17.2 用公式法分解因式&数学活动-2025-2026学年新教材八年级上册数学同步辅导（人教版2024）

17.2用公式法分解因式 第1课时用平方差公式分解因式 基础过关 1.下列多项式中，能运用平方差公式因式分解 ↑4.若x2一9=(x十3)(x十a),则a= 的是( 5.把下列各式分解因式： A.a2+ B.2a-b2 (1)x2y2-9z2: C.a2- D.-a2-62 2.因式分解：1-4y2=( A.(1-2y)(1+2y)B.(2-y)(2+y) C.(1-2y)(2+y) D.(2-y)(1+2y) 3.分解因式x一16的结果为() (2)4a2-9b2. A.(x2-4) B.(x2+4)(x2-4) C.(x2+8)(x2-8) D.(x+4)(x+2)(x-2) 素养提升 1.小林是一位密码编译爱好者，在他的密码手 2.小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了 册中，有一条信息：a一b,x-y,x十y,a十b, 二项式x2一口y2中y2前的数.若该二项式 x2一y,a2一分别表示林、爱、我、吉、游、美 能分解因式，则“口”不可能是() 六个字.现将(x2-y2)a2-(x2-y)b2因式 A.4 B.9 C.-4 D.25 分解，结果呈现的密码信息可能是( 3.已知a,b,c是三角形的三边长，那么代数式 (a-b)2-c2的值( A.我爱美 B.吉林游 A.大于0 B.小于0 C.爱我吉林 D.美我吉林 C.等于0 D.不能确定 综合探究 观察下面的等式：32一12=8×1,52-32=8×2， (3)运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正 72-52=8×3,9-72=8×4,… 确的 (1)132-112=8× (2)(2n+1)2-(2n-1)2=8× (用含n的代数式表示，n为正整数) 第2课时用完全平方公式分解因式 基础过关 1.【教材P131练习1变式】下列多项式是完全 进行因式分解，则添加的单项式可以是 平方式的是() (写一个即可). A.a2-1 8.【教村P131练习2变式】分解因式： B.a2+4 (1)9a2+12ab+4: C.a2+2a+1 D.a2-4a-4 2.把多项式x2一6x+9分解因式，结果正确的 是() A.(x-3) B.(x-9)2 C.(x+3)(x-3) (2)(x2+y2)2-4x2y2. D.(x十9)(x-9) 3.分解因式2x2一4x+2的最终结果是( A.2x(x-2) B.2(x-1)9 C.2(x2-2x+1) D.(2x-2)2 4.在下列多项式中，能用完全平方公式分解的 19.用简便方法计算： 有() (1)153+153×94+47: ①x2-4x+4:②9x2-3x+1:③4x2+4x-1: ④25x-20y+16y2:⑤2+1-x A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.【教材P132习题8变式】(1)若x一6x十k是 完全平方式，则k= (2)若x2一ax十16是完全平方式，则a= (2号×3.7-3.7x2.7+×2.7. 6.若a+b=3,则2a十4ab+2b-6的值为 7.【开放性问题】在多项式+中添加一个单 项式，使得到的多项式可以用完全平方公式 素养提升 1.把(a2+1)2-4a2分解因式的结果是( (2)36(m十n)2-12(m2-n2)+(m-n)2. A.(a2+1-4a)2 B.(a2+1+2a)(a2+1-2a) C.(a+1)2(a-1) D.(a2-1) 2.小敏做了如下四道分解因式题：你认为她做 得不完整的是() A.a3-a=a(a2-1) 5.若一个三角形的三边长a,b,c满足a2十 B.m2-2nn十n2=(m-n)2 26+c2=2ab+2bc,试判断该三角形的形状. C.xy-xy=xy(x-y) D.x2-y=(r-y)(x+y) 3.已知m2+n2+10=6m-2n,则m-n= 4.分解因式： ()ry+w+: 综合探究 【阅读理解】已知二次三项式x2一4x十m有一 (3)仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项 个因式是x十3，求另一个因式以及m的值. 式2.x2+5xk有一个因式是2x一3，求另 解：设另一个因式为x十n, 一个因式以及k的值. 得x2-4x十m=(x+3)(x十n), 则x2一4.x十m=x2十(n+3)x十3n. .n十3=-4，m=3n. 解得n=-7,m=一21. .另一个因式为x一7，m的值为一21. (1)若二次三项式x2一5.x十6可分解为(x-2)· (x十a),则a= (2)若二次三项式2x2+bx一5可分解为(2x 1)(x+5).则b= 第3课时综合运用提公因式法和公式法分解因式 基础过关 1.把a3一9a分解因式，结果正确的是( 7.