1.1集合的概念讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第 1 页 共 7 页 第一章 集合与常用逻辑用语 ❊1.1 集合的概念 思维导图 题型精析 一．集合的概念 集合的概念 集合：一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，通常用英文大写字母 A，B， C，…表示． 元素的概念 集合中的对象叫作这个集合的元素，通常用英文小写字母 a，b，c，…表示． 【注意】集合的定义只需要看元素是否确定，而不管是否有元素． 【规定】一个集合中的任何两个元素都不相同，也就是说，集合中的元素没有重复． 题型一 集合的概念 第 2 页 共 7 页 例 1 在“①难解的题目；②方程 2 1 0x   在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点； ④很多多项式”中，能够组成集合的是（ ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 变 1 下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与 1非常接近的全体实数 B．新学期 2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 变 2 下列所给的对象能构成集合的是_______． （1）高中数学必修第一册课本上所有的难题；（2）高一三班的高个子； （3）英文 26个字母；（4）中国古代四大发明；（5）方程 2 2x   的实数根. 二．元素与集合的关系 关系 记作 读作 含义 元素与集合 的关系 属于 Aa a属于 A a是集合 A中的元素 不属于 Aa a不属于 A a不是集合 A中的元素 三．常用集合 实数集 有理数集 整数集 自然数集 正实数集 正整数集 正自然数集 记作 R Q Z N R*或 R+ Z*或 Z+ N*或 N+ 四．集合的分类 分类 有限集 无限集 含义 集合中的元素个数有限 集合中的元素个数无限 题型二 元素与集合的关系 例 1 给出下列 6个关系：① 2 2 R，② 3Z ，③0 N ，④ 4N，⑤ πQ ，⑥ 2 Z ．其中 正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 变 1 给出下列关系：① *2 N  ；②0 Z ；③ 2 Q ；④ 3 R 2   ；⑤1.21 Q  .其中错误的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 例 2 已知集合   | 1 0M x x x   ,那么（ ） A．0 M B．1 M C． 1 M  D．0 M 变 2 已知集合  1 3A x R x    ，则下列关系正确的是（ ） A．1 A B．2 A C．3 A D． 4 A 变 3 （多选）已知集合  2 , , ZA x x a b a b    ，则下列各项为A中的元素的是（ ） 第 3 页 共 7 页 A．0 B．1 2 2 C． 21 2  D． 1 3 2 2 五．集合的性质 含义 确定性 个集合中的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合 无序性 集合中的元素一定是互不相同的 互异性 集合的元素无先后顺序之分 题型三 集合的互异性 例 1 设  22, 2 5 ,12A x x x   ，已知 3 A  ，求 x的值. 变 1 （多选）设集合  23, 2, 4A x x x    ，且5 A ，则 x的值可以为（ ） A．3 B． 1 C．5 D． 3 变 2 集合 23, 2 },{ x x x 中，求 x应满足的条件. 六．集合的表示方法 含义 列举法 1.把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法， 一般可将集合表示为{a，b，c，…}； 2.如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下， 可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示； 3.无限集有时也可用列举法表示. 描述法 1.一般地，设 A是一个集合，我们把集合 A中所有具有共同特征 P(x)的元素 x所组成的集 合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线， 写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}； 2.表示方法： . 第 4 页 共 7 页 题型四 集合的表示方法 例 1 下面三个集合：      2 2 2| 1 , | 1 , ( , ) | 1 ,A x y x B y y x C x y y x         请说说它们各自代表的 含义． 变 1 （1）集合  NyNxxyyA  ,,62 与集合  NyNxxyyxB  ,,6),( 2 是否相同？ （2）集合  32  xyxA 与集合  32  tstB 是否相同？ 例 2 用适当的方法表示下列集合： （1）方程  2 2 1 0  x x x 的解集； （2）在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合； （3）不等式 2 6 x 的解的集合； （4）大于 0.5且不大于 6的自然数的全体构成的集合； 变 2 选择适当的方法表示下列集合． （1）绝对值不大于 3的整数组成的集合； （2）方程 (3 5)( 2) 0x x   的实数解组成的集合； （3）一次函数 6y x  图像上所有点组成的集合； （4）满足方程 xx  ， Zx 的所有 x的值构成的集合． 