16.2 整式的乘法-2025-2026学年新教材八年级上册数学同步辅导（人教版2024）

16.2整式的乘法 第1课时单项式乘单项式 基础过关 1.计算2x·3x的结果是() 5.【放材P104练习2变式】计算： A.5.x2 B.6x2 C.5x D.6.x (1)(-a2)3·(-2a2)3: 2.计算(-3x)·(-2xy)的结果是( ) A.-6ry B.6ry C.-6x2y D.12x'y (2)mn·(-0.5m3n2)·2mn: 3.如果x"y与2xy"相乘的结果是2xy,那么 m和n的值分别是() Λ.3,5 B.2,1 C.3,4 D.4.5 (3)(-2ab)'(-4ar). 4.光的速度约为3×10km/s,太阳系外的一颗 恒星发出的光需要4年的时间才能到达地 球.若1年以3×10s计算，则这颗恒星到地 球的距离是 km. 素养提升 1.下列运算正确的是( 3.先化简，再求值：3x2y·(-3xy)-(-x2y)· A.(-2ab)·(-3ab)1=-54ab (-x2y2),其中x=2,y=3. B.5.x2·(3x3)2=15.x12 C.(-0.1b)·(-10b)3=-b D.(3×10)×(号×10）)=10 2.若(am+1*2)(a1b)=ab,则m一n的值 为 综合探究 已知(-2xm+1ym-1)·5x"ym=-10xy,求 -2ma·(一2mnr)'的值。 第2课时单项式乘多项式 基础过关 1.计算(x一(-3x)的结果是( 9.如图16-2-1，根据图形的面 积可得到一个整式乘法的 A.3xy+xy R-3ry-号y 等式为 ab 10.【敦村P106练习2变式】 C.-3Py+3ry D.-3xy+号 图16-2-1 计算： 2.计算：2a(a-1)-2a2=( (1)-3x(2x2-5x-1): A.a B.-a C.2a D.-2a 3.计算6x(3-2x)的结果，与下列式子相同的 是() A.-12x2+18.x B.-12x2+3 (2-ab-2aj(-号a6): C.16x D.6x 4.如果一个长方形的周长为10，其中长为a,那 么该长方形的面积为() A.10a B.5a-a C.5a (3)3x2y(-4xy+2xy-xy): D.10a-a2 5.一个长方体的长、宽、高分别是3a-4,2a,a, 它的体积等于( A.3a3-4a B.a C.6a3-8a2 D.6a2-8a (4)-5x·(x2y-xy)-2x2(2wy+y) 6.下列计算正确的是( ) A.-2a(3ab-2a2b)=-6a2b-4a3b B.2ab(-a2+2-1)=-4a3b C.abc(3a2b-2ab2)=3ab2-2a2b 11.某同学在计算一个多项式乘一3.x2时，算成 D.(ab)2(3ab2-c)=3ab-a2b2c 7.数学课上，老师讲了单项式乘多项式.放学回 了加一3，得到的答案是2-之十1，那么 到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题： 正确的结果是多少？ -3.xy(7y-5x-1)=-21xy2+15.x2y■， ■的地方被钢笔水弄污了，你认为■处应为 () A.+3ry B.-3xy C.-1 D.+1 8.已知(x"十y+)·x"=x+x2y,则m十n 的值是() A.3 B.4 C.5 D.6 素养提升 1.已知单项式M,N满足3x(M-5x)=6xy2+ 6.如果一个三角形的底边长为2x2y十xy一y, N,则M·N=( ) 底边上的高为6.xy,那么这个三角形的面积 A.-30xy2 B.-30x2y 为 。 C.-15.x2y D.-15.x3y 7.若2x(ax3+x2+b)-3.x-2c=2x3-5x+6 2.若计算(x2十ax+5)·(-2x)-6.x2的结果 恒成立，则a十b十c= 中不含x项，则常数a的值为( 8.先化简，再求值： A.-3 B一号 C.0 D.3 (1)x(x2-x-1)+3(x+x)- 3x(3r2+ 3.如图16-2-2，已知一个长方体盒子的长为 6x.其中x= x十3，宽为2x,高为x,则这个长方体盒子的 表面积为( A.10x2+18x B.12x2+6x C.6x2+6.x (2)3a(2a2-4a+3)-2a2(3a十4)，其中 D.5.x2+9x 图16-2-2 a=-2. 4.已知x2+2x=一1，则代数式5+x(x十2)的 值为 5.若a(x2+3x+b)=5.x2+15x+10,其中a,b 为常数，则上三 综合探究 【整体思规】阅读下列文字，并解决问题 已知：x2y=3,求2xy(xy-3x3y-4x)的值. 分析：考虑到满足xy=3的x,y的可能值较 多，不可以逐一代人求解，故考虑整体思想，将 x2y=3整体代入. 解：2xy(xy2-3xy-4x)=2xy3-6xy2 8x2y=2(x2y)3-6(x2y)2-8.x2y=2×33 6×32-8×3=-24. 请你用上述方法解决问题： 已知ab=3,求(2a3b-3a2b+4a)·(-2b) 的值. 第3课时多项式乘多项式 基础过关 1.计算(a+2)(a-3)的结果是() 四周加上了宽2cm的装饰彩框，那么小阳同 A.a2-6 B.a2+a-6 学的这幅作品的面积是 cm2. C.a2+6 D.a2-a-6 7.计算： 2.已知(x十1)(x十m)=x”十nx一4，则m一n (1)(2x-y)(x十y)； 的值为() A.1 B.-1 C.7 D.-7 3.下列各式计算正确的是( A.(4x-1)(5.x-1)=20x”-1 B.(-2x-3)(3-2x)=9-4x (2)(x+1)2: C.(3x+2y)(-3.x-2y)=9.x2-4y D.(2x-y)(4x2+2xy+y)=8.x3-y 4.已知多项式ax十b与2x2+2x一3的乘积展 开式中不含x的一次项，且常数项为一9，则 a的值为() (3)(2a-3b)(2a+3b): A.8 B-日 C.-8 D.-6 5.如图16-2-3①，有边长分别为a和b(a>b) 的A类和B类正方形纸片，长为a,宽为b的 C类长方形纸片若干张.如图16-2-3②，要拼 (4)(x+2y)(x2-xy+2y2). 一个边长为a十b的正方形，需要1张A类纸 片，1张B类纸片和2张C类纸片.若要拼一 个长为3a十b,宽为2a十2b的长方形，则需要 C类纸片的张数为() B 8.先化简，再求值：4x·x十(2x一1)(1一2x), 其中x一品 ① 图16-2-3 A.6 B.7 C.8 D.9 6.【实际应用】为了参加市里的摄影大赛，小阳 同学将同学们参加“义务献爱心”活动的照片 放大为长acm,宽子acm的长方形，又精心在 素养提升 1.若(2x一m)(x十1)的运算结果是关于x的二 5.已知(x+a)(x-3x+c)的展开式中不含x 次二项式，则m的值等于( 和x项，则a= A.-2或0 B.2或0 6.计算： C.-2或2 D.2或-2或0 (1)(2a-3b)(a+5b)-7a(a+b): 2.如图16-2-4所示，观察下列两个多项式相乘 的运算过程： 2图)=向止可空的)=3回 (2)(x-1)(2x+1)-2(x-5)(x+2). 图16-2-4 根据你发现的规律，若(x十a)(x十b)=x2 7x十12，则a,b的值可能分别是( 八.-3，-4 7.试说明代数式(2x+1)(1一2x+4x)一x(3x B.-3,4 C.3,-4 1)(3x+1)+(x2+x+1)(x-1)-(x-3)的 D.3,4 3.设M=(x-3)(x-7),N=(x-2)(x-8). 值与x的取值无关 则M与N的大小关系为() A.M<N B.M>N C.M=N D.不能确定 4.已知m十n=m,则(m一1)(n-1) 综合探究 【创新意识】在学习多项式后，小聪研究了多项式 多项式零点的两个点关于直线x=2对称， 值为0的问题，发现当mx十n=0或px十q=0 他把这些多项式称为“2系多项式”.