陕西省汉中市2026届高三上学期第一次校际联考数学试题

2026届高三第一次校际联考 数 学 试 题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|0<x<4},B={0,1,2,3,4},则A∩B= A.(1,3) B.(1,2,3} C.{0,1,2,3} D.(0,4) 2.一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是 A.|极差 B.中位数 C.平均数 D.众数 3.已知F为抛物线C: 的焦点，点M在C上，且|MF|=4，则点M到y轴的距离为 A C.4 D.5 4.已知x∈R,则“x<2”是 的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 5.函数 是 A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为2π的偶函数 C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为π的偶函数 6.已知 Sn是等比数列{an}的前n项和，若 则 A.1028 B.1023 C.1024 D.1 025 6.若用长为4cm，宽为2cm 的矩形纸片卷成一个圆柱筒，则这个圆柱筒的最大体积为 8.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速；视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.如表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(风速的大小和向量的大小相同，单位m/s)，则真风为 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设数列{an}是等差数列;公差为d, Sn是其前n项和,a₁>0.且 则 A. d<0 C. Sn有最大值 D. Sn有最小值 10.已知定义在R上的偶函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论中正确的是 A. B. C. D.方程有唯一实数解 11.已知椭圆 的右焦点为 F，左，右顶点分别为A，B两点，直线 与椭圆C相交于P，Q两点，则 A.椭圆C 的焦距为2 B.|PF|+|QF|为定值 C.当以P，Q，F，B四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 D.直线AP和AQ 的斜率的乘积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.复数(1+2i)(1-3i)的虚部为 . 13.若是定义在 R 上的奇函数,当x>0 时, 则不等式的解集为 . 14.已知 则 cos 2α的值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别是,且、 (1)求C; (2)若 ,且△ABC 的面积为 求△ABC 的周长. 16.(本小题满分15分) 已知双曲线 的实轴长为2，离心率为 直线l :与双曲线 C相交于A，B两点. (1)求双曲线C 的方程； (2)若AB的中点为M(2,1),求直线l的方程. 17.(本小题满分15分) 如图,已知△ABC是等边三角形,AB=BD=2CE=2, , BD⊥平面ABC,点 F为AD 的中点. (1)证明:EF⊥平面ABD; (2)求直线AC与平面ADE夹角的正弦值. 18.(本小题满分17分) 已知函数 其中a>0. (1)求在处的切线方程; (2.)求函数的极值; (3)若关于x的不等式 在 上有解，求实数a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知排球比赛的规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分.才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”(即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束)；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立. (1)估计甲队每局获胜的概率； (2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望； (3)如果甲、乙两队约定比赛2场，求两队积分相等的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $$2026届高三第一次校际联考 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.B2.C3.A4.C5.C6.B7.D8.B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.若有两个正确选 项，则选对一个得3分，全部选对得6分；若有3个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6 分；有选错的得0分。 9.ABC 10.BC 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.-1 13.(-∞，-2)U(0,2) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解：(1)：√3a=2cinA, .'3 sin A=2sin Csin A, 又Ae(0,受)si血A0, 5=2sinC,即sinC= 2, 又ce(0,2)C= 3 (6分)》 (2):c=7,且△ABC的面积为3 2 5ue分ac-分a号-9每得：6， ..c2=a2+62-2abcos C=(a+b)2-3ab, 即7=(a+b)2-3×6,解得a+b=5, .△ABC的周长为a+b+c=5+√万.…(13分) 2a=2, ￡=5，解得 a=1, 16.解：(1)依题意有 b=2. a2+b2=c2, 双曲线C的方程为X2_=1,…………… 2 (7分) (2)由（1D知，双曲线C的方程为2-子1， 设A(x),B(x22), 联立+m,得（2-22+2hm+(m22)=0, 2x2-y2=2, 则4=8(m2+2-k2)>0,且k≠±2， 烤得 2026届高三数学第一次校际联考试题-答案-1（共3页） 2k+m=1, 由M(2,1)为AB的中点，得 -2km=4, 解得k=4,m=-7,满足△>0， k2-2 直线1的方程为y=4x-7. (15分) 17.解：(1)证明：如图，取AB的中点0，连接0F,0C, :BD⊥平面ABC,BDC平面ABD, .平面ABC⊥平面ABD, △ABC为等边三角形，.C0⊥AB. 又平面ABC∩平面ABD=AB,COC平面ABC, ∴.CO⊥平面ABD. CE∥BD,点F为AD中点， 0F/BD,且OF=2BD, 又CE=BD,OF∥CE,OF=CE, 2 .四边形OFEC是平行四边形，，CO∥EF, .EF⊥平面ABD.… (7分) (2)由(1)可知C0⊥平面ABD,OF⊥平面ABC, 0F,AB,0C两两垂直， 故以0为坐标原点，OA、OC、OF所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则0(0,0,0)，A(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,3,0),E(0,3,1),D(-1,0,2). .A元=(-1,5,0)，A2=(-1,5,1),A⑦=(-2,0,2). 设平面ADE的法向量m=(x,y,z), （m·A正=0，n∫-x+3y+z=0, 则m亦=0，{22=0， ’即 令z=1,则x=1,y=0,∴.m=(1,0,1). 设直线AC与平面ADE的夹角为6， 则sin0=|es<花，m>=花.m.L=2 |A元1|m|2x√24 ·直线AC与平面ADE夹角的正弦值为 41 (15分) 18.解：(1)：f(x)=x2e“, ..f'(x)=2xe"+axe"=xe"(2+ax), ∴.f'(0)=0,且f0)=0, ∴f八x)在(0，f代(0))处的切线方程为：y=0. (5分) 2026届高三数学第一次校际联考试题-答案-2（共3页） (2)令f'(x)=xe"(2+x)=0,得x=0或x=-2 当e(-,名)和e(0,+)时'()>0，则函数)单调适增： 当x∈(-子，0)时了"()<0，则函数)单调递减， “x=2为函数代)的极大值点，极大值为仪-2)=4 a x=0为函数f(x)的极小值点，极小值为f代0)=0.。…(10分) (3)根据题意关于x的不等式xe“≤e2在[a,+)上有解， 即x2≤e在[a,+o)上有解， g(x)=x,xE[a,+o),h(x)=e"(),xE[a,+o), 由于a>0,g(x)=x在[a,+∞)上单调递增，g(x)m=a2, h(x)=e(a在[a,+∞)上单调递减，h(x)m=l, 则a2≤1，解得0<a≤1， .实数a的取值范围为(0,1]. (17分) 19.解：(1)用颜率估计概常，甲队每局获胜的概率为4=名 63 (3分) (2)由题意可知，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3， 则P(X=0)=(宁P4x号x宁x写gPX=1)=cx号x宁Px3品 P=2)=cx号Px(x号-P=3)=cx号Px×号+（号- X的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 8 16 16 81 81 27 E(x0=0x。+1x,8+2xd6+3×16=184 (10分) 81 81 2781 (3)记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A, 设第i场甲、乙两队积分分别为X,Y:,则X=3-Y,其中i=1,2, 两队积分相等，∴X,+X2=Y+Y2, 即X1+X2=(3-X,)+(3-X2),则X,+X2=3, 面P(X=0)=gPX=1)=P(X=2)-PX=3)=” 六P(A)=P(X1=0)P(X2=3)+P(X1=1)P(X2=2)+P(X1=2)P(X2=1)+P(X=3)P(X2=0) 9骨-6 (17分) 2026届高三数学第一次校际联考试题-答案-3（共3页）