1.3.2 全等三角形的判定（第2课时 角边角 ASA）课件 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

第一章 三角形 1.3全等三角形的判定 第1课时 边角边（SAS） ⒈已学过判定两个三角形全等的方法有： SAS 2.全等三角形的对应边、对应角有什么重要性质？ 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 两边及其夹角分别 相等的两个三角形全等. 知识关联 2．判断三角形全等至少要有几个条件？ 答：至少要有三个条件． 在△ABC与△ DEF中， AB＝DE（已知）， ∠B＝∠E（已知）， BC＝EF（已知）， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 1．上节课你学会了哪种证明三角形全等的方法？ 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 （边角边或“SAS”）． 知识关联 四种可能 三个角 两边及一角 两角及一边 三条边 两边夹一角 两边及其中一边的对角 两角夹一边 两角及其中一角的对边 3．请猜想，构成全等还有哪些条件组合 ？ √ 知识关联 本页课件和前面第1课时的内容相呼应 4 (Thales，约公元前625～前547年) 泰勒斯(古希腊哲学家) 有一天泰勒斯发现，可以用下面的方法求出岸上一点到海中一艘船的距离． 如图，A是观察点，船P在A的正前方，过A作AP的垂线l，在垂线l上截取任意长AB，O是AB的中点．观测者从B点沿垂直于AB的BK方向走，直到点K、船P和点O在一条直线上，那么BK的距离即为船离岸的距离． A P ∟ l ∟ K O B 你知道为什么吗？ 情景导入 用纸板挡住两个三角形的一部分，你能画出这两个三角形吗?如果能，你画的三角形和其他同学画的三角形能完全重合吗? 可以画无数个 三角形能唯一确定 活动探究 如图,给定△ABC,在透明纸上用直尺和圆规作△A'B'C',使得∠B'=∠B,∠C'=∠C,B'C'=BC.这两个三角形全等吗? 补全下面△A'B'C'的作法并回答上述问题. 活动探究 作法 图形 1.作B'C'=　　　　;  2.在B'C'的同侧分别作∠MB'C'=　　　　,  ∠NC'B'=　　　　,B'M,C'N相交于点A'.  △A'B'C'即为所求. BC ∠B ∠C 这两个三角形全等. 活动探究 基本事实——“角边角”:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”). 符号表示: 在△ABC和△A'B'C’中， ∴△ABC≌△A'B‘C’. 基本事实2 （ASA） 9 ASA(或角边角) ASA 基本事实2 夹边 两角及其 分别相等的两个三角形全等，简记为： ． 已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，则△ABC≌△A′B′C′的依据是 . 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是____________. ASA 例题讲解1 ③ ASA 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到 玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带 去， 理由是 . 变式训练 AAS 如图，若∠A＝∠B，∠1＝∠2，AD＝BC，则△AOD≌△BOC的依 据是 . 变式训练 　 如图,在△ABC和△FED中,∠C=∠D,∠B=∠E,根据“ASA”判定△ABC≌△FED,则需要补充的一个条件是　　　　　;  BC=ED 例题详解2 (2)如图,已知∠1=∠2,直接根据“ASA”判定△ABD≌△ACD,则需要补充的一个条件为　　　　 　　;  ∠BAD=∠CAD 例题详解2 如图,点D,A,B在同一条直线上,∠CAD=∠EAB,AE=AC, 直接根据“ASA”判定△ABC≌△ADE,则需要添加的一个条件是　　　　　 .  ∠C=∠E 例题详解2 A B D C O E F 如图，AB=DC，∠B=∠C，欲证△ABF≌△DCE，需要添加条件 ， 证明全等的理由是 ． ∠A=∠D ASA 变式训练 B 如图，AB∥CD，点C是BE的中点，直接应用“ASA” 证明△ABC≌△DCE还需要的条件是(　) A．AB＝CD　　　　 B．∠ACB＝∠E C．∠A＝∠D D．