第二章 机械振动（复习课件）物理人教选择性必修第一册

该高中物理课件系统梳理机械振动单元核心知识，涵盖简谐运动定义、回复力公式、振动图像、弹簧振子与单摆模型、受迫振动及共振等内容，通过思维导图和各节知识清单构建知识网络，清晰呈现从概念到模型再到应用的逻辑脉络。 其亮点在于以科学思维和科学探究为导向设计分层复习活动，如通过题型剖析（简谐运动判定、单摆周期计算等）和变式训练培养模型建构与科学推理能力，实验部分（单摆测g）的误差分析深化科学探究素养。这种设计帮助学生巩固知识，也为教师提供精准复习方案，提升教学效率。

第二章 机械振动 人教版（2019）选择性必修 第一册 章末复习提升 单元学习目标 掌握简谐运动、回复力的定义与矢量性，熟记回复力公式F=−kx，准确辨析振幅、周期、频率、角频率等描述量，区分振动位移与路程、振动动能势能转化与普通机械能守恒。 理解简谐运动位移、速度、加速度周期性变化规律，读懂x−t振动图像并提取物理信息，利用振动对称性求解时间、位移、速度等过程问题，分析弹簧振子能量往复转化现象。 理清弹簧振子、单摆两大理想化简谐模型的成立条件与周期公式，掌握等效摆长、等效重力加速度的求解方法，规范进行周期定量计算与单摆测重力加速度实验误差分析。 写一下机械振动的单元复习重点 推荐一些机械振动的单元复习资料 提供一些机械振动的单元复习策略 单元学习目标 熟练区分无阻尼自由振动、阻尼振动、受迫振动，掌握共振的产生条件，分析驱动力频率与固有频率对振幅的影响，能用共振原理解释生活中的应用与防护实例。 能通过受力推导回复力判定物体是否做简谐运动，可结合牛顿运动定律、机械能守恒完成多过程综合列式求解，规避平衡位置判断、正负方向设定等常见易错点。 单元学习重难点 1. 重点： ① 理解简谐运动、回复力的矢量定义，区分振动位移与路程、振动动能势能转化规律； ② 熟练运用振动图像分析位移、速度、加速度周期性变化，利用对称性求解过程问题； ③ 掌握弹簧振子、单摆周期公式，规范完成等效摆长、等效重力加速度相关计算； ④ 区分自由振动、阻尼振动、受迫振动，理解共振产生条件并解释生活实例； ⑤ 掌握简谐运动能量守恒特点，完成单摆测重力加速度实验原理与数据处理。 2. 难点： ① 简谐运动表达式初相位判定、振动图像与解析式互相转化； ② 复杂情境下等效摆长、等效重力加速度的推导与代入计算； ③ 共振条件辨析，驱动力频率与固有频率对振幅影响的定量分析； ④ 证明非标准模型是否为简谐运动（回复力推导）； ⑤ 机械振动与牛顿运动定律、机械能守恒的多过程综合计算题。 1. 本章思维导图 2. 各节知识清单 3. 题型剖析及针对训练 4. 课堂巩固 5. 课堂总结 学习内容 一、本章思维导图 第二章 机械振动 本章思维导图 第二章 机械振动 二、各节知识清单 第二章 机械振动 第1节 简谐运动 一、弹簧振子 1.机械振动：物体或物体的一部分在一个位置附近的 运动，简称振动。 2.弹簧振子：由 和 组成的系统，有时也简称为振子(如图)。 说明：弹簧振子是一个理想化模型，弹簧的质量与小球相比可以忽略，小球运动时空气阻力很小，也可以忽略。 3.平衡位置：小球不振动时，能保持静止的位置。如上图中水平方向的弹簧振子，弹簧未形变时，小球所受合力为 ，处于平衡位置。 往复 小球 弹簧 0 第1节 简谐运动 三、由振动图像(x-t图像)获取的信息 1.位移及变化 (1)①确定某一时刻的位移：如图所示，质点在 t1、t2时刻的位移分别为x1和-x2。 ②确定某段时间内的位移：质点在t1~t2时间内 的位移Δx=-x2- x1。 (2)质点位移的变化情况 靠近平衡位置的过程中，位移减小，平衡位置处最小(为零)；远离平衡位置的过程中，位移增大，最远点位移最大。 第1节 简谐运动 二、简谐运动及其图像 1.振子的位移：以 为坐标原点，指向小球所在位置，即振动小球的位置坐标反映了小球相对于 位置的位移。 2.建立坐标系：以小球的 为坐标原点，用横坐标表示_________ ，纵坐标表示小球 ，描绘出的图像就是 的图像，即x-t图像，如图所示。 平衡位置 平衡 平衡位置 振子运动 的时间(t) 离开平衡位置的位移(x) 位移随时间变化 第1节 简谐运动 3.简谐运动 (1)定义：如果物体的位移与时间的关系遵从 的规律，即它的振动图像(x-t图像)是一条 曲线，这样的振动是一种简谐运动。 (2)简谐运动是最基本的振动。弹簧振子中小球的运动就是简谐运动。 正弦函数 正弦 二、简谐运动及其图像 第1节 简谐运动 三、由振动图像(x-t图像)获取的信息 1.位移及变化 (1)①确定某一时刻的位移：如图所示，质点在 t1、t2时刻的位移分别为x1和-x2。 ②确定某段时间内的位移：质点在t1~t2时间内 的位移Δx=-x2- x1。 (2)质点位移的变化情况 靠近平衡位置的过程中，位移减小，平衡位置处最小(为零)；远离平衡位置的过程中，位移增大，最远点位移最大。 第1节 简谐运动 三、由振动图像(x-t图像)获取的信息 2.