题型五 列举法 例 1 用列举法表示集合 *6 , 5 A a N a Z a         _______． 变 1 用列举法表示集合 10 , 2 M m N m Z m         _______． 第 5 页 共 7 页 变 2 若集合  * *( , ) | 2 4, ,A x y x y y N x N     ，用列举法表示： A  _______． 题型六 描述法 例 1 已知集合 2{ | 3 2 0, }A x ax x x R     （1）若 A ，求实数 a的取值范围； （2）若 A中至多有一个元素，求实数 a的值，并写出相应的集合； （3）若 A中至少有两个元素，求实数 a的取值范围. 变 1 （多选）若集合     2 2 3 0| 1A x k x k x      有且只有一个元素，则实数 k的值可以为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 变 2 若集合  2| 3 2 0A x ax x   R 中至多有一个元素，求实数 a的值. 七．相同集合 含义 相同集合 两个集合的元素完全相同. 题型七 相同集合 例 1 下列四组中表示同一集合的为（ ） A．   1,3M   ，   3, 1N   B．  1,3M   ，  3, 1N   C．   2, | 3M x y y x x   ，  2| 3  N x y x x D．  0M ， 0N 变 1 下列四组集合中表示同一集合的为（ ） A．   1,3M   ，   3, 1N   B．  1,3M   ，  3, 1N   C．   2, 3M x y y x x   ，  2 3N x y x x   第 6 页 共 7 页 D．  M   ，N  变 2 （多选）下列各组中 ,M P表示不同集合的是（ ） A．  3, 1M   ，   3, 1P   B．   3,1M  ，   1,3P  C．  2 1,M y y x x   R ，  2 1,P x x t t   R D．  2 1,M y y x x   R ，   2, 1,P x y y x x    R 课后强化 1.（多选）下面能组成一个集合的是（ ） A．某中学高一年级聪明的学生 B． 3 的近似值 C．直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点 D．所有奇数 2.已知集合  3 2,A x x k k   Z ，则下列判断正确的是（ ） A．3 A B． 4 A C． 3 A  D． 4 A  3.已知集合  3 2 , ,A x x a b a b    Z Z∣ ，判断 6 2 2  是不是集合A中的元素． 4.已知集合 { , , baP x x a b a b    为非零常数}，则下列不正确的是（ ） A． 1 P  B． 2 P  C．0 P D． 2 P 5.“mooncake”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 6.（多选）已知 x，y，z为非零实数，代数式 xyzx y z x y z xyz    的值所组成的集合是 M，则下列判断正确的 是（ ） A．0 M B． 2 M C． M4 D． M4 7.已知集合  22,3, 4 2A a a   ， 2{0,7, 4 2, 2B a a a    ，且7 A ，求集合 B． 第 7 页 共 7 页 8.用描述法表示下列集合： （1）所有被 3整除的整数组成的集合； （2）不等式 2 3 5x   的解集； （3）方程 2 1 0x x   的所有实数解组成的集合； （4）抛物线 2 3 6y x x    上所有点组成的集合； （5）集合 1,3,5,7,9 . 9.已知集合          ZxN x xA ， 7 12 ，用列举法表示集合 A  _______． 10.已知集合  2 2 1 0, RA x ax x a    ∣ . （1）若 A中只有一个元素，求 a的值； （2）若 A中至少有一个元素，求 a的取值范围. 11.（多选）下列说法正确的是（ ） A．由1, 2,3组成的集合可表示为 1,2,3 或 3,2,1 B．与 0 是同一个集合 C．集合 2| 1 x y x 与集合 2| 1y y x  是同一个集合 D．集合 2| 5 6 0x x x   与集合 2, 3  是同一个集合 第一章 集合与常用逻辑用语 ❊1.1 集合的概念 思维导图 题型精析 一．集合的概念 集合的概念 集合：一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，通常用英文大写字母A，B，C，…表示． 元素的概念 集合中的对象叫作这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c，…表示． 【注意】集合的定义只需要看元素是否确定，而不管是否有元素． 【规定】一个集合中的任何两个元素都不相同，也就是说，集合中的元素没有重复． 题型一 集合的概念 在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（ ）例1 A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 下列各对象可以组成集合的是（ ）变1 A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 下列所给的对象能构成集合的是_______．变2 （1）高中数学必修第一册课本上所有的难题；（2）高一三班的高个子； （3）英文26个字母；（4）中国古代四大发明；（5）方程的实数根. 二．元素与集合的关系 关系 记作 读作 含义 元素与集合 的关系 属于 a属于A a是集合A中的元素 不属于 a不属于A a不是集合A中的元素 三．常用集合 实数集 有理数集 整数集 自然数集 正实数集 正整数集 正自然数集 记作 R Q Z N R*或R+ Z*或Z+ N*或N+ 四．集合的分类 分类 有限集 无限集 含义 集合中的元素个数有限 集合中的元素个数无限 题型二 元素与集合的关系 给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（ ）例1 A．4 B．2 C．3 D．5 给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（ ）变1 A．1 B．2 C．3 D．4 已知集合,那么（ ）例2 A． B． C． D． 已知集合，则下列关系正确的是（ ）变2 A． B． C． D． （多选）已知集合，则下列各项为中的元素的是（ ）变3 A．0 B． C． D． 五．集合的性质 含义 确定性 个集合中的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合 无序性 集合中的元素一定是互不相同的 互异性 集合的元素无先后顺序之分 题型三 集合的互异性 设，已知，求x的值.例1 （多选）设集合，且，则x的值可以为（ ）变1 A．3 B． C．5 D． 集合中，求x应满足的条件.变2 六．集合的表示方法 含义 列举法 1.把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}； 2.如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示； 3.无限集有时也可用列举法表示. 描述法 1.一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}； 2.表示方法：. 题型四 集合的表示方法 下面三个集合：请说说它们各自代表的含义．例1 （1）集合与集合是否相同？变1 （2）集合与集合是否相同？ 用适当的方法表示下列集合：例2 （1）方程的解集； （2）在自然数集内，小于的奇数构成的集合； （3）不等式的解的集合； （4）大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合； 选择适当的方法表示下列集合．变2 （1）绝对值不大于3的整数组成的集合； （2）方程的实数解组成的集合； （3）一次函数图像上所有点组成的集合； （4）满足方程，的所有x的值构成的集合． 题型五 列举法 用列举法表示集合_______．例1 用列举法表示集合_______．变1 若集合，用列举法表示：_______．变2 题型六 描述法 已知集合例1 （1）若，求实数的取值范围； （2）若A中至多有一个元素，求实数的值，并写出相应的集合； （3）若A中至少有两个元素，求实数的取值范围. （多选）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（ ）变1 A．4 B．3 C．2 D．1 若集合中至多有一个元素，求实数a的值.变2 七．相同集合 含义 相同集合 两个集合的元素完全相同. 题型七 相同集合 下列四组中表示同一集合的为（ ）例1 A．， B．， C．， D．， 下列四组集合中表示同一集合的为（    ）变1 A．， B．， C．， D．， （多选）下列各组中表示不同集合的是（ ）变2 A．， B．， C．， D．， 课后强化 1.（多选）下面能组成一个集合的是（ ） A．某中学高一年级聪明的学生 B．的近似值 C．直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点 D．所有奇数 2.已知集合，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 3.已知集合，判断是不是集合中的元素． 4.已知集合为非零常数，则下列不正确的是（ ） A． B． C． D． 5.“mooncake”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 6.（多选）已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 7.已知集合，，且，求集合． 8.用描述法表示下列集合： （1）所有被3整除的整数组成的集合； （2）不等式的解集； （3）方程的所有实数解组成的集合； （4）抛物线上所有点组成的集合； （5）集合. 9.已知集合，用列举法表示集合_______． 10.已知集合. （1）若A中只有一个元素，求的值； （2）若A中至少有一个元素，求的取值范围. 11.（多选）下列说法正确的是（ ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语 ❊1.1 集合的概念 思维导图 题型精析 一．集合的概念 集合的概念 集合：一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，通常用英文大写字母A，B，C，…表示． 元素的概念 集合中的对象叫作这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c，…表示． 【注意】集合的定义只需要看元素是否确定，而不管是否有元素． 【规定】一个集合中的任何两个元素都不相同，也就是说，集合中的元素没有重复． 题型一 集合的概念 在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（ ）例1 A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 【答案】A 【分析】根据集合中元素的确定性可判断各选项. 【详解】①难解的题目，不满足元素的确定性，不能组成集合； ②方程无解，即方程在实数集内的解组成的集合为； ③直角坐标平面上第四象限内的所有点组成的集合为； ④很多多项式，不满足元素的确定性，不能组成集合； 故选：A. 下列各对象可以组成集合的是（ ）变1 A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 【答案】B 【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【详解】对于A：“非常接近”不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：“比较好”不具有确定性，故选项C错误； 对于D：“高手”不具有确定性，故选项D错误. 故选：B 下列所给的对象能构成集合的是_______．变2 （1）高中数学必修第一册课本上所有的难题；（2）高一三班的高个子； （3）英文26个字母；（4）中国古代四大发明；（5）方程的实数根. 【答案】（3）（4）（5） 【分析】由集合的三要素即可求解 【详解】（1）：高中数学必修第一册课本上所有的难题，“所有的难题”不确定， （2）：高一三班的高个子，“高个子”不确定，不满足集合的确定性，故（2）不能构成集合； （3）：英文26个字母，是确定的且满足互异性，故（3）能构成集合； （4）：中国古代四大发明，是确定的且满足互异性，故（4）能构成集合； （5）方程没有实数根，故能构成空集. 故能构成集合的是（3）（4）（5） 故答案为：（3）（4）（5） 二．元素与集合的关系 关系 记作 读作 含义 元素与集合 的关系 属于 a属于A a是集合A中的元素 不属于 a不属于A a不是集合A中的元素 三．常用集合 实数集 有理数集 整数集 自然数集 正实数集 正整数集 正自然数集 记作 R Q Z N R*或R+ Z*或Z+ N*或N+ 四．集合的分类 分类 有限集 无限集 含义 集合中的元素个数有限 集合中的元素个数无限 题型二 元素与集合的关系 给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（ ）例1 A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可． 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． 给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（ ）变1 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】依次判断出各数所属于的数域范围，再利用元素与集合的关系判定即可. 【详解】对于命题①，，所以命题①错误， 对于命题②，，所以命题②错误， 对于命题③，因为是无理数，，所以命题③错误， 对于命题④，因为，所以命题④正确， 对于命题⑤，因为是无限循环小数，是有理数，即，所以命题⑤正确， 故选：C. 已知集合,那么（ ）例2 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知集合， 故，故A正确，D错误，，故B错误，，故C错误，故选：A 已知集合，则下列关系正确的是（ ）变2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系可得答案. 【详解】因为集合，所以，，， 故选：D （多选）已知集合，则下列各项为中的元素的是（ ）变3 A．0 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】元素与集合的关系，就是看元素是否符合集合的要求，逐个验证即可. 【详解】A选项：，且，∴，故A正确； B选项：，且，∴，故B正确； C选项：，且，∴，故C不正确； D选项：，且，∴，故D正确. 故选：ABD 五．集合的性质 含义 确定性 个集合中的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合 无序性 集合中的元素一定是互不相同的 互异性 集合的元素无先后顺序之分 题型三 集合的互异性 设，已知，求x的值.例1 【答案】 【分析】由题意可得或，运算求解，注意集合的互异性. 【详解】（i）若，解得， 则，此时，不成立； （ⅱ）若，整理得，解得或， ①当时，则，此时，符合题意； ②当时，则，此时，不成立； 综上所述：. （多选）设集合，且，则x的值可以为（ ）变1 A．3 B． C．5 D． 【答案】BC 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【详解】∵，则有： 若，则，此时，不符合题意，故舍去； 若，则或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述：或. 故选：BC. 集合中，求x应满足的条件.变2 【答案】x≠0且x≠－1且x≠3 【分析】利用集合中元素的互异性求解. 【详解】由集合互异性知，故x≠0且x≠－1且x≠3. 六．集合的表示方法 含义 列举法 1.把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}； 2.如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示； 3.无限集有时也可用列举法表示. 描述法 1.一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}； 2.表示方法：. 题型四 集合的表示方法 下面三个集合：请说说它们各自代表的含义．例1 【答案】答案见解析 【分析】根据集合的代表元素，确定集合元素的性质，为数集，为数集，为点集． 【详解】是数集，是以函数的定义域构成集合，且； 是数集，是由函数的值域构成，且； 为点集，是由抛物线上的点构成． （1）集合与集合是否相同？变1 （2）集合与集合是否相同？ 【答案】（1）不相同；（2）相同 用适当的方法表示下列集合：例2 （1）方程的解集； （2）在自然数集内，小于的奇数构成的集合； （3）不等式的解的集合； （4）大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合； 【答案】答案见解析. 【解析】利用列举法表示（1），（4），用描述法表示（2），（3）即可. 【详解】（1）因为方程的解为和， 所以的解集为； （2）且； （3）； （4）. 选择适当的方法表示下列集合．变2 （1）绝对值不大于3的整数组成的集合； （2）方程的实数解组成的集合； （3）一次函数图像上所有点组成的集合； （4）满足方程，的所有x的值构成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】由题,用列举法表示（1）（2）,用描述法表示（3）（4）即可 【详解】（1）绝对值不大于3的整数有-3,-2,-1,0,1,2,3,共7个,用列举法表示为 （2）方程的实数解仅有两个,分别是,,用列举法表为 （3）一次函数图像上有无数个点,用描述法表示为 （4）因为自然数都满足方程，即方程有无数个解， 所以用描述法表示为 题型五 列举法 用列举法表示集合_______．例1 【答案】 【分析】对整数取值，并使为正整数，这样即可找到所有满足条件的值，从而用列举法表示出集合． 【详解】因为且 所以可以取，2，3，4. 所以 故答案为： 用列举法表示集合_______．变1 【答案】 【分析】利用题目条件，依次代入，使， ，从而确定的值，即可得到所求集合． 【详解】，为的正因数， ， 故答案为 若集合，用列举法表示：_______．变2 【答案】 【分析】根据解出方程，写成集合形式. 【详解】由题：， 根据，必有，且， 所以只能， 所以. 故答案为： 题型六 描述法 已知集合例1 （1）若，求实数的取值范围； （2）若A中至多有一个元素，求实数的值，并写出相应的集合； （3）若A中至少有两个元素，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）实数的取值为；当时，；当时，；当时，；（3） 【分析】（1）方程无解，则，根据判别式即可求解； （2）分方程无解或者一个解讨论即可； （3）由题意可知有两个不等的实根，由判别式求解即可. 【详解】（1）若A是空集，则方程无解， 此时 且，即， 所以的取值范围为； （2）若A中至多有一个元素， 则方程有且只有一个实根或者无解， 若方程有且只有一个实根，则 当时，方程为一元一次方程，满足条件， 当时，此时，解得：， 若方程无解，由（1）可知， 综上可知：若A中至多有一个元素，则实数的取值为； 当时，；当时，；当时，； （3）若A中至少有两个元素，则有两个不等的实数根， 此时 且，解得且， 所以a的取值范围是. （多选）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（ ）变1 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】AD 【分析】根据题意可知，方程的根只有一个，分当和当时，直接根据方程只有一个根求解即可. 【详解】当，即时，，符合题意； 当，即时，若集合只有一个元素， 由一元二次方程根的判别式，解得. 综上实数的值可以为，. 故选：AD 若集合中至多有一个元素，求实数a的值.变2 【答案】 【分析】当时，验证是否满足题意，当时，由即可求解. 【详解】由题意有：当时，满足题意， 当时，， 故答案为：. 七．相同集合 含义 相同集合 两个集合的元素完全相同. 题型七 相同集合 下列四组中表示同一集合的为（ ）例1 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 下列四组集合中表示同一集合的为（    ）变1 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质可判断. 【详解】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确； 对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确； 对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确； 对D，是以为元素的集合，是空集，则D不正确． 故选：B． （多选）下列各组中表示不同集合的是（ ）变2 A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案. 【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故； 选项B中，与表示不同的点，故； 选项C中，，，故； 选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故. 故选：ABD. 课后强化 1.（多选）下面能组成一个集合的是（ ） A．某中学高一年级聪明的学生 B．的近似值 C．直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点 D．所有奇数 【答案】CD 【分析】由集合元素的确定性逐个判断即可. 【详解】某中学高一年级聪明的学生, 的近似值所指元素都不具有确定性， 直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点，所有奇数所指元素明确. 故选:CD 2.已知集合，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用集合的表示方法，结合选项，列出方程，即可求解. 【详解】对于A中，令，解得，所以A错误； 对于B中，令，解得，所以B错误； 对于C中，令，解得，所以C错误， 对于D中，令，解得，所以D正确． 故选：D. 3.已知集合，判断是不是集合中的元素． 【答案】是，理由见解析 【分析】假设命题成立，进行推导是否能符合集合中元素的特性即找出整数，使得导，对于存在性的命题，找出一个实例即可． 【详解】解：是集合中的元素， 假设，则必，，使得， 此时取，即可，所以假设成立． 4.已知集合为非零常数，则下列不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分，；，或，异号，进行求值，即可得解. 【详解】若，时，； 若，时，； 若，异号时，． 故选：A 5.“mooncake”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据集合的互异性分析求解. 【详解】因为“mooncake”中的字母有m，o，n，c，a，k，e， 其构成的集合为，有7个元素. 故选：C. 6.（多选）已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【详解】当均为负数时，； 当两负一正时，； 当两正一负时，； 当均为正数时，； ∴，A、B错误，C、D正确. 故选：CD 7.已知集合，，且，求集合． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，列方程，解方程求出，再根据元素互异性，即可确定集合B. 【详解】由题意，，即，解得或． 当时，集合中元素7和相等，不满足元素互异性，舍去； 当时，，，故． 8.用描述法表示下列集合： （1）所有被3整除的整数组成的集合； （2）不等式的解集； （3）方程的所有实数解组成的集合； （4）抛物线上所有点组成的集合； （5）集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)且 【分析】根据题设中的集合和集合的表示方法，逐项表示，即可求解. 【详解】（1）解：所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为： （2）解：不等式的解集，用描述法可表示为：. （3）解：方程的所有实数解组成的集合， 用描述法可表示为：. （4）解：抛物线上所有点组成的集合， 用描述法可表示为：. （5）解：集合，用描述法可表示为：且. 9.已知集合，用列举法表示集合_______． 【答案】 【分析】根据元素特征即可得到结果. 【详解】由题意得，2，3，4，6，12 解得，5，4，，1， 所以集合，，1，3，4，5，． 故答案为： 10.已知集合. （1）若A中只有一个元素，求的值； （2）若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】(1)针对和两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出的值即可 (2)确定A中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素 的情况即可得出的取值范围 【详解】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时， 为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素， A中只有一个元素时或. （2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且 ，得且，再结合A中一个元素的情况，的取值范围为. 11.（多选）下列说法正确的是（ ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】AD 【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有， 故A正确. 对于B，不是空集，故B错误. 对于C，，而， 故两个集合不是同一个集合，故C错误. 对于D，，故D正确. 故选：AD. 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$