精品解析：河北省衡水市2026届高三第二次调研考试数学试题

高三年级第二次调研考试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别化简两个集合，根据交集的运算可得答案. 【详解】由题意，，所以. 故选：B 2. 已知公差为2的等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 42 B. 52 C. 56 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列前项和的计算公式和基本量的求法计算即可. 【详解】因为公差为2的等差数列的前项和为，且， 设等差数列的首项为，公差为， 所以，代入，解得， 所以， 故选：C. 3. 已知向量，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量为 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量减法的坐标运算求出，再根据向量的数量积运算判断A；根据向量加减的坐标运算求出，再根据数量积是否为0判断B；根据向量模长的计算公式判断C；根据投影向量的计算公式判断D. 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，， 所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，， 在方向上的投影向量为，故D正确. 故选：C. 4. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，点斜式即可写出切线方程. 【详解】设， 则， 当时，，， 所以曲线在处的切线方程为. 故选：B. 5. 已知函数，下列变换与“变换到”不相同的是（ ） A. 变换到 B. 变换到 C. 变换到 D. 变换到 【答案】D 【解析】 【分析】利用伸缩变换的相关知识一一分析选项即可. 【详解】由题意可知“变换到”是纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍， 对于A，B，C选项从变换到都是纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍， 即；， 对于D项，从变换到是先将纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右移动个单位，该变换与题干中的变换不一致，D错误. 故选：D 6. 已知函数（且）是奇函数，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求出a的值，可得的解析式，继而代入求值，即得答案. 【详解】由题意知函数（且）的定义域为， 因为是奇函数，则，即， 得，即， 故，解得或（舍去）， 故，故， 故选：C 7. 已知为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，利用倍角公式即可求出，再根据的范围即可求出. 【详解】令，则，则， 故，得， 因为为锐角，则，则. 故选：A 8. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用同构互为反函数的图象对称性和数形结合法来求解即可. 【详解】由可得：， 又由可得：. 而函数与互为反函数，所以它们的图象关于直线对称， 下面作出函数，，，的图象： 由图可得：方程的根为，即为如图交点的横坐标， 方程的根为，即为如图交点的横坐标， 由图可知交点的横坐标为，根据对称性可得：， 根据同构方程思想可得：满足和的根必有：， 所以， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在边长为3的等边三角形中，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】以为基底，表示，并通过数量积运算进行判断. 【详解】对于A：，A错误； 对于B：，所以 ，B正确； 对于C：因为， 所以， 所以，C正确； 对于D： ，D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有三个单调区间 B. 函数有最小值 C. 函数在上单调的充要条件是 D. 函数有两个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】求出函数的定义域和导数，结合导数在定义域内的正负判断函数的单调性，进而分析函数的最值及零点情况. 【详解】已知函数，则， 求导得：. 令，解得或，因为，故， 当时，，，所以，单调递减； 当时，，，所以，单调递增. 所以函数有两个单调区间，选项A错误； 由上可知，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，，故B正确； 因为在上单调递减，在上单调递增， 若函数在上单调，则，满足充分性， 若，则函数在上单调，满足必要性， 故函数在上单调的充要条件是，选项C正确； 因为在上单调递减，在上单调递增，为最小值， 所以只有一个零点，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则函数的图象关于对称 B. 若，则函数在上单调递增 C. 若或，则为函数的一个周期 D. 若，则函数的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数的周期性、单调性、最值、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A：当，则 . ， ， 因此，，图象关于  对称，故A 正确. 对于 B：，则 ， ，此时，而， 故在上不单调递增，故B错误. 对于 C：若，则， ， ， 故是  的一个周期； 若，则， ， ， 因此是  的一个周期，故C 正确. 对于D：，则 ， ，此时，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在公比不等于1的等比数列中，其前项和为，若，则公比_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由等比数列的求和公式代入计算，化简，即可得到结果. 【详解】因为等比数列的公比，由可得， 即， 化简可得，即，且，解得. 故答案为： 13. 在中，若，，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】先由正弦定理得，再由同角的三角函数关系式得，再由大边对大角定理得为锐角，进而得到答案. 【详解】由正弦定理得，又，得①， 再由，得②， ①②代入，得，得， 所以，即或. 又因为，由大边对大角得，所以为锐角， 所以. 故答案为：. 14. 已知，满足，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知得，可得，展开后利用基本不等式求得的范围，即得答案. 【详解】由题意知，满足，则， 故， 因为，故，故， 当且仅当，结合，即或时等号成立， 故，即，解得， 当时，；当时，， 故的取值范围是， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若为钝角，且的最大值为，求的单调递增区间； （2）若为锐角，且是函数的一条对称轴，求函数在上的值域. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先根据向量数量积的坐标运算，求出的表达式，再结合三角函数的性质求出，最后根据余弦函数的单调性求出其单调递增区间. （2）由（1）得的表达式，再根据对称轴的性质求出，在结合三角函数的性质，即可求出函数在上的值域. 【小问1详解】 由题意，已知向量，， 则 因为， 所以， 因为的最大值为，所以即， 又为钝角，所以. 此时， 根据余弦函数单调性，可得， 解得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知， 因为是函数的一条对称轴，所以存在，使得， 解得， 又为锐角，所以当时，，所以， 此时， 又，所以，从而， 则， 所以函数在上的值域为. 16. 已知数列的前项和为. （1）证明：是常数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） 已知数列的前项和为. 当时，. 当时，，∴. 当时，， ∴， 即， ∴， 当时也符合上式，∴数列是常数列. （2） 【解析】 【分析】（1）利用的关系作差变形，并验证首项证明即可； （2）利用第一问的结论，先计算，由等差数列的求和公式计算，再根据裂项求和法计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，∴，∴， ， ∴. 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1），讨论符号确定单调性； （2）设，由求解. 【小问1详解】 函数，定义域为，， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，解得，函数在上单调递增； 由，解得，函数在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 显然，设， 则. 当时，由得则在上单调递增； 由得则在上单调递减. ∴在处取得最小值， 设则，故在上单调递增， ∵，∴当时，，即， 当时，，即(*)， ∴欲使，须使. 当时，,(*)式不成立； 当时，，(*)式不成立； 当时，，(*)式不成立； 综上所述，实数的取值范围是. 18. 在中，内角、、所对的边分别为、、，且. （1）求证：； （2）若，求的值； （3）若，求的面积. 【答案】（1） 由及正弦定理得， 又，∴. ∵， ∴ （2）1 （3）4 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理把中的边转化成角的关系式，再化简一下即得答案. （2）利用余弦定理得，代入条件与第一问结论，即得答案. （3）由射影定理及条件可得，合并得，按照与的大小分类讨论，进而可求出，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由余弦定理知，即，∴， 代入（1）中结论得：. 【小问3详解】 （为外接圆半径）， ∴， ∵，且，∴，∴， ①∵，则∴，同理， ∴.∴不成立； ②若，则，∴， 同理，∴. ∴不成立； ③若，则，此时， ∴，， 由正弦定理知. 19. 已知数列的前项和为，若数列满足，则称数列是“方特数列”. （1）证明：数列是“方特数列”； （2）若数列是“方特数列”，求的取值范围； （3）证明：当时，数列是“方特数列”. 【答案】（1） 当时，， ， ∴数列满足，即数列是“方特数列”. （2） （3） 当时，由（1）知满足条件， 当且时，， ， ∴， ∴， ， 设，∴， 当时，单调递增；当时，单调递减，∴， ∴， 综上所述，当时，数列是“方特数列”. 【解析】 【分析】（1）求出利用“方特数列”的定义即可证明； （2）分类讨论当和时，数列的前项和为，“方特数列”的定义列出不等式即可求解； （3）当时，由（1）知满足条件，当且时，利用错位相减法求出数列的前项和为，利用“方特数列”的定义结合导数即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，， ，满足条件； 当时，， ∵数列是“方特数列”， ∴，. ∴，∴且， 综上所述，当数列是“方特数列”时，的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级第二次调研考试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知公差为2的等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 42 B. 52 C. 56 D. 60 3. 已知向量，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量为 4. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，下列变换与“变换到”不相同的是（ ） A. 变换到 B. 变换到 C. 变换到 D. 变换到 6. 已知函数（且）是奇函数，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在边长为3的等边三角形中，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有三个单调区间 B. 函数有最小值 C. 函数在上单调的充要条件是 D. 函数有两个零点 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则函数的图象关于对称 B. 若，则函数在上单调递增 C. 若或，则为函数的一个周期 D. 若，则函数的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在公比不等于1的等比数列中，其前项和为，若，则公比_________. 13. 在中，若，，则_________. 14. 已知，满足，则的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若为钝角，且的最大值为，求的单调递增区间； （2）若为锐角，且是函数的一条对称轴，求函数在上的值域. 16. 已知数列的前项和为. （1）证明：是常数列； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 18. 在中，内角、、所对的边分别为、、，且. （1）求证：； （2）若，求的值； （3）若，求的面积. 19. 已知数列的前项和为，若数列满足，则称数列是“方特数列”. （1）证明：数列是“方特数列”； （2）若数列是“方特数列”，求的取值范围； （3）证明：当时，数列是“方特数列”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $