专题02特殊平行四边形压轴动点问题分类（4种类型38道）-2025-2026学年北师大版九年级数学上册期末复习高频考题专项训练

弈泓共享数学 专题02特殊平行四边形压轴动点问题分类（4种类型38道） 目录 【题型1 动点压轴题定值类】 1 【题型2动点压轴题最值类】 25 【题型3 动点压轴题探究线段数量关系】 55 【题型4 动点求值问题】 83 【题型1 动点压轴题定值类】 1．综合与探究 如图1，在平行四边形中，，P是边上的一动点，连接，将绕点P顺时针旋转α，得到，连接． (1)①求证：． ②若四边形为菱形，延长至点M，使得，连接．求证：． (2)如图2，若四边形为正方形，，连接，则的值是否是该定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)的值是定值． 【分析】（1）①由平行四边形的性质可得，则；根据旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理可得即可证明结论；②由线段的和差以及菱形的性质可得，再根据三角形的外角的性质以及等量代换可得，易证可得，结合即可证明结论； （2）如图，延长至N，使，连接、，先证明，可得是线段的线段垂直平分线，得出，则是等腰直角三角形，从而证得，再证明，从而得出，如图：延长交于E，则，易得，最后由勾股定理得出，进而完成解答． 【详解】（1）解：①∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∵将绕点P顺时针旋转α，得到，连接， ∴，， ∴． ∴； ②∵， ∴，即， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵是的外角，， ∴，即， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：的值是定值． 如图，延长至N，使，连接、， 在与中， ， ， ，； ， ∴是线段的线段垂直平分线， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ∵四边形是正方形， ， 在与中， ， ， ， ∵ ； 如图：延长交于E，则， ， ， 四边形内角和为，，， 在中，， ，即 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判的性质，菱形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 2．如图，正方形边长为，为正方形对角线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接、． (1)判断的形状，并说明理由； (2)取中点，连接，，则的面积是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是定值，请说明理由． (3)点是点关于直线的对称点，直接写出线段的最小值． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)是定值，为 (3) 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据正方形的性质可得，，再根据旋转的性质可得，，从而证得，得到，即可求得； （2）连接，作于点，可得，由，点为的中点，可得，则，从而求得； （3）根据轴对称的性质与正方形的性质，证明得出，根据（2）的结论得出，即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， 四边形是正方形，为对角线， ，，， 线段绕点顺时针旋转得到， ，， 又，， ， 在和中： ， ， ， ， 是直角三角形； （2）是定值，如图，连接，作于点，则， ， 与的边上的高相等， ，点为的中点， ， ， ， （3）解：如图， ∵点是点关于直线的对称点， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， 当时，取得最小值，即取得最小值， 由（2）可得， ∴的最小值为． 3．如图，在菱形中，，，点E为上一动点，延长到点，使，且分别交，于点和点． (1)将沿对折，使点E落在处，若，求的度数； (2)在点E运动过程中，是否存在这样的一点E，使得四边形是平行四边形？若存在，请说出E点位置，并证明四边形是平行四边形，若不存在，请说明理由． (3)若，探究是否为定值？如果是定值，求出这个值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，是的中点时，四边形是平行四边形 (3)是定值， 【分析】（1）由菱形的性质得，由折叠的性质得，即可求解； （2）由菱形的性质得，，结合是的中点时，由平行四边形的判定方法，即可得证； （3）过作交的延长线于，由菱形的性质和等腰三角形的判定及性质得，结合菱形的性质，设，则，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 四边形是菱形，， ， ， ， 由对折得：； （2）解：存在，是的中点时，四边形是平行四边形， 证明：如图， 四边形是菱形， ，， ， 是的中点时， ， ， ， 四边形是平行四边形； （3）解：过作交的延长线于， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， ，， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，直角三角形的特征，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，掌握菱形的性质，平行四边形的判定，等腰三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 4．【探究活动】如图，在正方形中，E为对角线上一动点．某数学兴趣小组进行了如下探究： (1)如图1，过点E分别作垂线，，交，边于F，G两点．求证：四边形是正方形； (2)如图2，连接，过点E作，交于点M，以，为邻边作矩形，连接．在点E移动过程中． ①求证：； ②四边形的面积是定值吗？ 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②四边形的面积是定值．证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由正方形的性质得到，，进而证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得到，即可证明四边形是正方形； （2）①过E作于F点，过E作于G点，证明，得出，证明，得出，则可得出结论； ②由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形； （2）①证明：过E作于F点，过E作于G点，如图： 由（1）知四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②解：四边形的面积是定值． 理由：∵， ∴， ∴四边形的面积 ． 5．如图，在边长为9的正方形中，动点E、F分别在边、上，将正方形沿直线折叠，使点B的对应点始终落在边上（点不与点A、D重合），点C落在点处，与交于点P，连接，作点H． (1)感知：①当时，的大小为 ；②求的长． (2)探究：当在边上位置变化时，的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值． (3)应用：若，直接写出五边形的周长． 【答案】(1)①20°②9 (2)不变，周长为18 (3)34 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，由平角的定义可得，由折叠的性质可得，，则，进一步求出，即可利用三角形内角和定理求出答案； ②只需要利用证明，即可得到； （2）证明，得出，则可得出答案； （3）由折叠的性质可得，则，由（2）得，则，可得五边形的周长，进一步根据线段之间的关系进行转换求解即可 ． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②由（1）①得， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：的周长不发生变化，为定值18，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴的周长为定值18； （3）解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵的周长为18， ∴， ∴ ∴五边形的周长 ． 【点睛】本题考查四边形综合题，考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． 6．如图，，，将线段绕着点A顺时针旋转α，，得到，连接、，点E为线段中点，过点D作交于点H．连接交于点F． (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，过点C作于点Q，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，若，点M是直线上一动点，作点M关于点E的对称点N，连接、，对于α的每一个确定值，都有一个对应的最小值，当最小值等于时，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求解，，再结合平行四边形的性质与三角形的外角的性质可得答案； （2）仿照（1）求解，，可得，，结合点E为线段中点，，证明，可得为等腰直角三角形，，过作于，而，证明为等腰直角三角形，可得，即，进一步可得结论； （3）如图，由（2）同理可得：，，延长至，使，证明，可得，可得当三点共线时，最小，即的长，此时三点重合，如图，记的交点为，可得，过作于，过作于，证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，，将线段绕着点A顺时针旋转α得到，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 如图， ∵，，将线段绕着点A顺时针旋转α得到， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E为线段中点，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 过作于，而， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， ∴， 即． （3）解：如图，由（2）同理可得：，， ∵点M关于点E的对称点N， ∴， ∴， 延长至，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即的长， 此时三点重合，如图，记的交点为， ∵此时，， ∴， 过作于，过作于， ∵， 结合（2）可得： ，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为：． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理与外角的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，旋转的性质，轴对称的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 7．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，作于，于，根据正方形的性质可得，进而说明，再证明可得，再结合四边形是矩形即可证明结论； （2）同（1）的方法判断出得到，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：如图，作于，于，则，   点是正方形对角线上的点， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ， ∴， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形． （2）解：的值是定值，定值为，理由如下： 正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是定值． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、矩形的判定、三角形的全等的性质和判定、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 8．已知，在正方形中，是一个等边三角形，点P在射线上运动且与直线上的两动点M，（点M在N点左侧）构成等边三角形 (1)如图1，当点M与A点重合时，求证：平分； (2)当点P在直线下方时． ①如图2，试说明：为定值； ②如图3，若的中点为F点，连接，．试探究与的数量关系． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；② 【分析】根据正方形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，得到，求得，根据角平分线的定义得到平分； 假设射线与直线的交点为Q点， ①根据题意得到，，，求得，得到； ②由①得：根据等边三角形的性质得到，求得，由点F为中点，求得，得到，根据三角形的面积公式得到，推出，于是得到结论． 【详解】（1）证明：在正方形中， ， 、是等边三角形， ， ， ， ， 平分． （2）解：设射线与直线的交点为Q点， ①由题可得：，，， ， ∴， ∴，是定值， ∵， ∴； ∴； ； ； 是定值． ② 理由：由①得： 在等边中，， ， 点F为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了等边三角形的性质，三角形的面积的计算，正方形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 9．如图，在正方形中，E是边上的一动点（不与点B，C重合）．将线段绕点A顺时针旋转得线段．延长，交于点G． (1)求证：； (2)连接，试探究：是否为定值？若是，请求出定值，若不是，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）本题利用正方形性质和旋转的性质证明，得到，进而得到，再结合四边形内角和得到，即可证明； （2）连接，在的延长线上取，连接，利用以及正方形性质，，证明，利用全等三角形性质得到，，利用勾股定理得到，进而得到，对式子进行变形，即可得到的值． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ，， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是定值，理由如下： 连接，在的延长线上取，连接， ， ，， 即有，， ， 四边形为正方形， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形性质，旋转的性质，全等三角形性质和判定，四边形内角和，勾股定理，解题的关键在于作辅助线构造全等． 10．如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一个动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形（提示：过点作于点，过点作于点． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)的值为定值， 【分析】本题考查了正方形的性质与判定和矩形的性质，关键是结合图形得出三角形全等． （1）作出辅助线，得到，然后再判断，得到，则有，即可判断矩形为正方形； （2）由四边形为正方形，四边形是正方形可知，，故可得，得到，即可判断，为定值． 【详解】（1）证明：如图所示，过作于点，过作于点， 四边形为正方形， ， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ，即， 是正方形对角线的交点， ， 在和中， ， ， ， 矩形为正方形． （2）解：的值为定值， 矩形为正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ，即， 在和中， ， ， ， ， 是定值． 【题型2动点压轴题最值类】 11．如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点A作交的延长线于点E； (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，已知点P是线段上的一个动点，则的最小值为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查平行四边形、菱形的判定和性质、勾股定理、等面积法求高等知识点，掌握菱形的判定和性质等知识是解题的关键． （1）根据平行线、角平分线的性质可得，根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理即可证明结论； （2）根据菱形的性质、勾股定理，并结合已知线段的长度可得对角线的长，根据等面积法即可求解； （3）如图：连接，由菱形的性质可得垂直平分，即；因为，则当共线时，有最小值，然后运用勾股定理求得的长即可． 【详解】（1）证明：如图：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：由条件知，， ∵四边形是菱形． ∴， ∴， ∴， ∵AB=AD，AC平分∠DAB， ∵， ∴，解得：． （3）解：如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴ ∴， ∴当共线时，有最小值， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 12．在正方形中，是边上一动点，是边的中点． (1)连接． ①若点是的中点，则______；（填“”或“”） ②如图1，若，用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (2)如图2，若正方形的边长为2，过点作交于点，过点作于点，连接，求的最小值． 【答案】(1)①=；②，见解析 (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质证明即可解答； ②根据正方形得到，因此，从而得到，因此．方法一：延长交的延长线于点．证明得到，证明得到即可得到．方法二：过点作于点H，连接，根据角平分线的性质得到，进而证明，得到，证明，得到，即可得出． （2）连接．证明，得到，证明四边形是矩形，得到，从而．当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴，， ∵点E是的中点，点F是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； ②，理由如下： 在正方形中，，，， ． ， ， ． 