精品解析：四川省成都列五中学2025-2026学年高三上学期8月入学摸底测试数学试题

2025-2026学年度（上）入学摸底测试 高2023级数学 注意事项： 1.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效. 3.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 4.保持答题卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集运算即可求解. 【详解】 因为集合， 则． 故选：C． 2. 已知数列{}的前n项和满足：，且＝2，那么＝（ ） A. 2 B. 10 C. 11 D. 56 【答案】A 【解析】 【分析】令 ，可得，再利用求解即可. 【详解】中，令 ， 即， 所以 ， 故选：A. 3. 随着春节申遗成功，世界对中国文化的理解和认同进一步加深，某学校为了解学生对春节习俗的认知情况，随机抽取了100名学生进行了测试，将他们的成绩适当分组后，画出的频率分布直方图如下图所示，则下列数据一定不位于区间内的是（ ） A. 众数 B. 第70百分位数 C. 中位数 D. 平均数 【答案】B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图分别求出众数、第70百分位数、中位数以及平均数，由此即可得解. 【详解】对于A，众数为； 对于BC，， 设中位数、第70百分位数分别为， 注意到， 设， 解得； 对于D，设平均数为，则. 故选：B. 4. 记为事件A的对立事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率公式，求出，根据事件与事件的关系，进而求出，根据概率加法公式求出； 【详解】由题意得，， 因为，得， 则. 故选：C. 5. 某医院拟组成4医生3护士共7人的工作队，派驻到3个地区A、B、C进行工作．若每一个地区至少派驻1医生1护士两位工作人员，且医生甲必须派驻到A地区，则不同的派驻方式有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 98种 D. 108种 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知某地区派驻有两名医生，分类讨论，分地区有两名医生和或区有两名医生，然后分配3名护士，即可求解. 【详解】若地区派驻两名医生，则有种不同方式； 若或区有两名医生，则有种不同方式. 所以不同的派驻方式有种. 故选：B. 6. 若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题. 【详解】因为函数在上存在单调递减区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，因为，所以， 所以当，即时，，所以， 故选：B． 7. 已知是双曲线C：（，）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 离心率 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到两条渐近线的距离相等，结合对称性及面积关系即可判断A；根据长度关系可求得，进而可判断；根据渐近线的斜率可算出离心率，进而可判断C；解三角形可得，所以，，，求出直角三角形的面积，列出方程即可判定D. 【详解】 如图，∵，∴，， ∵点到两条渐近线的距离相等，∴，故A正确； ∵，，∴，，，，故B正确； 由B知，一条渐近线的斜率，则，故C错误； 由C知，，所以，，， ∴，∴，，，故D正确， 故选：C. 8. 已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件将问题转化为，构造函数，化为，求，根据导数判断函数的单调性，可得在上恒成立，构造函数，求，根据导数判断函数的单调性求出函数的最值即可解题. 【详解】函数的定义域为， 由，得，则化为，即， 令，即，对任意且恒成立， 则函数在上单调递减，即，， 而，因此，即， 显然，有，恒成立， 因为，所以，恒成立， 令，则，因为，恒成立，则在上单调递增， 所以不等式化为，即，恒成立， 令，求导得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递增减， 于是当时，取得最大值，，则， 所以正实数取值范围为. 故选：A 【点睛】结论点睛：隐蔽性指对同构，需要补因式，如：，两边同乘以，化为. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下说法正确的是（ ） A. “”的否定是“” B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若命题“”的否定是假命题，则实数a的取值范围是 D. “”是真命题．则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用含有一个量词的命题的否定的定义判断；对于B，利用对数不等式求解判断；对于C，由命题“”是真命题求解判断；对于D，由，对恒成立求解判断； 【详解】对于A，“”的否定是“”，故A正确； 对于B，，即，解得， 因为所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误； 对于C，命题的否定是假命题，则命题“”是真命题，即，解得或，故C错误； 对于D，因为“”是真命题，即，对恒成立， 当时，命题成立；当时，，解得， 综上可得，，故D正确． 故选：AD 10. 下列命题中，真命题有（ ） A. 数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位数是8.5 B. 若两个变量线性相关，则相关系数越大，线性相关程度越强 C. 若随机变量，随机变量，则 D. 若随机变量，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】由百分位数的计算方法可判定A；根据相关系数的概念可判断B；根据二项分布的方差公式计算判断C；根据正态分布的性质计算可判断D. 【详解】对于A，数据从小到大排序得到，因为， 所以分位数是，所以A错误. 对于B，相关系数越接近于1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，故B错误. 对于C，因为随机变量，故，，故C正确. 对于D，随机变量，由知，故D正确. 故选：CD. 11. 已知，则（ ） A. 曲线关于点对称 B. 1是函数的极大值点 C. 当时， D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】是由奇函数的图象向下平移1个单位长度而得，进而可得A正确；利用导数求的函数的最值即可得到B错误；由在上单调递减，利用单调性即可判断C选项；D选项，根据B选项得到，再得到函数的单调性，从而得到不等式，求出解集. 【详解】由题意得曲线是由奇函数的图象向下平移1个单位长度而得，故曲线的对称中心为，故A正确； ，易得在和上单调递增，在上单调递减，所以为的极大值点，1为的极小值点，故B错误； 因为在上单调递减，当时，，所以，故C正确； 由上知，易求， 所以，所以，故D正确． 故选：ACD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数性质求得，二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项． 【详解】由题意可得，求得， 故展开式的通项公式为， 令，求得，得展开式的常数项为， 故答案为：． 13. 将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】求出圆锥底面圆半径及母线长，再利用圆锥及内切球的轴截面求出球半径作答. 【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，依题意，，解得， 圆锥内半径最大的球为圆锥的内切球，圆锥与其内切球的轴截面，如图中等腰及内切圆， ，点为边的中点，， 因此的面积，设的内切圆半径为， 则有，解得，此球的表面积为， 所以圆锥内半径最大的球的表面积为. 故答案为： 14. 现有12道四选一的单选题，其中9道题学生甲会做，3道题学生甲不会做．会做的题做对的概率为1，不会做的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为．现从这12道题中随机选择1题让学生甲回答，已知学生甲答对了该题，则学生甲猜对的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设事件为“学生甲答对该题”，事件表示“学生甲猜对该题”，事件表示“甲选到会做的题”，利用全概率公式求出，再由条件概率公式求解. 【详解】设事件为“学生甲答对该题”，事件表示“学生甲猜对该题”，事件表示“甲选到会做的题” 则表示学生甲选到不会做的题且答对，所以， ，，，， 由全概率公式， . 所以已知学生甲答对了该题，则学生甲猜对的概率为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､解答过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面平面，且． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由线段关系证，结合面面垂直的性质判定线线垂直，利用线线垂直证线面垂直； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可. 【小问1详解】 由题意，则， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 且平面， 所以平面， 因为平面，所以， 且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 如图，以A为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内过点A作平面ABC的垂线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的一个法向量， 则，令，得， 设平面的法向量， 则，令，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为． 16. 已知数列的前n项和为，且，， （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和； （3）设，记数列的前n项和为，证明：． 【答案】（1） （2） （3） 因为， 所以， 易知是增函数，所以， 所以． 【解析】 【分析】（1）由的关系求解即可； （2）由题意，利用错位相减法和等比数列求和公式即可求解； （3）由题意得，由裂项相消法即可证明. 【小问1详解】 因为， 所以，解得， 又， 所以，即， 所以，即， 因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即． 【小问2详解】 因为， 所以，① ，② ①－②得， 所以． 【小问3详解】 略 17. 某企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了名员工进行调查，所得数据（单位：人）如下表所示： 支持企业改革 不支持企业改革 合计 工作积极性高 工作积极性一般 合计 （1）能否有的把握认为员工工作积极性与对待企业改革态度有关； （2）现采取分层抽样的方法从工作积极性高的人中抽取人，再从人中随机抽取人进一步调查，记抽到人中不支持企业改革的人数为，求的分布列及数学期望； （3）若将频率视为概率，从该企业所有员工中随机抽取人进行调查.记人中不支持企业改革的人数的概率为，当取最大值时，求的值. 参考公式：，其中， 参考数据： 【答案】（1）有，理由如下： 因为， 所以有的把握认为员工工作积极性与对待企业改革态度有关. （2）的分布列如下表所示： （3） 【解析】 【分析】（1）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论； （2）分析可知，人中有人支持企业改革，人不支持企业改革，则随机变量的可能取值有、、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）由题意可知，则，由解出的取值范围，结合得出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 因为， 所以有的把握认为员工工作积极性与对待企业改革态度有关. 【小问2详解】 工作积极性高的人中有人支持企业改革，有人不支持企业改革， 由分层抽样可知，人中有人支持企业改革，人不支持企业改革， 由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， 则，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以. 【小问3详解】 由题意可知，，则， 由，可得， 解得， 又因为，所以，当时，最大. 18. 已知函数，． （1）当时，求图象在处的切线方程； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）先求导数，求出和的值，利用导数的几何意义和点斜式可得出所求切线的方程； （2）由题意，通过参变分离得到对恒成立，令再利用导数求即得答案； （3），令，，，因是单调函数，故有两个零点，等价于在上有两个零点.进而通过利用导数求得函数的单调性、极值，即可得的取值范围；或通过参变量分离，利用导数求得函数的单调性，由与图象有两个公共点可得的取值范围. 【小问1详解】 时，，∴， ，则，即切线的斜率为. ∴图象在处的切线方程为. 【小问2详解】 ，即， ∴ 由题意，得对恒成立. 令，则. . 由，得，∴在上单调递增； 由，得，∴在上单调递减. 所以， 故. 【小问3详解】 ，令，，， 因是单调函数，故有两个零点，等价于在上有两个零点. 方法1： ①当时，，则在上递减，最多有一个零点，故不满足题意； ②当时， 令可得，即在上单调递增； 令可得，即在上单调递减. 且当时，，则 当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，故 要使在上有两个零点，则，解得 方法2：在上有两个零点，等价于方程有两个实根，即有两个根 也等价于与图象有两个公共点 ，则可得在递增，递减 且，当时，，则 当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，故 则的大致图象为 故当时，与图象有两个公共点，即有两个零点 19. 