第14章 全等三角形 复习课-2025-2026学年新教材八年级上册数学同步辅导（人教版2024）

【综合探究】 (1)359 (2)证明：过点E分别 作EM⊥BF于点M, ENLAC于点N. :BE平分∠ABC, .EM=EH. :∠ACE=∠ECH=35°， .CE平分∠ACD ..EN=EH. .EM=EN. .AE平分∠CAF 9号 数学活动 活动1 1.B 2.解：本题属开放性题目，答案不唯一，如图 (1)(2)(3)所示是根据全等三角形的性质 设计的图形，同学们可自己另外设计一些 其他的图形 3 3.解：铺设整个房间需要像四边形ABCD这样 的图案的块数为23÷0.05=460（块），而四 边形ABCD是由4块有花纹的和2块无花 纹的三角形木块组成，故需要有花纹的木 块的数量为460×4=1840（块），需要无花 纹的木块的数量为460×2=920（块）. 活动2 4.解：(1)BC=EF.理由如下： 由题意，可知∠CAB=∠EDF=90°，DF= DH=AC=2米，DE=2×2=4(米). ..DE=AB. (AB=DE, 在△ABC和△DEF中，{∠CAB=∠FDE, AC-DF. ∴.△ABC≌△DEF(SAS). .BC=EF. (2)BC⊥EF 证明：延长BC交EF于点G .'△ABC≌△DEF,∴.∠BCA=∠EFD. ,∠BAC=90°，∴.∠CBA+∠BCA=90 ∴.∠CBA+∠EFD=90°. ∴.∠BGF=180°-（∠CBA+∠EFD)= 90°. ∴.BC⊥EF. 复习课 【综合复习】 1.B2.B3.D4.D5.C6.C 7.A点拔：由△BDF≌△CED,可知∠CED= ∠BDF,.∠a=180°-∠BDF-∠CDE= 180°-∠CED-∠CDE=∠C.又.∠B= ∠C.∠a=7(180-∠A).2∠a= 180°-∠A.即2∠a+∠A=180° 8.B9.10°10.30 11.(2,0)或(2,4)点拨：有两种情况，不要 漏解。 12.(1)证明：，AC⊥CE,CF⊥AE, .∠CAE=∠BCD. 在△ACE和△CBD中， ∠CAE=∠BCD, CA=BC. ∠ACE=∠CBD, .△ACE≌△CBD,∴.AE=CD. (2)解：由(1)△ACE≌△CBD,可知BD= CE, :CE=号BC=AC=×12=6(cm ∴.BD的长为6cm. 13.证明：(1).AD I BC. ∴.∠BDE=∠ADC=90. 在Rt△BDE和Rt△ADC中， BE=AC, DE=DC. ∴.Rt△BDE≌Rt△ADC(HL). (2)F为BC的中点， ∴.BF=CF. 在△BFE和△CFM中， BF=CF, ∠BFE=∠CFM, EF=MF, '.△BFE≌△CFM(SAS). ∴∠CBE=∠BCM. .'Rt△BDE≌Rt△ADC, .∠CBE=∠CAD .∠CAD=∠BCM. ,∠CAD+∠ACD=90°， ∴.∠BCM+∠ACD=90°， 即∠ACM=90°. ∴.AC⊥MC. 14.(1)解：EF⊥AB,.∠AFE=90°， ∴.∠EAF=90°-∠AEF=90°-50°=40° .∠BAD=100°， ∴.∠DAE=180°-100°-40°=40° (2)证明：如图，过点E分别作EM⊥AD 于点M,EN⊥BC于点N. ,'BE平分∠ABC,EF⊥AB,EN⊥BC, ∴.EF=EV .'∠EAF=∠DAE=40°， .AE平分∠DAF. 又，EF⊥AF,EM⊥AD, .EF=EM,∴.EM=EN. ,EM⊥AD,EN⊥CD, .DE平分∠ADC 15.(1)证明：，BDL直线m,CE⊥直线m, ∴.∠ADB=∠CEA=90 .∠BAC=90°，.∠BAD+∠CAE=90° .∠BAD+∠ABD=90°， ∴.∠CAE=∠ABD. 在△ADB和△CEA中， ∠ABD=∠CAE, ∠ADB=∠CEA, AB=CA, .△ADB≌△CEA(AAS). .BD=AE,AD=CE, ∴.DE=AE+AD=BD+CE. (2)解：仍然成立.证明如下： ∠BDA=∠BAC=a, '.∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠EAC= 180°-a, ∴.∠DBA=∠EAC 在△ADB和△CEA中， ∠DBA=∠EAC, ∠ADB=∠CEA, AB=CA, .△ADB≌△CEA(AAS). .BD=AE,AD=CE, .DE=AE+AD=BD+CE. 