15.1—15.3 图形的轴对称 画轴对称的图形 等腰三角形-2025-2026学年人教版八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

15.1—15.3 图形的轴对称 画轴对称的图形 等腰三角形 一、图形的轴对称 轴对称图形：把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。 两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 轴对称的性质： 1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3.如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 二、画轴对称的图形 在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等。 三、等腰三角形 等腰三角形的性质： 1.等腰三角形的两个底角相等。 2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 3.设等腰三角形的腰长为a，底边长为b，则<a。 4.设等腰三角形的顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=。 等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。 巩固课内例1:轴对称的性质 1．如图是一个简易的飞机模型示意图，机翼和关于机身对称，交于点，已知．下列说法中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点P关于，的对称点分别为C、D，连接，交于M，交于N，若的周长为，则的长为 ． 3．如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点_____，的对应角是_____； (2)已知，，求的长． 巩固课内例2:线段垂直平分线的性质定理 1．如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是13，则线段的长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则 ． 3．如图，在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为． (1)求的长及的度数； (2)分别连接，若的周长为，求的长． 巩固课内例3:线段垂直平分线的判定定理 1．游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 2．如图，在 中，，，， ． 3．如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 巩固课内例4:作线段的垂直平分线 1．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为（　） A． B． C． D． 2．如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为 ． 3．如图，中． (1)作边，的垂直平分线分别交于，两点，垂足分别是，．（保留痕迹，不写作法） (2)连接、，若，求的周长． 巩固课内例5:已知对称轴，画另一半对称图形 1．如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图1是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请在下图中补全图形，并思考可能的位置有 种．（请在图中利用阴影标出） 3．如图，正方形方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，的三个顶点都在格点上． (1)在方格纸中画出关于直线a的对称图形． (2)求的面积． 巩固课内例6:在平面直角坐标系中画对称图形 1．在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则的值是（   ） A． B． C．3 D．1 2．已知点与点关于x轴对称，则 ， ． 3．已知：如图，三个点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的图形；写出各顶点坐标； (2)求的面积． (3)在x轴上找一点P，使得它到点A和点C的距离和最小（不要求写作法，保留作图痕迹） 巩固课内例7:等腰三角形的性质求角度 1．如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，垂直平分线段于点D，的平分线交于点E，连接，则的度数是 ． 3．如图，在中，，D、C、B、E在一条直线上，且，求各角的度数． 巩固课内例8:平行+角平分线=等腰 1．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与另外一把直尺边缘的交点为，点在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，则的长度是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在中，平分，且于点，交于点，，．那么的周长为 ． 3．如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 巩固课内例9:作等腰三角形 1．综合实践课上，数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作等腰三角形的三种情况，图1，图2，图3分别对应下面三种情况中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（　　） ①已知底边长和腰长；②已知底边长和一个底角；③已知底边长和底边上的高 A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③ 2．如图，已知，点B为AN上一点．用尺规按如下过程作图：以点A为圆心，以任意长为半径画弧，交AN于点D，交AM于点E；以点B为圆心，以AD长为半径作弧，交AB于点F；以点F为圆心，以DE长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接BG并延长交AM于点C，则 ． 3．操作与实践 (1)学习了尺规作图之后，小桂按以下步骤进行了尺规作图的练习： 第一步：分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点； 第二步：过点，作直线． 根据以上作图，可知小桂作的直线是线段的________． (2)小桂的尺规作图笔记里有这么一道题目： 如图，已知线段，，求作，使，且，高． 