第18章 分式 复习课-2025-2026学年新教材八年级上册数学同步辅导（人教版2024）

复习课 典例精析 2 【例】先化简代数式：(。2十。22)÷ (2)去分母，得2x-1=x一3，解得x=一2. 检验：当x=一2时，2(x一3)≠0， :然后选取一个合适的a值，代入求值。 ∴.原分式方程的解是x=一2. 思路分析：此类题是中考常见题型，解题方 (3)去分母，得x(x-1)=(x十3)(x一1)十 法都是先化简，后求值，不能直接把值代入计 2(x+3), 算：解的时候，要根据式子的特点，适当地选择 解得x=一子 方法和顺序：当要求自己选值时，要注意所选取 的未知数的值要使式子在运算过程中始终有 检验：当x=一3时，(x-1)(x+3)≠0， 5 意义 解：千2+。22)÷。 原分式方程的解是x=一多 =「，a(a-2) 2(a+2)1 【例】小华想练习解分式方程：二2+3 la+2)a-2)(a+2)(a-2J 1 =2-x,有一个数“■”看不清楚。 (a+2)(a-2) (1)她把这个数“■”猜成5，请帮小华解这 a2+4 (a+2)(a-2)·(a+2)(a-2) = 个分式方程. =a2+4, (2)小华的妈妈说：“我看到参考答案是原 取a=1时，原式=5. 分式方程无解.”请求出原分式方程中“■”代表 【例2】解下列分式方程： 的数是多少 042-1=22 3 思路分析：分式方程无解可能有两种情况： x-2 (1)去分母后化成的整式方程有解，但这个解使 (2) 11 x-32x-629 原方程的最简公分母为0：(2)去分母后化成的 整式方程无解，即a.x=b中，a=0且b≠0. 8=1+ 思路分析：先找出各分母的最简公分母，再 解：1)原方程为，2十32亡 去分母，转化为整式方程求解，要注意检验。 方程两边乘x一2，得 解：(1)去分母，得4x-(x-2)=一3， 5+3(x-2)=-1,解得x=0. 解得工=一号 检验：x=0时，x一2≠0，∴.x=0是原分式 方程的解。 检验：当x= 号时x一2≠0. (2)设■=m,方程两边乘x-2,得m十3(x -2)=-1. “原分式方程的解是x=一骨 :原分式方程无解，.x=2,把x=2代入 上面的等式，得m+3×(2一2)=一1，解得m 所以该市现在居民用气的价格为3元/m. -1. 【例6】阅读下面的解题过程： ∴.原分式方程中“■”代表的数是一1. 卫知有分求的值。 【例】已知a-b-1=0,求3(a-2)+36 a2-2abb 解：由千号知x≠0， 的值. 思路分析：分式的化简求值中常用到整体 所以-3，即x+-3, 思想，把一个式子看成整体，并把这个整体代入 求值 所以中=2+是=(x+-2=3 解：a-b-1=0,∴.a-b=1. 2=7所以的值为号 原式=3a-6b+36 (a-b)7 该题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数 =3a-36 法”解决下面的问题： (a-b) 1 =3(a-b) 已知-3x十=方求++的值. (a-b)8 思路分析：此类题型可参照题中讲解的“倒 3 a-b 数法”先求出已知项的倒数，然后分子、分母同 =3. 时除以，可以得到x十上的值，同样将所求的 【例5】某市调整居民用天然气价格，每立 代数式也先写出其倒数，分子、分母同时除以 方米天然气价格上涨25%.小颖家调整前平均 x产，可以得到含有x+】的代数式，再结合完全 每月的燃气费是96元.调整后小颖家将天然气 热水器换成了太阳能热水器，平均每月的用气 平方公式(x+)=+子+2可以求出代数 量比调整前每月的少10m.若现在平均每月的 燃气费是90元，求该市现在居民用气的价格. 式++的值，再求出倒数即可得到 思路分析：设未知数列方程解应用题，有 直接设法和间接设法两种，要根据题意选择适 x+x+的值. 当的设法.同时对求出的未知数的值必须检验。 解：由，百=号，知x≠0，所以 解：设该市调整前居民用气的价格为x元/m, x2-3x+1=5, 则现在的价格为(1+25%)x元/m. 根据题意，得96 90 (1+25%0x=10. 即x+1-3=5,所以x+1=8, 解得x=2.4. 所以+出=+2+1=(x+) 检验：当x=2.4时，x≠0，所以x=2.4是 所列方程的解。 2+1=82-1=63. 2.4×(1+25%)=3(元). 1 所以++63 综合复习 1.在1，x-1,c.x十1m”.-么 则分式的值( ) a-b 5 m-n 2中 元 分式有( A.不变 且变为原来的号 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 C.变为原来的。 D.变为原来的3倍 2.澳大利亚的出水浮萍，它的果实像一个微小 7.若方程3=m 立=二3的解为x=6,则m的值是 的无花果，质量只有0.000000076克.将数 0.000000076用科学记数法表示为( A.7.6×10 B.7.6×109 A.0 B.3 c. D.1 C.7.6×10 D.7.6×107 8.下列各式计算错误的是( 3对于代数式二号·有甲、乙两种判断，下列说 A.4xy'216 法正确的是() B.y÷3xy=4y 甲：是分式，因为a一2是整式，且分母a一2 2yz'8yz 3r 中含有字母. c。÷(a-aw0= a 乙：是整式，因为二号1，而1是整式。 A.甲对、乙不对 B.乙对、甲不对 D(-a÷号=b 9.甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人 C.甲和乙都对 D.甲和乙都不对 原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟 4.下列关于分式的判断正确的是( 后，甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度，加 A当x=2时，分式的值为0 工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成. B当x=3时，分式二3无意义 求乙每小时加工零件多少个，设乙每小时加 工零件x个，可列方程为( C无论x为何值，分式的值不可能是 A2四 =30 B.120120 1.2x =30 整数 C.120-120=39 D.120-120_30 D,无论x为何值，分式十3的值总为正数 60 1.2.x60 a2+1 1 5.下列分式是最简分式的是( 10.要使式子(a+ a-1 a一-7的值为 a2-2a+1}÷ Aaso B.atb 2 az-b C.2x+4 D.-ab 负整数，则整数a的取值为() ca A.1或2 B.2或3 6.若分式。6中a和6的值都变为原来的号 C.a>1 D.a>2 1.将分式兰与2道分，最简公分母15先化简，再求值：（克一吕）产与其 3.x2 中x满足x2-3x-4=0. 是 ,分式2变为 ,分 式y变为 12.计算：31-√+3- 13.解分式方程： 16已知关于x的分式方程，马十C一十2 x+2 (1)当m=4时，求方程的解； (2)若该分式方程无解，求n的值. (2)3x+2-x-22 x+13.x+33 14.开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”已成 为一种时尚，某学校食堂为了激励同学们做 到光盘不浪费，提出如果学生每餐做到光盘 1.已知x+上5，试求下列各式的值： 不浪费，那么餐后奖励香蕉或橘子一份.近 日，学校食堂花了2800元采购香蕉和2500 a0r+= 元采购橘子，采购的香蕉比橘子多150千 @r+月 克，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格 20x+是-（±》 低30%，求橘子每千克的价格。 @+}=(r±》 (3)已知r2-4红-1=0，求x+的值. 聚焦中考 1.(辽宁省)将方程十3=去分母，两 7.(8台市)先化简(x+3-子3)÷2。 边同乘(x一1)后的式子为 ( 再从0≤x≤4中选一个适合的整数代入 A.1+3=3x(1-x) B.1+3(x-1)=-3x 求值 C.x-1+3=-3x D.1+3(x-1)=3x 2,(黑龙江省)如果关于x的分式方程2二m=1 x+1 的解是负数，那么实数m的取值范围是( A.m<-1 B.m>-1且m≠0 C.m>-1 D.m<-1且m≠-2 8.(广东省)某学校开展了社会实践活动，活动 3.(河北省)已知A为整式，若计算A 地点距离学校12km.甲，乙两同学骑自行车 xy+y 同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结 十的结果为号，则A=( 果甲比乙早到10min,求乙同学骑自行车的 A.x B.y C.x+y D.x-y 速度. 4(长沙市)要使分式，g有意义，则r需满足 的条件是 5.(大庆市)方程23十上0的解为 6.先化简，再求值： 1张长泰市)二22其中=E 9.(烟台市)利用计算器进行计算，按键顺序如 下：32一5=，若m是其显示结果 的平方根，先化简：(+÷受。 m十3 再求值 (2(青海省)（号一）÷（号-）其中x 2-y(x-)+2. (x-)≥0 y=r+(x>0)的最小值是2. (4):y=t-6x+x-3+10=-6x+ 9+a+1=-3++1= 红-3)-2+a3+1+2 [-3)-3 3+3, [-≥0 y-[-3)-3+3有最小值， 当x-3=1,即x=4时，y=x2-6x+ (x-3严+10有最小值3. 1 复习课 【综合复习】 1.B2.A3.A4.D5.A6.B7.C 8.D9.D 10B点拨：-中高 a2-1a2+1=-2 a-1-a-1-a-1 由题意，知。二号为负整数，所以a一1=1 或2，所以a=2或3. 11.2(x+y)(x-y) x(x十y) 2(x+y)(x-y) 6x2 2(x+y)(x-y) 12.1 13,解：名+舌=1.两边同乘-， 得2+x(x+1)=x2-1. 整理，得x=一3， 检验：当x=一3时，x2一1≠0，所以x= 一3是原分式方程的解 (2)3x+2-x-2 2 x+13x+33 两边同乘3(x+1), 得3(3x+2)=x-2-2(x十1). 整理，得x=一1. 检验：当x=一1时，x十1=0，所以原分式 方程无解. 14.解：设橘子每千克的价格为x元，则香蕉 每千克的价格为(1一30%)x元.根据题 意，得 2800 1-30%)xx 2500=150,解得x=10. 检验：当x=10时，x≠0，所以，x=10为 原分式方程的解 答：橘子每千克的价格为10元 15.解：原式=(x-1)-2(x+1D: (x+1)(x-1) x2-3x-2 (x+1)(x-1)(x+1)(x-1) (x+1)(x-1)=x2-3x-2. .x满足x2-3x-4=0, .x2一3x=4,.原式=4-2=2 16.解：方程两边乘(x一1)(x十2)， 得2(x十2)十m.x=x1, 整理，得(m十1)x=-5. (1)当m=4时，(4十1).x=-5, 解得x=一1. 检验：当x=一1时，(x一1)(x十2)≠0. 所以，原分式方程的解为x=一1. (2)分式方程无解， .m十1=0或(x十2)(x-1)=0. 当m十1=0时，m=-1: 当(x+2)(x-1)=0时，x=一2或x=1. 当x=一2时m=多 当x=1时，m=一6. “当m的值为-1或多或一6时，该分式 方程无解。 17.解：(1)①23②527 (2)①千2②千2 (3)由题意，得x≠0，x2一4x一1=0. x2-1=4x,x-1=4, +是=（红-2）+2=4+2=18. x+=(+2)-2=18-2 =322. 【聚焦中考】 1.B2.D 3.A点拨：A 一，y一的结果为 xy+y x'+zy 义义+心A “x2+xy ry xy+y' ..y? vx+2x十2= xy(x+y) xy(x+y) y十少y千yA=x,故选A A 4.x≠195.x=-1 6.解：1原式=-2=x2=x x-2 x-2 当x=2时，原式=（√2）=2. 25)÷(号-义 =货赁 =x二y÷x2-y =x二义Xxy ry r2-y 号×r+就- 1 x+y x=2一y,.x十y=2,.原式= x+y ≠2 7.解：原式=-16：2x-8x= x-3 x一3 (x-4)(x+4).x-3 =x十4 x-3 2x(x-4) 2x :x≠034当x=1时，原式=（或当 x=2时，原式=》 8.解：设乙同学骑自行车的速度为xkm/h,根 据题意，得竖-号品 1.2x60 解得x=12. 检验：当x=12时，x≠0，所以x=12是原 方程的解 答：乙同学骑自行车的速度为12km/h. 9.解：原式= m 7m-4 Lm-3(m+3)(m-3)J m十3 2(2-m) =m(m+3)-7m+4, m十3 (m-3)(m+3) 2(2-m) (m-2)2 m十3 (m-3)(m十3)2(2-m) 2一m 2m-6 由题意，得m=士√4=士2， .m≠2，.m=一2. “原式=灵2”。一号 2-(-2)