1.2集合间的基本关系讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

❊1.2 集合间的基本关系 思维导图 题型精析 一．集合间的基本关系 定义 符号表示 图示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集. （或） 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素，且，就称集合A是集合B的真子集. A⫋B（或B⫌A） 相等 两个集合的元素完全相同. A=B 二．空集 符号 含义 空集 不含任何元素的集合叫做空集. 三．集合间的基本关系的理解 关系 理解 子集 子集（A）从母集（B）分元素.例如母集，则子集A从母集B分元素，共有三种情况：①分两个元素（A=B），②分0个元素（），③分一个元素（或）. 真子集 A⫋B 真子集（A）从母集（B）分元素.例如母集，则真子集A从母集B分元素，共有三种情况：①分0个元素（），②分一个元素（或）. 【常用结论】1.任何集合都是它本身的子集，即；2.空集是任意集合的子集，即；3.空集是任意非空集合的真子集，即⫋A. 题型一 集合间的基本关系 下列各式：①，②，③，④，⑤，其中错误的个数是（ ）例1 A．1 B．2 C．3 D．4 下列各式中，正确的是（ ）变1 ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧. A．②⑤⑦⑧ B．②⑤⑦ C．③⑤⑦⑧ D．①⑤⑥⑦ 已知，，则集合A与集合B之间的关系为_______.例2 已知集合，，，则，，满足的关系为（ ）例3 A． B． C． D． 设，，，则这三个集合间的关系是（ ）变2 A． B． C． D． （多选）若集合，则之间的关系是（ ）变3 A． B． C． D． 四．子集与真子集的个数 概念 个数 方法 子集 若，则A叫做B的子集 （是集合中元素的个数） 子集个数与真子集个数只与元素个数有关 真子集 若A⫋B，则A叫做B的真子集 （是集合中元素的个数） 非空子集 子集中除开空集 （是集合中元素的个数） 非空真子集 子集中除开母集本身与空集 （是集合中元素的个数） 题型二 子集与真子集的个数 （1）写出集合{a，b，c}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；例1 （2）集合{1，2，3}的真子集共有（　　） A．5 个 B．6 个 C．7个 D．8个 若某集合有31个真子集，则该集合有______个元素.变1 集合的真子集的个数是（ ）例2 A．64 B．63 C．32 D．31 已知集合，则集合A的所有真子集的个数是（ ）变2 A．6 B．7 C．14 D．15 满足关系⫋的集合的个数为 .例3 满足条件的集合的个数为 .变3 题型三 根据子集个数求参数 已知集合有且仅有两个子集，求满足条件的实数组成的集合．例1 若集合至多有一个真子集，求a的取值范围．例2 若集合有且仅有两个子集，求实数k的值．变1 已知集合.变2 （1）若A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A； （2）若A至多有两个子集，试求实数k的取值范围. 题型四 根据集合相等求参数 已知集合，若，则（ ）例1 A． B．2 C． D．6 已知，，若集合，则的值为 .例2 已知数集，，若A=B，则 .变1 若集合，集合，且A=B，则（ ）变2 A．， B．， C．， D．不确定 五．根据集合间的关系求参数的方法 方法 方程型 利用子集从母集分元素，分情况讨论即可. 不等式型 1.画数轴；2.根据“母空子实，不能取等”来判断是否能取“=”. 题型五 根据集合间的关系求参数 （多选）已知集合，，若，则实数的值可以是（ ）例1 A． B． C．0 D．1 （多选）设集合，，若，则实数a的值可以为（ ）变1 A． B．1 C．0 D． 设集合，．例2 （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围. 已知，，若，求实数的值．变2 已知集合，，若，则实数的取值范围为 .例3 已知．例4 （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围． 已知集合，为实数.变3 （1）若，求实数m的取值范围； （2）若，求实数m的取值范围． 已知集合，且，且.求实数k的取值范围.变4 课后强化 1.下列表达式中正确的是（ ） A． B． C．⫋ D． 2.下面五个式子中：①；②；③；④；⑤，正确的有（ ） A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤ 3.若某集合有32个子集，则该集合有_____个元素.若某集合有14个非空真子集，则该集合有_____个元素. 4.已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 5.已知集合M满足{1，2}⊆M⫋{1，2，5，6，7，0}，则符合条件的集合M有______个. 6.已知集合，若A的子集个数为2个，则实数______. 7.已知集合 ． （1）若 有两个子集，求的取值范围； （2）若 中至多有两个子集，求的取值范围． 