15.2 画轴对称的图形-2025-2026学年新教材八年级上册数学同步辅导（人教版2024）

(2).∠ABC=35°，∠C=50°， ∴.∠BAC=180°-35°-50°=95°， 在△BAD和△BED中， BA=BE, BD=BD,∴.△BAD≌△BED(SSS). DA=DE. .∠BED=∠BAC=95, ∴.∠CDE=∠BED-∠C=95°-50°=45° 【综合探究】 证明：(1)连接BE,CE ,AE平分∠BAC 又，EF⊥AB,EG⊥AC,∴，EF=EG ,DE垂直平分BC,∴.EB=EC 在Rt△EFB和Rt△EGC中， EF=EG, EB=EC, ∴，Rt△EFB≌Rt△EGC(HL),∴.BF=CG. (2)在Rt△AEF和Rt△AEG中， EF=EG, AE=AE, .Rt△AEF≌Rt△AEG(HL), ..AF=AG. 又，AB+AC=(AF-BF)+(AG+CG)= AF+AG. ∴2AF=AB+AC,即AF=2(AB+AC). 第2课时作线段的垂直平分线及对称轴 【基础过关】 1.C2.9 3.解：如图，AD即为所求 4.解：如图所示。 米冬中漫 【素养提升】 1.B 2.解：如图，直线1即为所求 【综合探究】 解：如图，点P即为所求 B 15.2画轴对称的图形 第1课时画轴对称的图形 【基础过关】 1.D 2.(1)M.P.N (2)G,H,I GM HP IN (3)GH GI HI 3.日、出、山 4.解：如图①②. 【素养提升】 1.D2.D 3.D点拨：如图，共有6种填涂方案.故选D. 4.解：(1)如图①，MN即为所求.（答案不唯一） (2)如图②，PQ即为所求.（答案不唯一） (3)如图③，△DEF即为所求.（答案不唯一） (4)如图④.（答案不唯一） 5.解：(1)四边形ABCD的面积为AC·BD= 7×3X4=6, (2)如图，四边形ABC1D,即为所求. 6.解：要补成以虚线（为对称轴的轴对称图 形，关键是先找到图中点A、点D、点E关 于直线1的对称点A1,D,E·然后连接 A,O,D1O,BD,AC,EO,即得所求作的 图形.如图所示 【综合探究】 (1)如图. pAB户8 (2)解：PP2与AB相等. 理由如下： P、P1关于直线对称，点P在PP,上 P、P,关于直线对称， ∴.PA=PA=b. P、P2关于直线2对称， .P,M=P M=P A-AM=6-a. .PP:=PP-PP2=PP-2P:M=26- 2(b-a)=2a. ∴.PP2=AB 第2课时用坐标表示轴对称 【基础过关】 1.D2.A3.B4.B5.B6.A7.B 8.(-1,-2) 9.(1,-2) 10.解：(1)如图，△A1BC即为所求. 点B1的坐标为(4,1). (2)5=3X3-号×1×3-号×2X2 3×1X3=4. 【素养提升】 x十1>0：解得 x>-1, 1.B点拔：由已知得2一1<0， 则x+2-|1-x|=(x+2)-(1-x)= 2x+1. 2.1点拨：：点P(a,1)与点Q(2,b)关于 x轴对称，∴.点P(a,1)与点Q(2,b)的横坐 标相等，纵坐标互为相反数，∴.a=2,1+ b=0,解得b=一1，∴.a十b=1. 3.四点拨：，点A(1一a,b+1)关于y轴的 对称点在第三象限，.点A(1一a,b十1)在 第四象限，∴.1一a>0,b十1<0，即a<1, b<一1，则点B(1一a,b)在第四象限. 4.(a-2,-b) 5.解：(1)△ABC如图所示.(0,4) (2)△A2B2C2如图所示.(6,4) B (3)(m+6,n) 【综合探究】 1.C 2.D点拨：按题中操作下去，每变换4次 循环，2011÷4=502…3，∴点P201的坐 标与点P的坐标相同，∴.点P1的坐标为 (-2,0). 15.3等腰三角形 15.3.1等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 【基础过关】 1.A2.D3.A4.B5.D6.C 7.18°8.349 9.解：，AB=AC,AD是△ABC的中线， ∠BAC=2∠CAD=20°，AB=AC, ∠ABC=∠ACB=180-∠BAC=80. 2 ,CE是△ABC的角平分线， .∠ACE=2∠ACB=40, .∠AEC=180°-∠BAC-∠ACE= 180°-20°-40°=120°. 10.证明：DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.∠DEB=∠DFC=90° .AB=AC,∴.∠B=∠C. 又点D是BC的中点，.BD=CD, .△DEB≌△DFC .DE=DF,.∠DEF=∠DFE. 【素养提升】 1.B 2.A点拨：延长AD交BC于点E.DA= DB=DC,∴.∠DAB=∠DBA=20°， ∠DAC=∠DCA=30°，.∠BDC=∠BDE+ ∠EDC=2(∠DAB+∠DAC)=100°. 3.80°4.55 5.100°点拨：，AC=AE,BC=BD,.设 ∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD= y°，.∠A=180°-2x°，∠B=180°-2y° :∠ACB+∠A+∠B=180°，∠BDC+ ∠AEC+∠DCE=180°，∴.∠ACB+(180° 2x)+(180°-2y)=180°.180°-(x°+y)= ∠DCE,.∠ACB+360°-2(x°+y)= 180°，∴.∠ACB+2∠DCE=180°.：'∠DCE= 40°，∴.∠ACB=100° 6.证明：(1)'AB=AE,D为线段BE的中点， ∴.AD⊥BC,BD=ED, .∠C+∠DAC=90° ,∠BAC=90°， ∴.∠BAD+∠DAC=90°，∴.∠C= ∠BAD. .AB=AE.BD=ED, ∴.∠BAD=∠DAE,.∠DAE=∠C (2),AF∥BC,∴.∠FAE=∠AEB. ,AB=AE,∠B=∠AEB, .∠B=∠FAE ,EF⊥AE,.∠AEF=∠BAC=90. 在△ABC和△EAF中， ∠B=∠FAE, AB=EA. ∠BAC=∠AEF, .△ABC≌△EAF(ASA),∴.AF=BC15.2画轴对称的图形 第1课时画轴对称的图形 基础过关 1.点A,B关于直线a对称，P是直线a上任意 DM, =EP, =FN; 一点，下列说法不正确的是 (3)连接 ,则△GHI A.直线AB是直线a的垂线 即为所求， B.直线a是点A和点B的对称轴 3.在纸条上写上汉字“日、出、西、山”四个字， C,线段PA与线段PB相等 并将纸条竖直且垂直于挂在墙上的镜子摆 D.若PA=PB,则P是AB的中点 放，则这四个字中，在镜子中的像与原字一 2.如图15-2-1，已知直线1和 样的字有 △DEF,画出△DEF关于直 4.【教材P73练习1变式】如图15-2-2，画出下 线【对称的图形.将作图步 列△ABC关于直线I对称的图形 骤补充完整： 图15-2-1 (1)分别过点D,E,F作直线1的垂线，垂足 分别是 (2)在垂线上分别取点 使 图15-2-2 素养提升 1.下列各图为小华在镜中看到身后墙上的钟， 等边三角形组成的新图案恰好为轴对称图 你认为实际时间最接近8时的是 形，则填涂的方案有() A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 A B D 2.【抽象能力】在如图15-2-3所示的3×3的网 格图中，再在其中一个小方格中画上半径相 图15-2-3 图15-2-4 等的圆，使三个圆为轴对称图形，方法有 4.图15-2-5①、②、③、④都是3×3的正方形网 () 格，每个小正方形的顶点称为格点.A,B,C均 A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 为格点，在给定的网格中，按下列要求画图. 3.如图15-2-4，在小等边三角形组成的网格 (1)在图15-2-5①中，画一条不与AB重合的 中，已有6个小等边三角形被涂色，还需再涂 线段MN,使MN与AB关于某条直线对 2个小等边三角形·使它们与原来涂色的小 称，且M,V为格点： (2)在图15-2-5②中，画一条不与AC重合的 (2)在图中画一个格点四边形.使该四边形 线段PQ,使PQ与AC关于某条直线对 A1B,C,D与原四边形ABCD关于直线I 称，且P,Q为格点； 成轴对称.（要求A与A1,B与B1,C与 (3)在图15-2-5③中，画一个△DEF,使 C1,D与D1相对应) △DEF与△ABC关于某条直线对称，且 D,E,F为格点； (4)画出3个与图15-2-5④中的格点三角形 成轴对称的三角形. 图15-2-6 3 图15-2-5 5.如图15-2-6，方格纸中每个小方格都是边长 6.把图15-2-7中实线部分补成以虚线1为对 为1的正方形，我们把以格点的连线为边的 称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽的蝴 多边形称为“格点多边形”.图中四边形 蝶图案.（不写作法，保留作图痕迹） ABCD就是一个“格点四边形” (1)求图中四边形ABCD的面积： 图15-2-7 综合探究 如图15-2-8，已知线段AB=2a(a>0),M是 AB的中点，直线（⊥AB于点A,直线 2⊥AB于点M,点P是直线l,左侧一点并在 BA延长上，P到直线1的距离为b(a<b<2a). (1)作出点P关于直线：的 对称点P,并在PP1上P 取一点P,使点P2、P关 于直线对称； 图15-2-8 (2)PP:与AB有何数量关系？请说明理由. 第2课时用坐标表示轴对称 基础过关 1.在平面直角坐标系中，点P(2,一3)关于x轴 对称的点P'的坐标是( ) A.(-2,-3) B.(-2,3) C.(2,-3) D.(2,3) 2.在平面直角坐标系中，若点A和点B(2,一3) 关于y轴对称，则A,B两点之间的距离为 图15-2-9 图15-2-10 () 8.【教材P75练习2变式】如图15-2-10，x轴是 A.4 B.5 C.6 D.10 △AOB的对称轴，y轴是△BOC的对称轴， 3.在平面直角坐标系中，将点P(1,一1)向右平 点A的坐标为(1,2)，则点C的坐标为 移2个单位长度后，得到的点P关于x轴的 对称点的坐标是( 9.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（一1,2）， A.(1,1) B.(3,1) 作点A关于y轴的对称点，得到点A',再将 C.(3,-1) D.(1,-1) 点A'向下平移4个单位长度，得到点A”,则 4.已知M(0,2)关于x轴的对称点为N,线段 点A”的坐标是 MN的中点坐标是 10.如图15-2-11，在平面直角坐标系中，△ABC A.(0,-2) B.(0,0) 三个顶点的坐标分别为A(一3,4)，B(一4,1)， C.(-2,0) D.(0,4) C(-1,2). 5.在平面直角坐标系中，不在坐标轴上的点P的 (1)画出△ABC关于y轴对称的△ABC,, 坐标为(m,n),点Q的坐标为(m,),两点 并直接写出点B,的坐标. 关于y轴对称，则下列选项正确的是( (2)求△ABC的面积， A.m>0,n<0 B.m<0,n>0 C.m>0,n>0 D.m<0,n<0 6.已知点P1(一4,3)，P(一4，一3)，则下列说 法：①PP∥x轴：②点P,P:关于y轴对 称：③点P,P关于x轴对称：④P1P2=8. 其中正确的有( A.1个B.2个 C.3个 D.4个 7.如图15-2-9所示，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图 图15-2-11 形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点 E的坐标为(m,2),其关于y轴对称的点F 的坐标为(3，)，则”的值为( A-1-号C D.- 3 素养提升 1.已知点P(x十1,2x一1)关于x轴的对称点在 C(-3,1). 第一象限，则化简x十2一1一x得( A.1 B.2x+1C.-3 D.3 2.在平面直角坐标系中，已知点P(a,1)与点 Q(2,b)关于x轴对称，则a+b= 3.如果点A(1一a,b十1)关于y轴的对称点在 第三象限，那么点B(1一a,b)在第 象限。 4.如图15-2-12所示，在平面直角坐标系中，点 图15-2-13 P(a,b)为△ABC的边AC上一点，将△ABC (1)在图中画出△ABC关于y轴对称的图形 先向左平移2个单位长度，再作关于x轴的 △A,BC1,并写出顶点A,的坐标为 轴对称图形，得到△A'B'C',则点P的对应 点P'的坐标为 (2)若以B,C,所在直线为对称轴，请在图中 画出△A,B,C关于直线BC,对称的图 形△AB,C,并写出顶点A:的坐标为 (3)观察△ABC与△A2B2C2的位置关系，若 1234 P(m,n)为△ABC内部的任意一点，它在 图15-2-12 △AzB,C2内部的对应点为点P,则点P 5.如图15-2-13，在平面直角坐标系中，△ABC 的坐标为 .(用含m和n的式子 三个顶点的坐标分别为A(0,4),B(一3,3)， 表示) 综合探究 1.【跨学科综合】如图15-2-14，这是蜡烛的平 2.如图15-2-15，在平面直角坐标系中，正方形 面镜成像原理图，以水平方向为x轴，镜面 ABCD的顶点坐标分别为A(1,1),B(1,-1), 方向为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面 C(-1,-1),D(-1,1),y轴上有一点 直角坐标系，若某时刻火焰顶端S的坐标是 P(0,2).作点P关于点A的对称点P,作点 (x一2,2)，此时对应的虚像S的坐标是 P,关于点B的对称点P:,作点P:关于点 (3,y),则3x+y=( C的对称点P,作点P关于点D的对称点 A.1 B.0 C.-1 D.-2 P,,作点P关于点A的对称点P;,作点P ,P02 关于点B的对称点P。…按此操作下去，则 D(-1.1) A1.1) 点Po1的坐标为 () A.(0,2) B.(2,0) C(1,1)1,) C.(0,-2) D.(-2,0) 图15-2-14 图15-2-15