUA=（-3，-1）． 故选：C． 设集合U=R，M={x|x＞2或x≤-2}，则CUM=（　　）变2 A．{x|-2＜x＜2} B．{x|-2＜x≤2} C．{x|x＜-2或x＞2} D．{x|x≤-2或x≥2} 【分析】进行补集的运算即可． 【解答】解：∵U=R，M={x|x＞2或x≤-2}， ∴CUM={x|-2＜x≤2}． 故选：B． 已知集合，，则（ ）变3 A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】因为集合，，故或.故选：B. 题型四 交并补的混合运算 已知全集，集合，，则（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用补集的意义求得，进而利用交集的意义求解即可. 【详解】因为全集，集合，所以， 又因为集合，所以. 故选：C. 已知集合，， 则（ ）变1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交集运算以及补集运算，即可求得答案. 【详解】由题意可知，结合， 可得， 故选：B 已知集合，求，．例2 【答案】或；或 【分析】由题可求，，然后利用补集和交集的运算计算即可. 【详解】集合． 如图，将集合A，B在数轴上表示出来．    易知， 或． 或． 或或． 已知集合，，．变2 （1）求，； （2）求，． 【答案】(1) (2) 【分析】分别求出集合，，利用集合交、并、补的运算求解即可. 【详解】（1）由题意得，，， ， 所以， ． （2）由题意得，，， 所以， ． 已知全集，集合．求：变3 （1）及； （2）及. 【答案】(1)， (2)或， 【分析】（1）由集合的交集、补集运算即可求解； （2）由交集、并集、补集运算即可求解； 【详解】（1）因为， 所以， （2）由（1）可得：或， 由，可得：或， 所以 题型五 根据交并补运算求参数 设集合，.例1 （1）若，求实数a的值； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求； 【详解】（1），. ，，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 所以，若，则实数a的取值范围为. 已知集合，.若，求实数的取值范围.变1 【答案】. 【分析】由，对集合B分类讨论，求解. 【详解】因为，所以. 因为，所以集合B可能为，，或. 当时，只需，解得：； 当或，则必有，所以或. 若，有，不符合题意；若，有，不符合题意； 当时，则1和2是的两根. 所以，无解. 故实数的取值范围为. 设全集，集合，集合.若，求实数的取值范围.例2 【答案】. 【分析】根据集合间的包含关系，列不等式，解不等式即可. 【详解】因为. ①当时，满足，此时，解得； ②当时，要满足，则解得. 综上所述，实数的取值范围是. 已知集合，.若，求实数a的取值范围.变2 【答案】 【分析】，则，分与两种情况，根据集合的关系列不等式组，解不等式可得到a的取值范围. 【详解】因为，则， 若，则，解得， 若，则解得， 综上所述a的取值范围为. 设全集，集合，集合.若，求实数的取值范围.例3 【答案】. 【分析】根据集合间的包含关系，列不等式，解不等式即可. 【详解】因为. ①当时，满足，此时，解得； ②当时，要满足，则解得. 综上所述，实数的取值范围是. 已知，.例4 （1）若时，求、； （2）若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用交集的定义可得出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）由题意可知，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，，则， 所以，则. （2）因为，则， 当时，，解得，合乎题意； 当时，即时，有，解得，即. 综上，，即实数的取值范围是. 已知集合，集合．变3 （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据集合包含关系列出不等式组，求出实数m的取值范围； (2)分与进行讨论，列出不等关系，求出实数m的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以. （2），因为， 所以当时，则，解得，符合题意； 当时，则或，解得 综上所述实数m的取值范围是． 已知集合．变4 （1）若，求实数m的取值范围： （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分类讨论、，分别列不等式求的范围，取并集即可. （2）由条件知，讨论、，分别列不等式求的范围，取并集即可. 【详解】（1）时，知： 当时，得； 当时，或， 解得； 综上，∴的取值范围为； （2）因为，所以，所以， 当时，得； 当时，解得； 综上可得，即m的取值范围是； 四．容斥原理 含义 容斥原理 在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏. 为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理. 题型六 容斥原理 某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（ ）例1 A．120人 B．144人 C．177人 D．192人 【答案】A 【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，利用容斥原理可求得的值，即为所求. 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示， 则，，，．    不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得， 解得，故接受调查的小学生共有人． 故选：A. 玉山一中校园文化节拟开展“笔墨飘香书汉字”书法大赛，高一年级共有37名同学提交了作品进行参赛，有20人提交了楷书作品，有14人提交了隶书作品，有16人提交了行书作品，同时提交楷书作品和隶书作品的有4人，同时提交楷书作品和行书作品的有5人，同时提交隶书作品和行书作品的有6人，则同时提交三种作品的有（   ）例2 A．4人 B．3人 C．2人 D．1人 【答案】C 【分析】设同时提交三种作品的有人，画出韦恩图，求解即可. 【详解】设同时提交三种作品的有人，集合为提交了楷书作品的人， 集合为提交了隶书作品的人，集合为提交了行书作品的人，如图所示， 则， 解得， 故选：C. 某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人.变1 【答案】2 【分析】根据容斥原理可分析出3项都参加的人数. 【详解】根据题意，设是参加100米的同学，是参加400米的同学，是参加1500米的同学， ， 则， 且， 则， 所以三项比赛都参加的有2人， 故答案为：2. 8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎法兰西体育场落下帷幕．中国体育代表团在巴黎奥运会获得40金、27银、24铜共91枚奖牌，取得了我国1984年全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩，小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为 ．变2 【答案】46 【分析】根据给定条件，画出韦恩图，利用容斥原理列式计算即得. 【详解】设只喜欢游泳、跳水、乒乓球的同学的人数分别为， 喜欢游泳和跳水两样的同学的人数为，喜欢游泳和乒乓球两样的同学的人数为， 喜欢跳水和乒乓球两样的同学的人数为，如图， 则，后三个方程相加得， 与第一个方程消去得， 所以至少喜欢两类体育项目的同学的人数为. 故答案为：46 课后强化 1.已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集直接运算. 【详解】由题可知：. 故选：D 2.设集合，则 ， . 【答案】 【分析】应用集合的交、并运算求集合即可. 【详解】由题设，， . 故答案为：， 3.若集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集的定义求解即可. 【详解】由，， 则. 故选：C. 4.已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的并集运算即可求解. 【详解】，， 所以. 故选：C. 5.已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：C 6.已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，，故. 故选：D. 7.若集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的表示法可发现集合是点集，集合是数集，所以交集为空集. 【详解】因为集合表示直线上所有点的集合，其元素是点， 集合表示直线上所有点的横坐标的集合，其元素是数， 所以. 故选：D. 8.已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由补集定义即可得解. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：D 9.已知集合U={x|-4＜x＜3}，A={x|-2≤x＜1}，则CUA=（　　） A． B． C． D． 【分析】根据集合补集的运算解答即可． 【解答】解：由题知，集合U={x|-4＜x＜3}，A={x|-2≤x＜1}， 所以CUA={x|-4＜x＜-2或1≤x＜3}，即CUA=（-4，-2）∪[1，3）． 故选：A． 10.已知全集. （1）求，，； （2）求. 【答案】(1)或或 (2)或 【分析】根据给定条件，利用补集、交集、并集的定义逐项计算判断即得. 【详解】（1）由于 所以或或. （2），所以或. 11.已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用集合交集和补集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合， 则，所以. 故选：D. 12.已知集合，， 则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义直接求解即得. 【详解】依题意集合，， ，所以. 故选：D. 13.设全集为R，，． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值组成的集合C． 【分析】（1）求出集合A，B，然后根据集合的运算求出结果； （2）由题意得B⊆A，分B=∅，B≠∅两种情况讨论，得出a的值，从而得到答案． 【解答】解：（1）A={x|x2+2x-15=0}={-5，3}， 当，则， 则A∩（CRB）={-5，3}； （2）若A∪B=A，则B⊆A． 当B=∅时，a=0，此时满足B⊆A； 当B≠∅时，a≠0，，若满足B⊆A，则或，解得或， 综上，实数a的取值组成的集合． 14.已知集合，或. （1）求； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据补集的定义即可得解； （2）由，可得，再分和两种情况讨论，即可得解. 【详解】（1）解：∵或， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴当，满足，此时； 当，则，所以， 综上，实数a的取值范围是. 15.已知集合. （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)或． 【分析】(1)根据可知，列出不等式组即可求解． (2)分和两种情况讨论即可． 【详解】（1）∵，∴， ∴， ∴的范围是． （2）(i)若，则，即，此时满足； (ii)若，则， 若，则或，解得或， ∴或； 综上，或． 16.（多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（ ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 【答案】BC 【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案. 【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学， 则，，， 又，， 所以， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人． 故选：BC 16.周末不忙，来趟衡阳，某校高一一班的58名同学国庆假期自愿报名参加游园活动，据统计其中38人参观酃湖公园，48人参观了石鼓书院，48人参观了船山书院，32人既参观了酃湖公园又参观了石鼓书院，40人既参观了石鼓书院又参观了船山书院，30人既参观了酃湖公园又参观了船山书院，24人三个地方都参观过，则三个地方都没参观的同学有 人. 【答案】2 【分析】利用容斥原理，借助Venn图即可求解. 【详解】由题意，如图： 因为32人既参观了酃湖公园又参观了石鼓书院，24人三个地方都参观过， 所以，同时参观酃湖公园和石鼓书院，但未参观船山书院的有人， 同理，同时参观石鼓书院和船山书院，但未参观酃湖公园的有人， 同时参观酃湖公园和船山书院，但未参观石鼓书院的有人， 因为38人参观酃湖公园，48人参观了石鼓书院，48人参观了船山书院， 所以，只参观酃湖公园的有人， 只参观石鼓书院有人， 只参观船山书院有人， 所以三个地方都没参观的同学有人. 