第13章 三角形 复习课-2025-2026学年新教材八年级上册数学同步辅导（人教版2024）

活动2 2.B3.C 4.8点拨：m=7,n=3,k=5. 5.解：(1)如图所示（答案不唯一），能剖分出 4个三角形.n边形可三角剖分为(m一2) 个三角形 (2)由(1)可知，m边形可三角剖分为(m一2) 个三角形，这些三角形的内角总和为(m 2)×180°. .(m-2)×180°=2700°，解得m=17. (3)将m=3代入D。=4m二6，得 D. -4X36-126=号=2 D 3 3 ,D3=1,.D4=2D2=2×1=2 将m=4代入号二-n,得 3=4×4-6_16-6_10_5 D 4 4 42 :D,=2D,=号D,=号×2=5. 5 以此类推D%=132. .八边形的三角剖分方法数D。=132, 综合与实践确定匀质薄板的重心位置 活动一 1.C2.A3.B 4.线段的中点对角线的交点对角线的交 点对角线的交点圆心 活动二 5.(1,0) 6.解：如图，把模板分成两个 长方形，连接各自的重心： 把模板重新分成两个长方 形，得到连接各自重心的第 二条线段，两条线段的交点G即为重心， 7.解：建立如图所示的平面直角坐标系.延长 BC交x轴于点F. C 2dm D 2dm 易得四边形ABFO的面积是2dm.其重心 坐标是(0.5,1)，四边形CDEF的面积是 2dm°，其重心坐标是(2,0.5)，所以该图形的 重心坐标为(2异2×0.5+Z品2×2,7异2× 2 2 1+2千2×0.5.即(1.25.075). 复习课 【综合复习】 1.B2.C3.C4.B 5.D点拨：.∠B=90°-∠A=40°，∠CA'D= ∠A=50°，∴.∠A'DB=∠CA'D-∠B=50° 40°=10°. 6.B7.A 8.3 9.14cm或16cm点拨：4cm和6cm长的线 段哪一个可以作为腰，应利用三角形中“两 边之和大于第三边”进行讨论：①若腰长是 4cm,较小两边之和为4+4=8(cm),则 4十4>6，这时可以组成等腰三角形：②若 腰长是6cm,较小两边之和为6十4= 10(cm),则6十4>6，也可以组成等腰三角 形.由①②可知在这两种情况下都可以组 成三角形 10.609 11.解：，CD⊥AB, .∠CDB=∠CDE=90° .∠B=60°，∴.∠BCD=90°-∠B= 90°-60°=30° ,∠A=20°，∠B=60°，∠A+∠B+ ∠ACB=180°， .∠ACB=100° ,CE是∠ACB的平分线， ·∠ACE=2∠ACB=50 .∠CEB=∠A+∠ACE=20°+50°= 70°..∠ECD=90°-70°=20°. 12.解：(1)设第三边的长为xcm. ,三角形的一边长为9cm,另一边长为 1cm, ∴.9-1<x<9+1,即8<x<10. (2),第三边的长为奇数， ∴.第三边的长为9cm. ∴.三角形的周长为9十9+1=19(cm). 13.解：BE=CE,S△Ac=6, Sm=75ac=2X6=3. .AD=2BD,S△ABe=6, 5am=号Sae=4 .S,-S:=(S△AD-S△AFC)-(S△Ase S△AxC)=S△MD一S△AEc=4-3=1. 14.解：设∠CAD=x,则∠E=3x. AD平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD, .∠EAD=∠EDA, .∠EAC+∠CAD=∠B+∠BAD. ∴.∠EAC=∠B=50 ∴.∠EAD=∠EDA=x+50. 在△EAD中， :∠E+∠EAD+∠EDA=180°， .3x+2(x+50°)=180°， 解得x=16°...3x=48, 即∠E=48°. 15.(1)证明：，∠ABC+∠ABE=180°，BF 平分∠ABE,BO平分∠ABC, ∴.∠ABO+∠ABF=Z∠ABC+2∠ABE= (∠ABC+∠ABE)=90 ∠FBO=90°..BF⊥BO. 又.OD⊥OB,.BF∥OD. (2)解：，BF∥OD, .∠COD=∠F=35. ∴.∠B0C=90°+35°=125. .∠OBC+∠OCB=180°-125°=55°. ,BO,CO分别为∠ABC,∠ACB的平分线， ∴∠ABC+∠ACB=2X55°=110 ∴.∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB)= 180°-110=70° 16.(1)证明：在△BOD中，∠B+∠D+ ∠BOD=180°， 在△AOC中，∠AOC+∠A+∠C=180°. ∴.∠AOC+∠A+∠C=∠BOD+∠B+ ∠D. :∠AOC=∠BOD, .∠A+∠C=∠D+∠B. (2)解：由(1)，得∠DBE+∠D=∠E十 ∠DCE①，∠ECA+∠A=∠EBA+ ∠E② ①+②，得∠DBE+∠D+∠ECA十∠A= ∠E+∠DCE+∠EBA+∠E. .