分解因式： A.a(a-3)(a+3) (1)-7m2+14m2n-7mm2: B.a(a2+9) C.(a-3)(a十3) D.a2(a-9) 2.分解因式3y2-6y十3，结果正确的是( (2)25.x2(a-b)+36y2(b-a); A.3(y-1)2 B.3(y2-2y+1) C.(3y-3) D.(3y-1) 3.把多项式4ab十4ab+b分解因式正确的是 () A.a (2a+b)* B.b (2a+b)* C.(a+2b) D.4b(a+b)2 (3)(x2-y2+g2)2-(-x2-y2+2)2 4.把多项式x(x一y)一y(x一y)分解因式，正 确的是( ) A.(x-y)2(x+y) B.(x-y)(x2-y2） C.(x-y)(x2+y) 8.如图17-2-2所示，一长方形模具长为2a,宽 D.(r-y) 为a,中间开出两个边长为b的正方形孔. 5.如图17-2-1，已知外圆半径R=6.75,内圆半 (1)求图中阴影部分的面积（用含a,b的代数 径r=3.25,则图中阴影部分的面积为（结果 式表示). 保留π)() (2)用分解因式的方法计算当a=15.7,b= A.3.5π 4.3时，阴影部分的面积. B.12.25元 C.27π D.35x 图17-2-1 6.分解因式： 图17-2-2 (1)2x2-8 (2)3ax2-3a= (3)2x2+8x+8 (4)3ax2-6axy+3ay2= (5)(a+1)2-4a= 素养提升 1.【教材P132习题7变式】对于任意整数， 以是“二、二分组（如此例）”，也可以是“三、一 (2n+3)-1都( (或一、三)分组” A.能被2整除，不能被4整除 根据以上方法进行分解因式： B.能被3整除 (1)m2-n2+m-n= C.既能被2整除，又能被4整除 (2)4.x2-2x-y2-y D.能被5整除 (3)a2+b-9+2ab= 2.多项式：①4x-x,②(x-1)”一4(x-1), 则8.x2y-8.x2y+ ③1-x2,④-4x2-1十4x,分解因式后，结果 6.已知xy满足y=3, 2x-y=-1, 中含有相同因式的是() 2.xy3= A.①和② B.③和④ 7.已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足a2十 C.①和④ D.②和③ +c2-ab-bc-ac=0,则△ABC是 3.下列多项式能用公式法分解因式的有( 三角形 ①x2+y2;②-x2+y2;③-x2-y:④x2+ 8.已知x十y=3,x-y=-2,求(x2+y2)2 xy+y;⑤x2+2xy-y:⑥-x2+4.xy 4x”y2的值. -4y2. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.分解因式：x(x-2)+16(2-x)= 5.【阅读理解】分解因式：mx十nx十my十ny (mx十n.x)+(my十ny)=x(m十n）十y(m+ n)=(m十n)(x十y).以上因式分解的方法称 为“分组分解法”.对于四项多项式的分组，可 综合究 下面是某同学对多项式(x2一4x+2)(x2一4x+ (2)请你参照上述方法尝试对多项式(2一2a)· 6)十4进行因式分解的过程. (a2-2a十2)+1进行因式分解. 设x2-4x=y, 则原式=(y+2)(y+6)+4 =y2+8y+16 =(y+4) =(x2-4x+4)2. (1)该同学因式分解的结果是否正确？若不正 确，请直接写出因式分解的最后结果. 数学活动 活动1个位数字是5的两位数平方的规律 活动2利用因式分解生成密码 1.一天，小明与小华在一起玩，小明说：“我觉得 2.在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有 数学很有趣，意外发现一种快速算出75×75 种利用“因式分解”法产生的密码，方便记 的方法，先用100×7×8，再加上25，得到结 忆，原理是：如对于多项式x一y,分解因式 果是5625.”小明的话引发了小华的兴趣。于 的结果是(x一y)(x十y)(x2十y2),若取x= 是两人围绕速算“两个两位数相乘的积”的规 9,y=9,则各因式的值为x一y=0,x十y= 律开展了一系列探究. 18,x2+y=162,于是把018162作为一个六 用ab表示一个两位数，a代表十位上的数，b 位数的密码.对于多项式4x3一xy,取x= 代表个位上的数，即ab=10a十b. 11,y=12时，用上述方法产生的密码是 请观察下列运算规律。 (写出一个即可) 15×15=100×1×2+5×5=225, 3.在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生 25×25=100×2×3+5×5=625. 活已经密不可分.有一种用“分解因式法”产 35×35=100×3×4+5×5=1225. 生的密码，方便记忆，其原理是将一个多项式 … 分解因式.