13.3.2 三角形的外角-2025-2026学年新教材八年级上册数学同步辅导（人教版2024）

.∠APD+∠BPE=180°-60°=120°. .∠1=180°-∠APD-∠A,∠2=180° ∠B-∠BPE. .∴.∠1+∠2=180°-∠APD-∠A+180° ∠B-∠BPE=360°-（∠APD+∠BPE+ ∠A+∠B)=360°-(120°+90°)=150. 【综合探究】 解：(1)15 (2)①△ABD是“准互余三角形” 理由：AD是∠BAC的平分线， .∠BAC=2∠BAD .∠ACB=90°，.∠BAC+∠B=90°， .2∠BAD+∠B=90°， ·△ABD是“准互余三角形” ②33或24 13.3.2三角形的外角 【基础过关】 1.C2.B3.B4.C5.B 6.80°7.230 8.解：：∠BCD=92°，∠A=27°，∠BCD是 △ABC的外角， .∠BCD=∠A+∠B ..∠B=∠BCD-∠A=65 ,∠BFD是△EFB的外角， ∴.∠BFD=∠B+∠BED=65°+44°=109°. 【素养提升】 1.C2.A 3.不合格点拨：延长AE交CD于点F, ∴.∠AFD=∠AED-∠D=143°-31°= 112°，线段AB和DC的延长线相交的角为 ∠AFD-∠A=112°-23°=89°≠90° 4.180°点拨：，'∠DMO是△CME的一个 外角，.∠DMO=∠C+∠E. 同理，可得∠DOM=∠A十∠B. 又，∠DMO+∠DOM+∠D=180°， .∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 【综合探究】 解：(1)∠A=2∠BPC-180°.理由如下： ,P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， ∴.∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB. 在△ABC中，∠A+2∠PBC+2∠PCB= 180°， ∴.∠A+2(∠PBC+∠PCB)=180°. 在△BPC中，∠BPC+∠PBC+∠PCB= 180°， ∴.∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC· ∴.∠A+2(180°-∠BPC)=180°， ∴.∠A=2∠BPC-180°. (2)∠A=2∠BPC.理由如下： ,P是∠ABC和∠ACD的平分线的交点， ∴.∠ABC=2∠PBC,∠ACD=2∠PCD. ,∠ACD=∠A+∠ABC=∠A+2∠PBC, ∠PCD=∠BPC+∠PBC, .2(∠BPC+∠PBC)=∠A+2∠PBC, ∴.∠A=2∠BPC (3)∠A=180°-2∠BPC 点拨：，P是外角∠DBC与外角∠ECB的平 分线的交点，∴.∠CBD=2∠PBC,∠BCE= 2∠PCB,∴.∠ABC=180°-∠CBD=180° 2∠PBC,∠ACB=180°-∠BCE=180°- 2∠PCB,.∴.∠ABC+∠ACB=360°-2（∠CBP+ ∠BCP).,∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴.2（∠CBP+∠PCB)=∠A+180°.在 △BPC中，∠BPC+∠PBC+∠PCB= 180°，∴.∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC, ∴.2(180°-∠BPC)=∠A+180°，.∠A= 180°-2∠BPC. 数学活动 活动1 1.能，画出图形如图所示.13.3.2三角形的外角 基础过关 1.如图13-3-28，在∠1，∠2，∠3中，△ABC的 6.【实际应用】如图13-3-32，这是一台放置在 外角是( 水平桌面上的电脑显示屏，将其侧面抽象成 A.∠1 B.∠2，∠3 平面几何图形，测得∠ACD=120°，∠ABC= C.∠1，∠3 D.∠1，∠2，∠3 2∠BAC,则∠ABC 图13-3-28 图13-3-29 图13-3-32 图13-3-33 2.如图13-3-29，B,C,D三点在同一条直线上， 7.【教材P15例4变式】如图13-3-33，∠BAE, ∠B=56°，∠ACD=120°，则∠A的度数为 ∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角， () ∠ACD=130°，则∠BAE+∠CBF A.56 B.64 C.60 D.76 3.如图13-3-30，AB∥DE,点B,C,D在同一直 8.如图13-3-34，在△ABC中，D为AC的延长 线上，若∠BCE=65°，∠E=25°，则∠B的度 线上一点，E为边AB上一点，连接DE交 数是( BC于点F.已知∠BCD=92°，∠A=27°， A.55 B.40 C.25 D.20 ∠BED=44°，求∠BFD的度数. 图13-3-30 图13-3-31 4.将一副三角板按如图13-3-31的方式摆放， 图13-3-34 则∠1的度数是() A.90° B.135 C.120° D.150° 5.下列说法错误的是( A.一个三角形中至少有两个锐角 B.一个三角形中，一个外角大于任意一个 内角 C.直角三角形的外角不可能是锐角 D.若三角形有一个外角为锐角，则这个三角 形一定是钝角三角形 素养提升 1.若一个三角形三个内角的度数比为1：2：6， 3.某机器零件的横截面如图13-3-36，按要求 则该三角形最大的外角为() 线段AB和DC的延长线相交成直角才算合 Λ.108°B.120 C.160° D.162 格，一工人测得∠A=23°，∠D=31°，∠AED= 2.如图13-3-35所示，在△ABC中，∠ACB= 143°，则判断该零件 (填“合格”或 90°，沿CD折叠△CBD,使点B恰好落在边 “不合格”). AC上点E处，若∠B=65°，则∠ADE的度 4.如图13-3-37，则∠A+∠B+∠C+∠D+ 数为() ∠E A.40° B.50 C.65° D.75 图13-3-37 图13-3-35 图13-3-36 综合探究 【探究拓展认真阅读下面关于三角形内外角平 分线所夹角探究片段，回答所提出的问题. (1)探究1：如图13-3-38①所示，在△ABC中， A以 P是∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP 的交点，试分析∠A与∠BPC有什么数量 图13-3-38 关系？并说明理由。 (2)探究2：如图13-3-38②所示，已知△ABC,P 是∠ABC与外角∠ACD的平分线BP和 CP的交点，试分析∠BPC与∠A有怎样的 数量关系？并说明理由， (3)探究3：如图13-3-38③所示，已知△ABC,P 是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP 和CP的交点，直接写出∠BPC与∠A之间 的数量关系为