第十五章 轴对称（基础+中等类型）题型过关专练-2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十五章 轴对称思维导图 【类型覆盖】 类型一、轴对称图形与成轴对称 【解惑】下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．，是筝形的对角线．请你通过探究判断下列结论正确的是 （填序号）． ①；②；③平分；④筝形是轴对称图形，其对称轴为对角线． 3．如图所示的组图形中，左、右两个图形成轴对称的是第 组． 类型二、三线合一 【解惑】如图，在中，，是边上的中线，且，若，则（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，点在边上，，，分别为，的中点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是的中线，已知，则的度数是 ． 3．如图，在中，，平分交于点D，，，则的面积为 ． 类型三、线段垂直平分线的性质与判定 【解惑】如图，在中，是的平分线，于点E，于点F．则下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图所示，现要在一块三角形草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条中线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 2．如图，已知在中，边的垂直平分线交于点，再以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径面弧交于点，作射线恰好交于点；若，，的面积为，则的面积为 ． 3．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 类型四、等腰三角形的性质与判定 【解惑】如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图所示，在的内部有一点，点与关于对称，点与关于对称，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．若等腰三角形一条腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的底角为 ． 3．如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G． (1)吗？请说明你的理由； (2)试说明． 类型五、等边三角形的性质与判定 【解惑】如图，在中，，D、E是内两点，平分，，若，则的长是（    ） A．1 B．1.5 C．0.5 D．2 【融会贯通】 1．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．已知等边外一点，，连接PA，PB，PC，若，则 ． 3．如图，在中，，点，分别在边，上，且，平分，过点作于点，作于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 类型六、30°对应的直角三角形 【解惑】如图，在中，，点在的延长线上．若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【融会贯通】 1．如图，在中，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在中，，，于，，则 ， ． 3．已知：如图，中，．求证：． 类型七、画对称轴与设计轴对称图案 【解惑】画出下列轴对称图形的所有的对称轴． 【融会贯通】 1．画出下列轴对称图形的对称轴． 2．如图，在相同小正方形组成的网格纸上，有三个黑色方块，请你用三种不同的方法分别在图1、图2、图3上再选一个小正方形方块涂黑，使得四个黑色方块组成轴对称图形． 3．把一个大正方形分成9个相同的小方格，给图中的1个白色小方格涂上阴影，使整个图形成为一个轴对称图形，请用4种不同的画法表示． 类型八、作垂直平分线与等腰三角形 【解惑】如图，某电信部门要在公路、之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄、的距离相等，到公路、的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【融会贯通】 1．如图，两条公路，途经，两个村庄，为了振兴乡村经济，有关部门规划利用内部的空地建一个养殖基地，基地需要满足到村庄，距离相等，并且到公路，距离也相等，请你用尺规作图的方法确定出养殖基地的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 2．如图，在中，，． (1)利用尺规作等腰，使点D，A在直线的同侧，且，．（保留作图痕迹，不写画法） (2)设（1）中所作的的边交于E点，求证：． 3．如图，在中，，点在边上．请用尺规作图法，在内求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 类型九、平面直角坐标系中的轴对称 【解惑】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点在小正方形的顶点处，点的坐标分别为． (1)请在网格中建立符合题意的平面直角坐标系，点的坐标为___________； (2)平移点得到点，若点与点关于轴对称，直接写出一种平移方式； (3)在（2）的条件下，为直线上的点，则点到轴的距离为___________． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，已知，． (1)若点与点关于轴对称，则点的坐标为______； (2)在平面直角坐标系中画出； (3)的面积为______． 2．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将的三个顶点的横坐标乘，纵坐标乘2，得到对应的点，，，请画出． (2)的面积为__________；的面积为__________（直接写出结果）． (3)点P为x轴上一点，且的值最小，画出点P，并求出点P的坐标． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为____________ (3)求的面积； (4)已知点P为x轴上的一点，若时，则点P的坐标为_______． 类型十、三角形中边与角之间的不等关系 【解惑】如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【融会贯通】 1．我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，如果两边不相等，它们所对的角之间的大小关系如何呢？小明同学在学习了三角形的相关知识后，他发现，可以通过证明三角形全等，结合三角形外角定理探究该问题．根据他的想法和思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在中，作的平分线交于点D，在上截取，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：在中，．求证：． 证明：∵平分， ∴ ① ， 在和中， ∴ ③ ， ∵， ∴． 结论：在三角形中，如果两条边的长度不相等，那么它们所对的角也不相等，且大边所对的角较 ④ ．（填“大”或“小”）． 2．（1）如图（1），在中，已知． ①求证； ②若是边的中点，连接，求证． （2）如图（2），在中，已知，且是内的一点，，求证． 3．阅读与思考 小明周末去图书馆学习，偶然间发现一本《几何原本》，阅读第一卷，就对其中的一个命题很感兴趣，于是将这段抄录在笔记本上，并完成了证明．下面是小明的笔记内容，请仔细阅读并完成相应任务． 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角”． 下面是上述命题的证明． 已知：如图1，在中，． 求证：． 证明：如图2，由于，故在边上截取，连接． ， ，（依据1） 是的外角， ，（依据2） ， ． ，，． 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：__________；依据2是指：__________． (2)如图3，在四边形中，，．请猜想和的关系，并证明你的结论． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 轴对称思维导图 【类型覆盖】 类型一、轴对称图形与成轴对称 【解惑】下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的定义（沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）． 根据轴对称图形的定义，逐一判断各选项图形是否能沿某条直线对折后完全重合． 【详解】A、无论沿哪条直线对折，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图形． B、无论沿哪条直线对折，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图形． C、存在一条竖直直线，沿该直线对折后，图形两部分能完全重合，是轴对称图形． D、无论沿哪条直线对折，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图形． 故选：C． 【融会贯通】 1．《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；熟练掌握对称点与对称轴垂直等距是解题的关键． 【详解】解：A是轴对称图形，故本选项符合题意； B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C.不是轴对称图形，故本选项不合题意； D.不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 2．如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．，是筝形的对角线．请你通过探究判断下列结论正确的是 （填序号）． ①；②；③平分；④筝形是轴对称图形，其对称轴为对角线． 【答案】①③/③① 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，筝形的对称性，解决本题的关键是判断出．用直接判断出，逐个分析选项，即可得出结论． 【详解】解：在和中，， ， ，，， 平分． 筝形是轴对称图形，其对称轴为对角线所在直线， 与不一定相等， ①③正确， 故答案为：①③． 3．如图所示的组图形中，左、右两个图形成轴对称的是第 组． 【答案】（3）（4） 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】（1）不是轴对称图形，不符合题意； （2）不是轴对称图形，不符合题意； （3）是轴对称图形，符合题意； （4）是轴对称图形，符合题意； 故答案为：（3）（4）． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，解题的关键是理解轴对称图形的性质，属于中考常考题型． 类型二、三线合一 【解惑】如图，在中，，是边上的中线，且，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键． 由三线合一得，进而求出，由得，求出即可求解． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在中，点在边上，，，分别为，的中点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握相关性质是解题的关键．连接，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形斜边上的中线的性质求解． 【详解】解：如图，连接， ，是的中点， ， 在中，是的中点， ． 故选：A． 2．如图，在中，是的中线，已知，则的度数是 ． 【答案】/85度 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一的性质，三角形的外角性质．因为是的中线，所以是等腰三角形，，求得，结合，利用三角形的外角性质即可作答． 【详解】解：是的中线， 是等腰三角形，， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，在中，，平分交于点D，，，则的面积为 ． 【答案】15 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得，，再根据三角形面积公式求解即可． 本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：在中，，平分交于点， ，， ， ， 即的面积为， 故答案为：． 类型三、线段垂直平分线的性质与判定 【解惑】如图，在中，是的平分线，于点E，于点F．则下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，垂直平分线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合角平分线的性质得，再证明，故，根据，，得出是的垂直平分线，即可作答． 【详解】解：∵是的平分线，于点E，于点F． ∴ 故B选项正确，不符合题意； ∵是的平分线，于点E，于点F． ∴ ∵ ∴ ∴， 故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴是的垂直平分线， ∴ 故A选项正确，不符合题意； 无法得出 故D选项不正确，符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．如图所示，现要在一块三角形草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条中线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三边的垂直平分线的交点， 故选：D 2．如图，已知在中，边的垂直平分线交于点，再以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径面弧交于点，作射线恰好交于点；若，，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线和垂直平分线的尺规作图和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线和垂直平分线的尺规作图和性质．