1．4 充分条件与必要条件（4大题型）（精练）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

1．4 充分条件与必要条件 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：充分条件与必要条件的判断与选择 2 题型二：充要条件的证明 2 题型三：充分条件与必要条件的参数取值范围问题 3 题型四：探求命题为真的充要条件 3 02 重难点拓展 4 题型一：充分条件与必要条件的判断与选择 1．王大妈在地摊上因为贪图便宜买了劣质商品，非常气愤的说了句“真是便宜没好货”，按照王大妈的理解，“好货”是“不便宜”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·高一·全国·单元测试）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·高一·广东揭阳·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 题型二：充要条件的证明 4．求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 5．已知a，b是实数，判断：是成立的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分又不必要条件”回答），并证明你的结论． 6．证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 题型三：充分条件与必要条件的参数取值范围问题 7．（2025·高一·江西·期末）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 8．（2025·高一·四川眉山·期末）已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 9．（2025·高一·福建莆田·期末）在①②“”是“”的充分条件，③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解，已知. (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 题型四：探求命题为真的充要条件 10．若，都是实数，试从①；②；③；④中选出满足下列条件的式子，用序号填空： （1）使，都不为0的充分条件是 ． （2）使，至少有一个为0的充要条件是 ． 11．方程 有一正一负根的充要条件是 12．“且”的充要条件是“且 ”. 1．如果，是实数，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 3．（2025·高一·全国·课前预习）“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 4．是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025·上海静安·模拟预测）“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 7．设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（多选题）（2025·高一·吉林·期末）已知“”是“”的充分不必要条件，则a的值可能为（   ） A． B． C．0 D．1 11．（多选题）（2025·高一·福建泉州·期中）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 12．（多选题）下列说法正确的是（       ） A．的一个必要条件是 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合， 则满足条件的集合N的个数为4 13．德国数学家康托尔在研究“可数无穷集合”时，发现自然数集N（记为集合A）与有理数集Q（记为集合B）存在特殊关系：所有自然数都是有理数，但有理数不全是自然数．若命题“”是命题“”的 条件，则需填入“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”． 14．设，，分别是的三条边，且我们知道，如果为直角三角形，那么勾股定理反过来，如果，那么为直角三角形勾股定理的逆定理由此可知，为直角三角形的充要条件是请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是 ． 15．有限集合中元素的个数记做，设，都为有限集合，给出下列命题： ①的充要条件是 ②的必要不充分条件是 ③⫋的充分不必要条件是 ④的充要条件是 其中，真命题有 .（填序号） 16．已知集合． (1)求证：、、； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 17．设集合，. (1)当时，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18．设集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19．（2025·高一·安徽黄山·期末）已知全集为R，集合，集合或． (1)若是成立的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 20．设集合，集合. (1)若且，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．4 充分条件与必要条件 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：充分条件与必要条件的判断与选择 2 题型二：充要条件的证明 3 题型三：充分条件与必要条件的参数取值范围问题 4 题型四：探求命题为真的充要条件 5 02 重难点拓展 7 题型一：充分条件与必要条件的判断与选择 1．王大妈在地摊上因为贪图便宜买了劣质商品，非常气愤的说了句“真是便宜没好货”，按照王大妈的理解，“好货”是“不便宜”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题， 根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题． 所以“好货”⇒“不便宜”， 所以“好货”是“不便宜”的充分不必要条件． 故选：A. 2．