请你帮助小桂完成尺规作图（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (3)在（2）所作的图中，已知边上的高为，根据题意补全图形，则与的数量关系是________． 巩固课内例10:等腰三角形的判定 1．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 2．把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是 ． 3．阅读应用：等腰三角形在我们的日常生活中随处可见，它的性质与判断更是我们省每年中考中的必考点，如图1，在中，当时，我们把这种判断等腰三角形的依据叫做在同一个三角形中，等角对等边．应用这一结论，解决下面问题： 如图2，在和中，与相交于点E，，，求证：三角形是等腰三角形． 巩固课内例11:30°对应的直角边等于斜边一半 1．如图，中，是斜边上的高，，则的长度是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，， 垂直平分，分别交 、 于点D、E，平分，， ，则 的长为 ． 3．如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 类型一、轴对称图形的认识 1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．观察下列图形，其中是轴对称图形的是 （填序号） 3．生活中处处有数学，欣欣利用图1中常见的安全出口标志在图2中设计图案，图2中的网格中每个小正方形的边长都为1．请帮欣欣完成设计过程． (1)图1中的图案，英文上方的部分是___________图形．（填“轴对称”或“中心对称”） (2)图2中欣欣将图形①向上平移___________格得到图形②，帮助欣欣画出将图形①向下平移3格后的图形③． (3)图形①②③的面积和为___________． 类型二、画对称轴 1．下面图形中只能画一条对称轴的是（　　） A． B． C． 2．正五边形是轴对称图形，它有 条对称轴． 3．试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格： 正多边形的边数 3 4 5 6 7 … 对称轴的条数 … 根据上表，猜想正n边形有________条对称轴． 类型三、等腰三角形的边长与周长 1．如图，在中，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．3 D．5 2． 如图，，．若，的周长为10，则的周长为 ． 3．如图，在中，点是边上一点，点为外的一点，连接，，，其中，． (1)求证：； (2)若，，，求的周长． 类型四、等边三角形的性质 1．如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为 ． 3．已知，如图，为等边三角形，点在边上，点在边上，并且，和相交于点，于点． (1)求证：； (2)若，，则________，________． 类型一、台球问题 1．如图，，为了使白球反弹后能将黑球直接撞人袋中，那么击打白球时，必须保证的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是 ． 3．如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．    (1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； (2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 类型二、折叠问题 1．如图，把一张上下两边平行的纸条沿折叠，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别落在，的位置上，与交于G点，若，则 ． 3．如图，在长方形纸片中，，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折角，点，的对应点分别为点，，折叠后点，的对应点恰好都为点． (1)若，求的度数． (2)当时，帽子比较美观，求此时的度数． 类型三、三线合一 1．如图，在等腰三角形 中， 是底边 上的高线， 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则 的长为（     ） A．1 B．3 C．5 D．6 2．如图，在中，，，D是上一点，．若，则的面积为 ． 3．如图，在中，是高，是中线，，是的中点．求证： (1)； (2)． 类型一、设计轴对称图案 1．给如图中的1个白色小方格涂色，使涂色部分成为一个轴对称图形，有（    ）种涂法． A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图所示的棋盘有4颗棋子，只移动其中的一颗棋子一步（可前后左右，也可沿正方形的对角线移动，棋子不能重叠），移动后的所有棋子所组成的图形是轴对称图形，则有 种不同的移法． 3．如图所示在3×3的正方形网格中，已经有3个小正方形涂了阴影，请你在余下的空白小方格中涂上1个阴影使整个图形成为轴对称图形，把几种不同的涂法分别展示出来． 类型二、两圆一线画等腰 1．如图，在中，，在坐标轴上取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．平面直角坐标系中，已知，若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是 ． 3．在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于y轴对称的； (2)直接写出，，三点的坐标；． (3)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的Q点有______个． 类型三、牧民饮马问题 1．昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 2．如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点 处，（填图中的字母） 3．综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.1—15.3 图形的轴对称 画轴对称的图形 等腰三角形 一、图形的轴对称 轴对称图形：把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。 两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 轴对称的性质： 1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3.如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 二、画轴对称的图形 在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等。 三、等腰三角形 等腰三角形的性质： 1.