过点作于点，根据题意得到，然后根据垂直平分线的性质得到，，然后利用的面积为求出，进而利用代数求解即可． 【详解】解：过点作于点， 由作图可知，射线为的平分线， ， 直线为线段的垂直平分线， ，， 的面积为， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定及性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得，，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形周长公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：连接． 垂直平分， ， ，， ∴垂直平分， ， ； （2）的周长为21cm， ， ， ， ，， ， ． 类型四、等腰三角形的性质与判定 【解惑】如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质． 根据等腰三角形的性质可得的度数，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据求解即可． 【详解】解：，， ， ， 垂直平分AC， ， ， ． 故选：． 【融会贯通】 1．如图所示，在的内部有一点，点与关于对称，点与关于对称，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定，熟记性质是解题的关键．根据轴对称的性质可得，，，然后求出，再根据等腰直角三角形的定义判定即可． 【详解】解：点与关于对称，点与关于对称， ，，， ， ， ， 是等腰直角三角形． 故选：D． 2．若等腰三角形一条腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的底角为 ． 【答案】70或20 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1， ∵， ∴， ∴三角形的顶角为； ∴底角为， ②当为钝角三角形时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴三角形的顶角为， ∴底角为 故答案为：70或20． 3．如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G． (1)吗？请说明你的理由； (2)试说明． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明是等腰直角三角形，得出，再证明，即可得证； （2）证明得出，由（1）得，即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等腰直角三角形． ． 在和中，，， 又， ． ，， ∴． ． （2）解：在和中， 平分， ． ，， ． ． 由（1）得， ． 类型五、等边三角形的性质与判定 【解惑】如图，在中，，D、E是内两点，平分，，若，则的长是（    ） A．1 B．1.5 C．0.5 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点的应用是解题的关键． 延长交于N，记交于点，由等腰三角形的性质得，再证明为等边三角形，推出，，最后结合直角三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：延长交于N，记交于点， ∵，平分， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知，故①正确；由得，加之，，得到，所以；故③正确；根据，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；④由，得到，然后结合，即可判断④错误；⑤利用等边三角形的性质得到，再根据平行线的性质得到，于是，可知⑤正确． 【详解】解：①∵等边和等边， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；故①正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴；故③正确； ②∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故④错误； ⑤∵， ∴， ∵等边， ∴， ∴， ∴， ∴．故⑤正确； 综上所述，正确的结论是①②③⑤． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识点的运用．正确寻找三角形全等是解答本题的关键． 2．已知等边外一点，，连接PA，PB，PC，若，则 ． 【答案】 【分析】通过构造等边三角形，利用全等三角形的性质，将 、 转化到同一条线段上，从而找到 与 的关系．本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握通过构造全等三角形将分散线段转化到同一直线上是解题的关键． 【详解】解：延长 到 ，使 ，连接 ． 是等边三角形 ， ，四边形 内角和为 ， 又 在 和 中 ， ，即 是等边三角形 又 故答案为： ． 3．如图，在中，，点，分别在边，上，且，平分，过点作于点，作于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)的长为 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）由角平分线的性质可得线段长度相等，结合已知可证得，对应角相等，即可证得结论； （2）在边上截取，可证得，对应边相等，结合已知可得等边三角形，等量代换，代入已知条件计算即可． 【详解】（1）证明：∵，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，在边上取一点，使得． ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． ∴． 类型六、30°对应的直角三角形 【解惑】如图，在中，，点在的延长线上．若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形三线合一的性质，含30度角的直角三角形的性质，作于点E，由三线合一可得，再证，由30度角所对的直角边等于斜边的一半，可得，进而即可求解． 【详解】解：如图，作于点E， 中，，， ，即， ，， ， ， ， ， 故选C． 【融会贯通】 1．如图，在中，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据直角三角形两锐角互余得到，再由外角结合等腰三角形的判定得到，最后由含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，含角的直角三角形的性质，三角形的外角定理，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 2．如图，在中，，，于，，则 ， ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查含30度角的直角三角形．根据含30度角的直角三角形的性质，推出，，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2，1． 3．已知：如图，中，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，根据直角三角形的两个锐角互余，结合角度之间的数量关系求出，进而推出，根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴ ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． ∴． 类型七、画对称轴与设计轴对称图案 【解惑】画出下列轴对称图形的所有的对称轴． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，根据轴对称图形的性质，对称轴两边的部分能够完全重合，作出各图形的对称轴即可． 【详解】解：如图： 【融会贯通】 1．画出下列轴对称图形的对称轴． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画对称轴，根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此解答即可． 【详解】解：如图所示： 2．如图，在相同小正方形组成的网格纸上，有三个黑色方块，请你用三种不同的方法分别在图1、图2、图3上再选一个小正方形方块涂黑，使得四个黑色方块组成轴对称图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了轴对称图形的概念和性质，解题的关键是根据轴对称图形的定义，找到不同的对称轴，再确定对称位置的小正方形．​ 先明确轴对称图形的定义：沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合；观察已有三个黑色方块的位置关系，尝试寻找可能的对称轴，如水平方向、竖直方向或斜向的直线；根据找到的对称轴，确定能使四个黑色方块组成轴对称图形的对称小正方形位置，每种方法对应不同的对称轴．​ 【详解】解：如图所示．（答案不唯一） 3．把一个大正方形分成9个相同的小方格，给图中的1个白色小方格涂上阴影，使整个图形成为一个轴对称图形，请用4种不同的画法表示． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图案的设计，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此设计图案即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 类型八、作垂直平分线与等腰三角形 【解惑】如图，某电信部门要在公路、之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄、的距离相等，到公路、的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查作图-应用与设计作图．由题意分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，点P即为所求作的点． 【融会贯通】 1．如图，两条公路，途经，两个村庄，为了振兴乡村经济，有关部门规划利用内部的空地建一个养殖基地，基地需要满足到村庄，距离相等，并且到公路，距离也相等，请你用尺规作图的方法确定出养殖基地的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析． 【分析】本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形．作平分，作线段的垂直平分线，交于点，点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 2．如图，在中，，． (1)利用尺规作等腰，使点D，A在直线的同侧，且，．（保留作图痕迹，不写画法） (2)设（1）中所作的的边交于E点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法． （1）先作，然后截取； （2）作交于F，根据平行线的性质得到，利用等腰三角形的性质计算出，，则，从而得到，然后证明，从而得到结论． 【详解】（1）解：如图，点D为所作； （2）证明：作交于F，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 3．如图，在中，，点在边上．请用尺规作图法，在内求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据作图可得，进而根据等边对等角以及三角形的内角和定义，即可求解． 【详解】解：如图， 根据作图可得 ∴ 类型九、平面直角坐标系中的轴对称 【解惑】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点在小正方形的顶点处，点的坐标分别为． (1)请在网格中建立符合题意的平面直角坐标系，点的坐标为___________； (2)平移点得到点，若点与点关于轴对称，直接写出一种平移方式； (3)在（2）的条件下，为直线上的点，则点到轴的距离为___________． 【答案】(1)建立平面直角坐标系见解析， (2)将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查了点的坐标，点的平移，点关于坐标轴对称，点到坐标轴的距离；掌握点的平移规律，点关于坐标轴对称规律及点到坐标轴的距离求法是解题的关键． （1）根据的坐标分别为确定平面直角坐标系，写出的坐标，即可求解； （2）根据点与点关于轴对称得，由点的平移规律写出平移方式，即可求解； （3）由直线轴得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，建立平面直角坐标系如下： ， 故答案为：； （2）解：点与点关于轴对称， ， 将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到；（答案不唯一） （3）解：由（2）得直线轴， ，为直线上的点， ， 点到轴的距离为， 故答案为：． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，已知，． (1)若点与点关于轴对称，则点的坐标为______； (2)在平面直角坐标系中画出； (3)的面积为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)2 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，关于y轴对称的点的特征等，数形结合是解题的关键． （1）关于y轴对称，根据“横坐标互为相反数，纵坐标相等”求解即可； （2）根据点的坐标在平面直角坐标系中找到相应位置，并依次连接即可； （3）直接利用三角形面积公式求解即可； 【详解】（1）若点与点关于轴对称，， 点的坐标为． 故答案为：． （2）如图所示： （3）由图知，． 故答案为：2． 2．