故答案为：2    第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ❊1.3 集合的基本运算 思维导图 题型精析 一．集合的并集运算 含义 符号表示 图示 并集 将两个集合的元素合并. 并集的性质 1.，，，，； 2.. 题型一 集合的并集运算 已知集合，，则（ ）例1 A． B． C． D． 已知集合，则（ ）变1 A． B． C． D． 已知集合，，则（ ）例2 A． B． C． D． 设集合，，则（ ）变2 A． B． C． D． 集合，或， ．变3 二．集合的交集运算 含义 符号表示 图示 交集 两个集合元素的公共部分. 并集的性质 1.，，，，； 2.. 题型二 集合的交集运算 设，，则（ ）例1 A． B． C． D． 设集合，则（ ）变1 A． B． C． D． 已知集合，则（ ）例2 A． B． C． D． 已知集合，则（ ）变2 A． B． C． D． 若集合，或，则 ．变3 设集合，，则 ．例3 已知集合，，则（ ）变4 A． B． C． D． 三．集合的补集运算 1．全集 含义 记作 全集 如果一个集合含有所研究问题中的所有元素，那么就称这个集合为全集. U 2．集合的补集运算 含义 符号表示 图示 补集 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集. 补集的性质 1.，； 2.，. 题型三 集合的补集运算 已知集合，，则（ ）例1 A． B． C． D． 设全集，则（ ）变1 A． B． C． D． 已知全集，则（ ）例2 A． B． C．或 D．或 已知集合，，则（　　）例3 A． B． C． D． 设集合U=R，M={x|x＞2或x≤-2}，则CUM=（　　）变2 A．{x|-2＜x＜2} B．{x|-2＜x≤2} C．{x|x＜-2或x＞2} D．{x|x≤-2或x≥2} 已知集合，，则（ ）变3 A． B．或 C．或 D．或 题型四 交并补的混合运算 已知全集，集合，，则（ ）例1 A． B． C． D． 已知集合，， 则（ ）变1 A． B． C． D． 已知集合，求，．例2 已知集合，，．变2 （1）求，； （2）求，． 已知全集，集合．求：变3 （1）及； （2）及. 题型五 根据交并补运算求参数 设集合，.例1 （1）若，求实数a的值； （2）若，求实数a的取值范围. 已知集合，.若，求实数的取值范围.变1 设全集，集合，集合.若，求实数的取值范围.例2 已知集合，.若，求实数a的取值范围.变2 设全集，集合，集合.若，求实数的取值范围.例3 已知，.例4 （1）若时，求、； （2）若，求的取值范围. 已知集合，集合．变3 （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 已知集合．变4 （1）若，求实数m的取值范围： （2）若，求实数m的取值范围． 四．容斥原理 含义 容斥原理 在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏. 为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理. 题型六 容斥原理 某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（ ）例1 A．120人 B．144人 C．177人 D．192人 玉山一中校园文化节拟开展“笔墨飘香书汉字”书法大赛，高一年级共有37名同学提交了作品进行参赛，有20人提交了楷书作品，有14人提交了隶书作品，有16人提交了行书作品，同时提交楷书作品和隶书作品的有4人，同时提交楷书作品和行书作品的有5人，同时提交隶书作品和行书作品的有6人，则同时提交三种作品的有（   ）例2 A．4人 B．3人 C．2人 D．1人 某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人.变1 8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎法兰西体育场落下帷幕．中国体育代表团在巴黎奥运会获得40金、27银、24铜共91枚奖牌，取得了我国1984年全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩，小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为 ．变2 课后强化 1.已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2.设集合，则 ， . 3.若集合，，则（ ） A． B． C． D． 4.已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 5.已知集合，则（ ） A． B． C． D． 6.已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 7.若集合，则（ ） A． B． C． D． 8.已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 9.已知集合U={x|-4＜x＜3}，A={x|-2≤x＜1}，则CUA=（　　） A． B． C． D． 10.已知全集. （1）求，，； （2）求. 11.已知，则（ ） A． B． C． D． 12.已知集合，， 则（ ） A． B． C． D． 13.设全集为R，，． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值组成的集合C． 14.已知集合，或. （1）求； （2）若，求实数a的取值范围. 15.已知集合. （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 16.（多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（ ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 16.周末不忙，来趟衡阳，某校高一一班的58名同学国庆假期自愿报名参加游园活动，据统计其中38人参观酃湖公园，48人参观了石鼓书院，48人参观了船山书院，32人既参观了酃湖公园又参观了石鼓书院，40人既参观了石鼓书院又参观了船山书院，30人既参观了酃湖公园又参观了船山书院，24人三个地方都参观过，则三个地方都没参观的同学有 人. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$