例如：将多项式x(x2一y) (1)根据阅读材料，可知：a5= 2y(x2-y)分解因式的结果为(x一y)(x十 (2)观察运算规律，猜想：a5×a5 y)(x-2y),当x=16,y=2时，x-y=14,x (3)结合以上内容，请你证明(2)中的猜想. 十y=18,x一2y=12,此时可以得到6个六位 (4)如果b十c=10,类比上述探究过程，请你 数的数字密码：141812：141218；181412； 用一个式子表示速算ab×ac的方法，并证 181214:121418:121814. 明你的结论. (1)根据上述方法，当x=25,y=2时，将多项 式x3一9xy分解因式后可以形成的数字 密码： (写 出三个). (2)小敏同学设计的多项式为a-8ab+ 16b,根据上述方法，当a=14,b=2时， 写出将多项式a一8a26十16b分解因式 后形成的八位数的数字密码（写出一个即 可)周长为18，面积为10，∴.a十b=9,ab=10,则 a2b十ab=ab(a十b)=10×9=90.故选B. 4.(1)-3ma(a2-2a+4) (2)5(m-n)3(x-2y) 5.29 6.解：(1)原式=20.25×(152-53+1) =20.25×100 =2025, (2)原式=(31.75-21.25)×1号+10.5× (139-2》 =102×1号+102×11 =10×1号+川 婴×9 =132. 7.解：(1)5.x(x-2y)3-20y(2y-x)9 =5x(x-2y)3+20y(.x-2y)3 =5(x-2y)3(x十4y. 当x=2,y=1时，原式=0. (2)原式=x3y3(2x-y)=(xy)3(2x-y). 1 “2x-y=4xy=4, “原式=4×}==16. 【综合探究】 解：(1)提公因式法2 (2)(1+x)2025 (3)1十x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)" =(1+x)[1+x+x(x+1)+…+x(x+ 1)"1] =(1+x)2[1十x+x(x+1)十…+x(x+ 1)”2] =(1十x)"+1. 17.2用公式法分解因式 第1课时用平方差公式分解因式 【基础过关】 1.C2.A3.D 4.-3 5.解：(1)原式=(xy-3x)(xy+3x). (2)原式=(2a+3b)(2a-3b). 【素养提升】 1.C点拨：(x2-y2)a-(x2-y)b2=(x2 y2)(a2-b)=(x-y)(x+y)(a+b)(a- b).故选C. 2.C3.B 【综合探究】 解：(1)6(2)n (3)(2n+1)-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)· (2n+1-2n+1)=4n×2=8n. 第2课时用完全平方公式分解因式 【基础过关】 1.C2.A3.B4.B 5.(1)9(2)±8 6.12 7.x(答案不唯一) 8.解：(1)原式=(3a+2b)2. (2)原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy) =(x+y)2(x-y)2. 9.解：(1)原式=(153+47) =2003 =40000. (2)原式=23.7-2×3,7×2.7+2.7 =8.7-27 2 【素养提升】 1.C2.A 3.4点拨：m2+n2+10=6n-2n,.m2+m2+ 10-6m+2n=0,即(m-3)2+(n+1)2=0, ∴.m=3,n=-1,∴.m-n=3-(-1)=4. 4.解：1)原式=(x)2+2×xy+()月 =(+2月. (2)原式=[6(m十n)-(m-n)] =(6m+6n一m+n)2 =(5m十7n)2. 5.解：.a2+2b+c2=2ab+2bc, ∴.a2+c2+2b2-2ab-2bc=0, ∴.(a2十b-2ab)+(c2+-2bc)=0, .(a-b)2+(b-c)2=0. 由平方的非负性，可知 a-b=0,.a=b 1b-c=0,1b=c. .a=b=c,.该三角形是等边三角形。 【综合探究】 解：(1)-3(2)9 (3)设另一个因式为x十， 得2x2+5.x-k=(2x-3)(x+n), ∴.2x2+5.x-k=2x2+(2n-3)x-3n. 2n-3=5,.n=4: 3n=k, k=12 即另一个因式为x十4，k=12. 第3课时综合运用提公因式法和 公式法分解因式 【基础过关】 1.A2.A3.B4.A5.D 6.(1)2(x+2)(x-2)(2)3a(x+1)(x-1) (3)2(x+2)(4)3a(x-y)2(5)(a-1) 7.解：(1)原式=-7m(m2-2mn十n2) =-7n(m-n)2. (2)原式=25x2(a-b)-36y2(a-b) =(a-b)(25.x2-36y2) =(a-b)(5x+6y)(5x-6y). (3)原式=(x2-y2+2-x2-y2+2)· (x2-y2十z2+x2+y2-22) =(2e2-2y2)·2x =4x2(x-y)(z+y) 8.解：(1)2a·a-26=2(a2-b). (2)当a=15.7,b=4.3时，阴影部分的面 积=2(a2-)=2(a+b)(a-b)=2× (15.7+4.3)×(15.7-4.3)=456. 【素养提升】 1.C2.D 3.A点拨：①x2十y,两平方项符号相同，不 能运用公式：②一x2十y2=(y+x)(y一x), 两平方项符号相反，能运用平方差公式： ③一x2一y2,两平方项符号相同，不能运用 公式；④x2+xy十y,乘积项不是2倍，不 能运用完全平方公式；⑤x十2xy-y,两 平方项符号相反，不能运用完全平方公式： ⑥-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)= 一(x一2y),整理后可以利用完全平方公 式分解因式.所以②⑥能用公式法分解因 式.故选A. 4.(x-2)(x十4)(x-4) 5.(1)(m-n)(m+n+1) (2)(2x+y)(2x-y-1) (3)(a+b+3)(a+b-3) 6.6点拔：8xy-8x2y2+2xy=2xy(4x2 y+)=2x(2x-0,:2-3 2x-y=-1, .原式=2×3×(-1)2=6. 7.等边点拨：a2+b2+c2-ab-bc一ac=0, ∴.2a2+2+2e2-2ab-2hc-2ac=0,(a2- 2ab+b)+(b-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)= 0.即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0, .a=b=c.∴.△ABC为等边三角形. 8.解：(x2+y)2-4x2y2=(x2+2xy+y2): (x2-2xy十y2)=(x+y)2(x-y)2. 将x+y=3,x一y=一2代人，得 原式=(x十y)(x-y) =32×(-2)3 =9×4 =36. 【综合探究】 解：(1)该同学因式分解的结果不正确.因式 分解的最后结果为(x一2). (2)设a2-2a=m,则原式=m(m十2)十1 m2+2m+1=(m+1)2=(a2-2a+1)2= (a-1). 数学活动 活动1 1.(1)10a+5(2)100a(a+1)+25 (3)证明：a5×a5=(10a+5)(10a+5)= 100a2+100a+25=100a(a+1)+5×5. (4)解：当b十c=10时，ab×ac=100a(a十 1)+bc. 证明：ab×ac=(10a十b)(10a+c)=100a2+ 10ab+10ac+bc=100a2+10a(b+c)+bc. .b+c=10. .100a2+10a(b+c)+bc=100a2+100a+ bc=100a(a+1)+bc. ∴.ab×ac=100a(a+1)+bc. 活动2 2.113410点拔：4x2-xy=x(4x2-y)= x(2x十y)(2x-y).当x=11,y=12时，各 因式的值为x=11,2x+y=22+12=34. 2x-y=22-12=10. .产生的密码为113410. 3.解：(1)251931,253119,192531点拨：x2 9xy=x(x2-9y)=x(x-3y)(x+3y). 当x=25,y=2时，x-3y=19,x+3y=31. ∴.可得数字密码是251931,253119,192531. (答案不唯一) (2)a-8a2b+16b=(a2-4b)2=(a+ 2b)2(a-2b)2. 当a=14,b=2时，a+2b=18,a-2b=10. .八位数的数字密码为18181010.（答案不 唯一) 复习课 【综合复习】 1.D2.A3.A4.B5.D6.D7.D 8.A 9.(1)246(2)40000 10.(1)(x+1)(x+4)(2)(x-9)(x+3) (3)(2x+1)(x+1)(4)(x-1)(3x-2) 11.解：原式=[3(x+2y)]-[2(x-y)] =(3.x十6y)2-(2.x-2y) =(3x+6y+2x-2y)(3x+6y- 2x+2y) =(5.x+4y)(x+8y). 当x=2y=2时， 原式=(5×2+4×2)×(2+8×2)=72. 12.解：(1)由题意，得(a一b)2=1, ∴.2ab=a2+b-(a-b)2=25-1=24, ∴.ab=12. ,(a+b)2=(a-b)2+4ab=1+48=49, .a+b=±7. (2)由题意，得(a十b)2=49, 故可得2ab=(a+b)2一(a2+b)=49- 29=20,∴.ab=10. ∴.(a-b)2=(a+b)2-4ab=49-40=9, .a-b=士3. (3)由题意，得(a十b)2=49,(a-b)2=1, 故可得2(a2+b2)=(a十b)2十(a一b)2= 49+1=50,4ab=(a+b)2-(a-b)2= 49-1=48. ∴.a2+b=25,ab=12. 13.解：a)是(2②号(3)号