8.已知集合， 若， 则（ ） A．3 B．4 C． D． 9.已知集合，．若，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 10.（多选）已知集合，若，则的可能取值为（ ） A． B． C．0 D． 11.已知集合，非空集合，若，求实数的值． 12.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 13.已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 14.（1）已知或.若或，，求的取值范围； （2）若，，求的取值范围. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ❊1.2 集合间的基本关系 思维导图 题型精析 一．集合间的基本关系 定义 符号表示 图示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集. （或） 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素，且，就称集合A是集合B的真子集. A⫋B（或B⫌A） 相等 两个集合的元素完全相同. A=B 二．空集 符号 含义 空集 不含任何元素的集合叫做空集. 三．集合间的基本关系的理解 关系 理解 子集 子集（A）从母集（B）分元素.例如母集，则子集A从母集B分元素，共有三种情况：①分两个元素（A=B），②分0个元素（），③分一个元素（或）. 真子集 A⫋B 真子集（A）从母集（B）分元素.例如母集，则真子集A从母集B分元素，共有三种情况：①分0个元素（），②分一个元素（或）. 【常用结论】1.任何集合都是它本身的子集，即；2.空集是任意集合的子集，即；3.空集是任意非空集合的真子集，即⫋A. 题型一 集合间的基本关系 下列各式：①，②，③，④，⑤，其中错误的个数是（ ）例1 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由元素与集合的关系，集合与集合的关系考查所给式子是否正确即可． 【详解】由元素与集合的关系可知，故①错误； 由集合与集合的关系可知，故②错误； 任何集合都是自身的子集，故③正确； 空集是任何非空集合的子集，故④正确； 集合中的元素具有互异性和无序性，故⑤正确； 综上可得，只有①②错误． 故选B． 下列各式中，正确的是（ ）变1 ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧. A．②⑤⑦⑧ B．②⑤⑦ C．③⑤⑦⑧ D．①⑤⑥⑦ 【答案】A 【分析】利用集合中元素的性质，元素与集合、集合与集合之间的关系依次判断即可. 【详解】对于①②③，是空集，空集是任意集合的子集，故正确，余者不正确，故①③错误，②正确； 对于④⑤，元素与集合之间的关系用“”或“”表示，故不正确，成立，故④错误，⑤正确； 对于⑥⑦，集合与集合之间是包含或不包含的关系，故不正确，正确，故⑥错误，⑦正确； 对于⑧，由集合中元素的无序性，可知，故正确，故⑧正确； 综上：正确的命题有②⑤⑦⑧. 故选：A. 已知，，则集合A与集合B之间的关系为_______.例2 【答案】⫋. 已知集合，，，则，，满足的关系为（ ）例3 A． B． C． D． 【答案】选B 设，，，则这三个集合间的关系是（ ）变2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析给定的三个集合的约束条件，探讨它们的关系即可判断作答. 【详解】依题意，， ， ， 而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有， 集合中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以. 故选：C. （多选）若集合，则之间的关系是（ ）变3 A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据集合间的关系分析理解. 【详解】∵，， 且为奇数，为整数， ∴，即，A、D错误，C正确； 又∵，且均为整数， ∴，B正确； 故选：BC. 四．子集与真子集的个数 概念 个数 方法 子集 若，则A叫做B的子集 （是集合中元素的个数） 子集个数与真子集个数只与元素个数有关 真子集 若A⫋B，则A叫做B的真子集 （是集合中元素的个数） 非空子集 子集中除开空集 （是集合中元素的个数） 非空真子集 子集中除开母集本身与空集 （是集合中元素的个数） 题型二 子集与真子集的个数 （1）写出集合{a，b，c}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；例1 【答案】略 （2）集合{1，2，3}的真子集共有（　　） A．5 个 B．6 个 C．7个 D．8个 【答案】选C.23-1=7 若某集合有31个真子集，则该集合有______个元素.变1 【答案】5 集合的真子集的个数是（ ）例2 A．64 B．63 C．32 D．31 【答案】D 【分析】首先利用列举法表示集合，再根据含有个元素的集合的真子集有个计算可得. 【详解】由，解得， 即， 所以集合的真子集有个. 