已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点M在C上且在第一象限，，的面积为2. （1）求C的方程. （2）A，B是C上异于M的两个动点，直线MA与MB的斜率之积为1，证明：直线AB过定点. （3）点M关于x轴的对称点为N，分别过M，N作C的两条切线，这两条切线的交点G恰好在x轴上，，过S作C的切线，切点为R（异于点M），且与线段GN交于点T，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，设，，直线AB的方程为， 则且，联立可得，， 由韦达定理可得，， ，同理， 又因为，所以， 整理得，所以，即， 所以，即直线AB过定点； （3）8 【解析】 【分析】（1）设，根据的面积列式求得的面积，根据焦半径公式得，代入抛物线方程求得，即可得解； （2）设直线AB的方程为，与抛物线方程联立，韦达定理，利用两点式斜率公式结合列式化简得，即可求解直线AB过定点； （3）利用判别式法求出直线GM的方程为，直线，且，设直线，与抛物线方程联立韦达定理求得，即可得直线，与直线联立求得，从而利用两点距离公式求得，利用点到直线距离公式求得点到直线的距离为，进而求得，最后利用二次函数性质求得最值即可. 【小问1详解】 设，则的面积为，所以， 根据抛物线的定义，得，所以， 所以，解得，即C的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以， 设直线GM的方程为， 由可得， 则，解得， 所以直线GM的方程为，且，同理可得直线， 设，因为，所以即， 由得，设直线， 由可得， 由，可得或， 当时，直线，与直线GM的方程一样，舍去，故，所以直线，即，与直线联立求得， 点到直线的距离为， 又， 所以的面积为， 因为，所以当时，面积取到最大值为8. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）入学摸底测试 高2023级数学 注意事项： 1.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效. 3.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 4.保持答题卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列{}的前n项和满足：，且＝2，那么＝（ ） A. 2 B. 10 C. 11 D. 56 3. 随着春节申遗成功，世界对中国文化的理解和认同进一步加深，某学校为了解学生对春节习俗的认知情况，随机抽取了100名学生进行了测试，将他们的成绩适当分组后，画出的频率分布直方图如下图所示，则下列数据一定不位于区间内的是（ ） A. 众数 B. 第70百分位数 C. 中位数 D. 平均数 4. 记为事件A的对立事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 某医院拟组成4医生3护士共7人的工作队，派驻到3个地区A、B、C进行工作．若每一个地区至少派驻1医生1护士两位工作人员，且医生甲必须派驻到A地区，则不同的派驻方式有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 98种 D. 108种 6. 若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是双曲线C：（，）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 离心率 D. 若，则 8. 已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下说法正确的是（ ） A. “”的否定是“” B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若命题“”的否定是假命题，则实数a的取值范围是 D. “”是真命题．则 10. 下列命题中，真命题有（ ） A. 数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位数是8.5 B. 若两个变量线性相关，则相关系数越大，线性相关程度越强 C. 若随机变量，随机变量，则 D. 若随机变量，，则 11. 已知，则（ ） A. 曲线关于点对称 B. 1是函数的极大值点 C. 当时， D. 不等式的解集为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是_____. 13. 将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为______. 14. 现有12道四选一的单选题，其中9道题学生甲会做，3道题学生甲不会做．会做的题做对的概率为1，不会做的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为．现从这12道题中随机选择1题让学生甲回答，已知学生甲答对了该题，则学生甲猜对的概率为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､解答过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面平面，且． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 16. 已知数列的前n项和为，且，， （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和； （3）设，记数列的前n项和为，证明：． 17. 某企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了名员工进行调查，所得数据（单位：人）如下表所示： 支持企业改革 不支持企业改革 合计 工作积极性高 工作积极性一般 合计 （1）能否有的把握认为员工工作积极性与对待企业改革态度有关； （2）现采取分层抽样的方法从工作积极性高的人中抽取人，再从人中随机抽取人进一步调查，记抽到人中不支持企业改革的人数为，求的分布列及数学期望； （3）若将频率视为概率，从该企业所有员工中随机抽取人进行调查.记人中不支持企业改革的人数的概率为，当取最大值时，求的值. 参考公式：，其中， 参考数据： 18. 已知函数，． （1）当时，求图象在处的切线方程； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围． 19. 已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点M在C上且在第一象限，，的面积为2. （1）求C的方程. （2）A，B是C上异于M的两个动点，直线MA与MB的斜率之积为1，证明：直线AB过定点. （3）点M关于x轴的对称点为N，分别过M，N作C的两条切线，这两条切线的交点G恰好在x轴上，，过S作C的切线，切点为R（异于点M），且与线段GN交于点T，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $