15.3.1 等腰三角形-2025-2026学年新教材八年级上册数学同步辅导（人教版2024）

第四象限，∴.1一a>0,b十1<0，即a<1, b<一1，则点B(1一a,b)在第四象限. 4.(a-2,-b) 5.解：(1)△ABC如图所示.(0,4) (2)△A2B2C2如图所示.(6,4) B (3)(m+6,n) 【综合探究】 1.C 2.D点拨：按题中操作下去，每变换4次 循环，2011÷4=502…3，∴点P201的坐 标与点P的坐标相同，∴.点P1的坐标为 (-2,0). 15.3等腰三角形 15.3.1等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 【基础过关】 1.A2.D3.A4.B5.D6.C 7.18°8.349 9.解：，AB=AC,AD是△ABC的中线， ∠BAC=2∠CAD=20°，AB=AC, ∠ABC=∠ACB=180-∠BAC=80. 2 ,CE是△ABC的角平分线， .∠ACE=2∠ACB=40, .∠AEC=180°-∠BAC-∠ACE= 180°-20°-40°=120°. 10.证明：DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.∠DEB=∠DFC=90° .AB=AC,∴.∠B=∠C. 又点D是BC的中点，.BD=CD, .△DEB≌△DFC .DE=DF,.∠DEF=∠DFE. 【素养提升】 1.B 2.A点拨：延长AD交BC于点E.DA= DB=DC,∴.∠DAB=∠DBA=20°， ∠DAC=∠DCA=30°，.∠BDC=∠BDE+ ∠EDC=2(∠DAB+∠DAC)=100°. 3.80°4.55 5.100°点拨：，AC=AE,BC=BD,.设 ∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD= y°，.∠A=180°-2x°，∠B=180°-2y° :∠ACB+∠A+∠B=180°，∠BDC+ ∠AEC+∠DCE=180°，∴.∠ACB+(180° 2x)+(180°-2y)=180°.180°-(x°+y)= ∠DCE,.∠ACB+360°-2(x°+y)= 180°，∴.∠ACB+2∠DCE=180°.：'∠DCE= 40°，∴.∠ACB=100° 6.证明：(1)'AB=AE,D为线段BE的中点， ∴.AD⊥BC,BD=ED, .∠C+∠DAC=90° ,∠BAC=90°， ∴.∠BAD+∠DAC=90°，∴.∠C= ∠BAD. .AB=AE.BD=ED, ∴.∠BAD=∠DAE,.∠DAE=∠C (2),AF∥BC,∴.∠FAE=∠AEB. ,AB=AE,∠B=∠AEB, .∠B=∠FAE ,EF⊥AE,.∠AEF=∠BAC=90. 在△ABC和△EAF中， ∠B=∠FAE, AB=EA. ∠BAC=∠AEF, .△ABC≌△EAF(ASA),∴.AF=BC 【综合探究】 1.解：(1)AB=AC,.∠B=∠ACB. ∴∠B=2180°-∠A)=2×(180°-30)= 75. MN⊥AB, ..∠NMB=90°-∠B=90°-75°=15. (2)40 (3)∠NMB=2∠A.理由如下： AB=AC,.∠B=∠ACB. ∠B=2(180-∠A)=90°-2∠A. ,MN⊥AB, ∴.∠NMB=90°-∠B=90°-(90°- ∠A)=∠A. 2.解：(1)25°小 (2).AB=AC,∠B=40°， ∴.∠B=∠C=40°，∠BAC=180°-40°× 2=100° :△ABD≌△DCE,.AD=DE. ∴.∠DAE=∠DEA. .∠ADE=40°，.∠DAE=∠DEA=70. ∴.∠BAD=∠BAC-∠DAE=100° 70°=30°. (3)当∠BDA=110°或∠BDA=80°时， △ADE是等腰三角形 第2课时等腰三角形的判定 【基础过关】 1.B2.A3.A 4.B点拔：在△ACD中，AD=CD=2, .2-2<AC<2+2,即0<AC<4.当AC BC=4时，△ABC为等腰三角形，但不合 题意，舍去；当AC=AB=3时，△ABC为 等腰三角形.故选B. 5.A6.D 7.68.3cm9.55 10.证明：，BE平分∠ABC, ∠ABE=2∠ABC=2×80=40 .∠A=40°，.∠A=∠ABE.∴.AE= BE. .△ABE为等腰三角形 ED⊥AB,.AD=BD 11.解：△CEF是等腰三角形.证明： ,∠ACB=90°， .∠EFC=90°-∠EAC. AF平分∠BAC, ∴.∠EAC=∠DAE,∠EFC=90°-∠DAE CD⊥AB, ∴.∠CEF=∠DEA=90°-∠DAE. .∠EFC=∠CEF,.CE=CF. △CEF是等腰三角形. 【素养提升】 1.C点拔：当AD=AB时，∠ADB= ∠ABD=40°，.∠A=180°-∠ADB ∠ABD=180°-40°-40°=100°：当AD= BD时，∠A=∠ABD=40°：当AB=BD时， ∠A=∠ADB,∠ABC=40°，∴.∠A= ∠ADB=180°-∠ABC=180°，40°=70. 2 2 综上所述，∠A=40°或70°或100°时， △ABD为等腰三角形. 2.D 3.A点拨：在△ABC中，BO和CO分别平 分∠ABC和∠ACB,∴.∠DBO=∠OBC, ∠ECO=∠OCB.,DE∥BC,∴.∠DOB= ∠OBC=∠DBO,∠EOC=∠OCB= /ECO..'DB=DO.OE=CE..DE= DO+OE,∴.DE=BD+CE=5.故选A 4.15cm5.26.5 7.(1)证明：，AF平分∠DAC .∠DAF=∠CAF. ,AF∥BC ∴.∠DAF=∠B,∠CAF=∠ACB, ∴.∠B=∠ACB..AB=AC .△ABC是等腰三角形. (2)解：AB=AC,∠B=40°， ∴.∠ACB=∠B=40°， .∠ACE=180°-40°=140°. CG平分∠ACE, ∴∠GCE=2∠ACE=70. .AF∥BC,∴.∠AGC=∠GCE=70°. 【综合探究】 解：(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两 个端点的距离相等等边对等角等角对 等边 (2)EB=AB,∴.∠E=∠EAB. ∴.∠ABD=∠E+∠EAB=2∠E. .∠ABD=2∠C,∴.∠E=∠C .AE=AC.AD⊥BC, .'.DC=ED=EB+BD=AB+BD=3.5+1= 4.5. 15.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 【基础过关】 1.D2.D3.D4.C 5.30°56.27.等边三角形 8.证明：DC=DB,∴.∠B=∠DCB=30 ∴.∠ADC=∠DCB+∠B=60°. 又AD=DC, .△ADC是等边三角形. 【素养提升】 1.B 2.75°点拨：，△ABC是等边三角形， .∠BAC=60°.，AC⊥AD,∴.∠CAD 90°，∴.∠BAD=∠BAC+∠CAD=150 ,AB=AD,.∠ABD=∠D= 180°-∠BAD=15°..∠BEC=∠ABD+ 2 ∠BAC=15°+60°=75°. 3.130° 4.证明：(1).AB=AC,AD⊥BC, ·.∠BAD=∠DAC=2∠BAC .∠BAC=120°， ÷.∠BAD=∠DAC=2×120°=60. ,AD=AB,∴.△ABD是等边三角形. (2),△ABD是等边三角形， ∴.∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD ,∠EDF=60°，∴.∠BDE=∠ADF. 在△BDE和△ADF中， ∠DBE=∠DAF=60°， BD=AD. ∠BDE=∠ADF, ∴.△BDE≌△ADF(ASA),∴.BE=AF. 【综合探究】 (1)解：△DBC≌△EAC. 理由：，△ABC,△EDC是等边三角形， ∴.∠ACB=∠DCE=60°，BC=AC,DC=EC. ∴.∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD, 即∠BCD=∠ACE. (BC=AC. 在△DBC和△EAC中，∠BCD=∠ACE, DC-EC, ∴.△DBC≌△EAC(SAS). (2)证明：△DBC≌△EAC, ∴.∠EAC=∠B=60. 又∠ACB=60°， ∴.∠EAC=∠ACB..AE∥BC. (3)解：仍有AE∥BC. 证明：，△ABC,△EDC为等边三角形， .BC=AC,DC=CE,∠BCA=∠DCE=60°. ∴.∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD.15.3等腰三角形 15.3.1等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 基础过关 1.如图15-3-1，DE∥BC,AB=AC,∠1=125°， 5.如图15-3-4，在△ABC中，已知AB=AC, 则∠C的度数是( AD是△ABC的中线，如果∠B=70°，那么以 A.55° B.45 C.35 D.65 下结论错误的是( ) A.∠CAD=20 B.AD⊥BC C.△ABD的面积是△ABC面积的一半 图15-3-1 图15-3-2 D.△ABD的周长是△ABC周长的一半 2.如图15-3-2，在△ABC中，AB=AC,点D,E 6.