15.3.2 等边三角形-2025-2026学年新教材八年级上册数学同步辅导（人教版2024）

7.(1)证明：，AF平分∠DAC .∠DAF=∠CAF. ,AF∥BC ∴.∠DAF=∠B,∠CAF=∠ACB, ∴.∠B=∠ACB..AB=AC .△ABC是等腰三角形. (2)解：AB=AC,∠B=40°， ∴.∠ACB=∠B=40°， .∠ACE=180°-40°=140°. CG平分∠ACE, ∴∠GCE=2∠ACE=70. .AF∥BC,∴.∠AGC=∠GCE=70°. 【综合探究】 解：(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两 个端点的距离相等等边对等角等角对 等边 (2)EB=AB,∴.∠E=∠EAB. ∴.∠ABD=∠E+∠EAB=2∠E. .∠ABD=2∠C,∴.∠E=∠C .AE=AC.AD⊥BC, .'.DC=ED=EB+BD=AB+BD=3.5+1= 4.5. 15.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 【基础过关】 1.D2.D3.D4.C 5.30°56.27.等边三角形 8.证明：DC=DB,∴.∠B=∠DCB=30 ∴.∠ADC=∠DCB+∠B=60°. 又AD=DC, .△ADC是等边三角形. 【素养提升】 1.B 2.75°点拨：，△ABC是等边三角形， .∠BAC=60°.，AC⊥AD,∴.∠CAD 90°，∴.∠BAD=∠BAC+∠CAD=150 ,AB=AD,.∠ABD=∠D= 180°-∠BAD=15°..∠BEC=∠ABD+ 2 ∠BAC=15°+60°=75°. 3.130° 4.证明：(1).AB=AC,AD⊥BC, ·.∠BAD=∠DAC=2∠BAC .∠BAC=120°， ÷.∠BAD=∠DAC=2×120°=60. ,AD=AB,∴.△ABD是等边三角形. (2),△ABD是等边三角形， ∴.∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD ,∠EDF=60°，∴.∠BDE=∠ADF. 在△BDE和△ADF中， ∠DBE=∠DAF=60°， BD=AD. ∠BDE=∠ADF, ∴.△BDE≌△ADF(ASA),∴.BE=AF. 【综合探究】 (1)解：△DBC≌△EAC. 理由：，△ABC,△EDC是等边三角形， ∴.∠ACB=∠DCE=60°，BC=AC,DC=EC. ∴.∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD, 即∠BCD=∠ACE. (BC=AC. 在△DBC和△EAC中，∠BCD=∠ACE, DC-EC, ∴.△DBC≌△EAC(SAS). (2)证明：△DBC≌△EAC, ∴.∠EAC=∠B=60. 又∠ACB=60°， ∴.∠EAC=∠ACB..AE∥BC. (3)解：仍有AE∥BC. 证明：，△ABC,△EDC为等边三角形， .BC=AC,DC=CE,∠BCA=∠DCE=60°. ∴.∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD. 即∠BCD=∠ACE. BC=AC. 在△DBC和△EAC中，{∠BCD=∠ACE, DC=EC, .△DBC≌△EAC(SAS. ∴.∠EAC=∠B=60°. 又'∠ACB=60,∴.∠EAC=∠ACB.∴.AE∥ BC. 第2课时含30角的直角三角形的性质 【基础过关】 1.C2.D3.A4.D5.B 6.4 7.9点拨：由题意，得BE=BE=2CE=6, ∴.BC=CE+BE=3+6=9. 8.解：如图所示，分别过点A,B作AE⊥CP 于点E,BF⊥DQ于点F. 30 闸机C D闸利 在Rt△ACE中，∠ECA=30°，AC=54cm, AE=号AC=号×54=27(cm),同理，可 得BF=27cm. ,点A与点B之间的距离为10cm, 当双翼收起时，可以通过闸机的物体的 最大宽度为27+10+十27=64(cm). 【素养提升】 1.6或12 2.(4,0)点拨：如图，过点A作x轴的垂线， 垂足为C ,'在Rt△OAB中，∠ABO=30°， ∴.∠AOB=60° ,AC⊥OB,.∠OAC= 30° 点A的横坐标为1， .OC=1,.0A=20C=2. ,∠AB0=30°，∴.OB=20A=4, 点B的坐标为(4,0). 3.5 4.解：(1)过点P作PD⊥AB于点D. ,∠PBD=90°-60°=30°， 且∠PBD=∠PAB+∠APB,∠PAB= 90°-75°=15°， ∴.∠APB=15°，∴.∠PAB=∠APB, ∴.BP=AB=7海里. (2)轮船没有触礁的危险.理由： 由(1)，得在Rt△PBD中，BP=7海里， ∠PBD=30°，∠PDB=90°， PD=PB=3,5海里.：3.5>3， ∴.该轮船继续向东航行没有触礁的危险。 5.证明：连接AF.,AB=AC,∠BAC=120°， ÷∠B=∠C=180°，120°=30. 2 又，EF是AC的垂直平分线， AF=CF,∴.∠C=∠FAC=30°， .∠BAF=∠BAC-∠FAC=120° 30°=90° 在Rt△BAF中，∠BAF=90°，∠B=30°， ∴AF=BF∴CF=2BF,即BF=2CE 【综合探究】 (1)1 (2)解：在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°， ∴.∠C=90°-30°=60° 由题意，得AD=tcm,CE=2tcm, .∴.CD=(3-t)cm. ①当∠DEC为直角时，∠EDC=30°. CE=CD,即21=23-0，解得1= ②当∠EDC为直角时，∠DEC=30°. ∴CD=CE,即3-4=×2，解得1=2 综上所述，当1=或=多时，△DEC为直角 三角形 数学活动 活动1 1.D2.C 3.C 活动2 4.15点拨：由折叠的性质，得a=(26 4)÷2+4=15(cm). 5.④ 活动3 6.A7.D 8.D点拨：根据等腰三角形的性质得出 ∠ABC=∠ACB,利用AAS证明△BCE≌ △CBD,根据全等三角形的性质，可判断① ②，根据三角形内角和定理及HL,可判断 ③，根据全等三角形的性质及等腰三角形 的性质，可判断④. 综合与实践最短路径问题 活动一 1.D2.A3.A 4.解：如图，牧羊人应让羊群在点C处吃草， 在点D处饮水，才能使出行路线最短. 草地不A羊 B 河流广： B 5.解：如图，AE-EF-FB即为所求最短路径 C街 活动二 6.C 7.解：如图所示 将点A向下平移至点F,使AF的长等于 河宽，将点B向右平移至点G,使BG的长 等于河宽：连接GF,与河岸相交于点E, D';过点D作DD'⊥CD于点D,过点E作 EE⊥CE于点E,连接AD,BE,则DD', EE即为两桥的位置， 复习课 【综合复习】 1.B2.B3.D4.A5.A6.B 7.三个内角都是60°的三角形是等边三角形 是 8.5.5cm 9.3.2点拨：过点B作BP∥AC交AD的 延长线于点Q,,∠BEQ=∠FEA,∠BQE =∠FAE,又.∠FAE=∠FEA, .∠BQE=∠BEQ,∴.BQ=BE=5,点 D是BC的中点，∴.BD=DC,∠BDQ= ∠ADC,,BQ∥AC,∴.∠QBD=∠ACD, .△BDQ≌△CDA,.AC=BQ=5,'AF 1.8,.CF=3.2. 10.①③ 11.解：(1)如图所示，△ABC即为所求. (2)5AAB6=3X3-7X3X1X2-号× 2×2=4.15.3.2等边三角形 第1课时 等边三角形的性质与判定 基础过关 1.【几何直观】如图15-3-34所示，△ABC是等 5.如图15-3-37，在等边三角形ABC中，D是 边三角形，点D在AC边上，∠DBC=40°，则 边BC的中点，若AB=10,则∠BAD= ∠ADB的度数为( .CD= A.25° B.60 C.90° D.100° 2.有下列说法：①若AB=BC=CA,则△ABC 是等边三角形；②属于轴对称图形，且有一个 角为60°的三角形是等边三角形；③有三条对 称轴的三角形是等边三角形；①有两个角是 60°的三角形是等边三角形.其中正确的有 图15-3-37 图15-3-38 () 6.将含30°角的直角三角尺和直尺按如图 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 15-3-38所示的方式放置，已知∠a=60°，点 B,C处的刻度分别为1cm,3cm,则线段AB 的长为 cm. 7.如果a,b,c为三角形的三边，且(a-b)十 (a一c)2+b一c|=0,那么这个三角形是 图15-3-34 图15-3-35 图15-3-36 8.如图15-3-39所示，在△ABC中，D是AB边 3.如图15-3-35所示，△ABC是等边三角形， 上的一点，且AD=DC=DB,∠B=30°.求 以点B为圆心，任意长为半径画弧，交AC于 证：△ADC是等边三角形 点E,F,再分别以E,F为圆心，大于EF长 为半径画弧，两弧交于点D,连接BD交AC 于点G,∠ABG的度数为() 图15-3-39 A.15° B.20° C.25° D.30 4.【实际应用】如图15-3-36，这是某种落地灯 的简易示意图，已知悬杆CD与支杆BC相交 于点C,CD=BC且∠BCE=120°.若CD的 长度为50cm,则此时B,D两点之间的距离 为( A.40cm B.45cm C.50cm D.55cm 素养提升 1.如图15-3-40，直线1∥m,等边三角形ABC 4.如图15-3-43所示，在△ABC中，AB=AC, 的两个顶点B,C分别落在直线1，m上，若 ∠BAC=120°，AD⊥BC,垂足为点G,且AD= ∠ABE=21°，则∠ACD的度数是() AB,∠EDF=60°，其两边分别交边AB,AC Λ.45 B.399 C.299 D.21 于点E,F,连接BD.求证： D (1)△ABD是等边三角形. (2)BE=AF. 图15-3-40 图15-3-41 图15-3-42 2.如图15-3-41，已知△ABC是等边三角形， AB=AD,且AC⊥AD,垂足为A,则∠BEC 图15-3-43 的度数为 3.三个等边三角形的位置如图15-3-42，若∠3= 50°，则∠1+∠2= 综合探究 如图15-3-44①，在等边三角形ABC中，D是 边AB上的动点，以CD为一边，向上作等边三 角形EDC,连接AE. (1)△DBC和△EAC全等吗？请说明理由. (2)求证AE∥BC. (3)如图15-3-44②，动点D运动到边BA的延 长线上，△EDC仍为等边三角形，请问是否 仍有AE∥BC?证明你的猜想. 图15-3-44 第2课时含30°角的直角三角形的性质 基础过关 1.如图15-3-45，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠B=30°，AC=4,则AB的长是() A.6 B.7 C.8 D.9 图15-3-49 图15-3-50 6.如图15-3-50，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 150P B ∠B=30°，∠CAD=30°，CD⊥AD于点D.若 图15-3-45 图15-3-46 CD=1,则AB= 2.【实际应用】如图15-3-46是某商场一楼与二 7.如图15-3-51，在Rt△ABC 楼之间的电梯示意图.∠ABC=150°，BC的 中，∠C=90°，BC<AC.点 长是10m,则乘电梯从点B到点C上升的高 D,E分别在边AB,BC上， 度h是() 连接DE,将△BDE沿DE 图15-3-51 折叠，点B的对应点为点B',若点B刚好落 A.7.5mB.5√5mC.10m D.5m 在边AC上，∠CBE=30°，CE=3,则BC的 3.【教材P92复习题7交式】如图15-3-47所 长为 示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°， 8.【实际应用】如图15-3-52①所示的是某地铁 AD⊥BC,则下列等式成立的是() 入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，示意 A.BD=3DC B.AD=2DC 图如图15-3-52②所示，双翼边缘的端点A C.AB=4DC D.BD=2AC 与B之间的距离为10cm,双翼的边缘AC= BD=54cm,且与闸机箱的夹角∠PCA= ∠BDQ=30°.求当双翼收起时，可以通过闸 机的物体的最大宽度 图15-3-47 图15-3-48 4.如图15-3-48，△ABC是等边三角形，D是AC 的中点，DE⊥BC.CE=3,则AC=( A.6 B.8 C.9 D.12 5.如图15-3-49，∠AOB=30°.P为∠AOB平分 图15-3-52 线上一点，PC∥OA交OB于点C,PD⊥OA于 点D,若PC=4,则PD的长为() A.1 B.2 C.3 D.4 素养提升 1.【分类讨论思想】在Rt△ABC中，∠C=90°， (2)小岛P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继 ∠A=30°，AB=8.若点D在直线AB上（不 续向东航行，请问轮船有没有触礁的危 与点A,B重合)，且∠BCD=30°，则AD的 险？请说明理由. 长为 2.如图15-3-53，在平面直角坐标系xOy中， 60 Rt△OAB的斜边OB在x轴上，∠ABO= 30°，若点A的横坐标为1，则点B的坐标 为 图15-3-55 660 图15-3-53 图15-3-54 5.如图15-3-56，在△ABC中，AB=AC, 3.如图15-3-54，∠AOB=60°，点P在边OA ∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC 上，OP=12,点M,N在边OB上，PM=PN. 于点E,交BC于点F.求证BF=2CF. 若MN=2,则OM= 4.【实际应用】如图15-3-55，某轮船由西向东 航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东 75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛 图15-3-56 P的方位是北偏东60°. (1)此时轮船与小岛P的距离BP是多少 海里？ 综合探究 如图15-3-57，在△ABC中，∠A=90°，∠B= 30°，AC=3cm,点D以1cm/s的速度从点A向 点C运动，同时点E以2cm/s的速度从点C向 点B运动，运动时间为ts. (1)当t= 时，△DEC为等边三角形. (2)当t为何值时，△DEC为直角三角形？ 图15-3-57