速度及变化 (1)运动方向的确定 根据下一时刻质点的位移确定运动方向，如图中的a点，下一时刻质点离平衡位置更远，故a点对应时刻质点向正方向远离平衡位置运动。 第1节 简谐运动 三、由振动图像(x-t图像)获取的信息 (2)质点速度大小的变化情况 ①根据下一时刻质点的位移，判断是远离还是靠近平衡位置。若远离平衡位置，则速度越来越小，位移越来越大；若靠近平衡位置，则速度越来越大，位移越来越小。 ②根据x-t图像的斜率判断速度的大小和方向。斜率绝对值越大，则速度越大，斜率绝对值越小，则速度越小；斜率为正，则速度沿所选的正方向，斜率为负，则速度沿负方向。 第2节 简谐运动的描述 一、简谐运动的振幅、周期和频率 1.振幅 (1)概念：振动物体离开平衡位置的 距离。 (2)意义：振幅是表示 大小的物理量，常用字母 表示。振动物体运动的范围是振幅的 。 说明：①位移是矢量，振幅是标量，最大位移的数值等于振幅。 ②一个给定的简谐运动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。 最大 振动幅度 A 两倍 第2节 简谐运动的描述 2.周期和频率 (1)全振动：一个 的振动过程称为一次全振动。做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是 的。 (2)周期：做简谐运动的物体完成一次 所需要的时间，用T表示。在国际单位制中，周期的单位是 。 (3)频率：物体完成全振动的 与 之比，数值等于_________ 的次数，用f表示。在国际单位制中，频率的单位是 ，简称 ，符号是 。 (4)周期和频率的关系：f= 。周期和频率都是表示物体 的物理量， 周期越小，频率越 ，表示振动越 。 完整 相同 全振动 秒(s) 次数 所用时间 单位时间 内完成全振动 赫兹 赫 Hz 振动快慢 大 快 一、简谐运动的振幅、周期和频率 第2节 简谐运动的描述 一、简谐运动的振幅、周期和频率 (5)圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期成 、与频率成 ， 它们间的关系式为ω= ，ω= 。 (6)简谐运动的周期是由振动系统本身的性质决定的，与振幅 (填“有关”或“无关”)。 反比 正比 2πf 无关 第2节 简谐运动的描述 二、简谐运动的相位、表达式 1.相位及相位差 (1)相位：物理学中把( )叫作相位，其中φ是t= 时的相位，叫初相位，或初相。它描述做简谐运动的物体某时刻在一个运动周期中的状态。 (2)相同频率的简谐运动的相位差：Δφ=(ωt+φ1)-(ωt+φ2)= (φ1>φ2)，常说1的相位比2 Δφ，或者说2的相位比1 Δφ。 说明：若Δφ=0，表明两个物体运动步调相同，即同相。若Δφ=π，表明两个物体运动步调相反，即反相。 ωt+φ 0 φ1-φ2 超前 落后 第2节 简谐运动的描述 二、简谐运动的相位、表达式 2.简谐运动的表达式 x= = ，其中：x表示振动物体在t时刻离开平衡位置的位移，A为振幅，ω为圆频率，T为简谐运动的周期，φ0为初相位。 说明：(1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。 (2)从表达式x=Asin(ωt+φ0)体会简谐运动的周期性。当Δφ=(ωt2+φ0)-(ωt1+φ0) =ω·Δt=2nπ(n=1，2，3…)时，Δt==nT(n=1，2，3…)，振子位移相同， 每经过一个周期T完成一次全振动。 Asin(ωt+φ0) Asin 第3节 简谐运动的回复力和能量 一、简谐运动的回复力 1.回复力 (1)定义：使振动物体回到 的力。 (2)方向：总是指向 。 (3)表达式：F= 。式中“-”号表示F与x方向相反。 2.简谐运动 理论上可以证明，如果物体所受的力具有 的形式，物体就做简谐运动。也就是说：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置______ 的大小成 ，并且总是指向 ，物体的运动就是简谐运动。 平衡位置 平衡位置 -kx F=-kx 位移 正比 平衡位置 第3节 简谐运动的回复力和能量 二、简谐运动的能量 3.能量特点 在简谐运动中，振动系统的机械能 ，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种 的模型。 4.对于弹簧的劲度系数和小球的质量都一定的系统， 越大，机械能越大。 守恒 理想化 振幅 第3节 简谐运动的回复力和能量 三、简谐运动中各物理量的变化 分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧 1.分析简谐运动中各物理量的变化情况时，以位移为桥梁，位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。 2.分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。 第4节 单摆 一、单摆及其回复力 1.单摆 (1)定义：细线一端固定在悬点，另一端系一个小球，如果细线的长度不可改变，细线的 与小球相比可以忽略，球的 与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆。 (2)单摆是实际摆的理想化模型。 2.单摆的回复力 来源：摆球的重力沿 方向的分力，即F= 。  质量 直径 圆弧切线 mgsin θ 第4节 单摆 二、单摆的周期 1.单摆振动的周期与摆球质量 (选填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅 (选填“有关”或“无关”)，但与摆长 (选填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期 (选填“越大”“越小”或“不变”)。 2.单摆周期公式 (1)提出：单摆周期公式是 首先提出的。 (2)公式：T= ，即周期T与 成正比，与_______ 成反比，而与振幅、摆球质量 。 无关 无关 有关 越大 惠更斯 2π 摆长l的二次方根 重力加 速度g的二次方根 无关 第4节 单摆 三、单摆模型的拓展 1.等效摆长及等效重力加速度 (1)等效摆长：图(a)中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的， 甲摆的等效摆长为lsin α，其周期T=2π。图(b)中，乙在垂直纸面方向 摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。 (2)等效重力加速度：一般情况下，公式中g的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。 第4节 单摆 三、单摆模型的拓展 2.几种常见的类单摆模型 模型 图示(l、l1、l2为摆线长，R为圆弧半径，r为摆球半径) 摆长 等效重力加速度 周期T 双线摆   不变，lsin α+r 不变，g T=2π 第4节 单摆 三、单摆模型的拓展 模型 图示(l、l1、l2为摆线长，R为圆弧半径，r为摆球半径) 摆长 等效重力加速度 周期T 折线摆   碰到钉子后变小 不变，g T=π+π 第4节 单摆 三、单摆模型的拓展 模型 图示(l、l1、l2为摆线长，R为圆弧半径，r为摆球半径) 摆长 等效重力加速度 周期T 圆弧摆   不变，R-r 不变，g T=2π 斜面摆   不变，l+r 不变，gsin α T=2π 说明：若小球可视为质点，以上各式中的r为0。 第5节 实验：用单摆测量重力加速度 一、实验思路 1.用单摆测量重力加速度的实验原理是什么？ 答案　单摆在偏角很小(小于5°)时的运动，可看成简谐运动，其周期T= 2π，可得g=。 2.本实验需要测量哪些物理量？需要哪些测量仪器？ 答案　可用刻度尺和游标卡尺等测出摆长l；用停表或数字计时器等测周期T。 第5节 实验：用单摆测量重力加速度 二、实验装置及操作设计 基本实验装置如图所示 第5节 实验：用单摆测量重力加速度 三、数据获取及分析 改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。 实验次数 摆长l/m 周期T/s 1     2     3     第5节 实验：用单摆测量重力加速度 1.获得多组摆长l和周期T数据后，通过什么方法可以进一步得出重力加速度？ 答案　①公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g=中求出g的值，最后求出g的平均值。 ②图像法：由T=2π得T2=l，以T2为纵轴，以l为 横轴作出T2-l图像(如图所示)。其斜率k=，由图像 的斜率即可求出重力加速度g。 三、数据获取及分析 第5节 实验：用单摆测量重力加速度 三、数据获取及分析 2.如果测量摆长过程中漏加了小球的半径？以上方法会对测量结果带来怎样的影响？ 答案　如果采用公式法，由g=可知，漏加小球半径会使重力加速度 的测量值偏小；若采用T2-l图像法，漏加小球半径对图像斜率k=没有 影响，由此测得的重力加速度仍然是准确的。 第5节 实验：用单摆测量重力加速度 四、误差来源及其他注意事项 1.本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求(即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等)；偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上。 2.单摆悬线的上端应紧夹在铁夹中，不可以随意卷在铁杆上；摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。 