18.5 分式方程&数学活动-2025-2026学年新教材八年级上册数学同步辅导（人教版2024）

18.5 分式方程 第1课时分式方程及其解法 基础过关 1,小明解方程上-二2=1的过程如下： 7 1.若分式乙2与2后的和为4，则x的值 解：去分母，得1一(x一2)=1，① 为 去括号，得1一x十2=1，② 8.已知关于x的方程10一3=1的解为x= x十kx 合并同类项，得一x+3=1,③ 3,则k 移项，得-x=一2，④ 系数化为1，得x=2.⑤ 9.已知关于x的方程3二”=1无解，则m= x-2 解答过程中开始出现错误的是步骤( A.① B.② C.③ D.④ 10.【教村P166练习变式】解下列分式方程： 3 2.化分式方程x一5一x一气为整式方程时，方 (1)5+-3=0: 程两边同乘的最简公分母是() A.x-1 B.x2-1 C.5x2-5 D.(5.x2-5)(x2-1) 3解分式方程一3一4写名时，去分母正确 的是( A.1-4(x-3)=-2B.1-4(x-3)=2 C.1-4(3-x)=-2D.1-4(3-x)=2 4分式方程上的解是( A.3 B.2 c D.子 5.下列方程：①号=日：②x- 2 2=3 ⑧D=1:04=专：⑤3r+号2 5 42-1= x2-4x+4 10:⑥上+2=7.其中整式方程有 分式方程有 ·(填序号) 6,若分式与2相等则x= 素养提升 1.【新定义题】对于实数a,b,定义一种新运算 5.如图，点A,B在数轴上，点A在点B的左侧， @:86=。2示例如：1®3=-名 它们所表示的数分别是”2和兰且点A 则方程⑧(-2)=24一1的解是( 到原点的距离比点B到原点的距离大3，求x 的值. A.x=4B.x=5C.x=6D.x=7 2.【阅读理解】对于两个不相等的实数a,b,我 们规定符号Max{a,b}表示a,b中较大的 值，如Max{2,4}=4,按照这个规定，方程 Mx已2·产2-2的解为( A.0 B.-2 C.0或-2D.无解 6.小明同学在解分式方程2马+=1去 3分式方程马=1-的解为正数，则m 分母时，方程右边的1没有乘(x一2)，若此时 求得方程的解为x=3,请你帮小明求分式方 的取值范围为( A.m>-3 B.m>-3且m≠-2 程2红2十}二m=1的解 x-2 2-x C.m<3 D.m<3且m≠-2 4.当a= 时，关于x的方程a -1 气1的解与方程二4=3的解相同。 2 综合探究 先阅读下面的材料，然后回答问题： (3)根据上述规律，解方程：y十Y士=19 方程x十上=2+号的解为西=2一之 y+13 1 x 方程x+上=3+号的解为=3一言 方程x十是4计的解为西=4=： 44 (1)观察上述方程的解，猜想方程x十上=5+】 5 的解是 (2)根据上面的规律，猜想方程x+上-a十的 解是 第2课时分式方程的应用 基础过关 1.阅读正如一束阳光.孩子们无论在哪儿，都可 C.30 30 以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及 x 1-50%z=2 更广阔的世界.某区教育体育局向全区中小 D30 30 x (1+50%)x =2 学生推出“童心读书会”的分享活动.甲、乙两 4.“某市为处理污水，需要铺设一条长为4000米 同学分别从距离活动地点800米和400米的 的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的 两地同时出发，参加分享活动.甲同学的速度 影响，实际施工时×××××.设原计划每天 是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学 提前4分钟到达活动地点.若设乙同学的速 铺设管道x米，则可得方程4000-400 x+10 度是x米/分，则下列方程正确的是( ) 20.”根据此方程，题中用“×××××”表示 A品-4 x 的缺失的条件应为 ( 400 R5- 、=4 A.每天比原计划多铺设10米，结果延期 c20-4 D. 800400 4 1.2x 20天才完成任务 x 2.国内某A1公司研发的两个AI模型R1和R2 B.每天比原计划少铺设10米，结果延期 共同处理一批数据.已知R2单独处理数据的 20天才完成任务 时间比R1少2小时，若两模型合作处理，仅 C.每天比原计划多铺设10米，结果提前 需1.2小时即可完成.设R1单独处理需要x 20天完成任务 小时，则下列方程正确的是( D.每天比原计划少铺设10米，结果提前 20天完成任务 A+2=1.2 B1+1 1 x+x+21.2 5.一艘货轮在静水中的航速为40km/h,它以该 c+2 1 D.x+(x-2)=1.2 航速沿江顺流航行120km所用时间，与以该 航速沿江逆流航行80km所用时间相等，则 3.【实际应用】某智能手机代工厂接到生产30 江水的流速为( 万部智能手机的订单，为了满足客户尽快交 A.5km/h B.6km/h C.7km/h D.8km/h 货的要求，该代工厂增开了一条生产线，实际 6.辛弃疾词日：“稻花香 每月生产能力比原计划提高了50%，结果比 里说丰年，听取蛙声 原计划提前2个月完成交货，那么原计划每 一片.”某种稻花香大 月生产智能手机多少万部？设原计划每月生 米味清淡略甜，绵软 产智能手机x万部，则根据题意可列方程为 略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品，某收割队 () 承接了60hm”水稻的收制任务，为了让大米 30 302 A.1+50%)x 早日上市，实际工作效率比原来提高了20%， 30 302 结果提前2天完成任务.设原计划每天收割 B.1-50%)x x 的面积为xhm,则列方程为 7.某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支， 燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里 第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每 的充电费。 支的进价是第一次进价的号倍，购进数量比 第一次少了30支.则该商店第一次购进的铅 笔，每支进价是 元. 8.电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等 方面较传统汽车都有明显优势.经过对某款 电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电 动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每 公里的加油费少0.45元.若充电费和加油费 均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是 素养提升 1.【传统文化】《九章算术》是我国古代重要的数： 3.小刚家到学校的距离是1800米.某天早上， 学专著之一，其中记录的一道题译为白话文 小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离 是：把一份文件用慢马送到800里外的城市， 上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回 需要的时间比规定时间多1天：如果用快马 家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校 送，需要的时间比规定时间少3天.已知快马 已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了 的速度是慢马速度的2倍，求规定时间.设规 4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的 定时间为x天，则可列方程为( 平均速度的1.6倍. A.800=800×2 B.800×2=800 (1)求小刚跑步的平均速度. “x+1x十3 x+1 x+3 (2)如果小刚在家取作业本和取自行车共用 c9×2= D.800-800 了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请 x一3 x十1x一3 ×2 说明理由。 2.要在规定的天数内修筑一段公路，若让甲队 单独修筑，则正好在规定天数内完成：若让乙 队单独修筑，则要比规定天数多8天完成.