（2025·高一·全国·单元测试）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为方程的根为或， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 3．（2025·高一·广东揭阳·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，因为，所以，即， 当时，取，则， 所以“”是“”的一个充分不必要条件，故A正确； 对于B，即，“”是“”的充要条件，故B错误； 对于C，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误． 故选：A． 题型二：充要条件的证明 4．求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 【解析】证明：充分性：因为，所以， 代入方程，得， 即． 所以方程有一个根为1． 必要性：因为方程有一个根为1， 所以满足方程， 所以，即． 故关于的方程有一个根为1的充要条件是． 5．已知a，b是实数，判断：是成立的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分又不必要条件”回答），并证明你的结论． 【解析】是成立的充要条件，证明如下： 由可得， 由于，所以； 由，可得，即. 故是成立的充要条件， 6．证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【解析】证明：充分性：若，则， 方程有两个实根，， 根据根与系数的关系得． 所以方程有两个异号实根． 必要性：若一元二次方程有两个异号实根，， 则，即． 所以是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 题型三：充分条件与必要条件的参数取值范围问题 7．（2025·高一·江西·期末）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，集合，则或 所以或； （2）“”是“”的必要不充分条件，故A为的真子集， 则或，解得. 8．（2025·高一·四川眉山·期末）已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，集合，全集，则或， 又因为集合，故. （2）若“”是“”的必要不充分条件，则集合为集合的真子集， 当时，，解得； 当时，由题意可得，解得， 检验：当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意； 当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 9．（2025·高一·福建莆田·期末）在①②“”是“”的充分条件，③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解，已知. (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 又因为， 所以； （2）若选①，，则， 显然，要满足，则，解得， 故的取值范围是； 若选②，“”是“”的充分条件，则， 显然，要满足，则，解得， 故的取值范围是； 若选③，，显然， 需满足或，解得或， 故的取值范围是或 题型四：探求命题为真的充要条件 10．若，都是实数，试从①；②；③；④中选出满足下列条件的式子，用序号填空： （1）使，都不为0的充分条件是 ． （2）使，至少有一个为0的充要条件是 ． 【答案】 ④ ① 【解析】由题意有：①或，即，至少有一个为0； ②，互为相反数，则，可能均为0，也可能为一正数一负数； ③，为任意实数或，均为0； ④或，即，都不为0． 综上可知：（1）使，都不为0的充分条件是④；（2）使，至少有一个为0的充要条件是①． 故答案为：④；①． 11．方程 有一正一负根的充要条件是 【答案】 【解析】 有一正一负根 故答案为： 12．“且”的充要条件是“且 ”. 【答案】（只需满足与同号即可） 【解析】设，，则. 故答案为：（只需满足与同号即可）. 1．如果，是实数，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当时，满足，而，则充分性不成立； 当时，若，则， 所以，而，则； 若，则， 所以，而，则，则必要性成立． 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 2．设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 3．（2025·高一·全国·课前预习）“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若方程有实根， 当时，， 当时，，即且， 综上，． 验证：当时，方程为一元一次方程，有一个实根， 当且时，，方程有实根成立. 故选：A. 4．是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】若，如，满足， 但不满足，充分性不成立； 若，如，满足，但不满足，必要性不成立． 所以是的既不充分也不必要条件． 故选：D. 5．已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则. ①若，则，则，满足； ②若，则或. 时，，满足； 时，与元素的互异性相矛盾，故舍去. 综上所述，若，或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 6．（2025·上海静安·模拟预测）“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解析】当时，，不成立； 当时，，不成立； 当时，，成立； 所以“”是“”的充要条件. 故选：C． 7．设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】1.判断充分性 已知，所以. 又因为，即中的元素都在中.而中的元素都不在中， 所以和没有公共元素，即. 由此可知，当“存在集合使得，”时，能推出“”， 所以“存在集合使得，”是“”的充分条件. 8． 判断必要性 已知，即和没有公共元素.此时取集合， 那么对于全集，就是由所有不属于但属于的元素组成的集合.如图， 因为和没有公共元素，所以中的元素都不属于，即， 同时（即）.所以当“”时， 能推出“存在集合使得，”， 所以“存在集合使得，”是“”的必要条件. 则“存在集合使得，”是“”的充分必要条件. 故选：C. 9．是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，根据并集的定义,所以当时，一定有，即由能推出，所以是的充分条件. 若，则可能属于，也可能属于，不一定有. 例如，，当时，，但，即由不能推出，所以不是的必要条件. 综上，是的充分不必要条件. 故选：A. 10．（多选题）（2025·高一·吉林·期末）已知“”是“”的充分不必要条件，则a的值可能为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【解析】由得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 即“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 所以，选项A、B、C中数值符合. 故选：ABC. 11．（多选题）（2025·高一·福建泉州·期中）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】先分析根的情况，. 当时，方程无实数根，此时，即， 解不等式得或时，，那么. 当时，即时，方程有实数根. 设方程的两根为，由韦达定理得，. 要使，则两根都大于，所以且。 解得或，结合，得到. 综上，时或. 对于选项A：是或的真子集. 当时，一定有，但时，还可能， 所以是是真命题的一个充分不必要条件. 对于选项B：与或无包含关系. 当时，不成立，所以不是充分条件. 对于选项C：是或的一部分. 当时，成立，是充分不必要条件. 对于选项D：或是的充要条件，不是充分不必要条件. 故选：AC. 12．（多选题）下列说法正确的是（       ） A．的一个必要条件是 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合， 则满足条件的集合N的个数为4 【答案】CD 【解析】对于A，当时，满足，但不成立， 所以不是的充分条件，不是的必要条件，故A错误； 对于B，当时，方程的解为， 此时集合中只有一个元素，满足题意， 当时，为一元二次方程， 则由集合中只有一个元素得，故， 所以符合题意的有两个，或，故B错误； 对于C，一元二次方程有一正一负根， 则， 所以“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，故C正确； 对于D，因为，所以， 又，故集合N的个数为个，故D正确. 故选：CD. 13．德国数学家康托尔在研究“可数无穷集合”时，发现自然数集N（记为集合A）与有理数集Q（记为集合B）存在特殊关系：所有自然数都是有理数，但有理数不全是自然数．若命题“”是命题“”的 条件，则需填入“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”． 【答案】充分不必要 【解析】因为所有自然数都是有理数，所以充分性满足； 但有理数包含分数、负整数等非自然数，故必要性不满足． 因此，命题“”是命题“”的充分而不必要条件． 故答案为：充分不必要 14．设，，分别是的三条边，且我们知道，如果为直角三角形，那么勾股定理反过来，如果，那么为直角三角形勾股定理的逆定理由此可知，为直角三角形的充要条件是请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是 ． 【答案】 【解析】设，，分别是的三条边，且，为锐角三角形的充要条件是． 证明如下：必要性：在中，是锐角，作，为垂足，如图． 显然 ，即． 充分性：在中，，不是直角． 假设为钝角，如图作，交延长线于点． 则 ． 即，与“”矛盾． 故为锐角，即为锐角三角形． 故答案为： 15．有限集合中元素的个数记做，设，都为有限集合，给出下列命题： ①的充要条件是 ②的必要不充分条件是 ③⫋的充分不必要条件是 ④的充要条件是 其中，真命题有 .（填序号） 【答案】①② 【解析】①若，则集合与无重复元素，则， 即是的充分条件， 若，则集合与无重复元素，， 即是的必要条件， 综上所述的充要条件是，①正确； ②若，即集合中所有元素均属于集合，此时， 即，所以是的充分条件， 即是的必要条件， 若，无法判断集合中元素与集合的关系， 即不是的充分条件， 综上所述，的必要不充分条件是，②正确； ③若，无法判断集合中元素与集合的关系， 即不是⫋的充分条件，③错误； ④若，无法判断集合中元素与集合的关系，不能说明，④错误； 故答案为：①②. 16．已知集合． (1)求证：、、； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 【解析】（1）因为，所以， 因为，所以， 因为，所以； （2），， ，即所有奇数都属于集合，则由，必有， 又 所以，而，即由推不出， 所以的充分非必要条件是. 17．设集合，. (1)当时，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）由，可得，解得， 所以，或， 当时，集合，即， 所以，或； （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，，解得，满足题意， 当时，， 由得，由得，由得， 所以， 综上，实数的取值范围是. 18．设集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为， 则，解得， 即实数的取值范围为. （2）若“”是“”的充分不必要条件，则集合B是集合A的真子集， 因为，， 若，由（1）可知：； 若，则且（等号不同时成立），无解； 综上所述：实数的取值范围为. 19．（2025·高一·安徽黄山·期末）已知全集为R，集合，集合或． (1)若是成立的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）因为是成立的充分不必要条件，所以是的真子集， 则或，解得或， 又因为所以或， 所以的取值范围为或； （2），且 ∴且，即 故的取值范围是． 20．设集合，集合. (1)若且，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，将代入，得到，解得. 又因为，将代入，得到，解得.   综合可得. （2）因为是的充分不必要条件，所以为的真子集。. 对于集合，方程的两个根为和. 当时，. 因为为的真子集，所以.   当时，. 此时不可能是的真子集.   当时，，也不可能是的真子集.   故满足题意时，. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$