等腰三角形的两个底角相等。 2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 3.设等腰三角形的腰长为a，底边长为b，则<a。 4.设等腰三角形的顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=。 等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。 巩固课内例1:轴对称的性质 1．如图是一个简易的飞机模型示意图，机翼和关于机身对称，交于点，已知．下列说法中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质，分析每个选项是否正确．轴对称图形中，对应线段相等，对应角相等，对应点所连线段被对称轴垂直平分．本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称图形对应线段相等、对应角相等，对应点所连线段被对称轴垂直平分是解题的关键． 【详解】解：∵ 机翼和关于机身对称， ∴ ，，． 又∵ ， ∴ ． ，故项正确，不符合题意． 题目中未给出关于长度的任何条件，无法得出，故项错误，符合题意． ，故项正确，不符合题意． ，故项正确，不符合题意． 故选：． 2．如图，点P关于，的对称点分别为C、D，连接，交于M，交于N，若的周长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，由轴对称的性质可得，，结合的周长为，得出，即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点P关于，的对称点分别为C、D，连接，交于M，交于N， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴，即， 故答案为：． 3．如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点_____，的对应角是_____； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)E， (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据与关于直线对称确定对称点，从而确定对称角； （2）利用轴对称的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴图中点C的对应点是点E，的对应角是； 故答案为：E，． （2）解：∵与关于直线对称， ∴， ∴， ∴． 巩固课内例2:线段垂直平分线的性质定理 1．如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是13，则线段的长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，再根据题意得到，即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长是13， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故选：C． 2．如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查垂直平分线性质，三角形内角和定理，角度计算，正确记忆相关知识点是解题关键．根据题意利用垂直平分线性质可得，再利用三角形内角和定理可得，继而得到本题答案． 【详解】解：在中，，， ， 的垂直平分线分别交、于点、， ， ， 故答案为：． 3．如图，在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为． (1)求的长及的度数； (2)分别连接，若的周长为，求的长． 【答案】(1)的长是，的度数是 (2)的长是 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用线段垂直平分线的性质和数形结合的思想解答． （1）根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和可以解答本题； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长及（1）中的长可以解答本题． 【详解】（1）解：∵在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为． ∴，，，， ∴，，， ∴，， 即的长是，的度数是； （2）解：如图， 由题意可得，，，， ∴， ∵的周长为， ∴， ， ∴， ∴， 即的长是． 巩固课内例3:线段垂直平分线的判定定理 1．游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，游戏的公平性，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键． 为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，根据线段的垂直平分线的判定可得，要放在三边中垂线的交点上． 【详解】解：为使游戏公平，则凳子应该放在到的三个顶点的距离相等的位置， 根据线段的垂直平分线的判定可得，最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 2．如图，在 中，，，， ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，根据题意可得垂直平分，则由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， 故答案为：． 3．如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据进行计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∵， ∴ ． 巩固课内例4:作线段的垂直平分线 1．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由垂直平分线的性质可得，由的周长得到答案． 【详解】解：由作图的过程可知，是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 故选：C． 2．如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为 ． 【答案】/25厘米 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，作图-基本作图，先由作图得出是中垂线，则，，得到的周长，进而可得答案． 【详解】解：由题意得到：是中垂线， ∴，， ∴， ∵的周长为，即， ∴周长． 故答案为：． 3．如图，中． (1)作边，的垂直平分线分别交于，两点，垂足分别是，．（保留痕迹，不写作法） (2)连接、，若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了简单作图垂直平分线，线段垂直平分线的性质．熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）根据尺规作垂直平分线的方法进行操作即可； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，然后等量代换的周长等于的长． 【详解】（1）解：如图： （2）解：∵垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长． 巩固课内例5:已知对称轴，画另一半对称图形 1．如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．根据题意画出图形，找出对称轴及相应的三角形即可． 【详解】如图： 共3个， 故选：C ． 2．如图1是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请在下图中补全图形，并思考可能的位置有 种．（请在图中利用阴影标出） 【答案】4，画图见解析 【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案． 【详解】解：根据题意可得可能的位置有4种，如下图所示： 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的定义是解题关键． 3．如图，正方形方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，的三个顶点都在格点上． (1)在方格纸中画出关于直线a的对称图形． (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了轴对称的作图，利用网格求三角形的面积． （1）作出关于直线a对称的对称点，顺次连接即可； （2）根据网格并利用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ； （2）解：． 巩固课内例6:在平面直角坐标系中画对称图形 1．在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则的值是（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，关键是熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征．根据关于y轴对称的点的坐标特点：两个点关于y轴对称时，它们的纵坐标相同，横坐标符号相反，即可得出答案． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得：，， ∴． 故选：D． 2．已知点与点关于x轴对称，则 ， ． 【答案】 1 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征及二元一次方程组的解法，解题的关键在于根据对称条件建立方程组．根据关于x轴对称的点的坐标特征，点P和点Q的横坐标相等，纵坐标互为相反数，从而建立方程组求解a和b的值． 【详解】解：点与点关于x轴对称， ， 解得 ， 故答案为：1，． 3．已知：如图，三个点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的图形；写出各顶点坐标； (2)求的面积． (3)在x轴上找一点P，使得它到点A和点C的距离和最小（不要求写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 (2)5 (3)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，再根据各顶点在坐标系中的位置写出顶点坐标即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）作点关于轴的对称点,连接，交x轴于点P，则点P即为所求，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：的面积为． （3）解：如图，作点关于轴的对称点,连接，交x轴于点P，连接， 则，此时点P到点A和点C的距离和最小，故点P即为所求作． 巩固课内例7:等腰三角形的性质求角度 1．如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．先利用平行线的性质求出，再利用等边对等角即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．如图，，垂直平分线段于点D，的平分线交于点E，连接，则的度数是 ． 【答案】/115度 【分析】此题主要考查了垂直平分线的性质、等边对等角、直角三角形的性质、角平分线的定义等知识．由角平分线的定义得到，垂直平分线段于点D，则，，由直角三角形两锐角互余得到，由邻补角即可得到的度数． 【详解】解：∵的平分线交于点E，， ∴， ∵垂直平分线段于点D， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，，D、C、B、E在一条直线上，且，求各角的度数． 【答案】，，． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识，由等腰三角形的性质得到，，根据三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内角和定理即可求出，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 巩固课内例8:平行+角平分线=等腰 1．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与另外一把直尺边缘的交点为，点在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，则的长度是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查求线段长，涉及角平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键．先过点作，如图所示，由题意可知为的角平分线，结合角平分线性质、平行线的性质及等腰三角形的判定与性质得到，再由即可确定答案． 【详解】解：过点作，如图所示： 由题意可知，，且， 为的角平分线， 则， ， ， 则， ， 点在这把直尺上的刻度读数分别是2，5， ，则， 故选：B． 2．如图，在中，平分，且于点，交于点，，．那么的周长为 ． 【答案】 【分析】利用角平分线、垂直的性质以及平行线的性质，得出线段相等关系，进而将的周长转化为的长度．本题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，平分， ∴，， ∵， ∴（） ∴，． 的周长为 故答案为：． 3．