【聚焦中考】 1.A2.B 3.DE=EF或AD=CF4.100° 5.82°点拨：，AC平分∠DCB, .∠BCA=∠DCA. 在△BCA和△DCA中， CB=CD. ∠BCA=∠DCA, AC=AC. .△BCA≌△DCA(SAS), .∠BAC=∠DAC 又，'∠DAC+∠CAE=180°， .∠DAC=180°-49°=131. .∠BAC=131°， 即∠BAE+∠EAC=131°， .∠BAE=131°-49°=82°. 6.解：可选取①或②（只选一个即可）. ①证明：在△ABF和△CDE中， (AB=CD, AF=CE, BF=DE, .△ABF≌△CDE(SSS),.∠B=∠D. .'BF=DE, .'BF+EF=DE+EF...BE=DF. 在△ABE和△CDF中， (AB=CD. ∠B=∠D, BE=DF, .△ABE≌△CDF(SAS), ∴.∠AEB=∠CFD,∴.AE∥CF. 或②证明：在△ABF和△CDE中， (AB=CD, ∠BAF=∠DCE, AF=CE, .△ABF≌△CDE(SAS), ∠B=∠D,BF=DE, .BF+EF=DE+EF,..BE=DF. 在△ABE和△CDF中， (AB=CD, ∠B=∠D, BE=DF, .△ABE≌△CDF(SAS), .∠AEB=∠CFD,∴.AE∥CF 7.证明：在△ABC中， ,∠B=50°，∠C=20° ∴.∠CAB=180°-∠B-∠C=110°. ,AE⊥BC,∴.∠AEC=90. ∴.∠DAF=∠AEC+∠C=110 ∴.∠DAF=∠CAB. 又AD=AC,AF=AB, ∴.△DAF≌△CAB(SAS). ∴.DF=CB 第十五章 轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 【基础过关】 1.A2.D3.C 4.②5.100°6.300 7.(1)E ∠D (2)3 (3)解：.∠BAC=108°，∠BAE=30°， ∴.∠CAE=108°-30°=78° 根据对称性，知∠EAF=∠CAF, ∴∠EAF=Z∠CAE=39 【素养提升】 1.C2.C 3.A(或C) 4.8点拨：将△ABD沿AD折叠，使点B 恰好落在AC边上的点E处，∴.BD=DE, AB=AE.,△DEC的周长为7，.DE十 CE+CD=BD+CE+CD=BC+CE=7. ∴.CE=7-BC=2,∴.AC=AE+CE=AB+ CE=6+2=8. 5.解：(1)D∠ACB (2)由题，易得DF=BF=6,.ED=9, ∴.EF=ED-DF=9-6=3. (3)平行.理由如下： ,△ABC和△ADE关于直线MN对称， ∴.MN⊥EC,MN⊥BD, .EC∥BD.复习课 典例精析 【例1】如图14-1，在ABC中，∠B=90°， ∴.∠ABF=∠ABD+∠FBE=∠ABD+ ∠C=45°，将△ABC绕顶点A逆时针旋转60 ∠ADB=∠ABD+∠BAD=∠ADC. 后得到△AB'C',则∠BAC'等于( AB=CD, Λ.60°B.105°C.120 D.135 在△ABF和△CDA中，{∠ABF=∠CDA, 思路分析：由图形的旋转性质，知△ABC≌ BF=DA. △AB'C',.∠BAC=∠B'AC'.,∠B=90°， ∴.△ABF≌△CDA(SAS).∴.AC=AF. ∠C=45°，∴.∠BAC=45°，∴.∠BAC'=45°.由 .AF=2AE...AC=2AE. 题意，知∠BAB'为旋转角，∴.∠BAB=60, 【例3】如图14-3，P为定角∠AOB的平 ∴.∠BAC=∠BAB+∠BAC'=60°+45= 分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补. 105. 若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分 答案：B 别与OM,OB相交于M,N两点. (1)求证PM=PN. (2)OM+ON的值是否发生变化？请说明 理由 (3)四边形PMON的面积是否发生变化？ 请说明理由。 图14-1 图14-2 思路分析：利用角平分线和截长补短法构 【例2】如图14-2，已知CD=AB,∠BAD= 造全等三角形，因为角平分线本身已经具备全 ∠BDA,AE是△ABD的中线.求证AC=2AE. 等三角形的三个条件中的两个（角相等和公共 思路分析：利用“倍长中线法”构造全等三 边相等)，在处理角平分线问题时，常作以下辅 角形，将中线延长一倍，然后利用“SAS”判定三 助线构造全等三角形： 角形全等。 (1)在角的两边截取两条相等的线段； 证明：延长AE至点F,使EF=AE,连 (2)过角平分线上的一点作角两边的垂线段. 接BF (1)证明：过点P分别作PE⊥OA于点E, :AE是△ABD的中线，∴.BE=DE PF⊥OB于点F, (AE-FE, .∠PEO=∠PFO=90 在△ADE和△FBE中，∠AED=∠FEB. ∴.∠OPE+∠EOP=90 DE=BE, ∠OPF+∠FOP=90° ∴.△ADE≌△FBE(SAS). ∴.∠OPE+∠OPF+ ∴.BF=DA,∠FBE=∠ADE ∠EOP+∠FOP=180°， 图14-3 ,∠BAD=∠BDA, 即∠EPF+∠AOB=180°. .∠MPN+∠AOB=180°， ∴.∠EPF=∠MPN..∠EPM=∠FPN. 理由：'△PEM≌△PFN,.ME=NF ,OP平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB, 易证△EPO≌△FPO,.OE=OF. .PE=PF. ..OM+ON=OE+EM+ON=OE+NF+ I∠EPM=∠FPN, ON=OE+OF=2OE=定值. 在△PEM和△PFN中，PE=PF (3)解：四边形PMON的面积不变， ∠PEM=∠PFN, 理由：△PEM≌△PFN, ∴.△PEM≌△PFN(ASA).∴.PM=PN. ∴.S△pEiM=S△FN, (2)解：OM+ON的值不变. .Sm边形PMON=Sg边形PEOF=定值. 综合复习 1.如图14-4所示的两个三角形全等，则∠E的 3.如图14-6，△ACE≌△DBF,AD=8,BC 度数为( 2,则BD=( A.2 B.8 C.6 D.5 4.如图14-7，已知∠1=∠2，AC=AD,添加下 列条件，其中不能判定△ABC≌△AED的是 () 图14-4 A.∠C=∠D B.∠B=∠E A.80° B.70 C.60° D.50° C.AB=AE D.BC=ED 2.如图14-5是琦琦测量水池两点A,B距离的 方案，下列说法不正确的是() ①先确定线段AB,过点B作BF⊥AB于点 B;②在BF上取C,D两点，使得△：③过点 图14-7 图14-8 D作DE⊥BF于点D:④※：⑤测量☆的长 5.如图14-8，在平面直角坐标系中，AD是 度，即AB的长 Rt△OAB的角平分线，点D的纵坐标是 A.△代表BC=DC 一2，AB=9,则△ABD的面积为( ) B.※代表连接AM A.36 B.18 C.9 D.27 C.☆代表DM 6.如图14-9，在△ABC中，∠C=90°，AD平分 D.该方案运用的判定方法是ASA ∠CAB,交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E, 且BD=6cm,DE=4cm,则BC的长为( A.8cm B.9cm C.10cm 图14-5 图14-6 D.11em 图14-9 7.如图14-10，∠B=∠C,BF=CD,BD=CE,↑12.如图14-15，在△ABC中，∠ACB=90°， 则∠a与∠A的关系是() AC=BC,AE是BC边的中线，过点C作 A.2∠a+∠A=180°B.∠a+∠A=90 CF⊥AE,垂足为F,过点B作BD⊥BC交 C.∠a=180°-∠AD.2∠a+∠A=90 CF的延长线于点D. 8.如图14-11，△ABC≌△AEF,有以下结论： (1)求证AE=CD: ①AC=AE:②∠FAB=∠EAB:③EF= (2)若AC=12cm,求BD的长. BC:④∠EAB=∠FAC,其中正确的结论有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 图14-15 图14-10 图14-11 图14-12 9.如图14-12，在△ABC中，∠B=50°，∠C= 30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径 画弧，交AC于点E,再分别以B,E为圆心， 13.如图14-16，在锐角三角形ABC中，AD⊥ 大于2BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC BC于点D,点E在AD上，DE=DC,BE= 的内部交于点F,作射线AF,则∠DAF= AC,F为BC的中点，连接EF并延长至点 M,使FM=EF,连接CM.求证： 10.如图14-13，小虎用10块高度都是3cm的 (1)△BDE≌△ADC. 相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的 (2)AC⊥MC. 木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角 三角板(AC=BC,∠ACB=90),点C在 DE上，点A和点B分别与木墙的顶端重 合，则两堵木墙之间的距离为 cm. 图14-16 图14-13 图14-14 11.如图14-14，已知点A的坐标为(-2,0)，点 B的坐标为(0,4).若在y轴右侧有一点C 使得△BOC与△BOA全等，则点C的坐标 为 14.如图14-17，在△ABC中，点D在BC边上，15.(1)如图14-18①，已知在△ABC中，∠BAC= ∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于点E 90°，AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直 过点E作EF⊥AB,垂足为F,且∠AEF= 线m,CE⊥直线m,垂足分别为D,E.求 50°，连接DE. 证DE=BD+CE (1)求∠DAE的度数； (2)如图14-18②，将(1)中的条件改为：在 (2)求证：DE平分∠ADC. △ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直 线m上，并且∠BDA=∠AEC=∠BAC= α，其中α为任意锐角或钝角.则结论DE= BD十CE是否仍然成立？若成立，请你 图14-17 给出证明：若不成立，请说明理由。 图14-18 聚焦中考 1.(北京市)下面是“作一个角使其等于∠AOB” (2)作射线OA',以点O为圆心，OC长为半 的尺规作图方法。 径画弧，交OA'于点C;以点C为圆心， (1)如图14-19，以点O为圆心，任意长为半 CD长为半径画弧，两弧交于点D: 径画弧，分别交OA,OB于点C,D: (3)过点D作射线O'B',则∠AOB'= B ∠AOB. 上述方法通过判定△C'O'D'≌△COD,得到 ∠A'O'B'=∠AOB,其中判定△C'O'D'≌ A A △COD的依据是() 图14-19 A.三边分别相等的两个三角形全等 B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 请从①BF=DE,②∠BAF=∠DCE,③AF= C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C℉中，选择一个合适的选项作为已知条件， D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等 使得△ABF≌△CDE. 的两个三角形全等 你添加的条件是： (只填写一个序 2.(天津市)如图14-20所示，在Rt△ABC中， 号).添加条件后，请证明AE∥CF ∠C=90°，∠B=40°，以点A为圆心，适当长 为半径画弧，交AB于点E,交AC于点F:再 分别以点E,F为圆心，大于EF的长为半 图14-24 径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC 的内部相交于点P:画射线AP,与BC相交 于点D,则∠ADC的大小为( A.60° B.65 C.70° D.75° 7.(陕西省)如图14-25，在△ABC中，∠B 图14-20 图14-21 50°，∠C=20°.过点A作AE⊥BC,垂足为 3.(牡丹江市)如图14-21所示，在△ABC中，D E,延长EA至点D,使AD=AC,在边AC上 是AB上一点，CF∥AB,D,E,F三点共线， 截取AF=AB,连接DF.求证DF=CB. 请添加一个条件： ,使得AE=CE. (只添一种情况即可) 4.(成都市)如图14-22所示，△ABC2△CDE, 若∠D=35°，∠ACB=45°，则∠DCE的度数 为 B E 图14-25 图14-22 图14-23 5.(江西省)如图14-23，AC平分∠DCB,CB CD,DA的延长线交BC于点E,若∠EAC= 49°.则∠BAE的度数为 6.(淄博市)如图14-24所示.已知AB=CD,点 E,F在线段BD上，且AF=CE.