若多项 时，多项式A=(mx十n)(px十q)=mpx2十 M=(2ax+b)(cx-5c)=bx2-4cx- (mq十np)x十ng的值为0，把此时x的值称为多 2a-4是“2系多项式”，则a= 项式A的零点， (1)已知多项式(3x十1)(x一2)，则此多项式的 零点为 (2)已知多项式B=(x-1)(b.x十c)=ax2 (a-1)x-号有一个零点为1，求多项式B 的另一个零点. (3)小聪继续研究(x一3)(x一1)，x(x一4)及 (x一)(x一)等，发现在x轴上表示这些 第4课时同底数幂的除法和零指数幂 基础过关 1.下列计算：①a2·a”=a3";②22·3=65；： 6.若(x十1)°=1，则x的取值范围是( ③3÷32=3：④a÷a2=5a:⑤(-a)2· A.x≠0 B.x≠1 (一a)3=a.其中正确的计算有() C.x≠-1 D.任意实数 A.4个B.3个 C.2个 D.1个 7.计算：(y3)2÷y3= 2.墨迹覆盖了等式“x3■x=x2(x≠0)”中的运 18.计算： 算符号，则覆盖的是() (1)(a-2)5÷(2-a); A.+ B.- C.× D.÷ 3.下列计算结果为x的是( A.x2+ B.x5÷x2 C.x8÷x D.x5-x 4.(-5)°等于( (2)(-mn)9÷(mn)'. A.0 B.1 C.5 D.-5 5.计算a·a3÷a2的结果是( A.a B.a' C.a D.a 素养提升 1.化简x2÷x0·x3÷x·x的结果是( 5.先化简，再求值：(2x-y)B÷[(2x-y)]2÷ A.r B.2 C.1 D. [(y-2x)2]3,其中x=2,y=-1. 2.若a÷a3·a=a,则x= 3.若2=4,4“=16，则2w一+3的值是 4.若（一5）3m+9=1,则m的值是 综合探究 【新定义】探究应用：用“U”“∩”定义两种新运 算：对于两数a,b,规定aUb=10×10,a∩b 10÷10.例如：3U2=103×102=103,3∩2= 103÷102=10. (1)求1040U985的值. (2)求2025∩2023的值. (3)当x为何值时，xU5的值与223∩17的值 相等？ 第5课时◆单项式除以单项式 基础过关 1.计算(3a)÷a的结果是( 6.计算： A.3a B.2a C.2a5 D.3a a3a6c)r÷(-30b: 2.计算(-2a3)2÷a2的结果是( ) A.-2a3B.4a C.4a D.-2a 3.若☐·2xy=16xy,则☐内应填的单项式是 (2)(-2xy)÷(-2y）·2x. () A.4xy B.8x2y C.4x2y2 D.8xy2 4.如果(8a3")÷(8ab2)=,那么m,n的值分 7.先化简，再求值：号aB·(3aP÷[6(c6)产]， 别为() 其中a=2025,b=-2. A.4,3 B.4,1 C.1.3 D.2,3 5.若一个长方形的面积为ac,长为ac,则它 的宽为 素养提升 1.下列四个算式： 2.已知(a-2)+(b+2)2十(c-3)2=0,求 ①-2a2b÷(-2ab)=a26:②-2a2b÷ 3ac·(3abc)÷6(a6c)的值. （←2a)=d6:圆2ac÷a6=4c, ④5abc2÷(-5ahce)r=司 其中正确的算式是( A.③④ B.②④ C.①③ D.①② 综合探究 【实际应用】某中学新建了一栋科技楼，为了给 该楼一间科技陈列室的顶棚装修，计划用宽为 xm,长为30xm的塑料扣板.已知这间陈列室的 长为5axm,宽为3axm,如果你是该校的采购人 员，应该至少购买多少块这样的塑料扣板？当 a=4时，求出需要的扣板数. 第6课时多项式除以单项式 基础过关 l.计算(a2+ab)÷a的结果正确的是( (2)(-2.x2y2-3x2y2+2xy)÷2xy A.a+b B.a2+b C.atab D.a+ab 2.计算(6xy-3xy)÷(3xy)的结果是( A.6x2-y B.2x2-y C.2x2+y D.2x2-xy 3.某智能芯片研发公司需要对一种新型芯片的 (3)(6m2n-6m2n23m2)÷(-3m2): 电路布线设计进行优化.已知芯片电路的一 种原始布线规律可以表示为（一4x3+2x).现 在需要将其按照一定的规则进行重新布局， 相当于将其除以2x,则新的电路布线规律可 以表示为( (4)[a3·a3+(3a)2]÷a. A.-8x+4x2 B.-4x C.