如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查角平分线定义，平行线的性质，等角对等边，等腰三角形的性质： （1）根据角平分线及平行线推出，即可得到． （2）根据平行线的性质求出，再利用等腰三角形的性质求出的度数． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，F是的中点， ∴． 巩固课内例9:作等腰三角形 1．综合实践课上，数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作等腰三角形的三种情况，图1，图2，图3分别对应下面三种情况中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（　　） ①已知底边长和腰长；②已知底边长和一个底角；③已知底边长和底边上的高 A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线的尺规作图，线段的尺规作图，作与已知角相等的角的尺规作图，解题关键是熟悉相关作图方法．根据相关作图方法进行判断求解即可． 【详解】解：由作图方法可知，图1对应的是②已知底边长和一个底角，利用底角先作底边，过另一底点作一个角等于已知角； 图2对应的是①已知底边长和腰长，先作底边，再过两底点作线段等于腰长； 图3对应的是③已知底边长和底边上的高，先作底边，再作底边的垂直平分线，截取高； 其对应顺序正确的是②①③， 故选：D． 2．如图，已知，点B为AN上一点．用尺规按如下过程作图：以点A为圆心，以任意长为半径画弧，交AN于点D，交AM于点E；以点B为圆心，以AD长为半径作弧，交AB于点F；以点F为圆心，以DE长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接BG并延长交AM于点C，则 ． 【答案】110°/110度 【分析】根据作法得：∠ABC=∠MAN=55°，再根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：根据作法得：∠ABC=∠MAN=55°， ∵∠BCM=∠MAN+∠ABC， ∴∠BCM=110°． 故答案为：110° 【点睛】本题主要考查了尺规作图——作一个角等于已知角，三角形外角的性质，熟练掌握作一个角等于已知角的作法，三角形外角的性质是解题的关键． 3．操作与实践 (1)学习了尺规作图之后，小桂按以下步骤进行了尺规作图的练习： 第一步：分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点； 第二步：过点，作直线． 根据以上作图，可知小桂作的直线是线段的________． (2)小桂的尺规作图笔记里有这么一道题目： 如图，已知线段，，求作，使，且，高． 请你帮助小桂完成尺规作图（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (3)在（2）所作的图中，已知边上的高为，根据题意补全图形，则与的数量关系是________． 【答案】(1)垂直平分线 (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一、直角三角形的性质等知识，熟练掌握尺规作图和等腰三角形的三线合一是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图即可得； （2）先作射线，在射线上截取，再作的垂直平分线，交于点，然后在射线（或射线）上截取，连接即可得； （3）先根据等腰三角形的三线合一、直角三角形的性质可得，，从而可得，再根据直角三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：由线段垂直平分线的尺规作图可知，小桂作的直线是线段的垂直平分线， 故答案为：垂直平分线． （2）解：如图，即为所作． ． （3）解：由题意补全图形如下： ∵，， ∴，， ∴， ∵边上的高为，即， ∴， ∴， 故答案为：． 巩固课内例10:等腰三角形的判定 1．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理应用．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴是等腰三角形；故选项A不符合题意； B、∵， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故选项B不符合题意； C、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故选项C不符合题意； D、∵ ∴， ∴不是等腰三角形，故选项D符合题意． 故选：D． 2．把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是 ． 【答案】等腰三角形 【分析】该题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握折叠前后角度不变是解题的关键．根据折叠的性质得到，而，即可得，证得，从而得到的形状． 【详解】解：在长方形纸片中， ∴， 根据折叠可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 3．阅读应用：等腰三角形在我们的日常生活中随处可见，它的性质与判断更是我们省每年中考中的必考点，如图1，在中，当时，我们把这种判断等腰三角形的依据叫做在同一个三角形中，等角对等边．应用这一结论，解决下面问题： 如图2，在和中，与相交于点E，，，求证：三角形是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；由证明，得出对应角相等，再由等角对等边即可得出结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴三角形是等腰三角形． 巩固课内例11:30°对应的直角边等于斜边一半 1．如图，中，是斜边上的高，，则的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键． 根据题意易得：，然后根据角的直角三角形的性质先在中求出，再在中即可求出，即可求出答案． 【详解】解：中， ∵， ∴， ∵是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴ 故选：D 2．如图，在中，， 垂直平分，分别交 、 于点D、E，平分，， ，则 的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，中垂线的性质，等腰三角形的性质，根据中垂线的性质，得到，含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据垂直平分得，再根据，得，由此即可得出结论； （2）先根据垂直平分得出．再证明，然后根据等边三角形与直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ，， ， 为等边三角形； （2）解：，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴在直角中，， ∴， ∴. 