14.3 角的平分线&数学活动-2025-2026学年新教材八年级上册数学同步辅导（人教版2024）

14.3 角的平分线 第1课时角的平分线的性质 基础过关 1.如图14-3-1，已知∠AOB,求作射线OC,使OC 板上，图14-3一4②是其侧面结构示意图.现 平分∠AOB,那么作法的正确顺序是( 量得托板长AB=16cm,支撑板顶端的C恰 ①作射线OC:②在射线OA和OB上分别截 好是托板AB的中点，托板AB可绕点C转 取OD,OE,使OD=OE:③分别以点D,E为 动，支撑板CD可绕点D转动.当CD⊥AB, 圆心，大于号DE的长为半径在∠AOB内作 且射线DB恰好是∠CDE的平分线时，此时 2 点B到直线DE的距离是( 弧，两弧相交于点C A.①②③B.②①③C.②③①D.③①② 2 图14-3-4 图14-3-1 图14-3-2 A.3cm B.5cm C.6cm D.8cm 2.如图14-3-2，在△ABC中，∠C=90°，AD是 5.在9×7的网格中，∠AOB的位置如图14-3-5 ∠BAC的平分线.若BC=5,BD=3,则点D 所示，则到∠AOB两边距离相等的点是 到AB的距离是() A.2 B.3 C.4 D.5 3.如图14-3-3，OP平分∠AOB,PC⊥OB于点 C,Q是射线OA上的一个动点.若PC=4.5, 则PQ的最小值为() 图14-3-5 6.如图14-3-6，在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥ AB,根据尺规作图的痕迹，以下结论不一定 成立的是( 图14-3-3 A.∠BDE=∠BAC A.4.5 B.3.5 C.4 D.5 B.DE=DC 4.如图14-3-4①，这是一个平板电脑支架，由 C.∠DAE=∠DAC 托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托 图14-3-6 D.△ADE≌△BDE 7.如图14-3-7，已知在△ABC中，点D在边8.如图14-3-8，OP平分∠AOB,PC⊥OA于 AC上，且BC=CD. 点C,PD⊥OB于点D,CD与OP相交于点 (1)用尺规作出∠ACB的平分线CP(保留作 Q.求证CQ=DQ. 图痕迹，不要求写作法) (2)在(1)所作的图中，设CP与AB相交于点 E,连接DE.求证BE=DE 图14-3-8 图14-3-7 素养提升 1.如图14-3-9，BD是∠ABC的平分线，DEI 4.如图14-3-12，在△ABC中，AD平分 AB于点E,△ABC的面积是30cm,AB= ∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB于点E,点F在 12cm,DE=3cm,则BC的长度为( AC上，且DF=DB. A.6cm B.7cm (1)求证∠CFD=∠B: C.8cm D.9cm (2)若AB=16,AF=10,求AC的长. 图14-3-9 图14-3-10 图14-3-11 图14-3-12 2.如图14-3-10，在△ABC中，AB=6,AC=4, AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于 点F,DE=2,则BF的长为( A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图14-3-11，已知△ABC的周长是30，B0, CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点 D,且OD=4,则△ABC的面积是 综合探究 1.在△ABC中，D是边BC上的点（不与点B,C 2.(1)如图14-3-14①，AD平分∠BAC,∠B+ 重合)，连接AD. ∠C=180°，∠B=90°，易知DB,DC的数 (1)如图14-3-13①，当D是边BC的中点时， 量关系为 S△ABD:S△AcD= (2)如图14-3-14②，AD平分∠BAC,∠B+ (2)如图14-3-13②，当AD平分∠BAC时， ∠ACD=180°，∠B<90°，试问(1)中的结 若AB=m,AC=n,求S△p:S△CD的值 论是否仍然成立？请作出判断并给予 (用含m,n的式子表示). 证明. (3)如图14-3-13③，AD平分∠BAC,延长 (3)如图14-3-14③，在四边形ABDC中，DB AD到点E,使得AD=DE,连接BE.若 =DC,∠B+∠ACD=180°，∠B<90°， AC=3,AB=5,S△DF=10,求S△ABC DE⊥AB于点E,试判断AB,AC,BE之 的值. 间的数量关系，并说明理由， A 图14-3-13 图14-3-14 第2课时角的平分线的判定 基础过关 1.如图14-3-15，将两个完全相同的直角三角 P是∠BAC,∠CBE,∠BCD的平分线的交 尺按如图所示的方式放置，使得顶点C重合， 点，其中说法正确的有() ∠OEC=∠OFC=90°，若∠AOC=25°，则 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 ∠OCF的度数是( ) 5.如图14-3-19，PMLAC于点 /B A.60 B.65 C.75 D.80 M,PN⊥AB于点N,PM= 2,当PN= 时，点P 在∠BAC的平分线上. 图14-3-19 6.【实际应用】如图14-3-20，铁路OΛ和铁路 OB相交于点O处，河道AB与铁路分别相交 图14-3-15 图14-3-16 于点A处和点B处.若在河岸上建一座水厂 2.如图14-3-16，在△ABC中，∠ACB=90°， M,要求M到铁路OA,OB的距离相等，则该 ED⊥AB于点D且ED=EC,如果∠A=40°， 水厂M应建在图中的什么位置？请在图中 那么∠EBD的度数是() 标出点M的位置 A.25° B.30° C.35 D.409 3.如图14-3-17所示是一块三角形草坪，现要 在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到 草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选 在() A.△ABC三条中线的交点处 图14-3-20 B.△ABC三边的垂线的交点处 7.如图14-3-21，在△ABC中，DF⊥AB,垂足 C.△ABC三条角平分线的交点处 为F,DG⊥AC,交AC的延长线于点G, D.△ABC三条高所在直线的交点处 DB=DC,BF=CG.求证：AD平分∠BAC. 图14-3-17 图14-3-18 4.【推理能力】如图14-3-18，点P到AE,AD, 图14-3-21 BC的距离相等，有下列说法：①点P在 ∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平 分线上；③点P在∠BCD的平分线上：④点 素养提升 1.【教材P59复习题8变式】三条公路将A,B, C三个村庄连成一个如图14-3-22所示的三 角形区域，如果要修建一个集贸市场，使集贸 市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市 图14-3-24 图14-3-25 场可选的位置有( ) 4.如图14-3-25，AB∥CD,点P到AB,BC,CD A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 的距离都相等，则∠P= 5.如图14-3-26，在△ABC中，∠C=90°，DE AB于点E,∠B+∠AFD=180°，点F在AC 上，BD=DF.求证： (1)AD平分∠BAC 图14-3-22 图14-3-23 (2)AB=AF+2BE. 2.如图14-3-23，O是△ABC内一点，且点O到 三边的距离OF=OD=OE,若∠BAC=70°， 则∠BOC= 图14-3-26 3.如图14-3-24，△ABC的三边AB,AC,BC的 长分别为4,6,8，点O为其三条角平分线的 交点，则S△aAB:S△04C：S△0c= 综合探究 如图14-3-27，在△ABC中，点D在边BC的延 长线上，∠ACB=110°，∠ABC的平分线交AD 于点E,过点E作EH⊥BD,垂足为H,且 ∠CEH=55 (1)∠ACE= (2)求证：AE平分∠CAF (3)若AC+CD=14,AB=8.5,且S△AcD=21, 则△ABE的面积为 图14-3-27 数学活动 活动1利用全等设计图案 活动2用全等三角形证明拼图猜想 1.如图1，图中所有小三角形均是全等的等边三 4.如图4，某建筑模型有两层型滑梯，每层的高 角形，其中的四边形AEFG可以看成把四边 度相同(EH=HD),都为2米，小明想知道 形ABCD以点A为旋转中 左右两个滑梯BC和EF的长度是否相等，于 心() 是制定了如下方案： A.顺时针旋转60°得到的 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 B.顺时针旋转120°得到的 测量工具 长度为5米的米尺 C.逆时针旋转60得到的 图1 ①测量出线段FD的长度： D.逆时针旋转120°得到的 测量步骤 ②测量出线段AB的长度 2.【一题多法】如图2，是一个正方形的门窗，在 测量数据 DF=2米，AB=4米 装修房屋时，为了把它设计成美观大方的图 (1)根据小明的测量方案和数据，判断两个滑 案，要求在正方形中设计若干个全等的三角 梯BC和EF的长度是否相等，并说明 形，使其面积和等于正方形的面积.请你按要 理由 求在正方形中画出你设计的图形. (2)试猜想左右两个滑梯BC和EF所在直线 的位置关系并加以证明. 图2 3.如图3是某房间地砖的一个图案，其中AB 图4 BC=CD=DA,BE=DE=DF=FB,图案由 有花纹的全等三角形木块（阴影部分）和无花 纹的全等三角形木块（中间部分）拼成，这个 图案的面积是0.05m,若房间的面积是 23m,则最少需要有花纹的三角形木块和无 花纹的木块各多少块？ 图3第5课时直角三角形全等的判定(HL) 【基础过关】 1.A2.C3.D 4.AB=DC(或AC=DB) ∠ABC=∠DCB(或∠ACB=∠DBC) 5.59点拨：由题中条件，知△ABE≌△ADE, 所以∠BAE=∠EAD=2∠BAC.又因为 ∠C+∠BAC=90°，所以∠BAC=62°，所以 ∠EAD=31°.又因为∠AED十∠EAD= 90°，所以∠AED=90°-31°=59° 6.证明：D是BC的中点，.BD=CD DE⊥AB,DF LAC, ∴.△BED和△CFD都是直角三角形 (BD=CD. 在Rt△BED和Rt△CFD中， BE=CF, .Rt△BED≌Rt△CFD(HL). .∠B=∠C. 7.解：相等.理由： 由题意，易知AC=BD. ,CB⊥AB,DA⊥AB, ∴.∠DAB=∠CBA=90°. 在Rt△DAB和Rt△CBA中， (BD=AC, AB=BA, ∴.Rt△DAB≌Rt△CBA(HL). ∴.DA=CB 【素养提升】 1.B2.①②③④⑤ 3.证明：(1).AD⊥BC, ∴.∠BDF=∠ADC=90° 在Rt△BDF和Rt△ADC中， (BF=AC, DF=DC, .Rt△BDF≌Rt△ADC(HL). (2),∠ADC=90°， .∠DAC+∠C=90° ,Rt△BDF≌Rt△ADC, .∠FBD=∠CAD ∴.∠FBD+∠C=90°， ∴.∠BEC=180°-（∠FBD+∠C)=90°， ∴.BE⊥AC. 【综合探究】 (1)证明：如图，过点P作PE⊥x轴于点E,PF ⊥y轴于点F 则∠PFO=∠PEO=90°. .∠FOE=90°， ∴.FP∥OA. '.∠EPF=90 P(2,2),∴PE=PF=2 (PA=PB, 在Rt△APE和Rt△BPF中， PE=PF, .Rt△APE≌Rt△BPF(HL). ∠APE=∠BPF ∴.∠APB=∠APE+∠BPE=∠BPF+ ∠BPE=∠EPF=90°.∴.PA⊥PB. (2)(0,-4) (3)解：Rt△APE≌Rt△BPF,AE=BF .AE=OA-OE=0A-2, BF=OB+OF=OB+2, ..OA-2=0B+2...OA-OB=4. 14.3角的平分线 第1课时角的平分线的性质 【基础过关】 1.C2.A3.A4.D 5.M6.D 7.(1)解：如图，射线CP即为所求。 (2)证明：，CP是∠ACB的平分线， .∠DCE=∠BCE 在△CDE和△CBE中， CD=CB. ∠DCE=∠BCE, CE=CE, ∴.△CDE≌△CBE(SAS),.BE=DE. 8.证明：：OP平分∠AOB,PC⊥OA于点C, PD⊥OB于点D,.PC=PD, 又.OP=OP. .Rt△OCP≌Rt△ODP, ..OC=OD. 又，OQ=OQ,OP平分∠AOB, .∴.△OCQ≌△ODQ,.CQ=DQ. 【素养提升】 1.C2.C 3.60点拨：如图.，过点O分别 作OE⊥AB于点E,OF⊥AC 于点F,连接OA.,BO,CO 分别平分∠ABC和∠ACB, OD⊥BC,∴.OE=OD=OF=4.∴.S△AB= S△mC+S△oB+S△c=克BC·OD+ 2AB·0E+2AC·0F=号×30X4=60. 4.(1)证明：.'AD平分∠BAC,∠C=90°， DE⊥AB,∴.DE=DC 在Rt△CDF和Rt△EDB中， (DC=DE. DF=DB. ∴.Rt△CDF≌Rt△EDB(HL), .∠CFD=∠B. (2)解：，Rt△CDF≌Rt△EDB, ..CF=EB. 设CF=EB=x: 则AE=AB-EB=16-x. 在Rt△ACD和Rt△AED中， (DC=DE, AD=AD. .Rt△ACD≌Rt△AED(HL), .AC=AE,即AF+FC=AE, .10+x=16-x,解得x=3, ∴.CF=3,∴.AC=10+3=13. 【综合探究】 1.解：(1)1：1 (2)如图，过点D作DE⊥AB于点E,DF ⊥AC于点F ,AD为∠BAC的平分线， .'DE=DF. .AB=m.AC=n, SAD SAN=(7AB DE):(AC DF）=m:n. (3).'AD=DE, .由(1)，知SAAD:SAmD=1:1, SABDE=10,SAABD=10, ,AC=3,AB=5,AD平分∠CAB, .由(2)，知S△ABD:S△xD=AB:AC=5:3. ∴.S△AcD=6.∴.S△Bc=10+6=16. 2.解：(1)DB=DC (2)结论仍然成立. 