现 在由乙队单独修筑其中一小段，用去了规定 时间的一半，然后甲队接着单独修筑2天，这 段公路还有一半未修筑.若让两队共同再修 筑2天，能否完成任务？ 4.甲、乙两人玩“托球赛跑”游戏，商定用球拍托 莓全部售出，本次生意张先生一共获利 着乒乓球从起点开始跑，绕过距离起点30米 1200元. 处折返回起点，途中乒乓球掉下时需捡起并 (1)草莓的进价为多少元/千克？ 回到掉球处继续赛跑，用时少者胜.结果：甲 (2)张先生用6000元按第一次的价格又购进 同学由于心急，掉了球，浪费了6秒，乙同学 了第二批草莓.第一天同样以比进价高 则顺利跑完.事后，甲同学说：“我俩所用全部 30%的价格卖出300千克，第二天，张先 时间的和为50秒.”乙同学说：“捡球过程不 生把卖相不好的草莓挑出，单独打折销 算在内时，甲的速度是我的1.2倍.”请问哪 售，售价为10元/千克，结果很快被一抢 位同学获胜？ 而空，其余的仍按第一天的价格销售，且 当天全部售完.若张先生这次至少获利 1300元，请问打折销售的草莓最多多少 千克？（精确到1千克） 5.张先生用6000元购进了一批草莓.第一天， 很快以比进价高30%的价格卖出300千克. 第二天，他发现剩余的草莓卖相已不太好，于 是果断地以比进价低10%的价格将剩余的草 综合探究 某市城区道路工程指挥部，要对某路段工程进 行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从 投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天 数是乙队单独完成这项工程所需天数的号：若 由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队 合作30天就可以完成. (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙 队每天的施工费用为0.56万元，工程预算 的施工费用为50万元.为缩短工期以藏少 对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成 这项工程，则工程预算的施工费用是否够 用？若不够用，需追加预算多少万元？请给 出你的判断并说明理由. 数学活动 活动1探究比例的性质 活动2 探究x十取值的规律 1.小芳同学在一次数学活动中发现，存在一组 都不为0的数a,bc,d,使得等式号=兰成立 3.当x>0时如何求代数式y=子+二的最大 值或最小值？ (即a,b,c,d成比例). (1)填写下表： (山)若号-号求“片的值。 3 2 2 (2)解分式方程：3+2x-2 3x-2_2x+1 (2)当x= 时y十有最 值（填“大”或“小”），是 (3)利用配方法求y=2+（x>0)的最大 (或最小)值，并证明你的猜想. 2已知号-冬=台(a-b+2≠0)，求分式 (④求代数式y=产-6r++10(> 2a+3b-9的值. a-b+2c 3)的最大（或最小）值，并求出此时x 的值. 解：设号-冬-号=e, 则a=3k,b=4k,c=5k①. 2a-股+--@ (1)上述解题过程中，第①步运用了 的基本佳质：第②步中，由求得结果号 9 运用了 的基本性质。 (2)参照上述材料解题： 已知登-学=言红-2y+3:≠0，求分式 的值4.解：x十x1=4,.(x+x1)2=42, .x2+2+x2=16,.x2+x2=16-2=14 .(x2+x)=142,.x+2+x4=196, .x+x4=196-2=194. 第2课时科学记数法 【基础过关】 1.C2.A3.D 4.0.00045 5.解：(1)原式=-2.4×5×10-7+8 -1.2×10-3 (2)原式=(5.4×108)÷(3×105)÷ (9×10+)=(5.4÷3÷9)X108--0-(-0 =0.2×1017=2×1016. 【素养提升】 1.D2.B 3.解：光纤的横截面积为1×π× (0X0广÷40X10)=4x×10a. .10-4÷(4π×10)≈8.0×10. 答：1cm约是此时这种光纤的横截面积的 8.0×103倍. 【综合探究】 (1)3.24×10点拔：由题意，得第①个小 圆中所填写的数为3240×10×10×10= 3240000=3.24×10° (2)2×106点拔：由题意，得第④个小圆中 所填写的数为0×品×0×0=0.000002 =2×10-6. 18.5分式方程 第1课时分式方程及其解法 【基础过关】 1.A2.C3.A4.D 5.①④⑤②③⑥6.37.38.29.6 10.解：(1)方程两边乘x,得5十x一3=0. 解得x=一2. 检验：当x=一2时，x≠0. 所以，原分式方程的解为x=一2. (2)方程两边乘x(x十3)，得x2一(x十3) =x(x十3)，解得x=一是 检验：当x=一 时+3)=器0， 所以，原分式方程的解为x=一3 41 (3)方程两边乘(x+1)(x一1)，得(x+1) =4+(x+1)(x-1). 解得x=1. 检验：当x=1时，(x十1)(x一1)=0， .x=1不是原方程的解. 原分式方程无解。 (4)方程两边乘(x一2)2，得x(x一2)一 (x-2)2=4. 解得x=4. 检验：当x=4时，(x-2)2=4≠0. 所以，原分式方程的解为x=4. 【素养提升】 1.B 2.A点拔：当x>2时2- -2, x一6=2，x-6=2x-4,x=-2(舍去)：当 x-2 K2时2-22一4 2x-4,x=0.故选A. 3.B点拨：方程两边乘(x一1)，得2=x一 1一m,解得x=m十3：分式方程名 1一%的解为正数，m十3>0，m -3.又，x≠1，即m十3≠1，.m≠-2， .m的取值范围为m>一3且m≠一2. 4.号点拔：由方程二4=3得x-4=3x,解 得x=一2.当x=一2时，x≠0，所以x= 一2是方程=3的解.因为方程。气 x二=1的解与方程二4-3的解相同， 2 所以x一2也是方程气一名=1的 解，所以。97=1解得a=子当 a=7时，a一1≠0，故a=2满足条件。 5解：根据题意，得一名2一（一习=3。 解得x=1.5, 检验：当x=1.5时，x-2≠0，所以x=1.5 是分式方程的解。 ∴.x的值为1.5. 6.解：按小明同学的方法： 方程两边乘(x一2)，得2x一3十m=1. 把x=3代入，得6一3+m=1,解得m= -2 此时原分式方程为2二2十2己=1 5 方程两边乘(x一2)，得2x一5=x一2. 解得x=3.检验：当x=3时，x一2≠0. 所以，原分式方程的解为x=3. 【综合探究】 (1)x1=5,x2= 5 (2)=a,x2=1 解：(3)原方程可变形为y十1+ y+1 =3+3 由上述规律，得y十1=3或y十1= 解得y=2,y=一 2 3 经检验，y=2,y= 号是原方程的解。 2 ∴·y1=2,y2=- 第2课时分式方程的应用 【基础过关】 1.D2.C3.D4.C5.D 660 60 x(1+20%)x =27.4 8.解：设这款电动汽车平均每公里的充电费 用为x元，则燃油车平均每公里的加油费 为(x+0.45)元. 根据题意，得0- 300 ×4, x+0.45 解得x=0.15. 检验：当x=0.15时，x(x十0.45)≠0，所 以，x=0.15是原方程的解， 答：这款电动汽车平均每公里的充电费用 为0.15元. 【素养提升】 1.C 2.解：设规定的时间为x天，工作总量为1.依 题意，得号·8十是-解得x=8, 检验：当x=8时，x(x十8)≠0，所以x=8 是原方程的解， .两队共同再修筑2天，不能完成任务. 3.解：(1)设小刚跑步的平均速度为x米/分 根据题意，得1800=1800 1.6x +4.5,解得 x=150. 检验：当x=150时，1.6x≠0. 所以，原分式方程的解为x=150. 答：小刚跑步的平均速度为150米/分. (2)他不能在上课前赶回学校.理由如下： 由(1)，知小刚从学校跑步回家所用的时间 为 =12(分)， 小刚从家骑自行车回学校所用的时间为 1800 1.6×150=7.5(分). 因为12+7.5十3=22.5>20，所以他不能 在上课前赶回学校 4.解：设乙同学的速度为x米/秒，则甲同学的 速度为1.2x米/秒，根据题意，得(0十 6)+60=50,解得x=2.5.检验：当x=2.5 2 时，x≠0，所以，x=2.5是原分式方程的解， 且符合题意：甲同学所用时间为2十 6=26(秒)，乙同学所用时间为0=24（秒）. ,26>24,.乙同学获胜. 5.解：(1)设草莓的进价为x元/千克， 则降价销售了(6000-300)千克， 根据题意，得300×[(1+30%)x一x]十 (6000-300)×[(1-10%)x-x]=1200, 整理，得120x=1800,解得x=15, 检验：当x=15时，x≠0，所以x=15是原 方程的解。 答：草莓的进价为15元/千克. (2)购进第二批草莓的质量为6000÷15= 400(千克).设打折销售了y千克草莓，则 原价销售了(400一y)千克草莓，根据题意， 得15×30%×(400-y)-(15-10)y≥ 130,解得y≤52号 答：打折销售的草莓最多52千克. 【综合探究】 解：(1)设乙队单独完成这项工程需要x天， 则甲队单独完成这项工程需要号：天.根据题 意，得}0+30 1 +1 =1.解得x=90.检 37 32 验：当x=90时，x≠0，所以x=90是原分式 2 2 方程的解.·号x=号×90=60.六甲、乙两队 单独完成这项工程分别需要60天和90天. (2)甲、乙两队合作完成这项工程需要的天数 为1÷（品十品）=36（天）.需要施工费用为 36×(0.84+0.56)=50.4(万元). .50.4>50,50.4-50=0.4(万元)，.工程 预算的施工费用不够用，需追加预算 0.4万元 数学活动 活动1 1解：1)：号==号+1=号+1 b (2)原方程变形，得3工+1-32x-2+3 3.x十12x-21 -3 3 -1 1 即3x中2x-2'3x+市2x-2 去分母，得-2x十2=3x+1, 解得x=号 检验：当x=时，(3x+1)(2x-2)≠0，所 以x=号是分式方程的解， 故原分式方程的解为x= 2.解：(1)等式分式 (2)设5=芳=言=m,则x=2m,y=3m 36 x=6m. 十2y-x 2m十6m-6n=2m=1 x-2y+3z 2n-6m+18m14m7: 活动2 3.解：(1) 3 1-2 1 2 3 82 17 17 82 257 9 4 9 16 (2)1 小 2 (3)y=x2+ =x2-2+ +2= (x-)+2. (x-)≥0 y=r+(x>0)的最小值是2. (4):y=t-6x+x-3+10=-6x+ 9+a+1=-3++1= 红-3)-2+a3+1+2 [-3)-3 3+3, [-≥0 y-[-3)-3+3有最小值， 当x-3=1,即x=4时，y=x2-6x+ (x-3严+10有最小值3. 1 复习课 【综合复习】 1.B2.A3.A4.D5.A6.B7.C 8.D9.D 10B点拨：-中高 a2-1a2+1=-2 a-1-a-1-a-1 由题意，知。二号为负整数，所以a一1=1 或2，所以a=2或3. 11.2(x+y)(x-y) x(x十y) 2(x+y)(x-y) 6x2 2(x+y)(x-y) 12.1 13,解：名+舌=1.两边同乘-， 得2+x(x+1)=x2-1. 整理，得x=一3， 检验：当x=一3时，x2一1≠0，所以x= 一3是原分式方程的解 (2)3x+2-x-2 2 x+13x+33 两边同乘3(x+1), 得3(3x+2)=x-2-2(x十1). 整理，得x=一1. 检验：当x=一1时，x十1=0，所以原分式 方程无解. 14.解：设橘子每千克的价格为x元，则香蕉 每千克的价格为(1一30%)x元.根据题 意，得 2800 1-30%)xx 2500=150,解得x=10. 检验：当x=10时，x≠0，所以，x=10为 原分式方程的解 答：橘子每千克的价格为10元 15.解：原式=(x-1)-2(x+1D: (x+1)(x-1) x2-3x-2 (x+1)(x-1)(x+1)(x-1) (x+1)(x-1)=x2-3x-2. .x满足x2-3x-4=0, .x2一3x=4,.原式=4-2=2 16.解：方程两边乘(x一1)(x十2)， 得2(x十2)十m.x=x1, 整理，得(m十1)x=-5. (1)当m=4时，(4十1).x=-5, 解得x=一1. 检验：当x=一1时，(x一1)(x十2)≠0. 所以，原分式方程的解为x=一1. (2)分式方程无解， .m十1=0或(x十2)(x-1)=0. 当m十1=0时，m=-1: 当(x+2)(x-1)=0时，x=一2或x=1. 当x=一2时m=多 当x=1时，m=一6. “当m的值为-1或多或一6时，该分式