13.3.1 三角形的内角-2025-2026学年新教材八年级上册数学同步辅导（人教版2024）

2x+y=20, x=8, 得 解得 x-y=4, y=4. ∴.△ABC的三边长分别为8cm,8cm,4cm: ②当x<y时，根据题意，得 2x+y=20, t16 31 解得 y-x=4, y= 28 3 △ABC的三边长分别为9cm, cm. 28 3cm. 【综合探究】 解：(1)如图①，BG即为所求。 (2)BG=DE+DF (3)2AC·DF TAB DE号AB·DE+ 2AC·DF2AC·BG (4)仍然成立，理由：如图②，连接AD, DE⊥AB,DF⊥AC,AB=AC, .SAABC=S△ABD+S△ACD= 2AB·DE+ 2AC·DF=AC.(DE+DP). BG⊥AC,.S△B= Ac·BG, .'BG=DE+DF. 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 【基础过关】 1.36302.B3.A4.D5.C6.B 7.32 8.解：不符合规定.理由： 延长AB,CD相交于点O. ,在△AOC中，∠BAC=32°，∠DCA=65°， .∠AOC=180°-∠BAC-∠DCA= 180°-32°-65°=83°≠85. 模板不符合规定 9.解：BE∥CF,∴.∠EBC+∠BCF=180°， 即∠EBA+∠ABC+∠BCF=180° :∠EBA=70°，∠BCF=45°， ∴.∠ABC=180°-∠EBA-∠BCF=65°. ∠ACF=30, .∠ACB=∠ACF+∠FCB=75°， .∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=40° 10.解：(1)，∠A=70°，∠ABC=50°， ∴.∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-70° 50°=60 (2),DE∥BC,∠BDE=30°， ∴.∠CBD=∠BDE=30°. 又∠C=60°， ∴.∠BDC=180°-∠CBD-∠C=180° 30°-60°=90 【素养提升】 1.A2.A 3.B点拨：∠A+∠E+∠C=180°，∠D+ ∠B+∠F=180°. 4.B 5.解：在△ABD中，∠ADB=100°，∠BAD= 40°， .∠ABD=180°-100°-40°=40°. BE是△ABC的角平分线， ·∠FBD=2∠ABD=20, ∴.∠BFD=180°-100°-20°=60 6.(1)证明：：∠B=40°，∠C=35°， .∠BAC=180°-40°-35°=105. :AE平分∠CAD, .∠CAF=∠DAF 由翻折，可知∠BAD=∠DAF, .∠CAF=∠DAF=∠BAD, ∴∠CAF=3∠BAC=35, .∠CAF=∠C (2)解：.∠CAF=∠C=35°， ∴.∠AFC=180°-35°-35°=110°. ∠AFC=∠DFE,∠E=∠B=40°， ∴.∠1=180°-110°-40°=30. 7.解：(1)60 (2)∠DPC=90°-2∠A.理由： ,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点P, ·∠1=7∠ABC,∠2=2∠ACB, ∴.∠BPC=180°-∠1-∠2=180° ∠ABC-∠ACB=180-2(∠ABC+ ∠ACB). ·∠ABC+∠ACB=180°-∠A, ∴∠BPC=180°-2180°-∠)=90°+ ∴∠DPC=180°-(90°+∠A)=90° A 【综合探究】 解：(1)∠BDC=∠A+∠B+∠C. 理由：连接BC,由三角形的内角和是180°，得 ∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BDC+ ∠DBC+∠DCB=180°， .∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB. :∠ABC=∠ABD+∠DBC,∠ACB= ∠ACD+∠DCB, ∴.∠A+∠ABD+∠DBC+∠ACD+∠DCB= 180°， ∴.∠A+∠ABD+∠ACD=180°-∠DBC ∠DCB. .∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD. (2)I.50 Ⅱ.