如图15-3-5，直线11∥L2,点A在直线12上， 分别在边BC和AC上，若AD=AE,则下列 结论不一定正确的是( 以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直 A.∠ADB=∠ACB+∠CAD 线(、b于C、B两点，连接AC、BC若∠ABC= B.∠ADE=∠AED 54°，则∠1的度数为 C.∠B=∠C A.36° B.54 D.∠BAD=∠BDM C.72 D.73 3.若等腰三角形的顶角是70°，则它的一个底角 的度数是( Λ.55 B.40 C.55或40° D.20°或40° 4 4.如图15-3-3，在△ABC中，∠B=90°，∠A= 50°，点D,E分别在BC,AC的延长线上，且 图15-3-5 图15-3-6 图15-3-7 CD=CE,则∠CED的度数是() 7.如图15-3-6，在等腰三角形ABC中，AB A.40° B.70° C.75 D.80 AC,∠A=36°，BD⊥AC于点D,则∠CBD 8.【教材P79练习1变式】如图15-3-7，在 △ABC中，D是边BC上的一点.若AB= 图15-3-3 图15-3-4 AD=DC,∠B=68°，则∠C的度数为 9.如图15-3-8，AD,CE分别是△ABC的中线10.如图15-3-9，在△ABC中，AB=AC,且点 和角平分线，若AB=AC,∠CAD=10°，求 D为BC边的中点，DE⊥AB于点E,DF⊥ ∠AEC的度数. AC于点F,求证∠DEF=∠DFE. 图15-3-8 图15-3-9 素养提升 1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ∠BDE=75°，则∠CDE的度数是 45°，则其底角为() A.67.5 B.67.5或22.5 C.22.5 D.45 ① 2.如图15-3-10，△ABC内有一 图15-3-11 点D,且DA=DB=DC,若 4.如图15-3-12，在△ABC中，AB=AC,∠A= ∠DAB=20°，∠DAC=30°.则 40°，O是△ABC的角平分线BD及高CE的 ∠BDC的度数是( ) 交点，则∠DOC的度数为 A.100 B.80° 图15-3-10 C.70° D.50° 3.借助如图15-3-11①所示的“三等分角仪”能 三等分任一角.如图15-3-11②，这个三等分 角仪由两根有槽的棒OA,OB组成，两根棒 图15-3-12 图15-3-13 在点O处相连并可绕O转动，点C固定，OC 5.如图15-3-13，在△ABC中，∠DCE=40°， =CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若 AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为 6.如图15-3-14，在△ABC中，∠BAC=90°，E 为边BC上的任意一点，D为线段BE的中 点，AB=AE,EF⊥AE,AF∥BC.求证： (1)∠DAE=∠C: (2)AF=BC. 图15-3-14 综合保究 1.如图15-3-15，在△ABC中，AB=AC,AB的 2.如图15-3-16，在△ABC中，AB=AC,∠B= 垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于 40°，点D在线段BC上运动（点D与B,C两 点M. 点不重合)，连接AD,作∠ADE=40°，DE交 (1)若∠A=30°，求∠NMB的度数 线段AC于点E. (2)如果将(1)中∠A的度数改为80°，其余条 (1)当∠BDA=115°时，∠BAD= 件不变，则∠NMB的度数为 当点D从点B向点C运动时，∠BDA逐 (3)你发现∠A与∠NMB有什么数量关系， 渐变 (填“大”或“小”). 写出你的结论并说明理由 (2)当△ABD≌△DCE时，求∠BAD的 度数 (3)在点D运动的过程中，△ADE的形状也 在改变.请判断当∠BDA等于多少度时， △ADE是等腰三角形（直接写出结论，不 图15-3-15 用说明理由) 图15-3-16 第2课时等腰三角形的判定 基础过关 1.【实际应用】将一平板电脑保护套 展开放置在水平桌面上，其侧面 示意图如图15-3-17所示，若 ∠ABC=∠ACB,AB=10cm,则图15-3-17 AC的长为() 图15-3-18 图15-3-19 A.9cm B.10cm 6.【教材P84习题4变式】如图15-3-20，∠1= C.1lem D.12cm ∠2，∠B=∠C,下列式子不一定正确的是 2.在△ABC中，∠BAC=90°，AB≠AC.用无刻 () 度的直尺和圆规在BC边上找一点D,使 A.AB=AC B.∠BAD=∠CAE △ACD为等腰三角形.下列作法不正确的是 C.BE=CD D.AD=DE B 图15-3-20 图15-3-21 7.如图15-3-21所示，∠B=∠C=36°，∠ADE ∠AED=72°，则图中的等腰三角形有 个 8.如图15-3-22，∠BAC=100°，∠B=40°， 3.下列三角形中，不是等腰三角形的是( ∠D=20°，AB=3cm,则CD= 0 100 50357 45 41 A B C D 4.四边形ABCD的边长如图15-3-18所示，对 角线AC的长度随四边形形状的改变而变 图15-3-22 图15-3-23 化.当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的 9.如图15-3-23，在△ABC中，分别以点B和点 长为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 C为圆心，大于2BC的长为半径作孤，两孤 5.如图15-3-19，在△ABC中，∠B=∠C=54°， 交于点D,作直线AD交BC于点E.AE⊥ D是边BC上的中点，连接AD,则∠DAC= BC,若∠BAC=110°，则∠BAE的大小 () 为 A.36 B.459 C.54 D.72 10.如图15-3-24，在△ABC中，∠A=40°，·11.如图15-3-25，已知在△ABC中，∠ACB= ∠ABC=80°，BE平分∠ABC交AC于点 90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线 E,ED⊥AB于点D.求证AD=BD. AF分别与CD,BC交于点E,F,猜想 △CEF的形状，并证明你的结论， 图15-3-24 图15-3-25 素养提升 1.如图15-3-26所示，已知点D在射线BC上： 3.如图15-3-28，在△ABC中，BO和C0分别 运动，∠ABC=40°，当△ABD为等腰三角形 平分∠ABC和∠ACB,过点O作DE∥BC, 时，∠A为( 分别交AB,AC于点D,E,若BD+CE=5, A.20或40或70 则线段DE的长为( B.40°或100 Λ.5 B.6 D C.40或70°或100 图15-3-26 C.7 D.8 D.100°或70°或40°或20 4.如图15-3-29，在△ABC中，BC=15cm,BP, 2.如图15-3-27，一艘海轮位于灯塔P的南偏 CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且 东70°方向的点M处，它以40海里/时的速 PD∥AB,PE∥AC,则△PDE的周长为 度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P 的北偏东40°方向的点N处，则点N处与灯 塔P的距离为() A.40海里 B.60海里 C.70海里 D.80海里 图15-3-29 图15-3-30 5.如图15-3-30，∠ABC的平分线BF与 40 △ABC的外角∠ACG的平分线相交于点 70 F,过点F作DF∥BC交AB于点D,交AC 于点E,若BD=7cm,CE=5cm,则DE的长 图15-3-27 图15-3-28 为 cm. 6.如图15-3-31，在3×3的网格中，以AB为一 (2)作∠ACE的平分线交AF于点G,若∠B= 边，点P在格点处，使△ABP为等腰三角形 40°，求∠AGC的度数. 的点P有 个 图15-3-32 图15-3-31 7.如图15-3-32所示，已知点D,E分别是 △ABC的边BA和BC延长线上的点，作 ∠DAC的平分线AF,若AF∥BC (1)求证：△ABC是等腰三角形. 综合探究 如图15-3-33，在△ABC中，∠B是锐角，AD1 依据3： BC于点D,且∠B=2∠C,AB=3.5,BD=1, (2)看完小刚的解题过程，小琦提出了自己的 求DC的长. 想法： 小刚积极思考后向同学们展示了自己的解题过 解：如图15-3-33②，延长DB到点E,使 程，过程如下： BE=AB,连接AE. 解：如图15-3-33①，在线段DC上取一点E,使 … DE=DB,连接AE. 请根据小琦的思路写出完整的解题过程. AD⊥BC,DE=DB,.AD垂直平分BE. ∴.AB=AE(依据1). ∴.∠B=∠AEB(依据2). B D ,∠B=2∠C,.∠AEB=2∠C. 又，'∠AEB=∠EAC+∠C, 图15-3-33 ∴.∠EAC+∠C=2∠C .∠EAC=∠C.∴.AE=CE(依据3). ..AE=CE=AB. .DC=DE+CE=BD+AB=1+3.5=4.5. (1)上述解题过程中的“依据1”“依据2”“依据 3”分别指的是什么？ 依据1： 依据2：