证明：如图①，过点D作DE⊥AB于点E, DF⊥AC于点F. ,DA平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.DE=DF,∠DEB=∠F=90. :∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD= 180°，∴.∠B=∠FCD 在△DFC和△DEB中， ∠FCD=∠B, ∠F=∠DEB. DF=DE, ·△DFC≌△DEB(AAS)..DC=DB. (3)结论：AB=AC+2BE. 理由：如图②，连接AD, 过点D作DF⊥AC于点F. ,∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD= 180°，.∠B=∠FCD, 在△DFC和△DEB中， ∠F=∠DEB, ∠FCD=∠B, DC=DB, .△DFC≌△DEB(AAS). .DF=DE,CF=BE. 在Rt△ADF和Rt△ADE中， (AD=AD, DF=DE, ∴.Rt△ADF≌Rt△ADE(HL). ..AF=AE. ..AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+ BE=AC++2BE. 第2课时角的平分线的判定 【基础过关】 1.B2.A3.C4.A 5.2 6.解：如图，∠AOB的平分线与AB的交点即 为点M的位置， 7.证明：DF⊥AB,DG⊥AC, ∴.∠DFB=∠DGC=90. 在R△DFB和R△DGC中，BF=CG, DB=DC, ∴.Rt△DFB≌Rt△DGC(HL), .DF=DG. ,DF⊥AB,DG⊥AC, .AD平分∠BAC 【素养提升】 1.D 2.125°点拨：，点O到△ABC的三边的距 离OF=OD=OE,.BO平分∠ABC,CO平 分∠ACB,∠OBC=2∠ABC∠OCB= 号∠ACB.:∠BAC=7o,:∠ABC+ ∠ACB=110°，.∠OBC+∠OCB=55°， .∠BC=180°-（∠OBC+∠OCB)=125. 3.2:3：4 4.90 5.证明：(1)，DE⊥AB, ∴.∠AED=∠BED=90 ,∠B+∠AFD=180°，∠CFD+∠AFD= 180°，∴.∠CFD=∠B. ,∠C=90°， ∴.∠C=∠BED,DC⊥AC 又DF=DB, .△CDF≌△EDB(AAS), .DC=DE. DC⊥AC,DE⊥AB, .AD平分∠BAC (2).AD平分∠BAC, .∠DAC=∠DAB. ,∠C=∠AED=90°，AD=AD, ∴.△CDA≌△EDA(AAS), ..AE=AC=AF+FC. 由(1)，得△CDF≌△EDB,∴.CF=BE. ..AE=AF+FC=AF+BE, ∴.AB=AE+EB=AF+2BE. 【综合探究】 (1)359 (2)证明：过点E分别 作EM⊥BF于点M, ENLAC于点N. :BE平分∠ABC, .EM=EH. :∠ACE=∠ECH=35°， .CE平分∠ACD ..EN=EH. .EM=EN. .AE平分∠CAF 9号 数学活动 活动1 1.B 2.解：本题属开放性题目，答案不唯一，如图 (1)(2)(3)所示是根据全等三角形的性质 设计的图形，同学们可自己另外设计一些 其他的图形 3 3.解：铺设整个房间需要像四边形ABCD这样 的图案的块数为23÷0.05=460（块），而四 边形ABCD是由4块有花纹的和2块无花 纹的三角形木块组成，故需要有花纹的木 块的数量为460×4=1840（块），需要无花 纹的木块的数量为460×2=920（块）. 活动2 4.解：(1)BC=EF.理由如下： 由题意，可知∠CAB=∠EDF=90°，DF= DH=AC=2米，DE=2×2=4(米). ..DE=AB. (AB=DE, 在△ABC和△DEF中，{∠CAB=∠FDE, AC-DF. ∴.△ABC≌△DEF(SAS). .BC=EF. (2)BC⊥EF 证明：延长BC交EF于点G .'△ABC≌△DEF,∴.∠BCA=∠EFD. ,∠BAC=90°，∴.∠CBA+∠BCA=90 ∴.∠CBA+∠EFD=90°. ∴.∠BGF=180°-（∠CBA+∠EFD)= 90°. ∴.BC⊥EF. 复习课 【综合复习】 1.B2.B3.D4.D5.C6.C 7.A点拔：由△BDF≌△CED,可知∠CED= ∠BDF,.∠a=180°-∠BDF-∠CDE= 180°-∠CED-∠CDE=∠C.又.∠B= ∠C.∠a=7(180-∠A).2∠a= 180°-∠A.即2∠a+∠A=180° 8.B9.10°10.30 11.(2,0)或(2,4)点拨：有两种情况，不要 漏解。 12.(1)证明：，AC⊥CE,CF⊥AE, .∠CAE=∠BCD. 在△ACE和△CBD中， ∠CAE=∠BCD, CA=BC. ∠ACE=∠CBD, .△ACE≌△CBD,∴.AE=CD. (2)解：由(1)△ACE≌△CBD,可知BD=