由(1)得∠BPC=∠A+∠ABP+ ∠ACP,∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD, ∴.∠ABP+∠ACP=∠BPC-∠A=130°- 40°=90°. 又，BD平分∠ABP,CD平分∠ACP, ∴∠ABD+∠ACD=(∠ABP+∠ACP)= 45. ∴.∠BDC=40°+45°=85. 第2课时直角三角形的两个锐角互余 【基础过关】 1.A2.C3.D4.B5.C6.C 7.30° 8.解：∠C=90°， .∠CAB+∠CBA=90°. ,AD,BE分别平分∠CAB,∠CBA, .∠FAB+∠FBA=45°. ∴.∠AFB=135. 9.(1)解：，∠A=30°，∠B=62°， .∠ACB=180°-∠A-∠B=88°. ,CE平分∠ACB, ∠ACE=∠BCE=∠ACB=4. (2)证明：CD⊥AB,∠CDB=90. ∴.∠BCD=90°-∠B=28° .∠FCD=∠ECB-∠BCD=16. .∠CDF=74°， ∴.∠CDF+∠FCD=74°+16°=90 ∴.∠CFD=90 .△CFD是直角三角形. 【素养提升】 1.C2.60°或90°3.69°4.直角 5.解：∠C=90°， .∠A+∠B=90°. :∠a=60°， .∠APD+∠BPE=180°-60°=120°. .∠1=180°-∠APD-∠A,∠2=180° ∠B-∠BPE. .∴.∠1+∠2=180°-∠APD-∠A+180° ∠B-∠BPE=360°-（∠APD+∠BPE+ ∠A+∠B)=360°-(120°+90°)=150. 【综合探究】 解：(1)15 (2)①△ABD是“准互余三角形” 理由：AD是∠BAC的平分线， .∠BAC=2∠BAD .∠ACB=90°，.∠BAC+∠B=90°， .2∠BAD+∠B=90°， ·△ABD是“准互余三角形” ②33或24 13.3.2三角形的外角 【基础过关】 1.C2.B3.B4.C5.B 6.80°7.230 8.解：：∠BCD=92°，∠A=27°，∠BCD是 △ABC的外角， .∠BCD=∠A+∠B ..∠B=∠BCD-∠A=65 ,∠BFD是△EFB的外角， ∴.∠BFD=∠B+∠BED=65°+44°=109°. 【素养提升】 1.C2.A 3.不合格点拨：延长AE交CD于点F, ∴.∠AFD=∠AED-∠D=143°-31°= 112°，线段AB和DC的延长线相交的角为 ∠AFD-∠A=112°-23°=89°≠90° 4.180°点拨：，'∠DMO是△CME的一个 外角，.∠DMO=∠C+∠E. 同理，可得∠DOM=∠A十∠B. 又，∠DMO+∠DOM+∠D=180°， .∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 【综合探究】 解：(1)∠A=2∠BPC-180°.理由如下： ,P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， ∴.∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB. 在△ABC中，∠A+2∠PBC+2∠PCB= 180°， ∴.∠A+2(∠PBC+∠PCB)=180°. 在△BPC中，∠BPC+∠PBC+∠PCB= 180°， ∴.∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC· ∴.∠A+2(180°-∠BPC)=180°， ∴.∠A=2∠BPC-180°. (2)∠A=2∠BPC.理由如下： ,P是∠ABC和∠ACD的平分线的交点， ∴.∠ABC=2∠PBC,∠ACD=2∠PCD. ,∠ACD=∠A+∠ABC=∠A+2∠PBC, ∠PCD=∠BPC+∠PBC, .2(∠BPC+∠PBC)=∠A+2∠PBC, ∴.∠A=2∠BPC (3)∠A=180°-2∠BPC 点拨：，P是外角∠DBC与外角∠ECB的平 分线的交点，∴.∠CBD=2∠PBC,∠BCE= 2∠PCB,∴.∠ABC=180°-∠CBD=180° 2∠PBC,∠ACB=180°-∠BCE=180°- 2∠PCB,.∴.∠ABC+∠ACB=360°-2（∠CBP+ ∠BCP).,∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴.2（∠CBP+∠PCB)=∠A+180°.在 △BPC中，∠BPC+∠PBC+∠PCB= 180°，∴.∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC, ∴.2(180°-∠BPC)=∠A+180°，.∠A= 180°-2∠BPC. 数学活动 活动1 1.能，画出图形如图所示.13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 基础过关 1.【教材P16习题1变式】写出如图13-3-1中 6.如图13-3-4，在△ABC中，∠A=70°，∠C= x的值： 30°，BD平分∠ABC交AC于点D,DE∥ AB,交BC于点E,则∠BDE的度数是 108 62) () A.30° B.40° C.50 D.60° 图13-3-1 2.在△ABC中，若∠A=28°，∠B=62°，则 △ABC是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 3.【教材P13练习2变式】如图13-3-2，点E,D 图13-3-4 图13-3-5 分别在AB,AC上.若∠B=30°，∠C=55°， 7.【几阿直观】如图13-3-5所示，把△ABC沿 则∠1+∠2的度数为() 线段DE折叠，使点A落在线段BC上的点 A.85° B.80 C.75 D.70° F处，AE=EC,若∠A十∠B=106°，则 ∠FEC的度数为 8.【实滕应用】如图13-3-6所示，按规定，一块 B 模板中AB,CD的延长线应相交成85°角，因 图13-3-2 图13-3-3 交点不在模板上，不便测量，工人师傅连接 4.如图13-3-3，在△ABC中，CD是∠ACB的 AC,测得∠BAC=32°，∠DCA=65,此时 平分线，∠A=80°，∠ACB=60°，那么 AB,CD的延长线相交所成的角是否符合规 ∠BDC等于 ( ) 定？为什么？ A.80° B.90 C.100° D.110 5.下列说法正确的是 ( A.三角形的内角中最多有一个锐角 B.三角形的内角中最多有两个锐角 图13-3-6 C.三角形的内角中最多有一个直角 D.三角形的内角都大于60 9.【教村P12例2变式】如图13-3-7所示，A处10.如图13-3-8，在△ABC中，∠A=70°， 在C处的北偏西30°方向，B处在C处的北偏 ∠ABC=50. 东45°方向，A处在B处的北偏西70°方向，求 (1)求∠C的度数. ∠BAC的度数. (2)若∠BDE=30°，DE∥BC交AB于点 北 E,求∠BDC的度数. 70 45 图13-3-7 图13-3-8 素养提升 1.如图13-3-9，将长方形纸片ABCD沿对角线 4.【敦材P12例2变式】如图13-3-11，一轮船 BD折叠，点C的对应点为点E,BE交AD 在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北 于点O.若∠CBD=31°，则∠BOD的度数为 偏东60°方向，在B处测得灯塔C位于北偏 () 东25°方向，则∠ACB的度数为() A.118 Λ.45° B.35° C.25° D.30 B.111 5.如图13-3-12所示，在△ABC中，AD交BC C.1019 于点D,∠ADB=100°，BE是△ABC的角平 D.62 图13-3-9 分线，BE,AD相交于点F,已知∠BAD= 2.若△ABC三个角的大小满足∠A：∠B: 40°，求∠BFD的度数. ∠C=2：3：4,则∠A的度数为( A.40° B.60 C.80° D.100 3.如图13-3-10，∠A+∠B+∠C+∠D+ B ∠E+∠F一定等于 ( A.180°B.360 C.540° D.7209 图13-3-12 图13-3-10 图13-3-11 6.如图13-3-13，在△ABC中，D为BC上一：7.【推理能力】如图13-3-14所示，△ABC的角 点，将△ABD沿AD翻折得到△AED,AE 平分线BD,CE相交于点P. 与BC相交于点F,若AE平分∠CAD, (1)若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠A= ∠B=40°，∠C=35 (1)求证∠CAF=∠C: (2)试猜想∠DPC与∠A之间的数量关系， (2)求∠1的度数. 并说明理由 86--. 图13-3-13 图13-3-14 综合探究 材料阅读：如图13-3-15①所示的图形，像我们 130°，求∠BDC的度数 常见的学习用品一圆规.我们不妨把这样的 图形叫作“规形图”， (1)观察图13-3-15①，试探究∠BDC与∠A, ∠B,∠C之间的数量关系，并说明理由。 (2)请你直接利用以上结论，解决以下两个 问题： 图13-3-15 I.如图13-3-15②，把一块三角尺DEF放 置在△ABC上，使三角尺的两条直角边 DE,DF恰好分别经过点B,C,若∠A 40°，则∠ABD+∠ACD= Ⅱ.如图13-3-15③，BD平分∠ABP,CD 平分∠ACP,若∠A=40°，∠BPC= 第2课时直角三角形的两个锐角互余 基础过关 1.如图13-3-16，在Rt△ABC中，∠C=90°，7.【教材P14练习1变式】如图 ∠B=56°，则∠A的度数为( 13-3-20,在Rt△ABC中， A.34° B.44 C.124 D.134 ∠ACB=90°，CD⊥AB于点 D.若∠A=30°，则∠BCD 图13-3-20 的度数为 8.如图13-3-21，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A,∠B的平分线AD,BE交于点F,求 图13-3-16 图13-3-17 ∠AFB的度数 2.如图13-3-17，某同学将一块三角板叠放在 直尺上，则∠1+∠2=() A.60° B.75° C.90 D.105 3.【几何直观】如图13-3-18，AB∥CD,AD⊥ 图13-3-21 AC,∠ACD=55°，则∠BAD=() Λ.70° B.55 C.45 D.35 9.如图13-3-22，在△ABC中，∠A=30°，∠B= 图13-3-18 图13-3-19 62°，CE平分∠ACB. 4.如图13-3-19，AD是Rt△ABC的斜边BC (1)求∠ACE的度数. 上的高，则图中与∠B互余的角有() (2)若CD⊥AB于点D,∠CDF=74°，求证： A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 △CFD是直角三角形. 5.已知∠A=37°，∠B=53°，则△ABC为 () A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上都不对 图13-3-22 6.【教材P21复习题1变式】在下列条件： ①∠A+∠B=∠C,②∠A:∠B:∠C=5 3:2,③∠A=90°-∠B,④∠A=2∠B= 3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条 件有() A.1个B.2个C.3个 D.4个 素养提升 1.如图13-3-23，直线m∥n,Rt△ABC的顶点 4.已知∠A,∠B,∠C是三角形ABC的三个内 A在直线n上，∠C=90°，若∠1=25°，∠2= 角，并且∠A+∠B=128°，∠B-∠C=38°， 70°，则∠B=() 则△ABC是 三角形. A.65 5.如图13-3-26，在Rt△ABC中，∠C=90°，点 B.55 D,E分别是AC,BC边上的点，点P是线段 C.45 图13-3-23 AB上一动点，令∠PDA=∠1，∠PEB= D.35 ∠2，∠DPE=∠a.若∠a=60°，求∠1+∠2 2.如图13-3-24，已知∠AOD=30°，C是射线 的度数 OD上的一个动点.在点C运动的过程中，当 △AOC恰好是直角三角形时，∠A的度数 为 图13-3-26 图13-3-24 图13-3-25 3.如图13-3-25，在△ABC中，∠ACB=90°，将 △ABC沿CD折叠，使点B恰好落在边AC上 的点E处.若∠A=24°，则∠EDC 综合探究 【阅读理解】定义：如果一个三角形的两个内角α ②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余 与3满足2a十B=90°，那么我们称这样的三角 三角形”，若∠ABC=24°，则∠EAC的度 形为“准互余三角形” 数是 (1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C>90°， ∠A=60°，则∠B的度数是 (2)若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°， ①如图13-3-27，若AD是 ∠BAC的平分线，请判断 △ABD是否为“准互余三 角形”，并说明理由. 图13-3-27