方法一：延长交的延长线于点． ∵ ，， ∴， ． 点是的中点， ， ∵， ， ． ， 即． 方法二：过点作于点H，连接， ，， ． ， ， ． 点是的中点， ∴， ， ∵， ， ， ，即． （2）解：连接． 在正方形中，，，， 且， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ． 当三点共线时，取得最小值， 即． 点是的中点， ， ， 最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，勾股定理等，综合运用相关知识是解题的关键． 13．如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接． (1)求证：； (2)若，，求菱形的面积； (3)若，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】对于（1），先连接，根据菱形的性质得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据线段垂直平分线的性质得出答案； 对于（2），作，结合（1）说明，再根据菱形的性质和直角三角形的性质得，接下来根据勾股定理求出，即可求出，接下来，根据直角三角形的性质和勾股定理求出，最后根据得出答案； 对于（3），如图：连接，可得，进而得，可知当点A、、三点共线时,即时，取得最小值，求出答案即可． 【详解】（1）证明：如图1：连接， 四边形是菱形， ． ， ， . 是的垂直平分线， ， ； （2）解：如图1：过点作于点， ， ， 即． ， ． ∵四边形是菱形，， ． ， ， ， ， 过点A作于点， 在中，， ∴ 根据勾股定理，得， ； （3）解：如图：连接， ， ， ， 当点A、、三点共线时（如图）， 即时，取得最小值， 在中，由（2）得：， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，作出辅助线是解题的关键． 14．如图，在正方形中，，点分别为三边、、上的动点（三点均不与其所在线段端点重合），、交于点，． (1)如图，当点运动到中点时，直接写出的长； (2)如图，当时，过点作交于点，求证：； (3)如图，点在运动过程中，是否存在最小值，如果存在，请求出该值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在最小值， 【分析】（）过点作于点，证明四边形为平行四边形，得到，即得，进而可得四边形为矩形，再证明，得到，即可求解； （）证明四边形为矩形，得到，，即得，进而证明，得到，即得到，即可求证； （3）连接交于点，连接，可证，得到，，即得，又由得，得到，即得到，作点关于的对称点，过点作延长线于点，连接，则，，，可得，可知即点三点共线时，的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求出的长，进而由即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点，如图所示： ∵在正方形中，，点是中点， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ， ， ∴四边形为矩形， ，， 又， ， ， ， ， ， 在与中 ， ， ， ， ， ； （3）解：存在最小值，最小值为，理由如下： 连接交于点，连接， ∵四边形为正方形， ，，， ， 在与中， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， 作点关于的对称点，过点作延长线于点，连接，则，，， ∴， 即点三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ， ∵， ∴， ， 在中，， 的最小值为， ∵， 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 15．如图1，在正方形中，，点为边上的动点（点与点不重合），把沿直线翻折，得到，延长交于点，连接． (1)①求的度数： ②若点是的中点，求的长． (2)如图2，过点作，与的延长线交于点，连接．求的最小值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）①由正方形的性质得到，由折叠的性质可得，则可证明，得到，据此可得，即；②由正方形的性质得到，则．由折叠的性质可得．由全等三角形的性质得到．设，则，， 在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）连接，过点作交的延长线于点．证明．得到．证明．得到．则．再证明，则当点在上运动时，点始终在的角平分线上．故当，即时，的值最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ②∵四边形是正方形， ∴， 点是BC中点，， ． 由折叠的性质可得． ∵， ． 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． ． 的长为． （2）解：如图，连接，过点作交的延长线于点． ． ． ， ． ． 又∵， ． 由（1）得，在中，， ． ． ． ． ． ． 在中，， ． ， 即当点在上运动时，点始终在的角平分线上． 当，即时，的值最小． 此时，． ． 在中，，即， ． 的最小值为． 16．如图，在正方形中，，点为正方形的对角线上一动点． (1)如图1，过点作交边于点，当点在边上时，求出与的大小关系并证明； (2)如图2，在（1）的条件下，过点F作，垂足为点G，在点运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明理由． (3)如图3，若点是射线上的一个动点，连接，，且始终满足，设，求的最小值． 【答案】(1) (2)的长度不变，值为，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接， 证，得，，再证，则，即可得出结论； （2）连接，如图2．首先证得，则有，只需求出的长即可得解； （3）过点在正方形外构造作，然后取中位线得，从而可得，再构造直角三角形求出即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，如图1所示：      ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ， ，， ， ∴， 又∵ ， ， ， ， ， ； （2）解：点在运动过程中，的长度不变，值为．理由如下： 连接，与相交于点，如图2．       ∵四边形是正方形， ∴， ∵，即， ∴， ∵，即， ， 在和中， ， ∴， ， ∵四边形是正方形， ，， ， ， ，(负值不合题意，已经舍去) ， ∴点在运动过程中，的长度不变，值为； （3）解：如图3所示：过点在正方形外作，使，取、中点、，连接、、，过点作，垂足为，      ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ， ，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 即：当、、三点共线时，最小，的最小值为， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 17．如图，在正方形中，M是对角线上的一动点，且，连接，过点B作的垂线，交的延长线于点E，交于点F，且． (1)依题意补全图1，求的大小（用含的式子表示）； (2)若点N在线段上，，连接．用等式表示，，之间的数量关系，并证明； (3)连接．若，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1)补全图形见解析， (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意先补全图形，根据，，再进一步可得答案； （2）如图，连接，，交于，证明，可得共线，证明，再进一步利用勾股定理解答即可； （3）如图，取的中点，连接，，，证明，，，求解，结合，可得线段长度的最小值为. 【详解】（1）解：如图，补全图形如下： ∵正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接，，交于， ∵正方形， ∴， ∵由（1）得：，，而， ∴， ∴， ∴， ∴共线， ∵正方形， ∴，，， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，取的中点，连接，，， ∵，，正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴线段长度的最小值为. 【点睛】本题考查的是互余的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键. 18．在正方形中，E是边上的一动点（不含端点B、C）. (1)若，，连接. ①如图，求的度数： ②如图，N为的中点，连接，，求证：； (2)如图，若，直接写出的最小值. 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理. （1）①在上取点H，使，证明，即可求解； ②证明、，得到为等腰直角三角形，进而求解； （2）过点作射线使，过点作交于点，交于点，此时为最小，设，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）①解：在上取点，使， 则，为等腰直角三角形，， ，， ， 在和中， ， ， ， 的大小为； ②证明：延长到时，连接、，设交的延长线于点， 在和中， ， ， ，， ， 而，则， ， 而， ， ，故， ， 而，则， 在和中， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， 而点是的中点， 则为等腰直角三角形， ； （2）解：过点作射线使，过点作交于点，交于点，此时为最小， 则， 在中，设，则， 故，则，解得（负值舍去）， 则， 则， 则的最小值． 19．在平行四边形中，． (1)如图1，若．求四边形的面积； (2)如图2，，点为边上一点，连接，点为上一点，连接交于点，连接，若点为边的中点，连接，且，求证：； (3)如图3，已知，点与点分别为线段与上的动点，满足，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点D作于点H，根据等腰三角形三线合一得到，根据勾股定理得到，即可求出平行四边形的面积； （2）分别延长交于点，根据等边对等角得到，可知，进而得到，根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得到，进而得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据勾股定理即可求证； （3）过点A作，使，根据全等三角形的判定和性质求出，可知当B、P、R三点共线时，的值最小，最小值为，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：过点D作于点H， ∴ ∵，， ∴ 在中，，， ∴ ∴； （2）解：分别延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 在和中 ∴． ∴， ∴， ∴， ∴ ∵点H为边的中点 ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）解：的最小值为 过点A作，使， ∵，， ∴ ∵， ∴ ， ∴， 当B、P、R三点共线时，的值最小，最小值为． ∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握各知识点是解题的关键． 20．如图，矩形中，，，一动点P从A点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点C匀速运动，同时另一动点Q从C点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动，当其中一个点到这终点时，另一个点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒，过点P作于点E连接，． (1)求证：； (2)四边形能成为菱形吗？如果能，求出相应的t值：如果不能，说明理由 (3)若动点Q从C点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，其它条件不变，当____时，有最小值． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形能够成为菱形； (3) 【分析】（1）由矩形的性质可得，由直角三角形的性质可得； （2）先证四边形是平行四边形，则当时，平行四边形是菱形，可得等式，即可求解； （3）根据对称性，可得时有最小值，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，，， ， ，， 由题意可得：，， ，， ， ； （2）解：四边形能够成为菱形，理由如下： ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是菱形， ， 当时，四边形能够成为菱形； （3）解：如图1，过点P作于点F，作关于的对称点，连接，作关于的对称点，连接， 四边形是矩形， ， ， 当三点共线时,最小， 由题意可知，，，，则，（）， ， ， ， ， 当时，最小， 为的中点，为的中点 ，，， ， ， 此时， ， 解得， 当时，PQ+EQ有最小值． 故答案是：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了含30度直角三角形的性质、勾股定理、矩形的性质以及菱形的判定与性质，熟练掌握性质是解本题的关键． 【题型3 动点压轴题探究线段数量关系】 21．在正方形中，E是线段上的动点（不与点A，D重合），连接，点C关于直线的对称点为F，连接，，． (1)在图中作出点F；（作图要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：； (3)射线与直线相交于点N，连接．探究在点E的运动过程中，线段，，的数量关系是否发生变化？若不变，请求出它们的数量关系；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)不变； 【分析】（1）先过点C作于点O，再以点B为圆心，为半径画弧，交于一点，该点即为点F； （2）设，根据轴对称的性质得出，根据等腰三角形的性质求出，再求出，根据等腰三角形的性质求出，最后求出结果即可； （3）过点B作于W，过点D作于点V，设交于点G，连接、，，证明，得出，，证明，得出，即可证明． 【详解】（1）解：如图，点F即为所求作的点； （2）证明：设， ∵点C与点F关于对称， ∴， ∴， 根据作图可知：， ∴， ∵正方形中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：不变；； 过点B作于W，过点D作于点V，设交于点G，连接、，，如图所示： 则， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵正方形中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，尺规作垂线，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 22．如图，正方形的边长为，点是边上一点，且，对角线，交于点，点是中点，连接； (1)如图1，过点作交于点，判断四边形的形状并证明； (2)如图2，若点是对角线上的动点，当平分时，判断，，之间的数量关系， 并计算的值． 【答案】(1)四边形是平行四边形，见解析 (2)EP，FP，EF之间的数量关系为：； 【分析】（1）如图，过点作于点，结合正方形的性质证明四边形是矩形，得，，根据勾股定理及正方形的性质得，，继而得到，在中，推出，求得，得到，进一步推出，即可得证； （2）如图，设平行四边形的边与交于点，证明四边形是矩形，推出平分，即与的交点为符合条件的点，然后在中，，，，可得结论． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形； 证明：如图，过点作于点， ∴， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，，，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形； （2），，之间的数量关系为：． 如图，设平行四边形的边与交于点， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 即平分， 即与的交点为符合条件的点， 在中，，，， ∴，． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识点，掌握特殊四边形形的判定与性质是解题的关键． 23．如图，正方形中，点为上的一个动点，连接交于点，过点作，交于点． (1)如图1，若，求的大小； (2)过点作于点． ①如图2，若，求的值； ②如图3，试探索线段和的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)； (2)①；②，证明见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，据此求解即可； （2）①根据勾股定理得到，求得，得到，如图2，连接，，根据全等三角形的性质得到，，得到是等腰直角三角形，求得，根据勾股定理得到，求得； ②连接交于点O，可知：，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图2，连接，， 在正方形中，，， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， 在四边形中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； ②， 证明：连接交于点O，可知：， ∵， ∴． ∵，， 在与中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 24．