精品解析：河北省石家庄市第三十八中学2025-2026学年高二上学期9月开学测试数学试题

高二年级2025年9月份开学测试 一、选择题 1. （ ） A. 1 B. −1 C. i D. −i 2. 高一（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，175，172，172，176，180，则这7人的第40百分位数为（ ） A. 168 B. 170 C. 172 D. 171 3. 已知三点共线，且对直线外任一点，有 则实数等于（ ） A. B. C. D. 4. 在中，若，则此三角形为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 7. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（ ） A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同 10. 已知O为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知正方体，分别是的中点，则不正确的是（ ） A. 直线与直线垂直，直线平面； B. 直线与直线平行，直线平面； C. 直线与直线相交，直线平面； D. 直线与直线异面，直线平面； 三、填空题 12. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则___________. 13. 设为单位向量，且，则 _______· 14. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 四、解答题 15. 已知向量满足，且的夹角为60°. （1）求； （2）若，求实数λ的值. 16. 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图． 分组 频数 频率 10 0.25 24 n m p 2 0.05 合计 M 1 （1）求表中M、p及图中a的值； （2）若该校高三年级学生有240人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间上的人数； （3）估计这次学生参加社区服务次数的众数、中位数以及平均数．（结果精确到0.01） 17. 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 18. 如图所示，在四棱锥中，平面PAD，，E是PD的中点． （1）求证：； （2）线段AD上是否存在点N，使平面平面PAB，若不存在请说明理由：若存在给出证明． 19. 在中，角，，的对边分别为，，，. （1）求角； （2）若，为边上一点（不同于，两点），，求的面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级2025年9月份开学测试 一、选择题 1. （ ） A. 1 B. −1 C. i D. −i 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数除法法则进行计算. 【详解】 故选：D 【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 高一（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，175，172，172，176，180，则这7人的第40百分位数为（ ） A. 168 B. 170 C. 172 D. 171 【答案】C 【解析】 【分析】将数据按升序排列，结合百分位数的定义运算求解即可. 【详解】将数据按升序排列可得168，170，172，172，175，176，180， 因为，所以这7人的第40百分位数为第3位数172. 故选：C. 3. 已知三点共线，且对直线外任一点，有 则实数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用向量共线定理得，再由向量的运算可得，结合条件，利用向量基本定理，即可求解. 【详解】因为三点共线，则，又点是直线外任一点， 所以，整理得到， 又，则，解得， 故选：C. 4. 在中，若，则此三角形为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【详解】在中，由以及正弦定理可知，， 即，∵，，∴，， 所以三角形为直角三角形. 故选：C. 5. 设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面的位置关系可判断A；举反例判断B、C；由面面垂直的判定定理可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：若，，则或，故选项A不正确； 对于B：如图平面为平面，平面为平面，直线为，直线为，满足，，，但与相交，故选项B不正确； 对于C：如图在正方体中，平面为平面，平面为平面，直线为，直线为，满足，，，则，故选项C不正确； 对于D：若，，可得或，若，因为，由面面垂直的判定定理可得；若，可过作平面与相交，则交线在平面内，且交线与平行，由可得交线与垂直，由面面垂直的判定定理可得，故选项D正确； 故选：D. 6. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】 ， 故选：B 【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立 7. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可. 【详解】 如图，连接，因为∥， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，所以，又，， 所以平面，所以， 设正方体棱长为2，则， ，所以. 故选：D 8. 已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论. 【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意， 得，为等边三角形， 由正弦定理可得， ，根据球的截面性质平面， ， 球的表面积. 故选：A 【点睛】 本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 二、多选题 9. 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（ ） A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同 【答案】CD 【解析】 【分析】A、C利用两组数据的线性关系有、，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误. 【详解】A：且，故平均数不相同，错误； B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误； C：，故方差相同，正确； D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确； 故选：CD 10. 已知O为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用两点距离公式及同角三角函数的平方关系判断各项的正误. 【详解】A：由，对； B：由，，故不一定成立，错； C：由，，结合A分析，则，对； D：由A、C分析，易知，对. 故选：ACD 11. 如图，已知正方体，分别是的中点，则不正确的是（ ） A. 直线与直线垂直，直线平面； B. 直线与直线平行，直线平面； C. 直线与直线相交，直线平面； D. 