15.1.2 线段的垂直平分线-2025-2026学年新教材八年级上册数学同步辅导（人教版2024）

15.1.2线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 基础过关 1.如图15-1-12，直线CD是线段AB的垂直平 正确的有( 分线，P为直线CD上一点.已知PA=5,则 ①AO=BO:②PO⊥AB:③∠APO= PB的长为() ∠BPO:④点P在线段AB的垂直平分线上 A.6 B.5 C.4 D.3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 图15-1-14 图15-1-15 图15-1-12 图15-1-13 6.如图15-1-15，CD是AB的垂直平分线，若 2.如图15-1-13所示，P是△ABC内一点，若 PB=PC,则() AC=1.6cm,BD=2.3cm,则四边形ACBD A.点P在∠ABC的平分线上 的周长是 B.点P在∠ACB的平分线上 A.3.9cm B.7.8cm C.点P在AB边的垂直平分线上 C.4cm D.4.6cm D.点P在BC边的垂直平分线上 7.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题为 3.下列各命题的逆命题不成立的是( ,该逆命题是 A.两直线平行，同旁内角互补 命题（填“真”或“假”） B.若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 8.如图15-1-16，△ABC的边AB的垂直平分 C.相等的角是内错角 线交AC于点D,连接BD.若AC=8,CD= D.如果a2=b2,那么a=b 5,则BD= 4.下列定理中，没有逆定理的是() A.三边对应相等的两个三角形全等 B.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的 距离相等 C.全等三角形的对应角相等 图15-1-16 图15-1-17 D.直角三角形的两锐角互余 9.如图15-1-17，直线MN和DE分别是线段 5.如图15-1-14所示，直线1与线段AB交于点 AB、BC的垂直平分线，它们交于点P.若 O,点P在直线I上，且PA=PB,则下列结论 PA=6cm,则PC= 10.如图15-1-18所示，在△ABC中，∠BAC>·11.如图15-1-19，在△ABC中，AB=AC=14, 90°，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点 AB的垂直平分线MN交AC于点D,且 E,F,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点 △DBC的周长是24，求BC的长. M,N,直线EF,MN交于点P,连接AP 求证：点P在线段BC的垂直平分线上。 图15-1-19 图15-1-18 素养提升 1.如图15-1-20，兔子窝的三个洞口A,B,C构 成△ABC,猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口 的距离都相等，则猎狗应蹲守在( A.三条边的垂直平分线的交点 图15-1-21 图15-1-22 B.三个角的平分线的交点 4.如图15-1-22，在Rt△ABC中，∠B=90°， C.三角形三条高的交点 D.三角形三条中线的交点 AD平分∠BAC,DE垂直平分AC,若 图15-1-20 2.下列命题：①若a≤0，则a=一a:②若a2 △ADC的面积等于2，则△ABC的面积为 na2,则n>n:③三角形的中线把三角形分成 5.如图15-1-23，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 面积相等的两部分：④同旁内角互补，两直线 平行.其中原命题与逆命题均为真命题的个 D是AB上一点，BD=BC,过点D作AB的 数是() 垂线交AC于点E,CD交BE于点F,求证： A.1个B.2个C.3个 D.4个 BE垂直平分CD. 3.如图15-1-21所示，在△ABC中，BD平分 ∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E,交 BD于点F,连接CF.若∠A=60°，∠ABD= 24°，则∠ACF的度数为() 图15-1-23 A.48°B.36° C.30 D.24° 6.如图15-1-24，在△ABC中，AB的垂直平分 ·7.如图15-1-25，在△ABC中，点E是BC边上 线I1交BC于点D,AC的垂直平分线l2交 的一点，连接AE,BD垂直平分AE,垂足为 BC于点E,L与l2相交于点O,△ADE的周 F,交AC于点D,连接DE 长为6. (1)若△ABC的周长为19，△DEC的周长为 (1)求BC的长. 7,求AB的长 (2)分别连接OA,OB,OC,若△OBC的周长 (2)若∠ABC=35°，∠C=50°，求∠CDE的 为16，求OA的长. 度数. 图15-1-25 图15-1-24 综合探究 如图15-1-26，已知在△ABC中，BC边上的垂直 平分线DE与∠BAC的平分线交于点E,EFI AB交AB的延长线于点F,EGLAC交AC于 点G.求证： (1)BF=CG: (2)AF=号AB+AC. 图15-1-26 第2课时P 作线段的垂直平分线及对称轴 基础过关 1.如图15-1-27，在△AEF中，尺规作图如下： 分别以点E,F为圆心，大于EF的长为半 径作弧，两弧相交于G,H两点，作直线GH, 交EF于点O,连接AO,则下列结论正确的 图15-1-28 图15-1-29 是() 3.如图15-1-29，已知△ABC,求作BC边上的 A.AO平分∠EAF 高.（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） B.AO垂直平分EF 4.【教村P69练习1变式】画出图15-1-30所示 C.GH垂直平分EF 各图形的对称轴。 D.GH平分AF 图15-1-27 2.如图15-1-28，已知△ABC的周长为13，根 据图中尺规作图的痕迹，若AE=2,则 △ABD的周长为 图15-1-30 素养提升 1.如图15-1-31，在△ABC中，根据尺规作图的2.如图15-1-32，△ABC和△A'BC'是两个成 痕迹，下列说法不一定正确的是( 轴对称的图形，请作出它们的对称轴。 A.AF=BF B.AE-TAC C.∠DBF+∠DFB=9O D.∠BAF=∠EBC 图15-1-31 图15-1-32 综合探究 【教材P71习题12变式】如图15-1-33，两条公· 内部，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹). 路AO,BO交于点O,村庄M,N的位置如图所 示，M在公路OA上，为促进经济发展，有关部 门决定修建一个蔬菜批发市场P,选址要使市 场到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离 图15-1-33 也相等，请帮忙确定点P(要求：点P在∠AOB【综合探究】 (1)①解：，点C和点P关于OA对称，点M 在直线OA上， ∴△COM与△POM关于直线OA对称. ∴.∠AOC=∠AOP 同理，可得∠BOD=∠BOP. .∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOP+ ∠BOD=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB= 2×60°=120°. ②2n (2)4点拨：由点C和点P关于OA对称，点 P和点D关于OB对称，得PM=MC,PN= ND,∴.PM+MN+PN=CD=4. 15.1.2线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质与判定 【基础过关】 1.B2.D3.C4.C5.A6.B 7.面积相等的两个三角形全等假 8.39.6cm 10.证明：如图所示，连接PB,PC ,'PE垂直平分AB,PM垂直平分AC, ∴PA=PB,PA=PC,∴.PB=PC, ∴.点P在线段BC的垂直平分线上 11.解：，△DBC的周长是24， .'BD+DC+BC=24. MN垂直平分AB,.AD=BD, ∴.AD+DC+BC=24,即AC+BC=24. 又.'AC=14,∴.BC=24-14=10. 【素养提升】 1.A2.B3.A 4.3点拨：，DE垂直平分AC,∴.DE⊥AC, AE=CE.∠B=90°，.DB⊥AB.,AD 平分∠BAC,.DB=DE.在Rt△ABD和 AD=AD:R△ABD≌ Rt△AED中，BD=DE, Rt AAED HL),.AB AE CE, ∴Sm=2AC·DE=号×2AB·BD= 2S△ABD=2,.S△ABD=1,.S△C=S△CD+ S△ABD=3. 5.证明：：∠ACB=90°，DE⊥AB, ∴.∠EDB=∠ACB=90. 在Rt△EBC和Rt△EBD中， BE=BE, BC=BD. .Rt△EBC≌Rt△EBD(HL). ∴.EC=ED .点E在线段CD的垂直平分线上 .BD=BC, ∴·点B在线段CD的垂直平分线上 ,两点确定一条直线。 .BE垂直平分CD. 6.解：(1)，：是线段AB的垂直平分线， ..AD=BD. ,l2是线段AC的垂直平分线， ∴.EA=EC. △ADE的周长为6， ..AD+DE+AE=6. .BD+DE+EC=6,即BC=6. (2),l1是线段AB的垂直平分线， .OA=OB,同理OA=OC, 即OA=OB=OC, :△OBC的周长为16，BC=6, .OB+OC=10,∴.OB=5,.O0A=5. 7.解：(1)，BD是线段AE的垂直平分线， ∴.AB=BE,AD=DE. ,'△ABC的周长为19，△DEC的周长为7， ..AB+BE+EC+CD+AD=19.CD+ EC+DE=CD+CE+AD=7, .AB+BE=19-7=12,∴.AB=6. (2).∠ABC=35°，∠C=50°， ∴.∠BAC=180°-35°-50°=95°， 在△BAD和△BED中， BA=BE, BD=BD,∴.△BAD≌△BED(SSS). DA=DE. .∠BED=∠BAC=95, ∴.∠CDE=∠BED-∠C=95°-50°=45° 【综合探究】 证明：(1)连接BE,CE ,AE平分∠BAC 又，EF⊥AB,EG⊥AC,∴，EF=EG ,DE垂直平分BC,∴.EB=EC 在Rt△EFB和Rt△EGC中， EF=EG, EB=EC, ∴，Rt△EFB≌Rt△EGC(HL),∴.BF=CG. (2)在Rt△AEF和Rt△AEG中， EF=EG, AE=AE, .Rt△AEF≌Rt△AEG(HL), ..AF=AG. 又，AB+AC=(AF-BF)+(AG+CG)= AF+AG. ∴2AF=AB+AC,即AF=2(AB+AC). 第2课时作线段的垂直平分线及对称轴 【基础过关】 1.C2.9 3.解：如图，AD即为所求 4.解：如图所示。 米冬中漫 【素养提升】 1.B 2.解：如图，直线1即为所求 【综合探究】 解：如图，点P即为所求 B 15.2画轴对称的图形 第1课时画轴对称的图形 【基础过关】 1.D 2.(1)M.P.N (2)G,H,I GM HP IN (3)GH GI HI 3.日、出、山 4.解：如图①②. 【素养提升】 1.D2.D 3.D点拨：如图，共有6种填涂方案.故选D. 4.解：(1)如图①，MN即为所求.（答案不唯一）