故选：D 已知集合，则集合A的所有真子集的个数是（ ）变2 A．6 B．7 C．14 D．15 【答案】B 【分析】根据真子集的个数公式即可求解. 【详解】由题意可得，故集合A的所有真子集的个数为. 故选：B. 满足关系⫋的集合的个数为 .例3 【答案】7 【分析】利用子集和真子集的定义求解. 【详解】解：由题意得：集合A中一定含有1，2，3，可能含有0，4，5，但不同时含有0，4，5， 所以集合A的个数为：， 故答案为：7 满足条件的集合的个数为 .变3 【答案】16 【分析】由题意可得集合为的子集，且中必包含元素，写出满足条件的集合，即可得答案. 【详解】解：因为， 所以， 即集合为的子集，且中必包含元素， 又因为的含元素的子集为： 共16个. 故答案为：16 题型三 根据子集个数求参数 已知集合有且仅有两个子集，求满足条件的实数组成的集合．例1 【答案】 【分析】利用子集个数的公式可确定A中元素个数，结合方程解的个数讨论即可. 【详解】因为集合有且仅有两个子集， 所以A中只有一个元素， 若，此时，符合题意； 若，要符合题意则需一元二次方程只有一个实数根， 即，即， 综上满足条件的实数组成的集合为. 若集合至多有一个真子集，求a的取值范围．例2 【答案】或. 【分析】分类讨论集合A的元素个数即可. 【详解】①当A无真子集时，即时， 则方程无实根， 所以，解之得. ②当A只有一个真子集时，即A为单元素集，这时有两种情况： 当时，方程化为，解得，符合题意； 当时，由，解得，符合题意. 综上，当集合A至多有一个真子集时，a的取值范围是或. 若集合有且仅有两个子集，求实数k的值．变1 【答案】或 【分析】依据题意可知A中只有一个元素，然后分，讨论计算即可. 【详解】由条件，知A中只有一个元素． 当时，． 当时，，解得，此时． 综上所述，实数k的值为或． 已知集合.变2 （1）若A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A； （2）若A至多有两个子集，试求实数k的取值范围. 【答案】（1），；，；（2）． 【解析】（1）当时，易知符合题意，当时，利用即可求出的值； （2）由至多有两个子集，可知集合中元素个数最多1个，再分和两种情况讨论，即可求出实数的取值范围． 【详解】（1）①当时，方程化为：，解得， 此时集合，满足题意； ②当时，方程有一个根， ， 解得：， 此时方程为，解得， 集合，符合题意， 综上所述，时集合；时集合； （2）至多有两个子集，集合中元素个数最多1个， ①当时，一元二次方程最多有1个实数根， ， 解得， ②当时，由（1）可知，集合符合题意， 综上所述，实数的取值范围为：． 题型四 根据集合相等求参数 已知集合，若，则（ ）例1 A． B．2 C． D．6 【答案】A 【分析】由已知结合集合相等的条件及集合元素的互异性即可求解. 【详解】因为集合， 若，则或， 解得或， 当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去， 故，，符合题意，此时. 故选：A. 已知，，若集合，则的值为 .例2 【答案】 【分析】由两集合相等及分式的分母不为0可求出n，再利用集合相等和互异性求m，代入计算即可. 【详解】因为，，所以，故，所以解得或． 当时，不满足集合元素的互异性， 当时，集合为，符合条件. 所以． 故答案为： 已知数集，，若A=B，则 .变1 【答案】1 【分析】根据题意分两种情况讨论即可. 【详解】易知，所以或， 若，即，此时，，符合题意； 若，此时，，，舍； 综上，. 故答案为：1 若集合，集合，且A=B，则（ ）变2 A．， B．， C．， D．不确定 【答案】A 【分析】利用集合相等的条件求解即可. 【详解】因为集合，集合，且， 所以或，解得. 故选：A. 五．根据集合间的关系求参数的方法 方法 方程型 利用子集从母集分元素，分情况讨论即可. 不等式型 1.画数轴；2.根据“母空子实，不能取等”来判断是否能取“=”. 题型五 根据集合间的关系求参数 （多选）已知集合，，若，则实数的值可以是（ ）例1 A． B． C．0 D．1 【答案】ABD 【分析】先求出集合，分和两种情况结合包含关系求解即可. 【详解】由， ， 当时，，满足； 当时，，则或， 解得或. 综上所述，或或. 故选：ABD. （多选）设集合，，若，则实数a的值可以为（ ）变1 A． B．1 C．0 D． 【答案】BCD 【分析】解二次方程化简集合A，由知，按照和两种情况分类求解即可. 【详解】由十字相乘法可得，所以或，即． 当时，B可能为，也可能不为． B是方程的解集，求解时需对B中元素个数进行分类讨论． 当时，，此时满足； 当时，因为，所以． 又，所以或，解得或1． 综上可知，a的值为或1或0． 故选：BCD 设集合，．例2 （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可． （2）先化简集合，，再由，能求得的值． 【详解】（1）集合， ， ①若，则 则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：，即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且， 则 综上所述，实数的取值范围是或． （2），， 则，即 即0和是方程的两根 解得：或（舍去） 故． 已知，，若，求实数的值．变2 【答案】或 【解析】，或或或； 若，无解； 若，无解； 若，； 若，；综上：或. 已知集合，，若，则实数的取值范围为 .例3 【答案】 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系直接求出范围. 【详解】集合，，，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 已知．例4 （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据包含关系得到不等式，求出a的取值范围为； （2）分和两种情况，得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】（1）因为，， 所以，解得， 故实数a的取值范围为； （2），， 当时，，解得，满足题意； 当时，，解集为， 综上，实数a的取值范围为. 已知集合，为实数.变3 （1）若，求实数m的取值范围； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由集合的包含关系，分和两种情况，列不等式求实数m的取值范围； （2）由集合的包含关系，列不等式求实数m的取值范围； 【详解】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． 已知集合，且，且.求实数k的取值范围.变4 【答案】 【分析】分类讨论与两种情况，利用集合包含关系得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为， 当，即时，，满足条件； 当，即时， 有，解得，此时； 综上所述，实数的取值范围为，故的范围为. 课后强化 1.下列表达式中正确的是（ ） A． B． C．⫋ D． 【答案】选C 2.下面五个式子中：①；②；③；④；⑤，正确的有（ ） A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤ 【答案】C 【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐一判断即可. 【详解】解：①中，是集合中的一个元素，，所以①错误； ②中，空集是任一集合的子集，所以②正确； ③中，是的子集，，所以③错误； ④中，任何集合是其本身的子集，所以④正确； ⑤中，是的元素，所以⑤正确. 故选：C. 3.若某集合有32个子集，则该集合有_____个元素.若某集合有14个非空真子集，则该集合有_____个元素. 【答案】5，4 4.已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据真子集的个数得，即可求解. 【详解】因为集合有15个真子集，所以集合中包含4个元素， 所以，所以，则实数的取值范围为． 故答案为： 5.已知集合M满足{1，2}⊆M⫋{1，2，5，6，7，0}，则符合条件的集合M有______个. 【答案】15 6.已知集合，若A的子集个数为2个，则实数______. 【答案】 7.已知集合 ． （1）若 有两个子集，求的取值范围； （2）若 中至多有两个子集，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由子集的个数得集合中有且只有一个元素，从而可得参数值或范围； （2）由中元素个数为1或0可得结论． 【详解】（1）① 时， 为一次方程，，符合题意； ② 时，若 中只有一个元素，则 ，即 ． 或 ． （2） 中至多只有一个元素： ① 中只有一个元素，由（1）知 或； ② 中没有元素，则此时 ，解得 ， 所以 的取值范围为 ． 8.已知集合， 若， 则（ ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】因为且，所以，且， 又，所以和为方程的两个实数根， 所以；故选：D 9.已知集合，．若，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 10.（多选）已知集合，若，则的可能取值为（ ） A． B． C．0 D． 【答案】AC 【分析】由，分类讨论即可求解； 【详解】， 因为， 当时，此时； 当时，此时； 当时，此时； 故选：AC 11.已知集合，非空集合，若，求实数的值． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程的知识对集合中的方程求出解集，然后根据子集的定义求出的值. 【详解】因为，所以．由题知， 当时，，即，解得或． 若，则，所以，满足题意； 若，则，不符合题意． 当时，，即，解得或． 若，则，不合题意． 综上所述，实数的值为2． 12.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由题意，因为，即集合是集合的子集，所以. 故选：D. 13.已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据集合的包含关系列不等式可求的取值范围. 【详解】因为，，， 所以，所以， 所以的取值范围为. 14.（1）已知或.若或，，求的取值范围； （2）若，，求的取值范围. 【答案】（1）或（2） 【分析】根据集合的包含关系，建立不等式即可解出结果. 【详解】（1）即的范围小于的范围. 当，即时，，满足； 当，即时，要使，由图1得， ①②等号不同时成立，解得.    综上所述，的取值范围为或. （2）即的范围小于的范围. 要使，优先考虑是否为空集. 当，即时，，满足； 当，即时，要使，由图2得或， 解得.又因为，所以.    综上所述，的取值范围为. 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 6 页 ❊1.2 集合间的基本关系 思维导图 题型精析 一．集合间的基本关系 定义 符号表示 图示 子集 如果集合 A中的任意一个元素都是集合 B中的元 素，就称集合 A为集合 B的子集. BA （或 AB  ） 真子集 如果集合 A⊆B，但存在元素 Bx ，且 Ax ，就 称集合 A是集合 B的真子集. A⫋ B（或 B⫌ A） 相等 两个集合的元素完全相同. A=B 二．空集 符号 含义 空集  不含任何元素的集合叫做空集. 第 2 页 共 6 页 三．集合间的基本关系的理解 关系 理解 子集 BA 子集（A）从母集（B）分元素.例如母集  32，B ，则子集 A从母集 B分元素， 共有三种情况：①分两个元素（A=B），②分 0个元素（ A ），③分一个元 素（  2A 或  3A ）. 真子集 A⫋ B 真子集（A）从母集（B）分元素.例如母集  32，B ，则真子集 A从母集 B分元 素，共有三种情况：①分 0个元素（ A ），②分一个元素（  2A 或  3A ）. 【常用结论】1.任何集合都是它本身的子集，即 AA ；2.空集是任意集合的子集，即 A ；3.空集 是任意非空集合的真子集，即⫋ A. 题型一 集合间的基本关系 例 1 下列各式：①  1 0,1, 2 ，②   1 0,1, 2 ，③   0,1, 2 0,1, 2 ，④  0,1, 2  ，⑤   2,1,0 0,1,2 ， 其中错误的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 变 1 下列各式中，正确的是（ ） ①  0 ；②  0 ；③  0 ；④  00  ；⑤  00 ；⑥{1} {1,2,3} ；⑦{1,2} {1,2,3} ；⑧{ , } { , }a b b a . A．②⑤⑦⑧ B．②⑤⑦ C．③⑤⑦⑧ D．①⑤⑥⑦ 例 2 已知  | 3 2 N}A x x k k   ， ，  | 6 5 N}B y y m m   ， ，则集合 A与集合 B之间的关系为 _______. 例 3 已知集合        ZaaxxA , 6 1 ，        ZbbxxB , 3 1 2 ，        ZccxxC , 6 1 2 ，则 A， B， C满足的关系为（ ） A． CBA  B． CBA  C． CBA  D． ACB  变 2 设  3 2, ZA x x n n    ，  6 5, ZB x x n n    ，  12 5, ZC x x n n    ，则这三个集合间的 关系是（ ） A． A B C  B． A C B  C．C B A  D．C A B  变 3 （多选）若集合 1 1 1, Z , , Z , , Z 6 2 3 2 6 n kA x x m m B x x n C x x k∣ ∣ ∣                            ，则 , ,A B C之间的关系是（ ） A． A B C  B． CB  C． BA D． AB  第 3 页 共 6 页 四．子集与真子集的个数 概念 个数 方法 子集 若 BA ，则 A叫做 B的子集 n2 （ n是集合中元素的个数） 子集个数与真 子集个数只与 元素个数有关 真子集 若 A⫋ B，则 A叫做 B的真子集 12 n （ n是集合中元素的个数） 非空子集 子集中除开空集 12 n （ n是集合中元素的个数） 非空真子集 子集中除开母集本身与空集 22 n （ n是集合中元素的个数） 题型二 子集与真子集的个数 例 1 （1）写出集合{a，b，c}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集； （2）集合{1，2，3}的真子集共有（ ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 变 1 若某集合有 31个真子集，则该集合有______个元素. 例 2 集合  N 2 1 3A x x      的真子集的个数是（ ） A．64 B．63 C．32 D．31 变 2 已知集合 { N | 2 3}A x x     ，则集合 A的所有真子集的个数是（ ） A．6 B．7 C．14 D．15 例 3 满足关系 1,2,3 A ⫋  0,1,2,3,4,5 的集合A的个数为 . 变 3 满足条件   2 3 2 0 1, 2,3, 4,5,6x x x A    ∣ 的集合A的个数为 . 题型三 根据子集个数求参数 例 1 已知集合  2 3 2 0A x ax x    有且仅有两个子集，求满足条件的实数 a组成的集合． 例 2 若集合  2 2 1 0, RA x ax x x     至多有一个真子集，求 a的取值范围． 第 4 页 共 6 页 变 1 若集合   21 0A x k x x k     有且仅有两个子集，求实数 k的值． 变 2 已知集合 2{ | 8 16 0, , }A x kx x k x     R R . （1）若 A只有一个元素，试求实数 k的值，并用列举法表示集合 A； （2）若 A至多有两个子集，试求实数 k的取值范围. 题型四 根据集合相等求参数 例 1 已知集合  2, 2 ,1 , {2 ,1,3}A a a a B a b    ，若 A B ，则 a b （ ） A． 2 B．2 C． 6 D．6 例 2 已知mR， nR ，若集合  2, ,1 , ,0nm m m nm       ，则 2025 2025m n 的值为 . 变 1 已知数集  1, , 2A a a   ，  2 , 2, 2B a  ，若 A=B，则 a  . 变 2 若集合  1, ,A a b ，集合  2, ,B a a ab ，且 A=B，则（ ） A． 1a   ， 0b  B． 1a  ， 0b  C． 1a   ， 0b  D．不确定 五．根据集合间的关系求参数的方法 方法 方程型 利用子集从母集分元素，分情况讨论即可. 不等式型 1.画数轴；2.根据“母空子实，不能取等”来判断是否能取“=”. 题型五 根据集合间的关系求参数 例 1 （多选）已知集合  1,A x ax x a   R ，  2 56 0B x x x    ，若 A B ，则实数 a的值可以 是（ ） A． 8 7 B． 7 8 C．0 D．1 变 1 （多选）设集合  2| 3 4 0A x x x    ，  | 1 0B x ax   ，若B A ，则实数 a的值可以为（ ） A． 4 B．1 C．0 D． 1 4  第 5 页 共 6 页 例 2 设集合  2 4 0A x x x   ，   2 22 1 1 0B x x a x a      ． （1）若 B A ，求实数 a的取值范围； （2）若 A B ，求实数 a的取值范围. 变 2 已知  022  xxxA ，  0422  aaxxxB ，若 AB  ，求实数 a的值． 例 3 已知集合  A x x a  ，  0 3B x x   ，若 B A ，则实数 a的取值范围为 . 例 4 已知    2 5 , 1 2 1M x x N x a x a        ． （1）若M N ，求实数 a的取值范围； （2）若M N ，求实数 a的取值范围． 变 3 已知集合  2 5A x x    ， { 1 2 1,B x m x m m     为实数. （1）若 B A ，求实数 m的取值范围； （2）若 A B ，求实数 m的取值范围． 变 4 已知集合  2 5P x x    ，  1Q x x k   且 2 1x k  ，且Q P .求实数 k的取值范围. 课后强化 1.下列表达式中正确的是（ ） A． 0 B．  0 C．⫋  0 D．  0 第 6 页 共 6 页 2.下面五个式子中：①  a a ；②  a ；③   ,a a b ；④   a a ；⑤  , ,a b c a ，正确的有（ ） A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤ 3.若某集合有 32个子集，则该集合有_____个元素.若某集合有 14个非空真子集，则该集合有_____个元素. 4.已知集合  3M x x a   N ，若集合M 有 15个真子集，则实数 a的取值范围为 ． 5.已知集合M满足{1，2}⊆M⫋ {1，2，5，6，7，0}，则符合条件的集合M有______个. 6.已知集合  023)1( 2  xxaxA ，若 A的子集个数为 2个，则实数 a ______. 7.已知集合 2{ | 2 1 0}M x mx x    ． （1）若 M 有两个子集，求m的取值范围； （2）若 M 中至多有两个子集，求m的取值范围． 8.已知集合       3, 4 , 3 0,M N x x x a a     R∣ ， 若M N= ， 则 a （ ） A．3 B．4 C． 3 D． 4 9.已知集合  1, ,A m n ，  2 , ,B m m mn ．若 A B ，则 2024 2025m n （ ） A． 1 B．0 C．1 D．2 10.（多选）已知集合    2 4 , 1A x x B x ax    ，若 B A ，则 a的可能取值为（ ） A． 1 2  B． 1 C．0 D． 2 11.已知集合  2| 2 0A x x x   ，非空集合   2 2| 2 2 4 0B x x m x m      ，若 B A ，求实数m的值． 12.已知集合  1 2A x x   ，  B x x a  ，若 A B ，则实数 a的取值范围是（ ） A． 2a B． 2a C． 2a D． 2a 13.已知集合 { 1 3}A x x  ∣ ，  1 2B x a x a    ∣ ，且 B A ，则实数 a的取值范围为 . 14.（1）已知 { 3A x x   或 1}x  .若 { 3 1B x x m   或 2}x m  ， BA ，求m的取值范围； （2）若  2 3 1B x m x m     ， AB  ，求m的取值范围.