精品解析：安徽省阜阳市临泉县第二中学2025-2026学年高一上学期开学数学试题

高一开学摸底检测 数学 分值：150分 时间：120分钟 考查范围：初中数学+必修一第一、二章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知三个实数a，b，c满足，且，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 已知集合，集合，则集合的非空真子集个数为（ ） A. B. C. D. 3. 某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：），，，，，利用所得数据绘制如下统计图表： 根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（ ） A. 身高在区间的男生比女生多人 B. B组中男生和女生占比相同 C. 超过一半的男生身高在以上 D. 女生身高在组的人数有人 4. 如图，在中，，，，P为边上一动点，，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 5. 定义：平面直角坐标系中，若点到x轴、y轴的距离和为2，则称点为“和二点”.例如：点到x轴、y轴距离和为2，则点是“和二点”，点也是“和二点”，一次函数的图象l经过点，且图象上存在“和二点”，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，等边的边经过原点O，且顶点A、B都在的图象上，顶点C在的图象上，则k的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，抛物线与x轴交于两点，的直角顶点在抛物线对称轴上，对称轴与轴的交点为,为线段上一点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）.刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法.如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点G为的中点，连结，CF，BG交于点P，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“”的必要不充分条件 10. 设正实数x，y满足，则（ ） A. 有最大值为1 B. 有最小值为4 C. 有最小值为5 D. 有最大值为 11. 若集合具有以下性质：（1），；（2）若、，则，且时，.则称集合是“完美集”.下列说法正确的是（ ） A. 集合是“完美集” B. 有理数集是“完美集” C. 设集合是“完美集”，、，则 D. 设集合是“完美集”，若、且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 关于x的方程的解集中只含有一个元素，则的所有可能值组成的集合是________． 13. 已知（其中n为正整数，且），则______. 14. 如图，在正方形中，G为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点E，过点F作分别交，，于点H，P，Q，请完成下列问题： （1）______. （2）若，则______. 四、解答题：本题共5小题，共计77分. 15. 学校综合实践小组测量博学楼的高度.如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部E的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度.（参考数据：，，，，，） 16. “试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项式的除法等运算，其算法如下：对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为，对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为 （1）分解因式：（当时，原式为）（方法任意）； （2）已知多项式既能被整除，又能被整除，求的值（方法任意） 17. 若实数x，y，m满足，则称x比y更远离m． （1）若比更远离1，求实数x的取值范围； （2）判断是x比y更远离m的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件），并加以证明； （3）已知，，若，证明：p比更远离． 18. 将的顶点A放在半圆O上，现从与半圆O相切于点A（如图1）的位置开始，将绕着点A顺时针旋转，设旋转角为，旋转过程中，与半圆O的另一交点记为E，与半圆O的另一交点记为F，连接（如图2）.已知，，，半圆O的直径为8. （1）嘉嘉认为：在旋转过程中，弦的长度不变；淇淇认为：弦的长度随点E的运动而发生变化.请你分析他俩谁说的对，并说明理由； （2）当点F与点D重合时，如图3. ①判断与半圆O的位置关系，并证明； ②求图中阴影部分的面积和； （3）设的中点为M，直接写出点M的运动路径长. 19. 如图，抛物线与x轴相交于，两点（点A在点B的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与y轴相交于点C. （1）求该抛物线对应的函数表达式. （2）已知直线与x，y轴分别相交于点D，E. ①设直线BC与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. ②过抛物线上一点M作直线BC的平行线，与抛物线相交于另一点N，设直线MB，NC相交于点Q，连接QD，QE.