-2x D.-2x2+1 4.若3.xy·M=6x2y-3.xy3x2y2,则多 项式M是() A.2y2-x2-1 B.2y-x2y C.3y2-xy2-1 D.-x+ 9.下面是一道例题及其解答过程的一部分，其 5.【开放性向题】写出计算结果为x一y的两个 中A是关于m的多项式.请写出多项式A, 整式相除的算式： 并将该例题的解答过程补充完整 6.一个三角形的面积为3xy一4y,一边长是2y, 【例】先去括号，再合并同类项：m(A) 则这条边上的高为 6(m+1). 7.小明与小亮在做游戏时，两人各报一个整式， 解：m(A)一6(m十1) 小亮报的整式作为除式，小明报的整式作为 =m2十6m一6m6 被除式，要求商必须为2xy,若小明报的是 (xy一2xy),则小亮报的整式是 8.计算： (1)(6x3-9x2+3x)÷3x; 素养提升 1.已知A=2x,B是多项式，在计算B÷A时， 5.【推理能力】下面是一道多项式除以单项式的 小琦同学把B÷A误看成了B十A,结果得到 计算题：(21xy2+☐+7x2y2)÷(-7x2y) 2x2-x,则B÷A正确的结果是( △十5xy一y.其中的“口”“△”处被老师擦掉 A.222+x B.2x2-3z 了，聪明的你能把擦掉的部分还原吗？ Cx+号 Dr-是 2.下列计算正确的是() A.(10x3y+15.x2y2)÷5xy2=2x2y2+3xy B.(9a2b-12a3b-3b)÷(-3b)=3a2+ Aa'b C.4(3xy2+7x8yz)÷2xy2=6x2+14yx D.(-21a+28a)÷(-7a2)=3a2b 6.先化简，再求值：[(2a十b)(2a-b)一(2a一 4a2 b)]÷(2a-b).其中(a-1)2+1b-2=0. 3.【放村P110习题4(6)李式】计算：(2x+ 4x"+1+2x")÷(-6.x”)= 4.【实际应用】如图16-2-5，一个窗框 由一个长方形和一个半圆组成.若 要把窗框形状设计成一个新的长 方形，面积保持不变，且底边长仍 图16-2-5 为a,则高度应为 综合保究 如图16-2-6①所示的瓶子中盛满水，如果将这 个瓶子中的水全部倒入图16-2-6②的杯子中， 那么你知道一共需要多少个这样的杯子吗？并 计算出当h=20,H=40时所需图②杯子的数 量（单位：cm). ① 2 图16-2-61×器-器 8.解：，3+2·5+8=15+2=153-+， .x十2=3x-4,解得x=3. .(x-1)2-3x(x-2)-4 =(3-1)2-3×3×(3-2)-4 =4-9-4=-9. 【综合探究】 (1)2(2)125 点拨：根据材料，知由(3，m+17)=4,可得3= m十17，∴.m=64,由(4，m)=n,可得4=m= 64,即n=3,.5"=53=125. (3)解：(3"，2m)=s,.3m=2.(3,2)=t, .3=2,.3m=2",.3m=3m,.s=1 16.2整式的乘法 第1课时单项式乘单项式 【基础过关】 1.D2.B 3.C点拨：由题意，可知x"y·2xy"=2x+ ·y+m=2x5y2,∴.n十1=5,4十m=7,.n =4,m=3.故选C. 4.3.6×1013 5.解：(1)原式=(-a)·(-8a)=8a12 (2)原式=-mn. （3)原式=-名a6·16a6=-2ab. 【素养提升】 1.D 2.4点拨：(am+1+2)(a-1bm)=am+2n· b3m+2..am+2b3w+2=a2,.m十2n=7, 3+2=5,∴.m=5,n=1,∴.m-n=5 1=4. 3.解：原式=一9xy-xy=-10x'y.将 x=2,y=3代人，原式=-10×2×35= -38880. 【综合探究】 解：，(-2xm+1y2-1)·5.xym=-10xm+"+1· y+2m1=-10xy, ,∴.m十n十1=4，m十2m一1=4，解得m=1,n=2. -2mn·(-2mr）=-2ma·}mm 1 1 2mn=- ×1"×25=-16. 第2课时单项式乘多项式 【基础过关】 1.C2.D3.A4.B5.C 6.D点拨：根据单项式乘多项式的法则，对各 选项计算后求解.A.(-2a)(3ab-2a2b)= -6ab+4a3b,故错误；B.2ab2(-a2+2 -1)=-2a3十4ab-2ab,故错误； C.abc(3a2b-2ab)=3a3c-2a2bc,故错 误：D.(ab)2(3ab-c)=a2·(3ab2-c)= 3ab-a2bc,正确. 7.A8.D 9.2b(a+b)=2ab+2b 10.解：(1)原式=-6x3+15.x2+3x. (2)原式=a6+号a. (3)原式=-12xy2+6x3y3-3x3y2. (4)原式=-5.xy+5.x2y2-x2y-2xy= -6.x3y+3x2y2 1山.解：由题意，可知多项式为x一 2x+1 (-32)=4r-2x+1 ∴正确的结果是(r-x+1)(一3) -12x士号x-3x 【素养提升】 1.A2.A3.A 445号 6.6.x3y2+3.x2y2-3xy 7.-4 8.解：(1)原式=x3-x2-x十3x2+3x-x3 2x2=2x. 当x=时，原式=2×星= (2)原式=6a3-12a2+9a-6a3-8a =-20a2+9a. 当a=-2时，原式=-20×4一9×2= -98. 【综合探究】 解：原式=-4ab3+6a2b2-8ab =-4(ab)3+6(ab)2-8ab 已知ab=3, ∴.原式=-4×33+6×32-8×3 =-108+54-24 =-78. 第3课时多项式乘多项式 【基础过关】 1.D2.B3.D4.A 5.C点拨：长为3a+b,宽为2a+2b的长方 形的面积为(3a+b)(2a+2b)=6a2+2b+ 8ab,所以需要6张A类纸片、2张B类纸 片和8张C类纸片. 6a2+7a+16 7.解：(1)原式=2x2-xy+2xy一y2 =2x2+xy-y2 (2)原式=x2+x+x+1 =x2+2x+1. (3)原式=4a2-6ab+6ab-9b =4a2-9b. (4)原式=x3-x2y+2xy2+2.2y-2xy2+ 4y =x8+x2y+4y3. 8.解：原式=4x2+2x-1-4x2+2x=4x-1, 当x=时原式=-品 【素养提升】 1.B2.A3.B 4.15.39 6.解：(1)原式=2a2+10ab-3ab-15b2-7a2 7ab=-5a2-15 (2)原式=2x2+x-2x-1-2(x2+2x 5.x-10)=2.x2-x-1-2x2+6x+20= 5x+19. 7.解：原式=2x-4x2+8.x3+1-2x+4x2 9x3十x十x8十x2十x一x2-x-1-x十3= 3,所以代数式的值与x的取值无关. 【综合探究】 解：1)-子或2 (2)依据题意，将x=1代入多项式B,得B= a-(a-1)-2a=0,解得a=2. 将a=2代入多项式B,得B=2x2一x一1= (x-1)(2x十1)，令2.x十1=0，得多项式B的 1 另一个零点为一 :1点拨：：M=(2a.x+b)(cx-5c), ∴M的两个零点分别是一品和5. 根据2系多项式”的定义，有一品十5=4，化 简，得b=2a. 将b=2a代入多项式M进行化简， M=(2ax+b)(cx-5c)=2ac(x+1)(x- 5)=2ac(x2-4x-5)=2acx2-8acx-10ac, M=bx2-4cx-2a-4=2ax2-4cx-2a-4. .2ac=2a,-8ac=-4c, 1 整理，得a=2,c=1. 第4课时同底数幂的除法和零指数幂 【基础过关】 1.C2.D3.B4.B5.C6.C 1.y 8.解：(1)原式=(2-a)5÷(2-a) =(2-a)6-5 =2-a. (2)原式=一(mn)9÷(mn) =-(mn)9-1 =-(mn)9 =-mn5. 【素养提升】 1.B 2.43.324.-3 5.解：原式=(2.x-y)18÷(2x-y)÷(2x- y)8=(2x-y)18-6-i=2x-y. 当x=2,y=一1时， 原式=2×2-(-1)=5. 【综合探究】 解：(1)1040U985=101040×1085=101040+985 =10205 (2)2025∩2023=102025÷102023=102025-202w= 102=100 (3).xU5的值与23∩17的值相等， .10×105=1023÷1017, 即105=10°，∴.x十5=6，解得x=1. 第5课时单项式除以单项式 【基础过关】 1.D2.B3.B4.A 5.5ab 6.解：1)原式=9a6c÷(-了ab) =-27a2c8. (2)原式=[(-2)÷(-2)×2]21. y22*1 =8.x2y2. 7.解：原式=行a2B·9a2b÷(6ab) =3ab÷(6ab5) 当6=-2时，原式=2×(-2)=-1. 【素养提升】 1.A 2.解：.(a-2)2+(b+2)2+(c-3)2=0, .a-2=0,b+2=0,c-3=0, .a=2,b=-2,c=3. 号dic·(3abe)÷6(cc) 36c9a6c÷6a0c=0=-1. 【综合探究】 解：根据题意，得(5ax·3ax)÷(x·30x)= 15ar÷30r产=a,则应该至少购买702块 这样的塑料扣板，当a=4时，4=号×4×4 =8,即需要的扣板数为8块 第6课时多项式除以单项式 【基础过关】 1.A2.B3.D4.A 5.3(x一y)÷3(答案不唯一) 6.3x-47.2x2-y 8.解：(1)原式=6x3÷3x-9x2÷3x+3x÷3x =2x2-3.x+1. (2)原式=-2x3y2÷2xy-3x2y2÷2xy+ 2xy÷2xy -y-y+1 (3)原式=6mn÷(-3m2)-6m2n2÷ (-3m)-3m2÷(-3m) =-2n+2m2+1. (4)原式=(a8十9a)÷a =10a8÷a2 =10a 9.m2-6解：由题意，得A=(m十6m)÷ n=m十6. 【素养提升】 1.D2.C 3女+号 4.a+b 5.解：(21xy3+☐+7x2y)÷(-7x2y) =21xy3÷(-7x2y+☐÷(-7x2y)+ 7x2y2÷(-7x2y) =-3x2y2+□÷(-7x2y)-y. .-3x2y2+☐÷(-7x2y)-y=△+ 5xy-y .“△”处被擦掉的是一3x2y2,“☐”处被擦 掉的是5xy·(-7x2y)=-35x3y2. 6.解：(a-1)2+|b-2=0,.a=1,b=2. 原式=(2a+b)(2a-b)÷(2a-b)-(2a- b)2÷(2a-b) =2a+b-(2a-b)=2b. 当b=2时，原式=4. 【综合探究】 解：由题意，得[x(2a)°·h十a2·H] [xa)×8]=(ah+aH)÷2a2 a2h÷7d2+H÷号a2=(2h十 2H(个)： 当h=20,H=40时，原式=10十80=90（个）. 16.3乘法公式 16.3.1平方差公式 【基础过关】 1.B2.B3.C4.A 5.C点拨：长方形的面积为(a+6)(a一6)= (a一36)（平方米），∴.长方形的面积比正方 形的面积a2平方米小了36平方米.故选C 6.C 7.士36点拨：：(m+3x)(m-3x)=16- nx2,.m2-9.x2=16-n.x2,.m=士4， n=9,.mn=士36. 8.解：(1)原式=(2a)2-=4a2-. (2)原式=(-1十x)(-1一x) =(-1)2-x2 =1-x2. (3)原式=4x2-(4x2-9y2) =4x2-4x2+9y =9y2. 9.解：(1)原式=(60-0.2)×(60+0.2) =602-0.22 =3600-0.04 =3599.96. (2)原式=(1000+3)×(1000一3) =10002-3 =1000000-9 =999991. (3)原式=(10+）×(10-) =102-(号)月 -9岩 【素养提升】 1.A2.B3.C 4.x2-15.M>V 6.32点拨：由题意，知AD一DG=64,阴 影部分面积为2AG·CD+2AG·DE= AG(CD+DE)=7(AD-DG).(AD+ DG)=2(AD-DG)=32. 7.解：原式=6x2十4xy-9xy-6y2-(2x y)(2.x+y) =6x2-5xy-6y2-(4x2-y2) =6.x2-5.xy-6y2-4x2+y =2x2-5.xy-5y2. 当x=1,y=-2时， 原式=2×12-5×1×(-2)-5×(-2)2 =-8.