（八上预习篇）15.1.1 轴对称及其性质-【假期好时光】2025年新教材数学七升八暑假作业（人教版2024）

18.证明：(1)，∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE, 即∠DAB=∠EAC 又，AB=AC,AD=AE ∴，△DAB≌△EAC(SAS) ∴，BD=CE.,BC=BE+CE=BD+BE. (2):∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC+∠EAB=∠DAE+∠EAB, 即∠DAB=∠EAC. 又，AB=AC,AD=AE ∴.△DAB≌△EAC(SAS) .BD CE.BC CE -BE =BD-BE. 19.(1)证明：：∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠ACB=90 rAC BC. 在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE, LCD=CE. ∴.△ACD≌△BCE(SAS)..AD=BE. (2)解：BF⊥AD.理由如下： ,△ACD≌△BCE,∴.∠CAD=∠CBE. 又：∠AEF=∠BEC, ÷∠AFE=∠BCE=90°..BF⊥AD. (3)解：BF恰好平分∠ABD ,∠ABF=∠DBF ·∠ABF=∠DBF 在△ABF和△DBF中，{BF=BF L∠AFB=∠DFB=90° ,△ABF≌△DBF(ASA). ∴，AF=DF=2.∴，AD=4. .AD =BE,..BE=4. 20.解：(1)，0B⊥0C,∴.∠B0D+∠C0E=90. CE⊥OA,BD⊥OA,∴.∠CE0=∠ODB=90. .∴.∠BOD+∠B=90°..∴.∠C0OE=∠B. T∠CEO=∠ODB, 在△COE和△OBD中，{∠COE=∠OBD, LOC=BO, ∴.△COE≌△OBD(AAS). .OE BD,CE =OD. .CE =17 cm,BD =8 cm, .'DE=OD-OE=CE-BD=17-8=9(cm). DE的长为9cm. (2)BP=2DF. 证明：如图1，过点Q作QH ⊥AD于点H, ,将线段AP绕着点A逆 时针旋转90°得到AQ, ∴，AP=AQ,∠PAQ=90 D ∴.∠DAP+∠HAQ=90 图1 ,·AD⊥BC,OH⊥AD. .,∠AHQ=∠FHQ=∠PDA=90 ∴.∠HAQ+∠HQA=90°.∴.∠DAP=∠HQA. r∠PDA=∠AHQ 在△DAP和△HQA中，{∠DAP=∠HQA, (PA=AQ. ∴.△DAP≌△HQA(AAS).∴.AH=DP,QH=AD ∠ABC=45°， .△ABD是等腰直角三角形 ∴.AD=BD.∴.QH=BD. 又.·∠HFQ=∠DFB,∠FHQ=∠FDB=90° ∴.△HFQ≌△DFB(AAS).∴.HF=DF BD BP PD,AD =AH+DH, .BP PD =2DF PD..BP =2DF. (3)设BD=4x,BP=3x, 由(2)可知，当点P在BD上时， AD=BD=4x,DF-BP=1.5*, AF 2.5x 5 AF=2.5x0=52=3 当点P在DB延长线上时，如图2，过点Q作QH ⊥AD交AD延长线于点H, 图2 同理可得△DAP≌△HQA(AAS), ∴.AH=DP=7x,QH=AD. :∠ABC=45°，∴.△ABD是等腰直角三角形 .'AD BD =4x..'OH=BD. 又，∠HFQ=∠DFB,∠FHQ=∠FDB=90°， .△HFQ≌△DFB(AAS)..HF=DF. DH AH-AD =3x,..HF DF =1.5x. A加=55部-号 综上所述0-部-号 第十五章轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 知识点一 直线两旁的部分对称轴对称点 【跟踪练习1】 B 知识点二 1.另一个图形重合 对称轴对称点 2.全等 【跟踪练习2】 ①③④80②⑤⑦⑨ 知识点三 1.被对称轴垂直平分 2.垂直平分线垂直平分线 【跟踪练习3】 C【解析】：△ABC和△A'BC关于直线I对称， ∠B'=110°，∴.∠B=∠B'=110°.又∠A=45°， ∴.∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-110°=25° 故选C 自主检测 1.B 2.D【解析】如图， ① ② 无数条 3条 2条 4条 对称轴条数从多到少排序正确的是①②③④，故 选D. 3.B 4.D【解析】：△ABC与△A,B,C,关于直线MN对 称，P为MN上任意一点，AP=AP.△AA1P 是等腰三角形，MN垂直平分AM1,CC1,这两个三 角形的面积相等.A,B,C正确；直线AB,AB1关 于直线MN对称，因此交点一定在MN上.D错 误.故选D 5.5【解析】根据轴对称图形的定义可知，线段， 角，长方形，圆，等边三角形一定是轴对称图形； 平行四边形和梯形不一定是轴对称图形，所以一 定是轴对称图形的有5个 6.37.(1)MG(2)76 8.100° 【解析】如图，连接AD. B ,M和N分别是点D关于AB和AC的对称点， ∴.∠MAB=∠BAD,∠NAC=∠CAD. ,∠B=50°，∠C=80°， ∴.∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°-80°-50°=50 .∴.∠MAN=2∠BAC=2×50°=100°. 9.解：如图即为所求作（答案不唯一） 图1 图2 图3 10.解：(1)：△ABC与△DEF关于直线MN对称， ∴.MN垂直平分AD. (2)·△ABC与△DEF关于直线MN对称， ∴.△ABC≌△DEF.∴.∠F=∠C=90°. (3),△ABC与△DEF关于直线MN对称， ∴.△ABC≌△DEF. .AC =8 cm,DE =10 cm,BC =6 cm, ∴.DE=AB=10cm .∴.△ABC的周长=BC+AC+AB=6+8+10= 24(cm). 15.1.2线段的垂直平分线 知识点一相等 【跟踪练习1】 (1)证明：如图，连接AE。 ·AB的垂直平分线EF交BC 于点E, ,∴.BE=AE AC=BE,..AC =AE. ,D为线段CE的中点， B .AD⊥BC. (2)解：BE=AE,∴.∠B=∠BAE=35 ,.∠AEC=2∠B=70°. AE=AC,÷.∠C=∠AEC=2∠B=70°. 知识点二 1.垂直平分线上 2.两个端点距离相等 【跟踪练习2】 证明：(1)E是∠AOB平分线上的一点，EC⊥OB, ED⊥OA,垂足分别是C,D, .DE=CE,∠EOD=∠EOC 在R△0DE与R△0CE中，{OE=OE. DE =CE. .Rt△ODE≌Rt△OCE..OD=OC. (2)Rt△ODE≌Rt△OCE,∴.OD=OC,ED=EC. .点O,E在线段CD的垂直平分线上 .OE是CD的垂直平分线. 知识点三 1.互逆命题原命题逆命题 2.成立不成立 3.定理互逆定理逆定理 【跟踪练习3】 A【解析】①对顶角相等的逆命题为相等的角为对 顶角，是假命题；②全等三角形的面积相等的逆命 题为面积相等的三角形全等，是假命题；③如果a> 0,b>0,那么ab>0,逆命题为如果ab>0,那么a> 0,b>0,是假命题：④两直线平行，内错角相等，逆命 题为内错角相等，两直线平行，是真命题.则这些命 题的逆命题是真命题的有1个，故选A 【跟踪练习4】 A 【解析】不是所有的定理一定有逆定理，例如全 等三角形的对应角相等，没有逆定理，故A选项说 法错误；定理的逆定理一定是正确的，故B选项说 法正确；假命题的逆命题可能是定理，例如对应角 相等的三角形是全等三角形，故C选项说法正确； 定理的逆命题可能是假命题，例如全等三角形的对 应角相等，故D选项说法正确.故选A 知识点四所连线段的垂直平分线对称轴 【跟踪练习5】 解：(1)如图，直线DE即为所求作. E B (2)如图，连接AD,,△ABC的周长是18， .AB +AC+BC=8+AC+BC=18...AC+BC=10. :直线DE为线段AB的垂直平分线，∴AD=BD. .△ACD的周长为AC+AD+CD=AC+BD+CD= AC+BC=10. 自主检测 1.C2.B3.A 4.C【解析】直线l经过线段AB的中点O,点P 在直线l上，且PA=PB, ∴.∠PAO=∠PB0,P0平分∠APB,P0垂直平分 线段AB,故①③④正确；条件不足，无法求出∠A 的度数，故②错误.故选C. 5.面积相等的两个三角形全等假 6.150°【解析】如图，连接AP ∠BAC=75°， .∠ABC+∠ACB=180°- ∠BAC=105° AB,AC的垂直平分线相 交于点P B .PA=PB,PA =PC. .∠PAB=∠PBA,∠PAC=∠PCA. ∴.∠PBA+∠PCA=∠PAB+∠PAC=∠BAC=75° ∴.∠PBC+∠PCB=105°-75°=30°. .∴.∠BPC=180°-30°=150° 7.60° 8.51cm【解析】，DG是AB的垂直平分线， 17假期好时光 RJ·数学·八年级·上 第十五章 轴对称 厂衔接思维导图门 一个图形对作 区别。联系 两个图形城轴对体 P① 轴对称图形 两轴对序图形关丁给定对称轴对称 抽对称的性质对应点所连的线段被对称辅垂直平分， 对应线段相等，对应角相等 镇对你性线段的垂直平分线是它的一条对称轴 认识对称现象和轴对称图形 线段 我段垂直平分找性质 到线段两个端点的距离相等 轴对称 !树断一个图形是不是轴对称图形 尺规作图 等腰三角形) “三线合一” 等腰三角形 等边三角形 30角的直角三角形性质所对的直角边等于斜边的一率 最短路径向题将军铁马 15.1图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 学习目标☐ 1.探索轴对称图形和轴对称的知识，并掌握轴对称图形、轴对称的概念，会判断一个图形是否是 轴对称图形，并能画出轴对称图形的对称轴. 2.探索轴对称的基本性质，掌握对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相 等的性质， 3.知道线段的垂直平分线的概念，知道“成轴对称的两个图形全等，对称轴是对称点连线的垂 直平分线”等性质， 4.历经探索轴对称的性质的活动过程，积累数学活动经验，进一步发展空间观念和有条理地思 考和表达的能力 C 知识点讲解☐ 知识点一轴对称图形的概念 如果一个平面图形沿一条直线折叠， 能够互相重合，这个图形就叫作轴 对称图形，这条直线就是它的 ,折叠后重合的点是对应点，叫作 【典型例题1】“致中和，天地位焉，万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运 用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光.下列四个图案 中，不是轴对称图形的是 米 第十五章轴对称 预习篇 小斗提示：轴对称图形的两部分沿对称轴折叠后可重合 答案：B 【跟踪练习1】 新素材〔地域特色〕“长安回望绣成堆，山顶千门次第开.”长安即如今陕西西安，陕西拥有众多承 载历史的古城。以下是陕西一些古城的图标设计图，其中是轴对称图形的有 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 知识点二成轴对称的图形 1.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与 那么就说这两个图形关 于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称.这条直线叫作 ,折叠后重 合的点是对应点，叫作 2.成轴对称的两个图形 【典型例题2】下列两个图形成轴对称的是 答案：A 【跟踪练习2】 如图所示的图形中，属于轴对称图形的有 :两个图形成轴对称的有 4 //2 6 知识点三轴对称的性质 1.成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段 2.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的 由轴对称的性质 可知，无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是任意一对对称点所连线段 的 【典型例题3】如图，AD与BC交于点O,△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A,B的对称点分 别是点C,D,下列结论不一定正确的是 A.AD⊥BC B.PQ⊥AC C.△ABO≌△CDOD.AB=CD 小斗点拨：本题考查轴对称的性质，关于某条直线对称的两个三角形全等，对应点的连线与 73 假期好时光 RJ·数学·八年级·上 对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一 点到两个对应，点之间的距离相等，对应的角、线段都相等。 解析：如图，连接AC,BD. ,△AB0和△CDO关于直线PQ对称， ∴.△ABO≌△CDO,PQ⊥AC,PQ⊥BD. ∴，AC∥BD.故B,C,D选项正确：AD不一定垂直于BC,故A选项不一定正确 答案：A 【跟踪练习3】 如图，△ABC与△A'B'C关于直线1对称，∠A=45°，∠B'=110°，则∠C的度数为 A.15 B.20 C.25 D.35 自主检测 一、选择题 1.断素材〔科学技术〕中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力 量.下面有关我国航天领域的图标，是轴对称图形的是 2.如图所示4个图形中，对称轴条数从多到少排序正确的是 ② ③ ④ A.①②③④ B.①③②④ C.①④3② D.①④2③ 3.下列图形中，△A'B'C与△ABC关于直线MN成轴对称的是 B 4.如图，△ABC与△A,B,C,关于直线MN对称，P为MN上任意一点(P不与A4,共线)，下列结 论中错误的是 A.AP=A P B.△ABC与△A,B,C,面积相等 C.MN垂直平分AM D.直线AB,A,B的交点不一定在MN上 二、填空题 5.下列图形：线段，角，长方形，梯形，平行四边形，圆，等边三角形.其中，一定是轴对称图形的有 个 74 第十五章轴对称 预习篇 6.如图，AD是三角形ABC的对称轴，点E,F是AD上的两点，若BD=2,AD=3,则图中阴影部 分的面积是 B D B N C F B D C 第6题图 第7题图 第8题图 7.如图，在△ABC中，将∠B和∠C按如图所示方式折叠，点B,C均落于边BC上一点G处，线 段MN,EF为折痕 (1)图中与BM相等的线段是 (2)若∠A=76°，则∠MGE= 8.如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=80°，D是BC上任意一点，M和N分别是点D关于AB和 AC的对称点，连接AM和AN,则∠MAN的度数为 三、解答题 9.在图1中描涂2个小方块，在图2中描涂3个小方块，在图3中描涂4个小方块，分别使各图 中的阴影图案为轴对称图形 图1 图2 图3 10.如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称，其中∠C=90°，AC=8cm,DE=10cm,BC=6cm. (1)线段AD与直线MN的关系是什么？ (2)求∠F的度数： (3)求△ABC的周长. 15.1.2线段的垂直平分线 一学习目标☐ 1.探索线段垂直平分线的知识，并掌握线段垂直平分线的性质和判定方法，能利用几何推理 证明 2.能运用线段垂直平分线的性质和判定解决相关问题 3.理解互逆命题、原命题、逆命题的有关概念及其关系，并会判断一个命题的原命题、逆命题、逆 定理 4.会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的道理 5.历经探索线段垂直平分线的性质和判定的过程，发展合情推理能力. 75