求线段的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一开学摸底检测 数学 分值：150分 时间：120分钟 考查范围：初中数学+必修一第一、二章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知三个实数a，b，c满足，且，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据不等式的基本性质和已知条件判断；对于B，将代入化简整理判断；对于C，由结合题意化简可得，由可得；对于D，由得，由得，计算即可判断. 【详解】对于A，若，则，即，故A选项不符合题意； 对于B，当时，，代入得， 即，整理为，故B选项不符合题意； 对于C，由得， 因为，所以，即， 因为，所以，故C选项不符合题意； 对于D，若，得，即， 因为，得，解得或，故D选项符合题意. 故选：D． 2. 已知集合，集合，则集合的非空真子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式可得集合，进而确定及其非空真子集个数. 【详解】解不等式得或， 所以， 所以，共个元素， 所以非空真子集个数为个， 故选：A. 3. 某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：），，，，，利用所得数据绘制如下统计图表： 根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（ ） A. 身高在区间的男生比女生多人 B. B组中男生和女生占比相同 C. 超过一半的男生身高在以上 D. 女生身高在组的人数有人 【答案】D 【解析】 【分析】根据直方图即可求得抽取男生的总人数也就是女生的总人数，然后根据扇形统计图乘以对应的百分比即可求解. 【详解】解析：抽取的男生总人数为（人）， 因为抽取的样本中，男生、女生人数相同， 所以抽取的女生总人数为人， 由直方图可知，身高在区间的男生人数为12人， 由扇形统计图可知，身高在区间的女生人数为（人）， 则身高在区间的男生比女生少3人，选项A错误； B组中男生和女生占比不相同，选项B错误； 男生身高在以上的占比为，则选项C错误； 女生中E组的人数为（人），则选项D正确； 故选：D. 4. 如图，在中，，，，P为边上一动点，，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】如图，作平分，作，连接交于G，由题可得 ，进而可得，则点E在与成夹角的射线上运动，可得的最小值为的长. 【详解】解析：如图，作平分，作，连接交于G， ∵∴ ∵平分，∴， ∵，∴，∴. ，，, ，， 又P为边上一动点，即点E在与成夹角的射线上运动，的最小值为B到的垂线段的长度，即的最小值为的长. ，，，， ，即的最小值为. 故选：A. 5. 定义：平面直角坐标系中，若点到x轴、y轴的距离和为2，则称点为“和二点”.例如：点到x轴、y轴距离和为2，则点是“和二点”，点也是“和二点”，一次函数的图象l经过点，且图象上存在“和二点”，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在上取点P，作轴轴，证得为等腰直角三角形，得到点P是“和二点”，即线上的点为“和二点”，线段上的点为“和二点”，结合一次函数的性质和“和二点”的定义，分类讨论，即可求解. 【详解】如图，取，连接， 再在上取点，作轴，轴，垂足分别为，且， 因为，所以和均为等腰直角三角形， 可得，所以为等腰直角三角形，所以， 所以，所以点P是“和二点”，即线上的点为“和二点”， 同理线上的点为“和二点”， 当一次函数的图象与线或线有交点时， 一次函数的图象上存在“和二点”， 因为一次函数的图象l经过点， 所以，解得，所以一次函数解析式为， 当一次函数的图象经过点时，可得，解得， 当一次函数的图象经过点G时，可得，解得， 所以实数的取值范围为，即. 故选：D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，等边的边经过原点O，且顶点A、B都在的图象上，顶点C在的图象上，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】连接，作、轴于点D、E， ∵关于原点成中心对称，为等边三角形， ∴，，平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴相似于， ∵平分，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵B点在函数的图象上， ∴， ∴， 同理C点在函数的图象上， ， ∵， ∴． 故选：C． 7. 如图，抛物线与x轴交于两点，的直角顶点在抛物线对称轴上，对称轴与轴的交点为,为线段上一点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线方程求得两点坐标，再通过为等腰直角三角形，求得，再过点Q作，由即可求解. 【详解】∵抛物线与x轴交于两点， ∴令，即或， ∴，， ∵C在抛物线对称轴上， ∴，对称轴：直线， ∴为等腰直角三角形， 设， ∴， ∴，解得：， ∵如图点C在第三象限， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴过点Q作， 在直角三角形和直角三角形中， ∴，即，解得：， ∴， ∴， 故选：A. 8. 我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）.刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法.如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点G为的中点，连结，CF，BG交于点P，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得出相关角，作交于点I，在直角中，由，求得，又为等腰三角形，得到，进而得到即圆的半径，再利用求解即可. 【详解】解析：如图，设正六边形的外接圆的圆心为O，连接、、、. ， ，， 点G为的中点， ， ， ， ，， 是等边三角形. ， ， ， ， 作交于点I，则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， . 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】AB 【解析】 【分析】A项：利用不等式知识即可判断； B，C项：根据充分条件与必要条件知识即可判断； D项：根据交并集知识即可判断. 【详解】对于A项：由“”可以推出，但反之不可以，故A项正确. 对于B项：由“”推不出“”，但反之可以，故B项正确. 对于C项：由“”可以推出“”，但反之不可以，故C项错误. 对于D项：由题意知：是(A∩B)∪C的子集，所以“”可以推出“，但反之不可以，故D项错误. 故选:AB. 10. 设正实数x，y满足，则（ ） A. 有最大值为1 B. 有最小值为4 C. 有最小值为5 D. 有最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式及其变形形式逐项计算即可. 【详解】对于A，由基本不等式，， ， ， ， 当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，， ， ， ， ，即， 的最小值为2， 当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，， ， 当且仅当， 解得：，时取等号，故C正确； 对于D，， ， 又， 则当且仅当，即，时取等号， ， 即有最大值为， 故D正确. 故选：ACD 11. 若集合具有以下性质：（1），；（2）若、，则，且时，.则称集合是“完美集”.下列说法正确的是（ ） A. 集合是“完美集” B. 有理数集是“完美集” C. 设集合是“完美集”，、，则 D. 设集合是“完美集”，若、且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】 利用第（2）条性质结合，可判断A选项的正误；利用题中性质（1）（2）可判断B选项的正误；当时，推到出，结合性质（2）可判断C选项的正误；推导出，结合性质（2）可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，取，，则，集合不是“完美集”，A选项错误； 对于B选项，有理数集满足性质（1）、（2），则有理数集为“完美集”，B选项正确； 对于C选项，若，则，，C选项正确； 对于D选项，任取、，若、中有或时，显然； 当、均不为、且当，时，， 则，所以，，，， 所以，若、且，则，从而，D选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查集合的新定义，正确理解定义“完美集”是解题的关键，考查推理能力，属于中等题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 关于x的方程的解集中只含有一个元素，则的所有可能值组成的集合是________． 【答案】 【解析】 【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况，由此可解得所有可能的值. 【详解】由方程可知，解得且， 方程可化简为， 若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况： ①方程有且仅有两个相等且不为和的解， ，解得， 此时的解为，满足题意； ②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得，，此时方程的另一根为，满足题意； ③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得，，此时方程的另一根为，满足题意； 综上所述：或或，即的所有可能值组成的集合是. 故答案为： 13. 已知（其中n为正整数，且），则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用计算分析即可求解. 【详解】由题， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：. 14. 如图，在正方形中，G为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点E，过点F作分别交，，于点H，P，Q，请完成下列问题： （1）______. （2）若，则______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据折叠的性质，先判断，进而得出的值； ②作辅助线，先判断，再判断，根据相似可求出的值. 【详解】（1）∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠的性质可得：，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴. （2）过点作于，如图： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：①②. 四、解答题：本题共5小题，共计77分. 15. 学校综合实践小组测量博学楼的高度.如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部E的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度.（参考数据：，，，，，） 【答案】9米 【解析】 【分析】过点作于点，构造直角三角形，在中，得，设，，在中，得，计算即可求解. 