第5节 实验：用单摆测量重力加速度 四、误差来源及其他注意事项 1.测量摆长时引起的误差 (1)若测量摆长时摆线拉得过紧；测量了摆线长后却误加了摆球直径等，会使测量的摆长偏大。 (2)若悬点未固定好，摆球摆动过程中出现松动；测量了摆线长漏加了摆球半径等，会使测量的摆长偏小。 第5节 实验：用单摆测量重力加速度 四、误差来源及其他注意事项 2.测量周期时引起的误差 (1)由于测量全振动次数错误造成误差。 (2)开始计时或停止计时时过早或过迟按下停表。 (3)计量单摆的全振动次数时，不从摆球通过最低点(平衡位置)时开始计时，容易产生较大的计时误差。 3.若使用公式法测重力加速度，由g=可知，当摆长测量值偏大， 周期测量值偏小时，重力加速度g的测量值将偏大，反之将偏小。 第6节 实验：用单摆测量重力加速度 一、振动中的能量损失 1.固有振动和固有频率 (1)固有振动：振动系统在 的情况下的振动。 (2)固有频率： 振动的频率。 2.阻尼振动 (1)阻尼振动：振动系统受到 作用时， 随时间 逐渐减小的振动，其振动图像如图所示。 说明：弱阻尼情况下，阻尼振动的频率略低于固有频率，可近似视为频率不变。 没有外力干预 固有 阻碍 振幅 第6节 实验：用单摆测量重力加速度 一、振动中的能量损失 (2)振动系统能量衰减的两种方式 ①振动系统受到 阻力作用，机械能逐渐转化为 。 ②振动系统引起邻近介质中各质点的振动，能量向四周辐射出去，从而自身的机械能 。 摩擦 内能 减少 第6节 实验：用单摆测量重力加速度 二、受迫振动 1.驱动力 作用于振动系统的 的外力。 2.受迫振动 (1)定义：系统在 作用下的振动。 (2)受迫振动的频率(周期) 物体做受迫振动达到稳定后，物体的振动频率等于 的频率，与物体的固有频率 。 周期性 驱动力 驱动力 无关 第6节 实验：用单摆测量重力加速度 三、共振现象及其应用 1.共振 当驱动力的频率 物体的固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到 ，这种现象称为共振。 2.共振曲线(如图所示) 说明：f=f0时发生共振；f>f0或f<f0时，f与f0相差越大，振幅越小。 等于 最大值 第6节 实验：用单摆测量重力加速度 三、共振现象及其应用 3.共振的利用与防止 (1)利用：要利用共振，就应尽量使驱动力的频率与物体的固有频率 。如共振筛、共振转速计等。 (2)防止：在需要防止共振危害时，要尽量使驱动力的频率和固有频率 ，而且相差 (选填“越多”或“越少”)越好。如：部队行军过桥过程中不再齐步走。 说明：共振是物体做受迫振动时的一种特殊现象。 一致 不相等 越多 题型一：简谐运动 (1)定义：物体在跟位移大小成正比并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动． (2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置． (3)回复力 ①定义：使物体返回到平衡位置的力． ②方向：总是指向平衡位置。 ③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。 三、题型剖析及针对训练 第二章 机械振动 题型一：简谐运动 (4)简谐运动的特征 ①动力学特征：F回＝－kx. ②运动学特征：x、v、a均按正弦或余弦规律发生周期性变化(注意v、a的变化趋势相反)． ③能量特征：系统的机械能守恒，振幅A不变． 题型一：简谐运动 (5)简谐运动的两种模型 题型一：简谐运动 (5)简谐运动的两种模型 题型一：简谐运动 题型一：简谐运动 题型一：简谐运动 题型一：简谐运动 题型一：简谐运动 题型一：简谐运动 题型一：简谐运动 题型一：简谐运动 题型二：简谐运动的描述 1.简谐运动的表达式 (1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反． (2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢． 2.简谐运动的图象 (1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asinωt，图象如图甲所示． (2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acosωt，图象如图乙所示． 题型二：简谐运动的描述 2.简谐运动的图象 （3）对简谐运动图象的认识 ①简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，如图所示． ②图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，不代表质点运动的轨迹． 题型二：简谐运动的描述 3.图象信息 (1)由图象可以得出质点做简谐运动的振幅、周期和频率． (2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移． (3)可以确定某时刻质点回复力、加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度的方向在图象上总是指向t轴． (4)确定某时刻质点速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，若下一时刻位移增加，振动质点的速度方向就是远离t轴，若下一时刻位移减小，振动质点的速度方向就是指向t轴． (5)比较不同时刻回复力、加速度的大小． (6)比较不同时刻质点的动能、势能的大小． 题型二：简谐运动的描述 4.动力学特征 F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数． 5.运动学特征 简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反． 题型二：简谐运动的描述 4.动力学特征 F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数． 5.运动学特征 简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反． 题型二：简谐运动的描述 6.运动的周期性特征 7.对称性特征 相隔 或 的两个时刻，振子处于同一位置且振动状态相同． (1)相隔或(n为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反． (2)如图所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等． 题型二：简谐运动的描述 题型二：简谐运动的描述 题型二：简谐运动的描述 题型二：简谐运动的描述 题型二：简谐运动的描述 题型二：简谐运动的描述 题型二：简谐运动的描述 题型二：简谐运动的描述 题型三：单摆 1.对单摆的理解 (1)回复力：摆球重力沿切线方向的分力，F回＝－mgsinθ＝ ＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反． (2)向心力：细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcosθ.两点说明：当摆球在最高点时，F向＝ ＝0，FT＝mgcosθ.当摆球在最低点时，F向＝ ，F向最大，FT＝mg＋m 2.周期公式T＝2π 的两点说明 (1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离； (2)g为当地重力加速度． 题型三：单摆 3.用单摆测定重力加速度 数据处理 a．公式法：算出重力加速度g的值，再算出g的平均值． b．图象法：作出l­T2图象求g值． 题型三：单摆 3.用单摆测定重力加速度 产生原因 减小方法 偶然误差 测量时间(单摆周期)及摆长时产生误差 ①多次测量再求平均值 ②计时从单摆经过平衡位置时开始 系统误差 主要来源于单摆模型本身 ①摆球要选体积小，密度大的 ②最大摆角要小于10° 误差分析 题型三：单摆 题型三：单摆 题型三：单摆 题型三：单摆 题型三：单摆 题型三：单摆 题型三：单摆 题型三：单摆 题型三：单摆 题型四：受迫振动和共振 1.自由振动、受迫振动和共振的关系比较 题型四：受迫振动和共振 2.对共振的理解 共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A.它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为f0的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大． 受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换． 题型四：受迫振动和共振 题型四：受迫振动和共振 题型四：受迫振动和共振 题型四：受迫振动和共振 四、课堂巩固 第二章 机械振动 四、课堂巩固 四、课堂巩固 四、课堂巩固 四、课堂巩固 四、课堂巩固 四、课堂巩固 四、课堂巩固 四、课堂巩固 四、课堂巩固 四、课堂巩固 四、课堂巩固 四、课堂巩固 五、课堂总结 第二章 机械振动 五、课堂总结 1. 理解简谐运动、振幅、周期、频率、相位的定义，能区分简谐运动与一般机械振动，会分析位移、速度、加速度的变化规律，辨析振动相关概念。 2.你是否学会了简谐运动动力学与运动学推导、振动图像（x-t 图）的识别与应用，能结合图像求解位移、速度、周期，处理多阶段振动问题？ 3.你是否掌握弹簧振子、单摆的振动规律与周期公式，能判断简谐运动的判定条件，规范书写简谐运动动力学方程？ 4.你是否会利用机械振动知识分析受迫振动、共振现象，能够运用单摆模型、弹簧振子模型解决相关典型实际问题？ $