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． 类型一、轴对称图形的认识 1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、B、C的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项D的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2．观察下列图形，其中是轴对称图形的是 （填序号） 【答案】①②③④⑥ 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，牢记轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．根据轴对称图形的定义，寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合的图形即为所求． 【详解】解：①②③④⑥沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，都是轴对称图形． 故答案为：①②③④⑥． 3．生活中处处有数学，欣欣利用图1中常见的安全出口标志在图2中设计图案，图2中的网格中每个小正方形的边长都为1．请帮欣欣完成设计过程． (1)图1中的图案，英文上方的部分是___________图形．（填“轴对称”或“中心对称”） (2)图2中欣欣将图形①向上平移___________格得到图形②，帮助欣欣画出将图形①向下平移3格后的图形③． (3)图形①②③的面积和为___________． 【答案】(1)轴对称； (2)，图见解析； (3)． 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，图形的平移变换，图形的面积计算，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据轴对称图形的定义即可判断； （2）根据图形①向上平移的格数即可得出答案，画出向下平移格的图形即可； （3）根据网格知识利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：图1中的图案，英文上方的部分是轴对称图形， 故答案为：轴对称； （2）解：图2中欣欣将图形①向上平移格得到图形②， 故答案为：； 欣欣将图形①向下平移3格后的图形③，图形③即为所求，如图： （3）解：由网格可得： 图形①的面积为：， ∴图形①②③的面积和为：， 故答案为：． 类型二、画对称轴 1．下面图形中只能画一条对称轴的是（　　） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，此题的解题关键是掌握画对称轴的方法与技巧． 根据画对称轴的步骤：找出轴对称图形的任意一组对称点；连接对称点；画出对称点所连线段的中点，再沿着中点画一条垂线，就可以得到该图形的对称轴．据此画出3个选项里图形的对称轴，找出只能画一条对称轴的图形． 【详解】 A．能画4条对称轴； B．不能画出对称轴； C．只能画一条对称轴． 故答案为：C 2．正五边形是轴对称图形，它有 条对称轴． 【答案】5/五 【分析】本题主要考查了轴对称图形的对称轴条数，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和对称轴的定义．根据轴对称图形和对称轴的定义进行求解即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：正五边形是轴对称图形，它有5条对称轴， 故答案为：5 3．试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格： 正多边形的边数 3 4 5 6 7 … 对称轴的条数 … 根据上表，猜想正n边形有________条对称轴． 【答案】对称轴见解析；3，4，5，6，7；n. 【分析】轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可解答． 【详解】解：如图． 故表格中依次填3，4，5，6，7； 猜想正n边形有n条对称轴． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，正确理解轴对称图形的定义是解决本题的关键. 类型三、等腰三角形的边长与周长 1．如图，在中，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是掌握等角对等边．根据等腰三角形的判定可得，继而得出的长． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D 2． 如图，，．若，的周长为10，则的周长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质．通过证明，由等角对等边求得，据此求解即可． 【详解】证明：在和中，   ， ∴， ∴的周长等于的周长， ∵， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴的周长， ∴的周长为14． 故答案为：14． 3．如图，在中，点是边上一点，点为外的一点，连接，，，其中，． (1)求证：； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定，等角对等边，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）由可得，根据即可求出的周长． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为． 类型四、等边三角形的性质 1．如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，由等边三角形的性质推出垂直平分是解题的关键．由等边三角形的性质推出，，由线段垂直平分线的性质推出，得到，判定是等腰直角三角形，得到，即可求出的度数． 【详解】解： 是等边三角形，， ，， 垂直平分， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ． 故选：A． 2．如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，利用等边三角形性质得到，结合题意进而得到，再根据三角形外角性质得到，即可解题． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 3．已知，如图，为等边三角形，点在边上，点在边上，并且，和相交于点，于点． (1)求证：； (2)若，，则________，________． 【答案】(1)见解析 (2)6，7 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质． （1）证明，即可推出结论； （2）根据三角形外角的性质推出，再根据含角的直角三角形的性质推出的长即可推出结果． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6，7． 类型一、台球问题 1．如图，，为了使白球反弹后能将黑球直接撞人袋中，那么击打白球时，必须保证的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、轴对称的性质：如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称．先根据三角形的内角和定理求得，再根据反射角等于入射角得到，进而可得答案． 【详解】解：由题意，，， ∵， ∴， 故选：C． 2．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了小球碰撞正方形边时的对称问题、点的坐标的规律；作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2025除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：∵弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角， ∴小球第1次碰到正方形的边时的点为， 小球第2次碰到正方形的边时的点为， 小球第3次碰到正方形的边时的点为， 小球第4次碰到正方形的边时的点为， 小球第5次碰到正方形的边时的点为， 小球第6次碰到正方形的边时的点为，重复， ∴小球每6次碰撞是一个循环组， ∵， ∴的坐标与相同， ∴． 故答案为：． 3．如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．    (1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； (2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作点P关于是对称点，连接′交于M，点M即为所求． （2）作点P关于是对称点，点Q关于的对称点，连接交于E，交于F，点E，点F即为所求． 【详解】（1）解：如图，运动路径：，点M即为所求．    （2）解：如图，运动路径：，点E，点F即为所求．    【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 类型二、折叠问题 1．如图，把一张上下两边平行的纸条沿折叠，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形翻折的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． 根据翻折可得，再根据平行线的性质，即“两直线平行，同旁内角互补”可求解的度数，由此可解． 【详解】解：如图， ∵把一张上下两边平行的纸条沿折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：C ． 2．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别落在，的位置上，与交于G点，若，则 ． 【答案】/68度 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，先根据平行线的性质求得的度数，再根据折叠求得的度数，最后根据平角的定义计算的大小． 【详解】解：∵为长方形， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，在长方形纸片中，，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折角，点，的对应点分别为点，，折叠后点，的对应点恰好都为点． (1)若，求的度数． (2)当时，帽子比较美观，求此时的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了折叠问题，平行线的性质，角的和差等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由折叠可知，，，再根据平行线的性质即可求解； （2）由折叠的性质得到，求得，同理可得得到，进一步得到，由，，求出，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠可知，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）知，， ∵， ∴， 由折叠可知，， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型三、三线合一 1．如图，在等腰三角形 中， 是底边 上的高线， 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则 的长为（     ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，证明是解答本题的关键．先证明，即有，再根据“三线合一”的性质即可求解． 【详解】解：∵，是底边上的高线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵根据题意有，， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，，，D是上一点，．若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，分别过点作的垂线，垂足分别为，证明，推出，根据题意易证是等腰三角形，根据三线合一得到，进而得到，利用的面积为即可求解． 【详解】解：分别过点作的垂线，垂足分别为， 则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 3．如图，在中，是高，是中线，，是的中点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质和三角形外角的性质，作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据直角三角形斜边中线的性质和等腰三角形的性质解答即可； （2）由（1）知：是等腰三角形，则，根据三角形外角的性质可得． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的中线， ∴是的中线， ∵是高， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵是的中点， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型一、设计轴对称图案 1．给如图中的1个白色小方格涂色，使涂色部分成为一个轴对称图形，有（    ）种涂法． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查了轴对称图形，解题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置得出不同图案．