正方形中，点为边上一动点，连接，点关于的对称点为，连接． (1)如图1，连接，若是中点，求证：； (2)如图2，连接，，并延长，交于点． ①求的度数； ②连接，用等式表示与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②，证明见解析 【分析】（1）设交于点，连接，证明，即可得证； （2）①过点作于点，设，则，得出，则是等腰直角三角形，则进而根据对称性可得，，得出，根据邻补角的定义，即可求解； ②过点作交于点，得出是等腰直角三角形，证明，得出，勾股定理可得，连接，进而证明四边形是正方形，得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图所示，设交于点，连接， ∵点关于的对称点为， ∴，，， 又∵为的中点， ∴，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴. （2）解：①如图所示，过点作于点， 依题意，点关于的对称点为， ∴， ∴ 设，则， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形，则 又∵关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，过点作交于点， 四边形是正方形， ，， ， 点与点关于直线对称，，， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， 在中，， 又， ∴ 连接，则， ∴四边形是菱形， 又， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴即． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质与判定；熟练掌握以上知识是解题的关键． 25．如图，四边形是菱形，是线段的中点，是射线上一动点，连接是直线上两点（点位于点右侧），将直线绕点旋转后经过点，且． (1)【操作判断】 求的度数； (2)【问题探究】 如图①，若点在线段上，连接，若，求的长； (3)【拓展延伸】 如图②，若点在射线上（不与点重合），连接．探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过构造全等三角形，利用菱形性质和角度关系进行推理计算． （1）通过旋转性质得，结合，从而求出度数； （2）在直线上截取（点不与点重合），连接，利用菱形性质，证明，结合已知边长和线段长度求； （3）需要分情况讨论，情况一：点在线段上；情况二：点在延长线上．分别画出图形，构造全等三角形，通过线段等量转化即可求解． 【详解】（1）解：∵将直线绕点旋转后经过点， ， ， ； （2）如图，在直线上截取（点不与点重合），连接， ∵将直线绕点旋转后经过点， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是菱形， ， ， 又， ， ， ， ， ， ∴在中，， ， ∴在中，， ， ∴的长为3； （3）或， 理由如下： （1）当点在线段上时， 如图，在直线上截取（点不与点重合），连接， ∵将直线绕点旋转后经过点， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形为菱形， ， 又∵， ， ∴， ∵， ∴； （2）当点在延长线上时， 如图，在直线上截取（点不与点重合），连接， ∵将直线绕点旋转后经过点， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形为菱形， ， 又∵， ， ， ， ， 综上所述，之间的数量关系为或． 26．如图，正方形，点是边上的动点，点在延长线上，连接、． (1)若． ①求证：平分； ②连接，用等式表示线段、与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的最大值． 【答案】(1)①见详解 ②，理由见解析 (2) 【分析】（1）①延长至点，使，证明得，，，再证明为等腰直角三角形，进而可证平分； ②过点作交于，连接，证明为等腰直角三角形得，．证明，进而可得； （2）将绕点逆时针旋转得，求出，当、、三点共线时，可求出的最大值． 【详解】（1）解：延长至点，使， 四边形为正方形， ，． ， ． ， ． ． ，， 即，为等腰直角三角形． ， 平分． ． 理由如下： 过点作交于，连接， 由得． 为等腰直角三角形， ，． 在正方形中，，． ，． ， ， ， ． （2）将绕点逆时针旋转得， ，，． ， ． 当、、三点共线时，为等腰直角三角形， ． 的最大值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及等腰三角形的性质等知识，解答本题的关键是合理作出有效的辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 27．如图，平行四边形中，点为对角线上的一动点（不与、重合），为直线且、，点为对角线交点． (1)若与重合时，不难得出线段与的关系为________． (2)若，且点运动到图二位置时，中的关系是否仍然成立？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由． (3)当点运动至的延长线上，且时，试探究线段、、三者之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)成立，理由见解析； (3)． 【分析】根据平行四边形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可得； 连接并延长，交的延长线于点，利用可证，根据全等三角形的性质可证，因为，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证； 连接并延长交的延长线于点，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证，因为，所以，可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可证． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， 、， ， 在和中，， ， ， 故答案为：； （2）解：成立， 理由如下， 如下图所示，连接并延长，交的延长线于点， 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， 点为对角线交点， ， 、， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 中的关系仍然成立； （3）解：如下图所示，连接并延长交的延长线于点， 、， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形和直角三角形． 28．已知，在正方形中，点是对角线的中点，点是上一动点（不与点，，重合），作交直线于点． (1)如图，当点在线段上时． ①证明：； ②用等式表示线段，，的数量关系并证明； (2)直接写出线段，，的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②线段，，的数量关系，见解析 (2)，见解析 【分析】（1）①过点E作于点M，点E作于点N，先证明四边形是正方形，得到，再证明，从而得出结论； ②连接，证明四边形是正方形，再证明，，可证，根据，即可得证． （2）过点E作于点G，根据前面的证明，得到四边形是矩形， 得，， 结合，代换即可得到． 【详解】（1）解：①过点E作于点M，点E作于点N， ∵正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②线段，，的数量关系，理由如下： 连接， ∵正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． （2）解：关系如下．理由如下： 过点E作于点G， 根据前面的证明，得到四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 29．四边形是正方形，点是射线上一动点，且，过点作交直线于点，作的平分线交直线于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图1，请写出，和之间的数量关系； (3)如图2，连接交于点，交于点，请探索，，之间的数量关系：_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用同角的余角相等即可得到结论； （2）证明，得出，证明，得出，即可得出结论； （3）在上截取点G，使得，连接，证明，则，得到，则，得到，证明，则，即可得到； 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，，   ， ， ， ， ； （2）解：如图， ，，， ， ， ，， ， ， ； （3）解：，证明如下； 在上截取点，使得，连接，，如图， 在和中，， ， ，， ， ， ， 的平分线交直线于点， ， ，， ， ． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，勾股定理余角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 30．如图，用四根一样长的木棍搭成菱形是线段上的动点（点不与点和点重合），在射线上取一点，连接、，使． (1)如图①，调整菱形，使，当点在菱形外面时，在射线上取一点，使，连接，试判断的形状，并说明理由； (2)如图②，调整菱形，使，当点在菱形外面时，在射线上取一点，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由．当时，试求的长． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析 (2)，理由见解析；当时， 【分析】（1）由正方形判定与性质得到，，先判定，从而得到，，进而证得是等腰直角三角形，即可得到答案； （2）由菱形性质得到，，先判定，从而得到，，由等腰三角形的判定与性质得到，作交于点，如图所示，在中，由含直角三角形性质及勾股定理求线段长即可得到答案． 【详解】（1）解：当菱形中，，则菱形为正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：， 理由如下： ∵四边形是菱形，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 作交于点，如图所示： 则，， 在中，，，则， ∴， ∴； 当时， ∴ ∴． 【点睛】本题考查特殊平行四边形综合，涉及正方形判定与性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形性质、含直角三角形性质即勾股定理等知识．熟练掌握相关几何性质及判定，并灵活运用是解决问题的关键． 【题型4 动点求值问题】 31．在菱形中，，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边三角形，连接．          (1)如图1，当点E落在对角线上时，请求出的长； (2)点E的位置随点P的位置变化而变化，如图2，求证：，； (3)如图3，当点P在线段的延长线上时，连接，若，求的面积． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵ ∴在中，由勾股定理得， 解得（舍负）， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形 ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接交于点O，作于点H， ∵四边形是菱形， ∴，平分，，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， 由（2）知， ∵， ∴， 同理可得：是等边三角形， ∴是的垂直平分线， ∴， 又∵等边中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴由勾股定理得： 由（2）知， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角直角三角形的性质等知识点，正确构造全等三角形是解题的关键． 32．在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． (1)连接，如图，求证：； (2)如图，过点作交于点，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，如图，连接，当，时，请直接写出的长． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）由正方形的性质，结合三角形全等的判定和性质，即可证得结论； （2）作于点，于点，可证得，可得，由等边对等角，结合直角三角形两个锐角之间的关系，即可证得结论； （3）在延长线上截取，连接，可证得，从而可证得，可得的长度，根据勾股定理，即可得的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：作于点，于点，则， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：在延长线上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等边对等角，角平分线的性质，勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线． 33．在菱形中，，点F、G分别是边上的动点（不与端点重合） (1)连接，若，，请在图1中画图分析，直接写出的度数：______． (2)若； ①如图2，连接、得，试判断的形状，并证明． ②如图3，点E是边上的动点，且，连接，点M是的中点，若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)①是等边三角形，见解析；② 【分析】（1）以A为圆心，AF为半径画弧，可能交CD于两点，分两种情形计算； （2）①连接AC，可证得≌，从而，进而得出，从而是等边三角形； ②以BC所在的直线为x轴，点B为原点，过点B与BC的直线为y轴建立坐标系，设DAD延长线于H，作轴于Q，设，可表示出，从而，可表示出，从而得出，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1， 当时， 四边形是菱形，， ， ， ， 当点G在处时， ， ， ， 故答案为：或； （2）①是等边三角形，理由如下： 连接，如图2， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 同理可得，是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； ②如图， 以BC所在的直线为x轴，点B为原点，过点B与BC的直线为y轴建立坐标系，设的延长线交y轴于H，作轴于Q， 设， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ∵点F、G分别是边上的动点（不与端点重合）， ， 当时，， 最小， 当或4时，， 最大， 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是建立坐标系，表示两点之间的距离． 34．已知四边形为菱形，是射线上的一个动点，．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角． (1)如图1，若点在线段上，连接，求证； (2)如图2，若，点恰好在边的延长线上，求的长（用含的式子表示）； (3)若，△为直角三角形，以△的两直角边为邻边构造矩形，矩形的另一个顶点为，连接，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据菱形的性质以及旋转的性质证明△和△全等即可； （2）根据（1）以及角直角三角形三边的关系求解即可； （3）根据直角的不同分类讨论，根据角三角形三边关系以及全等三角形，先求出和的数量关系，然后根据勾股定理求解，即可得到和的比值． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， ，， ， ， ， 由旋转的性质可知，， 在△和△中， ， ， ； （2）解：如图： ，四边形为菱形， ，， ，， 又， ， ∴， ， 同理可得，， ，，， ，，； （3）解：①当时，如图： ，， ， ， ， ∴， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ； ②当时，如图： 同理可得，， ， ， 延长交于， ， △为等边三角形， ， ， ， 在线段上， ， △不存在， 故不符合题意； ③当时，连接延长交于，如图： 设， ， ， ， 在上截取， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， ，， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ，，， ，， ， ； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、菱形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，含角的直角三角形三边关系，等腰三角形的性质，合理构造全等三角形是本题解题的关键． 35．如图，矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为t（）秒． (1)若、分别是、的中点． ①求证：以、、、为顶点的四边形始终是平行四边形（）； ②当t为何值时？以、、、为顶点的四边形是矩形； (2)若、分别是折线，上的动点，分别从、开始，与、相同的速度同时出发，当t为何值时，以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出t的值． 【答案】(1)①见解析；②或 (2) 【分析】（1）①要证四边形是平行四边形，根据矩形性质得出边和角的关系，结合中点条件得到线段相等，再利用全等三角形证明一组对边平行且相等 ．②平行四边形变矩形需对角线相等，先确定长度，再分、运动的不同阶段，根据与的数量关系列方程求解． （2）（2）菱形需对角线垂直且平分，先由菱形性质推出四边形是菱形，设未知数，利用勾股定理求出相关线段长度，进而得出运动时间． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∵、分别是、中点 ∴，，则 由于、速度均为，运动时间，则， ∴ 在和中 ∴ ∴，，则 ∴四边形是平行四边形； ②解：连接， ∵四边形是矩形，、是中点 ∴ 当时，四边形是矩形，分两种情况： ①、未相遇前，，则 解得； ②、相遇后， 解得， 综上，当或时，四边形是矩形． （2）解：连接、， ∵ 四边形是菱形 ∴ ，，，又 ∴ ，四边形是菱形，故 设，则 在中，由勾股定理，即 解得 则，运动路程为 速度为， 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、全等三角形判定与性质、勾股定理，熟练掌握特殊四边形的判定与性质，结合图形分情况分析，运用勾股定理等建立方程是解题的关键． 36．在矩形中，，． (1)如图，为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，请你直接写出的长为 ． (2)如图，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长； (3)如图，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当，，三点在同一直线上时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（）由翻折可得，再利用勾股定理解答即可； （）分和两种情况，分别画出图形，利用翻折的性质和勾股定理解答即可求解； （）分点在线段上和点在的延长线上两种情况，分别画出图形，利用翻折的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， 由翻折可得，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：如图中，当，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 由翻折得，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图中，当时， ∵， ∴， 设，则， 在中，∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：如图中，当点在线段上时， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由翻折得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图中，当点在的延长线上时，同理可得， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，满足条件的的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 37．已知在正方形中，点E、F分别为边上两个动点． (1)①如图1，连接相交于点O，若，则和的数量关系为　　　　　； ②如图2，在①的条件下，若点E是中点，连接，求证：． (2)如图3，作的垂直平分线交于点G，交于点F． ①若，，求的长； ②如图4，连接，若，四边形面积的取值范围是　　　　　． 【答案】(1)（1）①；②见解析 (2)①3；② 【分析】（1）①由四边形是正方形，得，进一步可得，所以，结论得证． ②延长交于点，证明，得到，再由直角三角形斜边中线的性质即可求证； （2）①连接，作于，，则可， 在中，由勾股定理建立方程；②作于，可得，则，而，那么，当最小时，四边形面积最小，此时点与点重合，；最大时，四边形面积最大，此时点与点重合，即可求解． 【详解】（1）（1）①解：，如图： ∵四边形是正方形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴． ②证明：延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵为中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①如图，连接，作于． ∵正方形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，设，则， ∴，， 垂直平分，四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， 在中， ， ， ， ，； ②如图，作于． 垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，四边形面积最小，此时点与点重合，； 最大时，四边形面积最大，此时点与点重合，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识点，难度较大． 38．在正方形中，点P是直线上一个动点，连接，过点C作于点M，过点A作于点N．    (1)如图1，若点P在边上，求证：； (2)如图2，若点P在延长线上，连接，猜想线段和线段的关系，并说明理由； (3)已知，当时，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5或 【分析】（1）在正方形 中，过点C作于点M，过点A作于点N．可证，由全等性质即可求证； （2）由，则，可证，再根据全等性质即可求证； （3）设 ，则，根据勾股定理可得，然后可知，，则或者；再分类讨论，代入可求值. 【详解】（1）解：在正方形 中， ∵过点C作于点M，过点A作于点N． ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）成立；理由如下；   ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴， ∴，即 ∴且 （3）设 ，则 ∵ ， ∴ ∴（负值舍去） ∴ ∴ ∴或者 情况 1：当时， 情况 2：当时， ∴或 【点睛】本题考出来正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等相关知识点，解决问题的关键是掌握正方形的性质. 精选考题才是刷题的捷径1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 弈泓共享数学 专题02特殊平行四边形压轴动点问题分类（4种类型38道） 目录 【题型1 动点压轴题定值类】 1 【题型2动点压轴题最值类】 5 【题型3 动点压轴题探究线段数量关系】 8 【题型4 动点求值问题】 12 【题型1 动点压轴题定值类】 1．综合与探究 如图1，在平行四边形中，，P是边上的一动点，连接，将绕点P顺时针旋转α，得到，连接． (1)①求证：． ②若四边形为菱形，延长至点M，使得，连接．求证：． (2)如图2，若四边形为正方形，，连接，则的值是否是该定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由． 2．如图，正方形边长为，为正方形对角线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接、． (1)判断的形状，并说明理由； (2)取中点，连接，，则的面积是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是定值，请说明理由． (3)点是点关于直线的对称点，直接写出线段的最小值． 3．如图，在菱形中，，，点E为上一动点，延长到点，使，且分别交，于点和点． (1)将沿对折，使点E落在处，若，求的度数； (2)在点E运动过程中，是否存在这样的一点E，使得四边形是平行四边形？若存在，请说出E点位置，并证明四边形是平行四边形，若不存在，请说明理由． (3)若，探究是否为定值？如果是定值，求出这个值；如果不是，请说明理由． 4．【探究活动】如图，在正方形中，E为对角线上一动点．某数学兴趣小组进行了如下探究： (1)如图1，过点E分别作垂线，，交，边于F，G两点．求证：四边形是正方形； (2)如图2，连接，过点E作，交于点M，以，为邻边作矩形，连接．在点E移动过程中． ①求证：； ②四边形的面积是定值吗？ 5．如图，在边长为9的正方形中，动点E、F分别在边、上，将正方形沿直线折叠，使点B的对应点始终落在边上（点不与点A、D重合），点C落在点处，与交于点P，连接，作点H． (1)感知：①当时，的大小为 ；②求的长． (2)探究：当在边上位置变化时，的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值． (3)应用：若，直接写出五边形的周长． 6．如图，，，将线段绕着点A顺时针旋转α，，得到，连接、，点E为线段中点，过点D作交于点H．连接交于点F． (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，过点C作于点Q，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，若，点M是直线上一动点，作点M关于点E的对称点N，连接、，对于α的每一个确定值，都有一个对应的最小值，当最小值等于时，请直接写出四边形的面积． 7．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 8．已知，在正方形中，是一个等边三角形，点P在射线上运动且与直线上的两动点M，（点M在N点左侧）构成等边三角形 (1)如图1，当点M与A点重合时，求证：平分； (2)当点P在直线下方时． ①如图2，试说明：为定值； ②如图3，若的中点为F点，连接，．试探究与的数量关系． 9．如图，在正方形中，E是边上的一动点（不与点B，C重合）．将线段绕点A顺时针旋转得线段．延长，交于点G． (1)求证：； (2)连接，试探究：是否为定值？若是，请求出定值，若不是，说明理由． 10．如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一个动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形（提示：过点作于点，过点作于点． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【题型2动点压轴题最值类】 11．如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点A作交的延长线于点E； (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，已知点P是线段上的一个动点，则的最小值为________． 12．在正方形中，是边上一动点，是边的中点． (1)连接． ①若点是的中点，则______；（填“”或“”） ②如图1，若，用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (2)如图2，若正方形的边长为2，过点作交于点，过点作于点，连接，求的最小值． 13．如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接． (1)求证：； (2)若，，求菱形的面积； (3)若，求的最小值． 14．如图，在正方形中，，点分别为三边、、上的动点（三点均不与其所在线段端点重合），、交于点，． (1)如图，当点运动到中点时，直接写出的长； (2)如图，当时，过点作交于点，求证：； (3)如图，点在运动过程中，是否存在最小值，如果存在，请求出该值，如果不存在，请说明理由． 15．如图1，在正方形中，，点为边上的动点（点与点不重合），把沿直线翻折，得到，延长交于点，连接． (1)①求的度数： ②若点是的中点，求的长． (2)如图2，过点作，与的延长线交于点，连接．求的最小值． 16．如图，在正方形中，，点为正方形的对角线上一动点． (1)如图1，过点作交边于点，当点在边上时，求出与的大小关系并证明； (2)如图2，在（1）的条件下，过点F作，垂足为点G，在点运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明理由． (3)如图3，若点是射线上的一个动点，连接，，且始终满足，设，求的最小值． 17．如图，在正方形中，M是对角线上的一动点，且，连接，过点B作的垂线，交的延长线于点E，交于点F，且． (1)依题意补全图1，求的大小（用含的式子表示）； (2)若点N在线段上，，连接．用等式表示，，之间的数量关系，并证明； (3)连接．若，请直接写出线段长度的最小值． 18．在正方形中，E是边上的一动点（不含端点B、C）. (1)若，，连接. ①如图，求的度数： ②如图，N为的中点，连接，，求证：； (2)如图，若，直接写出的最小值. 19．在平行四边形中，． (1)如图1，若．求四边形的面积； (2)如图2，，点为边上一点，连接，点为上一点，连接交于点，连接，若点为边的中点，连接，且，求证：； (3)如图3，已知，点与点分别为线段与上的动点，满足，连接，直接写出的最小值． 20．如图，矩形中，，，一动点P从A点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点C匀速运动，同时另一动点Q从C点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动，当其中一个点到这终点时，另一个点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒，过点P作于点E连接，． (1)求证：； (2)四边形能成为菱形吗？如果能，求出相应的t值：如果不能，说明理由 (3)若动点Q从C点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，其它条件不变，当____时，有最小值． 【题型3 动点压轴题探究线段数量关系】 21．在正方形中，E是线段上的动点（不与点A，D重合），连接，点C关于直线的对称点为F，连接，，． (1)在图中作出点F；（作图要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：； (3)射线与直线相交于点N，连接．探究在点E的运动过程中，线段，，的数量关系是否发生变化？若不变，请求出它们的数量关系；若发生变化，请说明理由． 22．如图，正方形的边长为，点是边上一点，且，对角线，交于点，点是中点，连接； (1)如图1，过点作交于点，判断四边形的形状并证明； (2)如图2，若点是对角线上的动点，当平分时，判断，，之间的数量关系， 并计算的值． 23．如图，正方形中，点为上的一个动点，连接交于点，过点作，交于点． (1)如图1，若，求的大小； (2)过点作于点． ①如图2，若，求的值； ②如图3，试探索线段和的数量关系，并加以证明． 24．正方形中，点为边上一动点，连接，点关于的对称点为，连接． (1)如图1，连接，若是中点，求证：； (2)如图2，连接，，并延长，交于点． ①求的度数； ②连接，用等式表示与之间的数量关系，并证明． 25．如图，四边形是菱形，是线段的中点，是射线上一动点，连接是直线上两点（点位于点右侧），将直线绕点旋转后经过点，且． (1)【操作判断】 求的度数； (2)【问题探究】 如图①，若点在线段上，连接，若，求的长； (3)【拓展延伸】 如图②，若点在射线上（不与点重合），连接．探究线段之间的数量关系，并说明理由． 26．如图，正方形，点是边上的动点，点在延长线上，连接、． (1)若． ①求证：平分； ②连接，用等式表示线段、与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的最大值． 27．如图，平行四边形中，点为对角线上的一动点（不与、重合），为直线且、，点为对角线交点． (1)若与重合时，不难得出线段与的关系为________． (2)若，且点运动到图二位置时，中的关系是否仍然成立？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由． (3)当点运动至的延长线上，且时，试探究线段、、三者之间的数量关系． 28．已知，在正方形中，点是对角线的中点，点是上一动点（不与点，，重合），作交直线于点． (1)如图，当点在线段上时． ①证明：； ②用等式表示线段，，的数量关系并证明； (2)直接写出线段，，的数量关系． 29．四边形是正方形，点是射线上一动点，且，过点作交直线于点，作的平分线交直线于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图1，请写出，和之间的数量关系； (3)如图2，连接交于点，交于点，请探索，，之间的数量关系：_____． 30．如图，用四根一样长的木棍搭成菱形是线段上的动点（点不与点和点重合），在射线上取一点，连接、，使． (1)如图①，调整菱形，使，当点在菱形外面时，在射线上取一点，使，连接，试判断的形状，并说明理由； (2)如图②，调整菱形，使，当点在菱形外面时，在射线上取一点，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由．当时，试求的长． 【题型4 动点求值问题】 31．在菱形中，，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边三角形，连接．          (1)如图1，当点E落在对角线上时，请求出的长； (2)点E的位置随点P的位置变化而变化，如图2，求证：，； (3)如图3，当点P在线段的延长线上时，连接，若，求的面积． 32．在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． (1)连接，如图，求证：； (2)如图，过点作交于点，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，如图，连接，当，时，请直接写出的长． 33．在菱形中，，点F、G分别是边上的动点（不与端点重合） (1)连接，若，，请在图1中画图分析，直接写出的度数：______． (2)若； ①如图2，连接、得，试判断的形状，并证明． ②如图3，点E是边上的动点，且，连接，点M是的中点，若，求的取值范围． 34．已知四边形为菱形，是射线上的一个动点，．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角． (1)如图1，若点在线段上，连接，求证； (2)如图2，若，点恰好在边的延长线上，求的长（用含的式子表示）； (3)若，△为直角三角形，以△的两直角边为邻边构造矩形，矩形的另一个顶点为，连接，直接写出的值． 35．如图，矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为t（）秒． (1)若、分别是、的中点． ①求证：以、、、为顶点的四边形始终是平行四边形（）； ②当t为何值时？以、、、为顶点的四边形是矩形； (2)若、分别是折线，上的动点，分别从、开始，与、相同的速度同时出发，当t为何值时，以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出t的值． 36．在矩形中，，． (1)如图，为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，请你直接写出的长为 ． (2)如图，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长； (3)如图，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当，，三点在同一直线上时，请直接写出的长． 37．已知在正方形中，点E、F分别为边上两个动点． (1)①如图1，连接相交于点O，若，则和的数量关系为　　　　　； ②如图2，在①的条件下，若点E是中点，连接，求证：． (2)如图3，作的垂直平分线交于点G，交于点F． ①若，，求的长； ②如图4，连接，若，四边形面积的取值范围是　　　　　． 38．在正方形中，点P是直线上一个动点，连接，过点C作于点M，过点A作于点N．    (1)如图1，若点P在边上，求证：； (2)如图2，若点P在延长线上，连接，猜想线段和线段的关系，并说明理由； (3)已知，当时，直接写出线段的长． 精选考题才是刷题的捷径1 学科网（北京）股份有限公司 $$