∠ABD与∠ACD的平分线相交于点E, ∴.∠DBE=∠EBA,∠ECA=∠DCE. .2∠E=∠D+∠A. :∠D=30°，∠A=50°， .2∠E=30°+50°=80°.∴.∠E=40°. 17.解：(1).∠MON=90°， .∠BAO+∠ABO=90°. :AE,BE分别是∠BAO,∠ABO的平 分线， ∴∠BAE=2∠BAO.∠ABE=2∠ABO ·∠BAE+∠ABE=7（∠BAO+ ∠ABO)=45°. .∠AEB=180°-（∠BAE+∠ABE)= 135°. (2)设∠BAD=x. .AD平分∠BAO. ∴.∠BAO=2x. ,∠AOB=a, ∴.∠ABN=∠AOB+∠BAO=a+2x. ,BC平分∠ABN, ·∠ABC=2∠ABN=2a+x ,'∠ABC=∠D+∠BAD, 六∠D=∠ABC-∠BAD=2a+x-x 1 2. 【聚焦中考】 1.C2.C3.B 4.三角形具有稳定性 5.4(答案不唯一)点拨：x的取值范围是 3-2<x<3+2,即1<x<5,答案不唯一. 6.105 第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 【基础过关】 1.A2.B3.A4.D5.B 6.△ABC≌△ADE∠DAE BC 7.(1)解：△ABD≌△CFD. ..AD=CD=7. .BC=10,∴.BD=BC-CD=10-7=3. (2)证明：，AD⊥BC, .∠ADB=90°，.∠B+∠BAD=90 ,△ABD≌△CFD, ∠BAD=∠FCD, ∴.∠B+∠FCD=90°， ∴.∠CEB=180°-（∠B+∠FCD)=90°， .CE⊥AB 【素养提升】 1.B点拨：由题图，可知∠1与边长为a,b的 两边的夹角相等，.∠1=180°一54° 66°=60°.故选B. 2.A点拨：在△ABC中，∠B=∠C..∠B, ∠C不能等于100°，∴.∠A=100°.故选A. 3.B点拨：，△ABC≌△DEC,∴.∠ACB= ∠DCE.∠BCE=65°，∴.∠ACD=∠BCE= 65..AF⊥CD,∴.∠AFC=90°，∴.∠CAF+ ∠ACD=90°，.∠CAF=90°-65°=25°. 故选B. 4.解：(1)△ABC≌△DBE, .∠ABC=∠DBE. ∴.∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC, 即∠ABD=∠CBE. ·∠CBE=号（∠ABE-∠DBC)= 2 (160°-30)=65°. (2).△ABC≌△DBE, .'BE=BC=4.5cm,DE=AC=AD++DC= 6cm. .△DCP与△BPE的周长之和为DC十 DP+PC+BP+PE+BE=(DP+PE)+ (BP+PC)+DC+BE=DE+BC+DC+ BE=6+4.5+3+4.5=18(cm). 【综合探究】 (1)解：.△ABD≌△EBC, .'BD=BC=4.5cm,BE=AB=3cm. ∴.DE=BD-BE=1.5cm. (2)证明：，△ABD≌△EBC, ∴.∠ABD=∠CBE ,点B在线段AC上， ∴.∠ABD+∠CBE=180°. ∴.∠ABD=∠CBE=90°.∴.AC⊥BD. (3)解：ADLCE.理由如下： 如图，延长CE交AD于点F. ,△ABD≌△EBC, .∠D=∠C. ,∠CEB=∠DEF, ∴.∠DFE=∠CBE=90.复习课 典例精析 【例1】如图13-1，∠B=42°，∠C=52°， ∴.∠A=45°，∠C=67.5 AD平分∠BAC,求∠DAC的度数， ,BD是边AC上的高， 思路分析：利用三角形的内 ∴.∠CDB=90 角和等于180°，先求出∠BAC的 ∴.∠DBC=90°-∠C=22.5. 度数，然后利用角平分线的性质B 【例3】已知AD,AE分别是△ABC中边 求出∠DAC的度数. 图13-1 BC上的高和中线，且AD=6,ED=3,CD=2, 解：由三角形的内角和定理，可得∠BAC= 求△ABC的面积. 180°-∠B-∠C=180°-42°-52°=86° 思路分析：涉及三角形高的问题时，如果题 ,AD平分∠BAC 日没有给出图形，一定要画出图形，然后分类 ∠DAC-2∠BAC=7×86=43 讨论。 解：如图13-3①，当高AD在△ABC的内 【例2】如图13-2，在△ABC中，∠C 部时，则EC=ED+CD=5,∴.BC=2EC=10. ∠ABC=号∠A,BD是边AC上的高，求 六S6w=号X10X6=30: ∠DBC的度数. 如图13-3②，当高AD在△ABC的外部 思路分析：当问题中角度关系较为复杂时， 时，则EC=ED一CD=1,BC=2EC=2. 可通过设元，寻找已知与未知间的等量关系，构 造方程实现未知向已知的转化： Sar=号X2X6=6 解：设∠A=x°，则∠C= ∠ABC= :∠A+∠C+∠ABC=180°， 即x十2x十受=180，解得x=45, 图13-2 图13-3 心综合复习 1.若某三角形的三边长分别为3,4，m,则m的 值可以是() A.BA=2BF A.1 B.5 C.7 D.9 B.∠ACE= 2∠ACB 2.如图13-4，CD,CE,CF分别是△ABC的高、 角平分线、中线，则下列结论中错误的是 C.AE=BE D.CD⊥AB 图13-4 3.在做物理实验时，一位同学研究一个小木块：8.如图13-10，六根木条钉成一个六边形框架， 在斜坡上滑下时的运动状态.如图13-5，在 要使框架稳固且不活动，至少还需要添加 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，三角形小 根木条 木块DEF在斜坡AB上，且DE∥BC,EF∥ AC,则∠DFE的度数是( A.15 B.65 C.75 图13-10 图13-11 D.85 图13-5 9.如果一个等腰三角形的两边长分别为4cm和 4.如图13-6，将一副三角板的直角顶点重合并 6cm,那么这个三角形的周长是 部分重叠.若∠BOD=20°，则∠AEC的度数 10.如图13-11，△ABC的两条内角平分线BO, 为() CO相交于点O,两条外角平分线BP,CP相 A.30° B.35 C.40° D.45 交于点P.已知∠BOC=120°，则∠P= 11.如图13-12，在△ABC中，CD⊥AB于点D, CE是∠ACB的平分线，∠A=20°，∠B= 60°.求∠BCD和∠ECD的度数. 图13-6 图13-7 5.如图13-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上的 点A'处，折痕为CD,则∠A'DB的度数 图13-12 为() A.40° B.30 C.20° D.10 6.小颖一笔画成了如图13-8所示的图形，若 ∠A=60°，则∠B+∠C+∠D+∠E=() A.180° B.240° C.270°D.300° 图13-8 图13-9 7.如图13-9，G为△ABC三边中线AD,BE, CF的交点，S△Ac=12cm,则阴影部分的面 积为( A.4cm2 B.5cm2 C.6cm2 D.8cm2 12.如果一个三角形的一边长为9cm.另一边长：15.如图13-15，在△ABC中，三个内角的平分 为1cm. 线交于点O,过点O作OD⊥OB,交边BC (1)求这个三角形的第三边长的取值范围. 于点D,△ABC的外角平分线BF与CO的 (2)当第三边的长为奇数时，求三角形的 延长线相交于点F 周长 (1)求证BF∥OD. (2)若∠F=35°，求∠BAC的度数. 13.如图13-13，D,E分别是△ABC的边AB, 图13-15 BC上的点，AD=2BD,BE=CE,设△ADF 的面积为S1,△CEF的面积为S.若S。A =6,求S1一S2的值 16.如图13-16①，线段AB,CD相交于点O. (1)求证∠A+∠C=∠D+∠B. (2)如图13-16②，线段AB,CD相交于点 O,∠ACD和∠DBA的平分线相交于点 图13-13 E,BE,CD相交于点M,AB,CE相交于 点N.若∠A=50°，∠D=30°，请结合 (1)中的结论，求∠E的度数. 14.如图13-14，AD平分∠BAC,∠EAD= ∠EDA.若∠B=50°，∠CAD:∠E=1:3. ② 求∠E的度数 图13-16 图13-14 17.已知∠MON=90°，点A,B分别在OM,ON 上运动（不与点O重合）. (1)如图13-17①，AE,BE分别是∠BAO, ∠ABO的平分线，随着点A,B的运动， 求∠AEB的度数 (2)如图13-17②，BC是∠ABN的平分线， BC的反向延长线与∠BAO的平分线交 于点D.如果∠MON=a,其余条件不 变，随着点A,B的运动，求∠D的度数 (用含α的代数式表示)》 图13-17 聚焦中考 1.(长沙市)下列长度的三条线段，能组成三角 A.线段CD是△ABC的AC边上的高线 形的是( B.线段CD是△ABC的AB边上的高线 A.1,3,4 B.2,2,7 C.线段AD是△ABC的BC边上的高线 C.4,5,7 D.3,3,6 D.线段AD是△ABC的AC边上的高线 2.(宁波市)已知直线m∥n,将一块含45°角的 4.(吉林省)如图13-20，钢架桥的设计中采用了 直角三角板ABC按如图13-18方式放置，其 三角形的结构，其数学道理是 中斜边BC与直线n交于点D.若∠1=25°， 则∠2的度数为( ) A.60° B.65 C.70 D.75 图13-20 图13-21 5.(准安市)若一个三角形三边长分别为2,3，x, 则x的值可以为 .(只需填一个整数) 图13-18 图13-19 6.(衡阳市)一副三角板如图13-21摆放，且 3.(杭州市)如图13-19所示，CD⊥AB于点D, AB∥CD,则∠1的度数为 已知∠ABC是钝角，则(