根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：如图，在数字所在方格涂上颜色，涂色部分是轴对称图形，共有4种涂法， 故选：C． 2．如图所示的棋盘有4颗棋子，只移动其中的一颗棋子一步（可前后左右，也可沿正方形的对角线移动，棋子不能重叠），移动后的所有棋子所组成的图形是轴对称图形，则有 种不同的移法． 【答案】4 【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的特征是解题的关键． 根据轴对称图形的特征画出所有可能结果即可解答． 【详解】解：如图：有4种不同的移法． 故答案为：4． 3．如图所示在3×3的正方形网格中，已经有3个小正方形涂了阴影，请你在余下的空白小方格中涂上1个阴影使整个图形成为轴对称图形，把几种不同的涂法分别展示出来． 【答案】有2种，图形见解析． 【分析】根据轴对称图形的性质求解即可；本题主要考查了做轴对称图形，准确作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意作图如下： 类型二、两圆一线画等腰 1．如图，在中，，在坐标轴上取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要运用等腰三角形的性质，通过分别以三角形的两个顶点为圆心，以三角形的一边为半径作圆，以及作三角形一边的垂直平分线，找出与坐标轴的交点，从而确定等腰三角形的个数．其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解． 【详解】解：以为圆心，以为半径作圆；以为圆心，以为半径作圆，连接两圆的交点， ∵以为圆心，以为半径作圆，与轴交点(除点外)，与轴交点(除点外)； ∴，即点是符合条件的点， ∴有个交点，使得是等腰三角形， 同理以为圆心，以为半径作圆，与轴交(除点外)、与轴交(除点外)， 其中与轴的交点，与前一个圆与轴的交点重合， 即点、是符合条件的点， ∴有个交点，使得是等腰三角形， ∵连接两圆的交点，即的垂直平分线，与轴交点、与轴交点， 其中与轴的交点与前两个圆与轴的交点重合； 即点是符合条件的点， ∴有个交点，使得是等腰三角形， 故共有等腰三角形的个数为：(个)． 故选：B． 2．平面直角坐标系中，已知，若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是 ． 【答案】8 【分析】此题主要考查了点的坐标，等腰三角形的性质．根据题意分两大类：当点C在x轴上时，当点C在y轴上时，即可求解． 【详解】解：设的中点为点M， ∵， ∴点，即， 当点C在x轴上时，有以下三种情况： ①以点A为圆心，以为半径画弧交x轴于点和C，如图1所示： 此时， ∴和均为等腰三角形，则点和C为所求的点； ②以点B为圆心，以的长为半径画弧交x轴于点，如图2所示： 此时， ∴为等腰三角形，则点C为所求的点； ③过点M作交x轴于点C，连接，如图3所示： ∵的中点为点M， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴为等腰三角形，则点C为所求的点． 当点C在y轴上时，有以下两种情况： ①以点A为圆心，以为半径画弧交y轴于点和C，如图4所示： 此时， ∴和均为等腰三角形，则点和C为所求的点； ②以点B为圆心，以为半径画弧交y轴于点和点，如图5所示： 此时， ∴和为等腰三角形，则点C和点为所求的点； 综上所述，在坐标轴上取点C，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是8个． 故答案为：8 3．在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于y轴对称的； (2)直接写出，，三点的坐标；． (3)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的Q点有______个． 【答案】(1)见解析 (2)， ， (3) 【分析】本题考查轴对称作图，图形与坐标，熟练掌握轴对称的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键． （1）由点的对称性，作出图形即可； （2）关于轴对称的点的坐标特点：横坐标变为相反数，纵坐标不变，即可求解； （3）利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解． 【详解】（1）如图：即为所求， （2）由图可知，， 点关于轴对称的点为，点关于轴对称的点为，点关于轴对称的点为， ， ， （3）如图：以为圆心，长为半径作圆，此圆与坐标轴有个交点， 以为圆心，长为半径作圆，此圆与坐标轴有个交点，    作线段的垂直平分线，此线与坐标轴有个交点， ∴是等腰三角形时，点坐标有个， 故答案为：． 类型三、牧民饮马问题 1．昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径，先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，此时，满足A、B两小区到学校的距离之和最小，即可作答． 【详解】解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小， ∴先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，学校C的位置如图所示： ∴此时， 故选：C． 2．如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点 处，（填图中的字母） 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：如图：作点B关于直线a的对称点N，连接，则交直线a于点C， 由对称性可得，， ， 当三点共线时，最短， 点P的位置应选在点C处． 故答案为：C． 3．综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查将军饮马问题，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据成轴对称的性质，结合三角形的三边关系即可得出结论； （2）分别作点P关于的对称点C，D，连接，分别交于点E，F，则路线即为所求； （3）分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A，B，在上截取等于靠近P村的河的宽，在上截取等于靠近Q村的河的宽，连接分别交于点E，M，分别过点E，M作的垂线，垂足分别为F，N，连接，则路线即为所求． 【详解】（1）解：∵点关于l对称， ， ， ， ， ∴作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程是最短的． （2）任务一：如答图①所示，路线即为所求． （3）任务二：如答图②所示，路线即为所求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$