【详解】过点作于点，由题意得，，，，， 因为， 所以四边形是矩形， 所以，， 在中，因为， 所以， 所以设，， 则，， 在中，因为， 所以，解得：， 所以， 故博学楼的高度为9米. 16. “试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项式的除法等运算，其算法如下：对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为，对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为 （1）分解因式：（当时，原式为）（方法任意）； （2）已知多项式既能被整除，又能被整除，求的值（方法任意） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据提示当时，原式为，结合“试根法”可知该多项式必有一个因式，结合待定系数法即可进行因式分解； （2）多项式既能被整除，又能被整除，即当或时，，得到关于的方程组求解即可. 【小问1详解】 当时，， 多项式必有一个因式， 设， ， 比较同类项的系数得：，， 由，解得：， 由，解得：， ； 【小问2详解】 多项式既能被整除，又能被整除， 多项式必有因式和， 当或时，， 当时，， 整理得：①， 当时，， 整理得：②， ①②，得：， ， 将代入②，得：. ，. 17. 若实数x，y，m满足，则称x比y更远离m． （1）若比更远离1，求实数x的取值范围； （2）判断是x比y更远离m的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件），并加以证明； （3）已知，，若，证明：p比更远离． 【答案】（1） （2）是x比y更远离m的充分不必要条件；证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】(1)根据定义列不等式，求x的取值范围；(2)根据充分条件和必要条件的定义结合新定义判断即可，(3)根据基本不等式求出的最大值，结合(2)的结论完成证明. 【小问1详解】 由题意可， 即，解得：， 所以实数x的取值范围为； 【小问2详解】 是x比y更远离m的充分不必要条件 ①已知，则， 可得，即， 所以是x比y更远离m的充分条件． ②已知x比y更远离m，则 举例：，，，满足，但不满足， 所以不是x比y更远离m的必要条件． 综上：是x比y更远离m的充分不必要条件． 【小问3详解】 证明：因为， ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为， 由（2）可知p比更远离，即得证． 18. 将的顶点A放在半圆O上，现从与半圆O相切于点A（如图1）的位置开始，将绕着点A顺时针旋转，设旋转角为，旋转过程中，与半圆O的另一交点记为E，与半圆O的另一交点记为F，连接（如图2）.已知，，，半圆O的直径为8. （1）嘉嘉认为：在旋转过程中，弦的长度不变；淇淇认为：弦的长度随点E的运动而发生变化.请你分析他俩谁说的对，并说明理由； （2）当点F与点D重合时，如图3. ①判断与半圆O的位置关系，并证明； ②求图中阴影部分的面积和； （3）设的中点为M，直接写出点M的运动路径长. 【答案】（1）嘉嘉说的对；理由见解析 （2）①与半圆O相切；证明见解析；② （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得，据此可完成判断； （2）①如图，过点O作于点N，通过说明可证明结论； ②如图，连接，可得，，据此可得答案； （3）连接，则，点M在以点O为圆心，2为半径的圆上运动，然后由题可得轨迹对应圆弧对应圆心角，可得答案. 【小问1详解】 (1)嘉嘉说的对； 理由：如图，连接，，则. 的度数不变， 的长度也不变； 【小问2详解】 ①与半圆O相切； 证明：如图，过点O作于点N， 则， ， ， . ，，， . 半圆O的直径为8， ， ， ，解得， ，即是的半径， 与半圆O相切； ②如图，连接， ，， 是等边三角形， ，. ，， 阴影部分的面积和； 【小问3详解】 的中点M的运动路径长为. 连接，则， ， ， ， 点M在以点O为圆心，2为半径的圆上运动. 当点E与点A重合时，如图，； 当点F与点D重合时，如图. 是的直径， ， ， ， ， ， . 19. 如图，抛物线与x轴相交于，两点（点A在点B的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与y轴相交于点C. （1）求该抛物线对应的函数表达式. （2）已知直线与x，y轴分别相交于点D，E. ①设直线BC与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. ②过抛物线上一点M作直线BC的平行线，与抛物线相交于另一点N，设直线MB，NC相交于点Q，连接QD，QE.求线段的最小值. 【答案】（1） （2）①存在，② 【解析】 【分析】（1）求出点的坐标，再用待定系数法即可求得函数解析式； （2）①求出角的关键信息，再用函数解析式求解交点坐标； ②运用轴对称求两条线段和最短，即将军饮马模型在函数中运用即可求解. 【小问1详解】 解方程，得，， ，. 抛物线与x轴相交于，两点， 解得 该抛物线对应的函数表达式为. 【小问2详解】 ①对于，令，则，. 对于，令，则，， ，. 设直线BC对应的函数表达式为， 将，分别代入， 得解得 直线BC对应的函数表达式为. 联立得，解得. 如图（1），过点F作轴于点H， 则，，， ，， . ，， ，. 设直线BP对应的函数表达式为， 将代入，得，解得， 直线BP对应的函数表达式为. 联立得解得或 点P在第三象限，. ②设，，直线MN对应的函数表达式为， 设直线BM对应的函数表达式为， 将代入，得，解得， 直线BM对应的函数表达式为. 设直线CN对应的函数表达式为， 将代入，得， 直线CN对应的函数表达式为. 联立得得， . 将分别代入，， 得 ， ，解得. 将分别代入，， 得， ，解得， 联立得 得出 ， 点Q在直线上运动. 对于，令，则，. 如图（2），作点E关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，则. 由轴对称的性质可得， . ， 线段的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $