13.2.2 三角形的中线、角平分线、高-2025-2026学年新教材八年级上册数学同步辅导（人教版2024）

13.2.2三角形的中线、角平分线、高 基础过关 1.小华在电话中问小明：“已知一个三角形的 ,S△ABD= 三边长分别是4,9,12，如何求这个三角形的 2 面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的 若S△ABD=5,则S△ABC= 高来求解.”小华根据小明的提示作出的图 形正确的是 A B D 图13-2-10 图13-2-11 2.如图13-2-7所示，在△ABC中，D,E,G,F 6.如图13-2-11，在△ABC中，∠A=50°， 分别是AB,AC,BC,EC的中点，则线段DE, ∠C=72°，BD是△ABC的角平分线，则 BE,EF,FG中有一条线段是△ABC的中线， ∠ABD= 则该线段是( 7.下列说法正确的是 (填序号) A.线段DE B.线段BE ①三角形的角平分线是射线： C.线段EF D.线段FG ②三角形的三条角平分线都在三角形的内 部，且相交于一点： ③三角形的三条高都在三角形的内部： ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相 等的两部分 图13-2-7 图13-2-8 图13-2-9 8.如图13-2-12所示，AD是△ABC的边BC 3.如图13-2-8，在△ABC中，∠1=∠2，G为 上的中线. AD的中点，延长BG交AC于点E,CH⊥AD (1)作出△ABD的边BD上的高， 于点H,延长CH交AB于点F,下面判断： (2)若△ABC的面积为10，求△ADC的面积. ①AD是△ABE的角平分线： (3)若△ABD的面积为6，且BD边上的高为 ②BE是△ABD的边AD上的中线： 3,求BC的长 ③CH是△ACD的边AD上的高： ④AH是△ACF的角平分线和高. 其中正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 图13-2-12 4.如图13-2-9，小明用铅笔可以支起一张质地 均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是 三角形 的交点，即 心 5.如图13-2-10，AD是△ABC的中线，则D是 线段 的中点，BD=CD= 素养提升 1.如图13-2-13，在△ABC中，已知点D、E、F 4.如图13-2-16，在△ABC中，AB=AC,BE是 分别为边BC、AD、CE的中点，且S6AC= 腰AC上的中线. 4cm,则S影等于 (1)若△ABE的周长比△BCE的周长多2， A.2cm2 B.1cm2 C.em D.cm 且AB与BC的和为10，求AB,BC的长. (2)若△ABC的周长为20cm,BE将△ABC 分成周长差为4cm的两部分，求△ABC 的边长 图13-2-13 图13-2-14 图13-2-15 2.【教村P10习题7变式】如图13-2-14，AB⊥ BD于点B,AC⊥CD于点C,且AC与BD相 图13-2-16 交于点E.已知AE=5,DE=2,CD=号，则 AB的长为 3.如图13-2-15所示，在△ABC中，∠B=30°， ∠ACB=110°，AD是BC边上的高，AE平分 ∠BAC,则∠DAE的度数为 综合探究 如图13-2-17①，在△ABC中，AB=AC,D为 (4)当D在如图13-2-17②的位置时，上面DE, BC边上一点，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于 DF,BG之间的数量关系是否仍然成立？并 点F 说明理由. (1)请作出AC边上的高BG. (2)请你通过观察、测量找到DE,DF,BG之间的 数量关系： 图13-2-17 (3)为了说明DE,DF,BG之间的数量关系，小琦 是这样做的：连接AD,则S△ S△ABD= ,.S△ic S△ABC还可以表示为5.解：(1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm. 依题意，得 2x十2.x+x=20,解得x=4. .2x=8. ,.各边的长分别为8cm,8cm,4cm. (2)①当底边长为5cm时，腰长为20,5 2 7.5(cm),能构成三角形； ②当腰长为5cm时，底边长为20一2×5= 10(cm), ,5+5=10,∴.不能构成三角形，故舍去. ∴.能围成有一边长为5cm的等腰三角形， 另两边的长分别为7.5cm,7.5cm. 【综合探究】 解：(1)< (2)<点拨：如图，延长BP交AC于点M, 在△ABM中， BP+PMAB+AM,① 在△PMC中，PC<PM+MC,② ①+②，得BP+PC<AB+AC, ∴.△BPC的周长<△ABC的周长. (3)如图，分别延长BP, CP:交于点M, 由(2)知BM+CM<AB+AC, 又PP<PM+P2M, ..BP+PP:+P2C<BM+CM<AB+AC, ∴.四边形BP,PC的周长<△ABC的周长. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 【基础过关】 1.C2.B 3.B点拨：由∠1=∠2知AD平分∠BAE, 但AD不是△ABE内的线段，故①不正 确，AD应是△ABC的角平分线；同理，BE 经过△ABD的边AD的中点G,但BE不 是△ABD内的线段，故②不正确，正确的 说法应是BG是△ABD的边AD上的中 线；由于CH⊥AD于点H,故CH是 △ACD的边AD上的高，故③正确：AH平 分∠FAC并且在△ACF内，故AH是 △ACF的角平分线，同理AH也是△ACF 的高，故④正确。 4.三条中线重 5.BCBC S△AcDS△Asc10 6.29° 7.②④ 8.解：(1)如图所示，AE即为所求. (2),AD是△ABC的边BC上的中线， △ABC的面积为10， ÷△ADC的面积=2×10=5， (3)·AD是△ABC的边BC上的中线， △ABD的面积为6， .△ABC的面积为12. ,BD边上的高为3， ∴.BC=12×2÷3=8 【素养提升】 1.B点拔：：S△C=2S△AC,S△EF= 1 2S△aBc=4S△Mc=1cm. 9 2.2 3.40 4.解：(1)BE是△ABC的中线 ∴.△ABE的周长与△BCE的周长之差为 AB-BC. ..AB-BC=2. 又.AB与BC的和为10， 即AB+BC=10, 解得AB=6,BC=4. (2)设AB=xcm,BC=ycm. ①当x>y时，根据题意， 2x+y=20, x=8, 得 解得 x-y=4, y=4. ∴.△ABC的三边长分别为8cm,8cm,4cm: ②当x<y时，根据题意，得 2x+y=20, t16 31 解得 y-x=4, y= 28 3 △ABC的三边长分别为9cm, cm. 28 3cm. 【综合探究】 解：(1)如图①，BG即为所求。 (2)BG=DE+DF (3)2AC·DF TAB DE号AB·DE+ 2AC·DF2AC·BG (4)仍然成立，理由：如图②，连接AD, DE⊥AB,DF⊥AC,AB=AC, .SAABC=S△ABD+S△ACD= 2AB·DE+ 2AC·DF=AC.(DE+DP). BG⊥AC,.S△B= Ac·BG, .'BG=DE+DF. 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 【基础过关】 1.36302.B3.A4.D5.C6.B 7.32 8.解：不符合规定.理由： 延长AB,CD相交于点O. ,在△AOC中，∠BAC=32°，∠DCA=65°， .∠AOC=180°-∠BAC-∠DCA= 180°-32°-65°=83°≠85. 模板不符合规定 9.解：BE∥CF,∴.∠EBC+∠BCF=180°， 即∠EBA+∠ABC+∠BCF=180° :∠EBA=70°，∠BCF=45°， ∴.∠ABC=180°-∠EBA-∠BCF=65°. ∠ACF=30, .∠ACB=∠ACF+∠FCB=75°， .∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=40° 10.解：(1)，∠A=70°，∠ABC=50°， ∴.∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-70° 50°=60 (2),DE∥BC,∠BDE=30°， ∴.∠CBD=∠BDE=30°. 又∠C=60°， ∴.∠BDC=180°-∠CBD-∠C=180° 30°-60°=90 【素养提升】 1.A2.A 3.B点拨：∠A+∠E+∠C=180°，∠D+ ∠B+∠F=180°. 4.B 5.解：在△ABD中，∠ADB=100°，∠BAD= 40°， .∠ABD=180°-100°-40°=40°. BE是△ABC的角平分线， ·∠FBD=2∠ABD=20, ∴.∠BFD=180°-100°-20°=60 6.(1)证明：：∠B=40°，∠C=35°， .∠BAC=180°-40°-35°=105. :AE平分∠CAD, .∠CAF=∠DAF 由翻折，可知∠BAD=∠DAF,