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将的三个顶点的横坐标乘，纵坐标乘2，得到对应的点，，，请画出． (2)的面积为__________；的面积为__________（直接写出结果）． (3)点P为x轴上一点，且的值最小，画出点P，并求出点P的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)； (3)点P的坐标为，画图见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的图形变换(坐标缩放)、三角形面积计算、最短路径问题(将军饮马模型) ，解题的关键是掌握坐标变换规律、利用割补法或底高公式计算三角形面积、运用轴对称性质转化最短路径问题． （1）画：根据坐标变换规则，分别计算的坐标(横坐标，纵坐标，再在坐标系中描点并连接； （2）求与的面积：先判断的形状垂直x轴，可作底)，用“底高”计算面积是经缩放得到，面积比为缩放比的平方(横纵缩放比分别为2，面积比为； （3）找x轴上使最小的点P：利用轴对称，作点A关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为P，再求的直线解析式，令得P的坐标． 【详解】（1）解：由坐标变换规则计算各点坐标：     →；     →；     →；   在平面直角坐标系中描出，顺次连接三点，即得． （2）解：① 计算的面积：   ∵ 、， ∴ 轴,长度；   过作的垂线，水平距离为；   ∴ 高．   ② 计算的面积：   是经“横缩放2倍、纵缩放2倍”得到，面积比；   ∴ ．   故答案为：；． （3）解：作点关于x轴的对称点，则；   设直线的解析式为，代入、：         解得：，；    ∴ 直线的解析式为．   令，则， ∴；   ∴ 点P的坐标为，在x轴上描出如图所示．   3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为____________ (3)求的面积； (4)已知点P为x轴上的一点，若时，则点P的坐标为_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了点的坐标与轴对称变换，三角形的面积等知识点，熟练掌握点的坐标变换规律是解题的关键． （1）先根据点的坐标描出点A，B，C，再顺次连接即可； （2）根据点的坐标关于y轴对称的变换规律即可； （3）利用割补法求的面积； （4）设点，则，利用三角形的面积公式可得一个关于m的绝对值方程，解方程即可． 【详解】（1）如图所示： （2）点D与点C关于y轴对称，， 点D的坐标为． （3） ， ． 的面积等于11． （4）设，则， 由得， 解得或． 点P的坐标为或． 类型十、三角形中边与角之间的不等关系 【解惑】如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【答案】；在三角形中，大边对大角；对顶角相等；；；在三角形中，大角对大边 【分析】本题考查三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质，根据三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质解答即可． 【详解】证明：在中， （在三角形中，大边对大角） （对顶角相等） （在三角形中，大角对大边） 【融会贯通】 1．我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，如果两边不相等，它们所对的角之间的大小关系如何呢？小明同学在学习了三角形的相关知识后，他发现，可以通过证明三角形全等，结合三角形外角定理探究该问题．根据他的想法和思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在中，作的平分线交于点D，在上截取，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：在中，．求证：． 证明：∵平分， ∴ ① ， 在和中， ∴ ③ ， ∵， ∴． 结论：在三角形中，如果两条边的长度不相等，那么它们所对的角也不相等，且大边所对的角较 ④ ．（填“大”或“小”）． 【答案】（1）见解析 （2），，，大 【分析】此题考查了基本作图，全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质等知识，证明是关键． （1）按照角平分线的作图方法作图，再作线段等于已知线段即可； （2）证明，则，由得到． 【详解】（1）如图即为所求， （2）已知：在中，．求证：． 证明：∵平分， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵， ∴． 结论：在三角形中，如果两条边的长度不相等，那么它们所对的角也不相等，且大边所对的角较大．（填“大”或“小”）． 故答案为：，，，大 2．（1）如图（1），在中，已知． ①求证； ②若是边的中点，连接，求证． （2）如图（2），在中，已知，且是内的一点，，求证． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要涉及三角形中的边角关系以及全等三角形的相关知识． （1）①利用大边对大角的定理来证明角的大小关系；②通过构造全等三角形，结合大边对大角来证明； （2）通过旋转三角形构造全等，再利用等边对等角，大角对大边来证明． 【详解】（1）①在中，已知，根据三角形中大边对大角的定理：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，大边所对的角较大． ， ②延长到点，使，连接， 是边的中点， ， 又， ， ， 又， ， ， ； （2）将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，则， ， ， ， 设与交于点， ， ， ， 在中，有， 3．阅读与思考 小明周末去图书馆学习，偶然间发现一本《几何原本》，阅读第一卷，就对其中的一个命题很感兴趣，于是将这段抄录在笔记本上，并完成了证明．下面是小明的笔记内容，请仔细阅读并完成相应任务． 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角”． 下面是上述命题的证明． 已知：如图1，在中，． 求证：． 证明：如图2，由于，故在边上截取，连接． ， ，（依据1） 是的外角， ，（依据2） ， ． ，，． 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：__________；依据2是指：__________． (2)如图3，在四边形中，，．请猜想和的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)等边对等角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (2)，证明过程见详解； 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质等，熟知相关性质定理并正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据证明过程写这两步的依据即可； （2）连接，由，得，在边上截取，连接，方法同（1），即可证明结论； 【详解】（1）解：如图2，由于，故在边上截取，连接． ， ，（等边对等角） 是的外角， ，（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ， ． ， ， ． 故答案为：等边对等角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； （2）证明：如图，连接， ， ， 由于， 在边上截取，连接． ， 是的外角， ， ， ． ， ， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$