直线与直线异面，直线平面； 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用正方体的几何结构特征，结合线面平行和线面垂直的判定与性质，进行判定，即可求解. 【详解】如图所示，连接，因为正方形，且为的中点， 所以点为的中点，又由为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 在正方体中， 因为平面，且平面，所以， 又因为正方形，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以，且与不相交， 所以与为异面直线，所以A正确，B、C错误； 在直角中，可得与不垂直，所以与平面不垂直， 因为，所以与平面不垂直，所以D错误. 故选：BCD. 三、填空题 12. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则___________. 【答案】##i-2 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算求解即可. 【详解】由题意知，， 则， 故答案为： 13. 设为单位向量，且，则 _______· 【答案】 【解析】 【分析】由平方，求得，进而可求解. 【详解】因为为单位向量， 所以， 由平方可得：， 即， 所以， 所以， 故答案为： 14. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率. 【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为， 且两球是否落入盒子互不影响， 所以甲、乙都落入盒子的概率为， 甲、乙两球都不落入盒子的概率为， 所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为. 故答案为：；. 【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题. 四、解答题 15. 已知向量满足，且的夹角为60°. （1）求； （2）若，求实数λ的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用向量数量积的运算律及定义求数量积； （2）由向量垂直及数量积的运算律、定义列方程求参数值. 【小问1详解】 由； 【小问2详解】 由，则， 所以，可得. 16. 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图． 分组 频数 频率 10 0.25 24 n m p 2 0.05 合计 M 1 （1）求表中M、p及图中a的值； （2）若该校高三年级学生有240人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间上的人数； （3）估计这次学生参加社区服务次数的众数、中位数以及平均数．（结果精确到0.01） 【答案】（1），， （2）60 （3）众,数17.50，中位17.08，平均数17.25 【解析】 【分析】（1）由分组上的频数是10，频率是0.25，求得，根据频数之和为，求得和的值，进而求得的值； （2）因为该校高三年级学生有人，在上的频率是，即可求得该校高三年级学生参加社区服务的次数在此区间上的人数； （3）根据众数、中位数和平均数的计算方法，即可求解. 【小问1详解】 解：由分组上的频数是，频率是，可得，解得， 因为频数之和为，所以，解得，所以． 因为a是对应分组的频率与组距的商，所以． 【小问2详解】 解：因为该校高三年级学生有人，在上的频率是， 所以估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在此区间上的人数力． 【小问3详解】 解：估计这次学生参加社区服务次数的众数是． 因为，又且，所以中位数在区间上． 因为中位数及前面的数的频率之和为0.5，设样本中位数为x， 则，解得． 估计这次学生参加社区服务次数的中位数是17.08． 样本平均数是， 估计这次学生参加社区服务次数的平均数是17.25． 17. 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理， 得， 因为，所以，即． 又因为，所以． （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论. （2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值. 【详解】（1）略 （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则， 即， 而，即， 故有，从而． 由，即，即，即， 故，即， 又，所以， 则． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合 由（1）知，再由得． 在中，由正弦定理得． 又，所以，化简得． 在中，由正弦定理知，又由，所以． 在中，由余弦定理，得． 故． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质 如图，作，交于点E，则． 由，得． 在中，． 在中． 因为， 所以， 整理得． 又因为，所以， 即或． 下同解法1． [方法五]：平面向量基本定理 因为，所以． 以向量为基底，有． 所以， 即， 又因为，所以．③ 由余弦定理得， 所以④ 联立③④，得． 所以或． 下同解法1． [方法六]：建系求解 以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴， 长为单位长度建立直角坐标系， 如图所示，则． 由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动． 设，则．⑤ 由知，， 即．⑥ 联立⑤⑥解得或（舍去），， 代入⑥式得， 由余弦定理得． 【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 18. 如图所示，在四棱锥中，平面PAD，，E是PD的中点． （1）求证：； （2）线段AD上是否存在点N，使平面平面PAB，若不存在请说明理由：若存在给出证明． 【答案】（1）因为平面，平面，平面平面，所以； （2）存在，且当点是的中点时，平面平面. 下面给出证明： 因为、分别是、的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. 由（1）知，，又是的中点，，所以， 所以四边形是平行四边形，从而， 又平面，平面，所以平面. 又因为，所以，平面平面 【解析】 【分析】（1）由线面平行性质定理可以得证； （2）存在，且当点是的中点时，平面平面. 分别证得平面和平面，由面面平行判定定理可证得结论. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键点是证明平面. 19. 在中，角，，的对边分别为，，，. （1）求角； （2）若，为边上一点（不同于，两点），，求的面积的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后利用两角和的正弦公式，将原式化为，进而可得结果； （2）设，，由正弦定理得，可得，根据余弦定理求得或，分类讨论可求出三角形面积，再根据的范围可得结果. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可知， 因为， 整理得， 因为，所以，所以，即， 又因为，所以． 【小问2详解】 如图，设，，由正弦定理有，得， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可知，， 即，解得或． 若，， 则的面积为：，即； 若，则， 则， 因为， 所以， 综上可得的面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $