专题24.2 比例线段（10大题型+能力提升）　 2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义（沪教版五四制）

2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题24.2 比例线段 知识点1、比例与比例线段 1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 3.比例中项：若a:b=b:c ，则=ac，b称为a、c的比例中项.线段的比例中项是b为正数的情况. 知识点二．比例的性质 1.比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积.即如果，那么ad=bc. 还可以得到，，，............ 2.合比性质：如果 如果 3.等比性质：如果 知识点3．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 知识点4.比例线段的几何应用 如图24-7中，.求证：（1）;(2) 已知，如图24-8中，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，S△AOD=S△BOC求证： 题型01：比例与比例线段 【例1】（2024-25闵行区校级期中）下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（     ） A．1，2，3，4 B．1，2，3，6 C．，，， D．1，3，4，7 【答案】B 【分析】把每个选项中的四条线段两两组合求比值，若是两两组合后比值相等，则是成比例线段． 【详解】解：A、选项中四条线段不能组成比值相等的两组线段，故不是比例线段； B、选项中，所以四条线段成比例线段； C、选项四条线段不能组成比值相等的两组线段，故不是比例线段； D、选项四条线段不能组成比值相等的两组线段，故不是比例线段； 故选B． 【点睛】本题主要考查比例线段的判断，熟练掌握比例线段的判断方法是解决本题的关键． 【例2】（2024-25松江区校级期中）已知则的第四比例项 ． 【答案】6 【分析】根据第四比例项的概念，得，再根据比例的基本性质进行求解． 【解析】解：∵是、、的第四比例项 ∴ ∴ ∵，， ∴ 故答案为：6． 【点睛】熟悉第四比例项的概念，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解． 【例3】（2023•青浦区一模）已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根据比例的性质分别判断即可． 【解答】解：1：3＝4：12， 故选：D． 【点评】此题主要考查了比例的性质，正确把握比例的性质是解题关键． 题型02：比例的性质 【例4】（2024秋•浦东新区期中）已知3x＝5y（y≠0），则下列比例式成立的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【分析】直接利用比例的性质得出x，y之间关系进而得出答案． 【解答】解：A、＝，可以化成：xy＝15，故此选项错误； B、＝，可以化成：3x＝5y，故此选项正确； C、＝，可以化成：5x＝3y，故此选项错误； D、＝，可以化成：5x＝3y，故此选项错误． 故选：B． 【点评】此题主要考查了比例的性质，正确掌握比例的基本性质是解题关键． 【例5】（2023秋•松江区期中）已知、、、都不为，则下列各式一定成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断后利用排除法求． 【解答】解：、由，得，故本选项不符合题意； 、由，得，故本选项符合题意； 、由，得，故本选项不符合题意； 、由，得，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答此题的关键． 【例6】（2024-25普陀区校级期中）若，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例的性质，对所给选项进行整理，找到不一定正确的选项即可． 【解析】解：∵， ∴， A. ，则， 即，不一定成立，符合题意； B. ，则 即，故该选项成立，不符合题意； C. ，则， 即，故该选项成立，不符合题意； D. ，则 ∴ ∴ 即，故该选项成立，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了比例性质；根据比例的性质灵活变形是解题关键． 【例7】（2024-25徐汇区九年级校级期中）已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A. ， ∵是线段， ， ， 故A选项正确； B.若满足此时 ， ， ，故B选项错误； C.已知线段m，且 所以 当分子分母同时加上一个正数，分数变大，即 故C选项错误； D.若满足 此时，故D选项错误. 故选: A. 【例8】（23-24九年级·山东泰安·期中）若（a、b、c、d、m均为正数），则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把各个选项依据比例的基本性质和合比性质，即可判断求解． 【详解】A、∵，两边同乘以bd得：，故A正确，不合题意； B、∵，两边平方得：，故B正确，不合题意； C、∵，两边平方得：，两边同乘以得：， 故C正确，不合题意； D根据不能得出，故D不正确，符合题意； 故答案为：D. 【点睛】本题主要考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，及比例的合比性质判断是否相同即可． 【例9】（2024-25大同中学九年级期中）若（b、d、f均为正数），则下列式子不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键．对于实数a，b，c，d，且b、d、f均为正数，如果，则．由，b、d、f均为正数，可得：，，，，，再结合比例的性质逐项分析即可． 【解析】解：∵，b、d、f均为正数， ∴，，，，， A． ，故不符合题意； B． ∵， ∴， 当时 ∴，故符合题意； C． ∵， ∴，， ∴，故不符合题意； D． ∵，b、d、f均为正数，， ∴，故不符合题意； 故选B． 题型03：根据比例的性质求值 【例10】（2024·上海黄浦·统考一模）已知，则＝ ． 【答案】 【分析】由可得，设=k，则a=2k，b=5k，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 设=k，则a=2k，b=5k ∴． 故填． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，正确的对已知条件进行变形成为解答本题的关键． 【例11】（2024·上海长宁·统考一模）如果均不为零），那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是比例的基本性质，令，则然后化简整理即可求得．令，则，，即可作答． 【详解】解：根据题意，可令，则 因此，． 故答案为：． 【例12】（2024·上海金山·统考一模）如果（），那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则有，然后代入求值即可． 【详解】解：设，则， ∴． 故答案为：． 【例13】（2025·上海徐汇·一模）已知：． (1)求代数式的值： (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． （1）设，利用比例性质得到，，，然后把它们分别代入所求的代数式值，然后进行分式的化简计算； （2）把，，代入中得到关于的方程，然后求出，从而得到、、的值． 【详解】（1）解：设，则，，， 所以原式； （2）解：把，，代入得， 解得， 所以，，． 【例14】（2023秋•徐汇区校级月考）已知，求的值． 【分析】先设＝＝＝k，可得x＝2k，y＝3k，z＝4k，再把x、y、z的值都代入所求式子计算即可． 【解答】解：设＝＝＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k， ＝＝11． 【点评】本题考查了比例的性质．解题的关键是先假设设＝＝＝k，可得x＝2k，y＝3k，z＝4k，降低计算难度． 【例15】（23-24九年级·河南郑州·期末）已知，则（    ） A．1 B． C．1或 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当时，根据等比性质计算得出结果；②当时，则，代入计算得出结果． 【详解】解：分两种情况： ①当时，得； ②当时， 则，； 综上所述，k的值为1或． 故选：C． 【例16】（23-24九年级·四川乐山·期末）已知满足，试求的最大值 ． 【答案】25 【分析】设，得到关于k的等式，利用配方法和非负数的性质即可求解． 【详解】解：设， ∴a-1=2k，b+1=3k，c-2=4k，即a=2k+1，b=3k-1，c=4k+2， ∴a2+b2−c2= (2k+1)2+(3k-1)2−(4k+2)2 =4k2+4k+1+9k2-6k+1-(16k2+16k+4) =4k2+4k+1+9k2-6k+1-16k2-16k-4 =-3k2-18k-2 =-3(k2+6k+9-9)-2 =-3(k+3) 2+25 ∵(k+3) 2≥0，则-3(k+3) 2≤0， ∴a2+b2−c2的最大值为25， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了比例的性质，完全平方公式，掌握配方法和非负数的性质是解题的关键． 题型04：比例性质的综合辨析 【例17】（2024-25黄浦区校级期中）若成立，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的基本性质，能够灵活对一个比例式进行变形是解题的关键．由比例和分式的基本性质，针对选项进行各种演变，逐一判定即可． 【解析】解：A、由已知得到，故选项符合题意； B、由已知得到，不能得到，故选项不符合题意； C、由已知得到，不能得到，故选项不符合题意； D、由已知得到，不能得到，故选项不符合题意； 故选：A． 【例18】（2024-25格致中学期中）若，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例的性质，对所给选项进行整理，找到不一定正确的选项即可． 【解析】解：∵， ∴， A. ，则， 即，不一定成立，符合题意； B. ，则 即，故该选项成立，不符合题意； C. ，则， 即，故该选项成立，不符合题意； D. ，则 ∴ ∴ 即，故该选项成立，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了比例性质；根据比例的性质灵活变形是解题关键． 【例19】（2024-25奉贤区校级期中）已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A. ， ∵是线段， ， ， 故A选项正确； B.若满足此时 ， ， ，故B选项错误； C.已知线段m，且 所以 当分子分母同时加上一个正数，分数变大，即 故C选项错误； D.若满足 此时，故D选项错误. 故选: A. 【例20】（2024-25进华中学九年级期中）下列结论不一定成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，（），那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】对于A、B选项，设，则，，分别代入验证左右两端是否相等即可；对于C、D选项，设，则，， ，分别代入计算，验证两边是否相等即可． 【解析】解：A：设， 则，， ∴，， ∴，故A不符合题意； B：利用A中的方法，同理可知也成立，故B不符合题意； C：设，则，， ， ∴， 又∵， ∴，故C不符合题意； D：设，则，， ， ∴，，， ∴，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握等比、合比的性质是解题的关键． 题型05：比例中项 【例21】（2023秋•黄浦区期末）4和9的比例中项是（　　） A．6 B．±6 C． D． 【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积求解． 【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：比例中项的平方等于两条线段的乘积． 设它们的比例中项是x，则 x2＝4×9， 解得x＝±6． 故选：B． 【点评】本题考查了比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．求比例中项根据比例的基本性质进行计算． 【例22】（2024·上海杨浦·统考一模）已知线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，根据比例中项的定义得到，然后利用比例性质计算即可，解题的关键是理解四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，当时，线段是线段和的比例中项． 【详解】∵线段是线段和的比例中项， ∴， 即， ∴， 故答案为： ． 【例23】（2024秋·上海宝山·九年级统考期末）如果，且是和的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得，又由，即可求得答案． 【详解】解：∵b是a、c的比例中项， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键． 题型06：比例尺及其应用 【例24】（2022秋·上海宝山·九年级统考期末）在比例尺为的地图上，如果两地的距离是10厘米，那么这两地的实际距离是（    ） A．50000米 B．5000米 C．500米 D．50米 【答案】C 【分析】根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺． 【详解】解：根据题意，10÷（1： 5000）=50000厘米=500米． 即两地间的实际距离是500米． 故选C． 【点睛】考查了比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用． 【例25】 在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，那么这条道路的实际长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查比例尺知识，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换． 根据比例尺图上距离实际距离，依题意列比例式直接求解即可． 【详解】解：设这条道路的实际长度为，则： ， 解得． 故答案是：． 【例26】（2025·上海金山·一模）第七届中国国际进口博览会（简称“进博会”）于2024年11月5日至10日在国家会展中心（上海）隆重举办．以“新时代、共享未来”为主题，是世界上首个以进口为主题的国家级博览会．小海在地图上（如图1）测量他家与国家会展中心（上海）的距离为厘米，那么请帮小海计算出他家与国家会展中心（上海）的实际距离为 千米． 【答案】52 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握“”是解题的关键，注意单位的统一． 设小海家与国家会展中心（上海）的实际距离为厘米，根据“比例尺图上距离实际距离”列出比例式，由此即可得出小海家与国家会展中心（上海）的实际距离． 【详解】解：设小海家与国家会展中心（上海）的实际距离为厘米，依题意得： ， ， 厘米千米， 故答案为：52． 题型07：比例线段的几何应用 【例27】（2024秋·上海·九年级上外附中校考阶段练习）如图，在中，的内、外角平分线分别交及其延长线于点，则___________      【答案】5 【分析】根据CD是∠ACB的平分线，由三角形的面积可得出，可得出①；由CE是∠ACB的外角平分线， 得出，进而得出②，两式相加即可得出结论． 【详解】解：∵CD是∠ACB的平分线， ∴ ∴ ∴，即①； ∵CE是∠ACB的外角平分线， ∴ ∴，即②； ①+②，得． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查了比例的应用，熟练掌握比的性质是解答此题的关键． 【例28】（2024-25闵行区九年级阶段练习） 如图，四边形中，，与相交于点． （1）与的面积相等吗？为什么？ （2）若，求． （3）若，且，求． 【答案】（1）相等；（2）；（3）． 【分析】（1）根据已知得出△ABC的边BC上的高和△DBC边BC上的高相等，设此高为h，根据三角形的面积公式求出即可； （2）根据△ABC的面积和△DBC的面积相等，都减去△OBC的面积，即可得出△AOB的面积和△DOC的面积相等； （3）求出BD=3OD，根据面积公式代入求出即可． 【详解】(1)△ABC与△DBC的面积相等，理由是： ∵AD∥BC， ∴△ABC的边BC上的高和△DBC边BC上的高相等，设此高为h， ∴△ABC的面积是 ,△DBC的面积是 ， ∵BC=BC， ∴△ABC与△DBC的面积相等； (2)∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ； (3)∵BO:OD=2:1， ∴BD=3OD， ∵△AOD的边OD上的高和△ABD的边BD上的高相等，设此高为a， ∵ ， ∴ 【点睛】本题考查了平行线之间的距离和三角形的面积，掌握平行线间的距离相等以及三角形面积公式是解题的关键. 【例29】（2024-25闵行区九年级阶段练习）如图（1），四边形中，对角线、相交于点，若的面积为，的面积为，的面积为，的面积为，求证：； （2）如图（2），四边形是梯形，对角线、相交于点，的面积为4，的面积为9，求梯形的面积． 【答案】（1）详见解析；（2）25. 【分析】(1)作BE⊥AC于点E，从而可分别表示出 和 然后可得出，同理可得出，这样即可证得结论． （2）根据同底等高的三角形的面积相等可得出 ，从而解出的面积，也就能得出梯形的面积． 【详解】（1）    作于点， ∴． 同理可证：， ∴． ∴． （2）∵， ∴（同底等高）． ∴． 设△的面积为，由（1）可得， ∴， ∴梯形的面积． 【点睛】本题考查了梯形，三角形的面积，掌握平行线间距离相等是解题的关键. 题型08：由黄金分割求值 【例30】（2025·上海松江·一模）已知线段，是线段的黄金分割点，且，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，黄金分割点的计算，掌握线段成比例的计算方法，黄金分割点的计算是解题的关键． 根据黄金分割点的计算可得，代入计算即可求解． 【详解】解：线段，是线段的黄金分割点，且， ∴， ∴， 故答案为： ． 【例31】（2022秋•徐汇区期末）已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，那么PQ的长为（　　） A．5（3﹣） B．10（﹣2） C．5（﹣1） D．5（+1） 【分析】先由黄金分割的比值求出BP＝AQ＝5（﹣1），再由PQ＝AQ+BP﹣AB进行计算即可． 【解答】解：如图，∵点P、Q是线段AB的黄金分割点，AB＝10， ∴BP＝AQ＝AB＝5（﹣1）， ∴PQ＝AQ+BP﹣AB＝10（﹣1）﹣10＝10（﹣2）， 故选：B． 【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，熟记黄金比是解题的关键． 【例32】（23-24九年级·河北保定·期末）如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割，不妨设点C靠近A，点D靠近B，则由黄金分割比例得到，，再由列出方程求解即可． 【详解】解：∵点C，D都是线段的黄金分割点， ∴不妨设点C靠近A，点D靠近B， ∴，， ∵， ∴， 解得， 故选：C． 【例33】（2023秋•闵行区期中）如图，点是的边的黄金分割点，，作交边于点，那么　　． 【分析】先利用黄金分割的定义得到，再证明，然后利用相似比得到的比值． 【解答】解：点是的边的黄金分割点，， ， ， ， ． 故答案为． 【点评】本题考查了黄金分割的定义：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个． 题型09：黄金分割的综合应用 【例34】（2022秋·上海松江·九年级校考期中）已知点C是线段上的一个点，且是和的比例中项，则下列式子成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，则，由比例中项得出，代入解一元二次方程即可解答． 【详解】解：设，，则， ∵是和的比例中项， ∴，即， ∴， 解得：，（舍去），即， ∴， ∴ ，故A符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查比例中项、线段的比、解一元二次方程，熟知比例中项的定义是解答的关键． 【例35】（2023•长宁区一模）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答． 【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP， ∴＝， ∴＝＝， ∴＝﹣1 ＝﹣1 ＝ ＝， 故选：C． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【例36】（2023春·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，点是线段的黄金分割点，且，下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割的定义得，即可解决问题． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， ，， A、C、D选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割的定义：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，这个比值为，近似值为，即为黄金分割． 【例37】（2019秋•嘉定区校级月考）已知：如图，线段AB＝2，BD⊥AB于点B，且BD＝AB，在DA上截取DE＝DB．在AB上截取AC＝AE． 求证：点C是线段AB的黄金分割点． 【分析】在直角△ABD中根据勾股定理计算出AD＝，则AE＝AD﹣DE＝﹣1，再利用画法得到AC＝AE＝﹣1，即AC＝AB，然后根据黄金分割的定义得到点C就是线段AB的黄金分割点． 【解答】证明：∵AB＝2，BD＝AB， ∴BD＝1． ∵BD⊥AB于点B， ∴AD＝＝， ∴AE＝AD﹣DE＝﹣1， ∴AC＝AE＝﹣1， ∴AC＝AB， ∴点C就是线段AB的黄金分割点． 【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． 【例38】（23-24九年级·陕西西安·阶段练习）鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为10cm，则的长为 cm．（结果保留根号）    【答案】 【分析】根据黄金分割的定义，得，构建方程计算求解． 【详解】解：根据题意，； ∴ ∴ 故舍去； ∴ 故答案为：    【点睛】本题考查黄金分割的定义，一元二次方程的求解；掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【例39】（2024·内蒙古包头·三模）正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①，②，③，④． 请填写你认为正确的结论序号： ． 【答案】①②③ 【分析】先讨论顶角为和的等腰三角形中的黄金分割关系，再在题中的所给图形中分析出顶角为和的等腰三角形，逐个判断即可．本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形的相关性质及黄金分割的比例关系，并能准确的计算是本题的解题关键． 【详解】解：如图1，中，，，平分， ，， 和为相似的等腰三角形， 设，， ， 由相似得：， （负值舍去）， 点是线段的黄金分割点， 即：，， ， ； 如图2，中，，，， ，， 和为相似的等腰三角形， 设，，则， 由相似得：， （负值舍去）， 点是线段的黄金分割点， 即：，， ， ； 如图，连接、、、、， 五边形为正五边形，， ， ， ，故①正确； 易证：，， 和为相似的等腰三角形， 由图2得：， ，故②正确； 由题得和为相似的等腰三角形， 由图2得：， ， ， ，故③正确； 在中，，， 由图1得：， 即：，故④错误， 故答案为：①②③． 题型10 ：综合提升 【例40】（2023春·重庆大渡口·九年级统考期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数，，满足，求的值”时，采用了引入参数法，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出，，之间的关系，从而解决问题.过程如下： 解；设，则有： ，，， 将以上三个等式相加，得. ，，都为正数， ，即，. . 仔细阅读上述材料，解决下面的问题： （1）若正数，，满足，求的值； （2）已知，，，互不相等，求证：. 【答案】（1）k=；（2）见解析． 【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题； （2）将题目中的式子巧妙变形，然后化简即可证明结论成立． 【详解】解：（1）∵正数x、y、z满足， ∴x=k（2y+z），y=k（2z+x），z=k（2x+y）， ∴x+y+z=3k（x+y+z）， ∵x、y、z均为正数， ∴k=； （2）证明：设=k， 则a+b=k（a-b），b+c=2k（b-c），c+a=3k（c-a）， ∴6（a+b）=6k（a-b），3（b+c）=6k（b-c），2（c+a）=6k（c-a）， ∴6（a+b）+3（b+c）+2（c+a）=0， ∴8a+9b+5c=0． 故答案为（1）k=；（2）见解析． 【点睛】本题考查比例的性质、等式的基本性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键． 【例41】（2020秋·上海宝山·九年级统考阶段练习）如图，点、分别在的边、上，. （1）若，，求； （2）若，，求.（用，表示） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）首先设，然后根据三角形的性质同高的三角形面积比等于底的比，和三角形平行线定理得出，列出分式方程，解得即可； （2）首先设，由（1）中的面积比等式列出等式，求出，然后即可求出. 【详解】（1）设， 根据题意可得，， ， ， ，， ， 解得：（舍），， ； （2）由（1）知. 设， ∵，， ， 解得， . 【点睛】此题主要考查三角形平行线的性质，解题关键是根据比例关系列出等式. 一、选择题 1. 如果，那么下列比例式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误，选项D正确； 不存在，故选项C错误；． 故选：D． 2.（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）已知，那么等于（    ） A．3:5 B．5:3 C．2:3 D．3:2 【答案】D 【分析】根据题意，可设，求出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴可设，解得 ∴ 故选：D 【点睛】此题考查了比例的性质，解题的关键是根据比例的性质用表示出的值． 3.（2022秋·上海金山·九年级统考期末）在比例尺是的地图上，两地的距离是，那么这两地的实际距离为（    ） A． B． C． D．． 【答案】B 【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离．根据比例尺关系即可直接得出实际的距离． 【详解】解：根据比例尺＝图上距离：实际距离， 得：两地的实际距离为6×200000＝1200000（cm）＝12（km）． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例线段，解题关键是能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换． 4.如果实数a，b，c，d满足，下列四个选项中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例的性质选出正确选项． 【解析】A选项正确，∵，∴； B选项，当或时， 不成立； C选项，当时，不成立； D选项不成立，例如：当时，； 故选：A． 【点睛】本题考查比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质． 5.（2023春·内蒙古包头·九年级统考期末）若，则的值为（    ） A． B．1 C．1.5 D．3 【答案】A 【分析】先用b、d、f分别表示出a、c、e，再代入要求的式子即可． 【详解】解： 由， ， ， 故选：A． 【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于掌握其性质定义． 6.（2023春·山东烟台·九年级统考期末）我们把宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（）的边BC上取一点E，使得，连接AE，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设BC=a，根据黄金矩形的概念求出AB，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：设BC=a， ∵矩形ABCD为黄金矩形， ∴AB=a， ∴BE=a-a=a， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是黄金分割、矩形的性质，掌握黄金比值为是解题的关键． 2、 填空题 7．（2024·上海奉贤·统考一模）如果，那么 ． 【答案】 【分析】根据得到，把它代入后面的式子求出比值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例基本的性质． 8．（2024·上海松江·统考一模）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 利用比例的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， 故答案为：． 9．（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）已知，则的值为______． 【答案】/ 【分析】根据比例的基本性质，求得，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了比例，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 10．若x与2、5、6这三个数可以组成比例式，则x可能是 ． 【答案】或15或 【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，列式解答即可． 【解析】当x与6组成外项时，，； 当x与2组成外项时，，； 当x与5组成外项时，，. 故答案为：或15或 【点睛】此题考查了比例的基本性质，熟练掌握两外项之积等于两内项之积是解答此题的关键． 11．（2021秋·上海青浦·九年级校考期中）已知线段厘米、厘米，如果线段a是线段c和b的比例中项，那么线段______厘米． 【答案】 【分析】根据比例中项的定义得到，然后利用比例性质计算即可． 【详解】解：∵线段a是线段c和b的比例中项， ∴， 即， ∴． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．特别的是若，则a是c和b的比例中项． 12.（23-24九年级·江苏无锡·期末）在某市建设规划图上，城区南北长为，该市城区南北实际长为，则该规划图的比例尺是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例尺．根据比例尺图上距离实际距离，列比例式求得这两地的实际距离． 【详解】解：根据题意得：该规划图的比例尺是． 故答案为：． 12.（2023春·四川成都·九年级校考期中）已知，，均为非零的实数，且满足，则的值为 ． 【答案】或 【分析】根据题意得出，三式相加得出，然后分类讨论，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 即， 当时，， 当时，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了比例的性质，分类讨论是解题的关键． 13.（2023春·四川成都·九年级成都七中校考期中）已知，则 ． 【答案】或． 【分析】由，可得，再分两种情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时， ∴，则， 当时，， ∴，则， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握“利用比例的基本性质进行求值”是解本题的关键． 14.（2023春·四川成都·九年级统考期末）如图，线段，点C是线段的黄金分割点，是线段的黄金分割点，是线段的黄金分割点，以此类推，则 ． 【答案】 【分析】先按照黄金分割比例依次计算出、、，然后按照规律即可得到． 【详解】解：设，， 点C是线段的黄金分割点， ， 即，整理得， 解得或（舍去）， ∴，， 是线段的黄金分割点， ，， 是线段的黄金分割点， ，， 、、， 以此类推，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割、规律探究表达，求出黄金分割比，并按照规律表示出是解题关键． 15.（23-24九年级·河南许昌·期末）如图，已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取，则 ． 【答案】 【分析】先求得，再根据所给作图步骤，分别求出出和即可解决问题．本题主要考查了黄金分割，能根据题中所给作图步骤，理清各线段之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在中， ． 因为， 所以， 所以， 所以． 故答案为： 16.（23-24九年级·山东青岛·期末）射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ． 【答案】/ 【分析】 本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，设，根据正方形的性质可得，则，然后根据黄金矩形的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键. 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是黄金矩形， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17．（2021秋•奉贤区校级期中）已知：a：b：c＝3：4：5． （1）求代数式的值； （2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值． 【分析】设a＝3k，b＝4k，c＝5k， （1）把a＝3k，b＝4k，c＝5k代入代数式中进行分式的混合运算即可； （2）把a＝3k，b＝4k，c＝5k代入3a﹣b+c＝10得到关于k的方程，求出k，从而得到a、b、c的值． 【解答】解：∵a：b：c＝3：4：5， ∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k， （1）＝＝； （2）∵3a﹣b+c＝10， ∴9k﹣4k+5k＝10， 解得k＝1， ∴a＝3，b＝4，c＝5． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键． 18．（2022秋•奉贤区期中）已知实数a、b、c满足，且a﹣3b+2c＝﹣8．求的值． 【分析】设a＝3k，b＝5k，c＝4k，根据a﹣3b+2c＝﹣8，得k＝2，a＝6，b＝10，c＝8，即可求出答案． 【解答】解：∵， ∴设a＝3k，b＝5k，c＝4k， ∵a﹣3b+2c＝﹣8， ∴3k﹣15k+8k＝﹣8， ∴k＝2， ∴a＝6，b＝10，c＝8， ∴＝＝1． 【点评】本题考查了比例的基本性质，根据已知条件列方程是关键． 18.已知：线段a、b、c，且． （1）求的值； （2）如线段a、b、c满足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值． 【答案】（1）；（2）0 【分析】（1）设代入求值即可； （2）把代入3a﹣4b+5c＝54求出k的值，得a，b，c的值，从而可得结论． 【详解】解：（1）由设 ∴ （2）把代入3a﹣4b+5c＝54得 整理得， ∴ ∴ ∴ 【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a=3k，b=4k，c=5k进而得出k的值是解题关键． 19.（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）（1）若，求的值； （2）若，且，求． 【答案】（1）5；（2） 【分析】（1）先设，得到，然后代入计算即可； （2）先设，得到，再根据求出，最后进行比较即可． 【详解】解：（1）设， ∴， ∴； （2）设， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个参数，把题目中的几个量用所设的参数表示出来，然后消掉所设的参数，即可求得所给代数式的值． 20.（2022秋•宝山区校级月考）已知点在线段上，且满足． （1）若，求的长； （2）若比大2，求的长． 【分析】（1）根据已知可得点是线段的黄金分割点，从而可得，然后进行计算即可解答； （2）根据已知可设，则，从而可得，然后根据，可得，从而进行计算即可解答． 【解答】解：（1）点在线段上，且满足， 点是线段的黄金分割点， ， 的长为； （2）比大2， 设，则， ， ， ， 解得：，（舍去）， ， 的长为． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 21.（23-24九年级·重庆大渡口·期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数，，满足，求的值”时，采用了引入参数法，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出，，之间的关系，从而解决问题.过程如下： 解；设，则有： ，，， 将以上三个等式相加，得. ，，都为正数， ，即，. . 仔细阅读上述材料，解决下面的问题： （1）若正数，，满足，求的值； （2）已知，，，互不相等，求证：. 【答案】（1）k=；（2）见解析． 【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题； （2）将题目中的式子巧妙变形，然后化简即可证明结论成立． 【详解】解：（1）∵正数x、y、z满足， ∴x=k（2y+z），y=k（2z+x），z=k（2x+y）， ∴x+y+z=3k（x+y+z）， ∵x、y、z均为正数， ∴k=； （2）证明：设=k， 则a+b=k（a-b），b+c=2k（b-c），c+a=3k（c-a）， ∴6（a+b）=6k（a-b），3（b+c）=6k（b-c），2（c+a）=6k（c-a）， ∴6（a+b）+3（b+c）+2（c+a）=0， ∴8a+9b+5c=0． 故答案为（1）k=；（2）见解析． 【点睛】本题考查比例的性质、等式的基本性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键． 22．如图，三角形内的线段、相交于点．，，设、、和四边形的面积分别为、、、． （1）已知的值； （2）如果，求的值． 【答案】（1）；（2）7. 【分析】(1)根据高相等的三角形的面积之比等于底边之比即可求出答案; (2)连接OA,由(1)可知、设,则,观察图形中面积之间的关系，即可解答此题 【解析】（1）根据高相等的三角形的面积之比等于底边之比， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴，． 连接，设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 23.（2023春·山西太原·九年级太原五中校考阶段练习）【新概念定义】若有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”．如图（1）与是以为公共边的“共边三角形”．“共边三角形”的性质：如图（1）共边与，连结第三个顶点并延长交于，则． 【问题解决】 如图（2），已知在中，为的中点，为的中点，的连线交于． （1）找出以为公共边的所有“共边三角形”，若的面积为？，分别求出这些“共边三角形”的面积； （2）求证：； （3）若将“为的中点”条件，改为“”，则______． 【答案】（1）、、，，;（2）见解析；（3）． 【分析】（1）根据“共边三角形”的概念可求解，则有，，进而问题可求解； （2）由（1）及题意可进行求解； （3）由题意易得，，进而问题可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： 以BF为公共边的“共边三角形”为：、、， 由“共边三角形”的性质：，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴； （2）证明：由“共边三角形”的性质： 即：， ∴， ∴； （3）解：由“共边三角形”的性质：，， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查线段成比例，关键是根据“共边三角形”的概念找到成比例的线段，然后进行解决问题即可． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题24.2 比例线段 知识点1、比例与比例线段 1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 3.比例中项：若a:b=b:c ，则=ac，b称为a、c的比例中项.线段的比例中项是b为正数的情况. 知识点二．比例的性质 1.比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积.即如果，那么ad=bc. 还可以得到，，，............ 2.合比性质：如果 如果 3.等比性质：如果 知识点3．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 知识点4.比例线段的几何应用 如图24-7中，.求证：（1）;(2) 已知，如图24-8中，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，S△AOD=S△BOC求证： 题型01：比例与比例线段 【例1】（2024-25闵行区校级期中）下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（     ） A．1，2，3，4 B．1，2，3，6 C．，，， D．1，3，4，7 【例2】（2024-25松江区校级期中）已知则的第四比例项 ． 【例3】（2023•青浦区一模）已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 题型02：比例的性质 【例4】（2024秋•浦东新区期中）已知3x＝5y（y≠0），则下列比例式成立的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【例5】（2023秋•松江区期中）已知、、、都不为，则下列各式一定成立的是　　 A． B． C． D． 【例6】（2024-25普陀区校级期中）若，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【例7】（2024-25徐汇区九年级校级期中）已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【例8】（23-24九年级·山东泰安·期中）若（a、b、c、d、m均为正数），则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【例9】（2024-25大同中学九年级期中）若（b、d、f均为正数），则下列式子不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 题型03：根据比例的性质求值 【例10】（2024·上海黄浦·统考一模）已知，则＝ ． 【例11】（2024·上海长宁·统考一模）如果均不为零），那么的值是 ． 【例12】（2024·上海金山·统考一模）如果（），那么 ． 【例13】（2025·上海徐汇·一模）已知：． (1)求代数式的值： (2)当时，求的值． 【例14】（2023秋•徐汇区校级月考）已知，求的值． 【例15】（23-24九年级·河南郑州·期末）已知，则（    ） A．1 B． C．1或 D．2 【例16】（23-24九年级·四川乐山·期末）已知满足，试求的最大值 ． 题型04：比例性质的综合辨析 【例17】（2024-25黄浦区校级期中）若成立，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【例18】（2024-25格致中学期中）若，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【例19】（2024-25奉贤区校级期中）已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【例20】（2024-25进华中学九年级期中）下列结论不一定成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，（），那么 D．如果，那么 题型05：比例中项 【例21】（2023秋•黄浦区期末）4和9的比例中项是（　　） A．6 B．±6 C． D． 【例22】（2024·上海杨浦·统考一模）已知线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么 厘米． 【例23】（2024秋·上海宝山·九年级统考期末）如果，且是和的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 题型06：比例尺及其应用 【例24】（2022秋·上海宝山·九年级统考期末）在比例尺为的地图上，如果两地的距离是10厘米，那么这两地的实际距离是（    ） A．50000米 B．5000米 C．500米 D．50米 【例25】 在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，那么这条道路的实际长度为 ． 【例26】（2025·上海金山·一模）第七届中国国际进口博览会（简称“进博会”）于2024年11月5日至10日在国家会展中心（上海）隆重举办．以“新时代、共享未来”为主题，是世界上首个以进口为主题的国家级博览会．小海在地图上（如图1）测量他家与国家会展中心（上海）的距离为厘米，那么请帮小海计算出他家与国家会展中心（上海）的实际距离为 千米． 题型07：比例线段的几何应用 【例27】（2024秋·上海·九年级上外附中校考阶段练习）如图，在中，的内、外角平分线分别交及其延长线于点，则___________      【例28】（2024-25闵行区九年级阶段练习） 如图，四边形中，，与相交于点． （1）与的面积相等吗？为什么？ （2）若，求． （3）若，且，求． 【例29】（2024-25闵行区九年级阶段练习）如图（1），四边形中，对角线、相交于点，若的面积为，的面积为，的面积为，的面积为，求证：； （2）如图（2），四边形是梯形，对角线、相交于点，的面积为4，的面积为9，求梯形的面积． 题型08：由黄金分割求值 【例30】（2025·上海松江·一模）已知线段，是线段的黄金分割点，且，那么 ． 【例31】（2022秋•徐汇区期末）已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，那么PQ的长为（　　） A．5（3﹣） B．10（﹣2） C．5（﹣1） D．5（+1） 【例32】（23-24九年级·河北保定·期末）如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是（　　） A． B． C． D． 【例33】（2023秋•闵行区期中）如图，点是的边的黄金分割点，，作交边于点，那么　　． 题型09：黄金分割的综合应用 【例34】（2022秋·上海松江·九年级校考期中）已知点C是线段上的一个点，且是和的比例中项，则下列式子成立的是（　　） A． B． C． D． 【例35】（2023•长宁区一模）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【例36】（2023春·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，点是线段的黄金分割点，且，下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【例37】（2019秋•嘉定区校级月考）已知：如图，线段AB＝2，BD⊥AB于点B，且BD＝AB，在DA上截取DE＝DB．在AB上截取AC＝AE． 求证：点C是线段AB的黄金分割点． 【例38】（23-24九年级·陕西西安·阶段练习）鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为10cm，则的长为 cm．（结果保留根号）    【例39】（2024·内蒙古包头·三模）正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①，②，③，④． 请填写你认为正确的结论序号： ． 题型10 ：综合提升 【例40】（2023春·重庆大渡口·九年级统考期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数，，满足，求的值”时，采用了引入参数法，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出，，之间的关系，从而解决问题.过程如下： 解；设，则有： ，，， 将以上三个等式相加，得. ，，都为正数， ，即，. . 仔细阅读上述材料，解决下面的问题： （1）若正数，，满足，求的值； （2）已知，，，互不相等，求证：. 【例41】（2020秋·上海宝山·九年级统考阶段练习）如图，点、分别在的边、上，. （1）若，，求； （2）若，，求.（用，表示） 一、选择题 1. 如果，那么下列比例式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）已知，那么等于（    ） A．3:5 B．5:3 C．2:3 D．3:2 3.（2022秋·上海金山·九年级统考期末）在比例尺是的地图上，两地的距离是，那么这两地的实际距离为（    ） A． B． C． D．． 4.如果实数a，b，c，d满足，下列四个选项中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5.（2023春·内蒙古包头·九年级统考期末）若，则的值为（    ） A． B．1 C．1.5 D．3 6.（2023春·山东烟台·九年级统考期末）我们把宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（）的边BC上取一点E，使得，连接AE，则的值为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 7．（2024·上海奉贤·统考一模）如果，那么 ． 8．（2024·上海松江·统考一模）若，则 ． 9．（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）已知，则的值为______． 10．若x与2、5、6这三个数可以组成比例式，则x可能是 ． 11．（2021秋·上海青浦·九年级校考期中）已知线段厘米、厘米，如果线段a是线段c和b的比例中项，那么线段______厘米． 12.（23-24九年级·江苏无锡·期末）在某市建设规划图上，城区南北长为，该市城区南北实际长为，则该规划图的比例尺是 ． 12.（2023春·四川成都·九年级校考期中）已知，，均为非零的实数，且满足，则的值为 ． 13.（2023春·四川成都·九年级成都七中校考期中）已知，则 ． 14.（2023春·四川成都·九年级统考期末）如图，线段，点C是线段的黄金分割点，是线段的黄金分割点，是线段的黄金分割点，以此类推，则 ． 15.（23-24九年级·河南许昌·期末）如图，已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取，则 ． 16.（23-24九年级·山东青岛·期末）射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ． 三、解答题 17．（2021秋•奉贤区校级期中）已知：a：b：c＝3：4：5． （1）求代数式的值； （2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值． 18．（2022秋•奉贤区期中）已知实数a、b、c满足，且a﹣3b+2c＝﹣8．求的值． 18.已知：线段a、b、c，且． （1）求的值； （2）如线段a、b、c满足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值． 19.（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）（1）若，求的值； （2）若，且，求． 20.（2022秋•宝山区校级月考）已知点在线段上，且满足． （1）若，求的长； （2）若比大2，求的长． 21.（23-24九年级·重庆大渡口·期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数，，满足，求的值”时，采用了引入参数法，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出，，之间的关系，从而解决问题.过程如下： 解；设，则有： ，，， 将以上三个等式相加，得. ，，都为正数， ，即，. . 仔细阅读上述材料，解决下面的问题： （1）若正数，，满足，求的值； （2）已知，，，互不相等，求证：. 22．如图，三角形内的线段、相交于点．，，设、、和四边形的面积分别为、、、． （1）已知的值； （2）如果，求的值． 23.（2023春·山西太原·九年级太原五中校考阶段练习）【新概念定义】若有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”．如图（1）与是以为公共边的“共边三角形”．“共边三角形”的性质：如图（1）共边与，连结第三个顶点并延长交于，则． 【问题解决】 如图（2），已知在中，为的中点，为的中点，的连线交于． （1）找出以为公共边的所有“共边三角形”，若的面积为？，分别求出这些“共边三角形”的面积； （2）求证：； （3）若将“为的中点”条件，改为“”，则______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$