AC＝DE 变式训练 AC＝DF或∠A＝∠D或∠B＝∠E等 如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 (只需写一个，不添加辅助线)． 变式训练 基础 ［2024江苏连云港期中］如图，，相交于点 ，若 ，用“”证明 ，还需添加条件 ( ) B A. B. C. D. 【解析】还需添加,， ， ，故选B. 真题训练 20 ，与交于点 ，请添加一个条件: ________________________，使 （答案不唯一） 【解析】，，， 添加，由 即可证明 .故答案为 （答案不唯一）. 真题训练 21 A B D C O 完成下列推理过程： 在△ABC和△DCB中， ∠ABC＝∠DCB（已知） ∠ACB＝∠DBC（已知） （ ） ∴△ABC≌△DCB（ ） BC=CB 公共边 ASA 例题讲解 D A C B 如图，已知．请将下列说明的理由补充完整． 证明：（已知） ∴________________（两直线平行，内错角相等） 又（已知） ∴_________________（等式的性质） 在和中 （________） （全等三角形的对应边相等）． ∠ADB=∠CBD ∠ABD=∠CDB ∠ADB=∠CBD BD=DB ∠ABD=∠CDB ASA 例题变式 A P ∟ l ∟ K O B 证明：∵PA⊥AB，KB⊥AB（已知），∴∠PAO=∠KBO=90°（垂直定义）. ∵点O是线段AB的中点（已知），∴AO=BO （线段中点定义）. 在△PAO和△KBO中, ∴△ PAO ≌△ KBO(ASA). ∴BK=AP （全等三角形的对应边相等）， ∴ BK的距离即为船离岸的距离. 如图，A是观察点，船P在A的正前方，过A作AP的垂线l，在垂线l上截取任意长AB，O是AB的中点．观测者从B点沿垂直于AB的BK方向走，直到点K、船P和点O在一条直线上，那么BK的距离即为船离岸的距离． 情景解决 ［2024江苏南京浦口区质检］如图是嘉淇测量水池 宽度的方案， 下列说法不正确的是( ) D ①过点作； ②在上取，两点，使得 ； ③过点作； ④作射线，交于点 ； ⑤测量☆的长度，即为水池 的宽度. A. 代表 B.代表 C.☆代表 D.该方案的依据是 真题训练 25 如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E，F分别在AB，AC上，且DE // AC，DF // AB。求证：△EBD≌△FDC。 分析：由图可知： 已知、已证的条件为两角及其夹边， 可用“ASA”证明全等。 ⇓ 边相等 A B C D E F ∠EDB = ∠C，∠B = ∠FDC 例题详解P20 如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E，F分别在AB，AC上，且DE // AC，DF // AB。求证：△EBD≌△FDC。 A B C D E F 证明：∵DE // AC，DF // AB， ∴∠EDB = ∠C，∠B = ∠FDC ( 两直线平行，同位角相等 )， ∵D是BC的中点，∴BD = DC， 在△EBD和△FDC中， ∴△EBD≌△FDC ( ASA )。 △EBD平移后可以与△FDC重合 例题详解P20 在上图中，如果AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C' 的角平分线 ( 或中线 )，那么AD与A'D'相等吗？证明你的结论。 解：AD与A'D'相等。 例题详解P20 AB,CD相交于点O,O是AB的中点,AC∥BD. 求证:△ACO≌△BDO. 证明:∵O是AB的中点,∴AO=BO. ∵AC∥BD,∴∠A=∠B. 在△ACO与△BDO中, ∴△ACO≌△BDO.（ASA） 例题变式 如图,在四边形ABCD中,∠B=∠DAB=90°,DF⊥AC于点F,延长DF交AB于点E,AE=BC.求证:AC=DE. 证明:∵DF⊥AC,∴∠AFE=90°. ∴∠CAB+∠AED=90°. ∵∠B=90°, ∴∠CAB+∠ACB=90°. ∴∠ACB=∠DEA. 例题变式 在△ABC 和△DAE 中, ∴△ABC≌△DAE(ASA). ∴AC=DE. 例题变式 1.证明两个三角形全等方法： (1).两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 (边角边或“SAS”)． (2).两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 (角边角或“ASA”)． 课堂小结 1.如图,点D在AB上,点E在AC上,且∠B=∠C,那么补充下列哪个条件后,可直接用“ASA”判定△ABE≌△ACD的是 (　　) A.AD=AE B.∠AEB=∠ADC C.BE=CD D.AB=AC D 综合练习 全品初中 2.如图,在△ABC和△DEF中,AB=DE,∠B=∠E,要运用“ASA”直接判定△ABC≌△DEF,还需补充的条件是　 　　　.  ∠A=∠D 综合练习 3.如图,已知∠B=∠E,AB=DE,要证明△ABC≌△DEC, (1)若以“SAS”为依据,应添加条件:　　　　　　　;  (2)若以“ASA”为依据,应添加条件:　　　　　　　.  BC=EC ∠A=∠D 综合练习 全品初中 4.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C. 求证：BD=CE . 证明 ：在△ADC和△AEB中, ∠A=∠A（公共角） AC=AB（已知） ∠C=∠B（已知） ∴△ACD≌△ABE（ASA） ∴AD=AE（全等三角形的对应边相等） 又∵AB=AC（已知） ∴AB-AD=AC-AE（等式的性质） ∴BD=CE D B E A O C 综合练习 5.如图,∠A＝∠B，∠1＝∠2，EA＝EB，你能证明AC＝BD吗? 证明:∵ ∠1＝∠2 ， ∴ ∠1＋∠BEC＝∠2＋∠BEC，（等式的性质） ∴ ∠AEC＝∠BED， 在△EAC和△EBD中， ∠A＝∠B ， EA＝EB， ∠AEC＝∠BED， ∴△EAC≌△EBD（ASA）， ∴AC＝BD．（全等三角形对应边相等） 综合练习 1. 找出图中的全等三角形，并说明理由. B A C 75° 7 25° Y X Z 7 60° 50° Q P R 110° 7 25° 70° 50° 7 W S T F D E 110° 25° 60° 7 75° 25° 7 G M N (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解：(1)和(6)，(2)和(4)，(3)和(5)，根据基本事实“ASA”. 课本练习 2. 如图，∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2. 求证：AB＝DC. B A C 1 D 2 证明：∵∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2， ∴∠ABC－∠1＝∠DCB－∠2， 即∠DBC＝∠ACB. 在△ABC和△DCB中， ∴ △ABC≌△DCB (ASA)． ∴AB＝DC. 课本练习 A C B D F E 如图，E、F 在线段AC上，DF∥BE，AE=CF．若∠A =∠C， 求证：DF=BE． 证明：∵DF∥BE（已知）， ∴∠DFE＝∠BEF（两直线平行，内错角相等）. ∴∠AFD＝∠CEB（等角的补角相等）. ∵AE=CF （已知）， ∴ AE-EF=CF-EF （等式性质）， 即AF=CE. 在△ADF和△CBE中， ∴△ADF≌△CBE(ASA)， ∴DF＝BE （全等三角形对应边、对应角相等）. 课堂作业 A C B D F E 点B、F、C、E在直线l上(点F、C之间不能直接测量)，点A、D在l的异侧，AB∥DE、∠A=∠D，测得AB=DE. (1)求证:△ABC≌△DEF; (2)若BE=12 m，BF=4 m,求FC的长度. 解:(1)证明:∵AB∥DE， ∴∠ABC=∠DEF. 在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF(ASA). 课堂作业 A C B D F E 点B、F、C、E在直线l上(点F、C之间不能直接测量)，点A、D在l的异侧，AB∥DE、∠A=∠D，测得AB=DE. (1)求证:△ABC≌△DEF; (2)若BE=12 m，BF=4 m,求FC的长度. 解: (2)∵△ABC≌△DEF， ∴BC=EF. ∴BF+FC=EC+FC. ∴BF=EC. ∵BE=12 m，BF=4 m， ∴FC=12-4-4=4(m). 课堂作业 如图，要测量河两岸相对的A，B两点之间的距离，可以在与AB垂直的河岸BF上取C，D两点，且使BC＝DC. 从点D出发沿与河岸BF垂直的方向移动到点E，使点A，C，E在一条直线上. 测量DE的长就能知道A，B两点之间的距离. 请说明理由. 解：∵AB⊥BF，ED⊥BF， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°. 在△ABC和△EDC中, ∴△ ABC ≌△ EDC(ASA). ∴BA＝DE . ∴ 测量DE的长就能知道A，B两点之间的距离. 课后思考 $$