专题24.1 放缩与相似形（8大题型+能力提升） 2025-2026学年 沪教版（上海）（五四制）九年级数学第一学期同步培优讲义

2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题24.1 放缩与相似形 知识点一、图形的放缩运动 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动.将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形 . 知识点二、相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形或相似形. (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等。 知识点三、相似多边形 1、相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例，我们就说它们是相似多边形． （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 2、相似多边形的性质 相似多边形的角对应相等，边的长度对应成比例. 题型01：图形的放缩运动 【例1】（2024秋·上海普陀·九年级统考期末）如图，用放大镜将图形放大，应属何种变换　　 A．相似变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．对称变换 【跟踪训练】 1．如图，将图形用放大镜放大，应该属于(    )． A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换 2．（2024秋·上海·九年级校考阶段练习）对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（　　） A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变 B．图形中线段的长度与角的大小都会改变 C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变 D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变 题型02：相似形的概念和特点 【例2】 “相似的图形”是(   ) A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形 C．能够重合的图形 D．大小相同的图形 【跟踪训练】 1．相似的两个图形，它们的大小 (填“一定”，“不一定”，“一定不”)相同． 2．（2023秋·上海崇明·九年级校考期中）下列关于“相似形”的说法中正确的是（    ） A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形 C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例 题型03：相似图形的判断（文字） 【例3】（2025·上海徐汇·一模）下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个等腰三角形 D．两个正方形 【跟踪训练】 1．（2025·上海宝山·一模）下列图形，相似的一组是（  ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．有一个内角为的两个菱形 D．边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形 2．（2025·上海虹口·一模）下列各组图形中，一定相似的是（   ） A．两个菱形 B．两个正方形 C．两个三角形 D．两个等腰三角形 3．（2024·上海青浦·统考一模）下列图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 4．（2024·上海静安·统考一模）下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个平行四边形 B．两个圆 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 题型04：相似图形的识别（图形） 【例4】（2025·上海奉贤·一模）下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（   ）    A．   B．   C．   D．   【跟踪训练】 1．下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 2．（2021秋•昭平县期末）下列和右图相似的图形是（　　） A． B． C． D． 3．（2022秋·上海浦东新·九年级统考期中）下列各组中两个图形不相似的是（    ） A． B． C． D． 题型05：相似三角形的性质及应用 【例5】（2024秋·上海·九年级校考期中）用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（  ） A．各边的长度 B．各内角的度数 C．五边形的周长 D．五边形的面积 【例6】（2023上海·九年级专题练习）四边形和四边形是相似图形，点分别与对应，已知，，，那么的长是__________． 【跟踪训练】 1．如图，四边形四边形，若 ，，则（   ）    A． B． C． D． 2.（24-25大同中学九年级月考）如图，四边形和四边形相似，点的对应点分别为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2020秋·上海宝山·九年级统考期中）如图，把一张矩形纸片沿着一条对称轴翻折，所得到的矩形与原矩形相似，已知原矩形纸片较短的边长为，那么其较长边用含的代数式表示为_______． 题型06：新定义问题 【例7】（2025·上海静安·一模）我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为 ． 【跟踪训练】 1．（2020秋•长宁区期末）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于　　． 2．（2020秋•青浦区期末）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD中，点Q在边AD上，如果△QAB、△QBC和△QDC都相似，那么点Q就是四边形ABCD的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝2，BC＝8，∠B＝60°，如果点Q是边AD上的“强相似点”，那么AQ＝　或　． 3．（2022秋•金山区校级期末）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周长为 　　． 4．（2023上海·九年级专题练习）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题： （1）当矩形的长和宽分别为，时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由． （2）边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 一、选择题 1．（2022秋•青浦区校级期末）下列图形中，一定相似的是（　　） A．两个正方形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个等腰三角形 2．（2023秋·上海·九年级校考阶段练习）下列命题中，错误的是（    ） A．两个含有角的等腰三角形一定相似 B．两个矩形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个正方形一定相似 3．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）下列图形一定相似的为（    ） A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 4．（2022秋•奉贤区期中）下列各组图形中，一定相似的是（　　） A．两个等腰直角三角形 B．各有两边长是4和5的两个直角三角形 C．各有两边长是4和5的两个等腰三角形 D．各有一个角是40°的两个等腰三角形 5．（2023•长宁区一模）下列各组图形中一定是相似形的是（　　） A．两个等腰梯形 B．两个矩形 C．两个直角三角形 D．两个等边三角形 6．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）两个大小不一的五边形和五边形如图所示放置，点F在线段上，点H在线段上，对应连接并延长刚好交于一点O，则这两个五边形的关系是（    ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．不能确定 7．如图四边形四边形，，，，则（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 2、 填空题 8．（2023秋·河南许昌·九年级期末）下列五组图形中，①两个等腰三角形；②两个等边三形；③两个菱形；④两个矩形；⑤两个正方形．一定相似的有 （填序号） 9.（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是 ．（用a的代数式表示）． 10.（2022秋·上海松江·九年级统考期末）我们知道：四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形．如图，已知梯形ABCD中，ADBC，AD＝1，BC＝2，E、F分别是边AB、CD上的点，且EFBC，如果四边AEFD与四边形EBCF相似，那么的值是 ． 11．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开（对折）得到，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，求的值．      12．九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长厘米，宽厘米，想在边上找点E，作，交于点F，使矩形矩形（不全等） (1)求的长度： (2)小阳想进一步探究，是否任意一个矩形都可以画出平行线，使分成的两个矩形相似（不全等），如果能够，请直接写出能够实现的原矩形的长与宽的比值k的取值范围，如果不能，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题24.1 放缩与相似形 知识点一、图形的放缩运动 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动.将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形 . 知识点二、相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形或相似形. (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等。 知识点三、相似多边形 1、相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例，我们就说它们是相似多边形． （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 2、相似多边形的性质 相似多边形的角对应相等，边的长度对应成比例. 题型01：图形的放缩运动 【例1】（2024秋·上海普陀·九年级统考期末）如图，用放大镜将图形放大，应属何种变换　　 A．相似变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．对称变换 【答案】A 【分析】根据轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换的概念并结合图形，得出正确结果． 【详解】解：由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化． 故选A． 【点睛】本题主要考查相似变换的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换比较容易选错的答案是位似变换． 【跟踪训练】 1．如图，将图形用放大镜放大，应该属于(    )． A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换 【答案】B 【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案． 【解析】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换． 故选B． 【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出． 2．（2024秋·上海·九年级校考阶段练习）对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（　　） A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变 B．图形中线段的长度与角的大小都会改变 C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变 D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变 【答案】D 【详解】根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，可知对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变， 故选D． 点睛：本题主要考查相似图形的性质.理解相似图形的性质是解题的关键. 题型02：相似形的概念和特点 【例2】 “相似的图形”是(   ) A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形 C．能够重合的图形 D．大小相同的图形 【答案】A 【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可． 【解析】相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同， 故选A． 【点睛】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是了解相似图形是形状相同的图形． 【跟踪训练】 1．相似的两个图形，它们的大小 (填“一定”，“不一定”，“一定不”)相同． 【答案】不一定 【分析】根据相似图形的定义判断即可． 【解析】相似的两个图形形状相同，但大小不一定相等，只有两个图形全等时大小才相等，全等是相似的一种特殊情况． 故答案为：不一定． 【点睛】本题考查相似图形，明确相似图形的定义是解题的关键． 2．（2023秋·上海崇明·九年级校考期中）下列关于“相似形”的说法中正确的是（    ） A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形 C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例 【答案】B 【分析】根据相似形的性质逐一判断即可． 【详解】解：A：相似形形状相同、大小不一定相同，但是可以相同，故选项A错误； B：图形的放缩运动可以得到相似形，选项B正确； C：如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形，故选项C错误； D：全等形是相似形的特例，故选项D错误． 【点睛】本题考查相似形的性质，解题的关键是熟练掌握相似形的相关知识． 题型03：相似图形的判断（文字） 【例3】（2025·上海徐汇·一模）下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个等腰三角形 D．两个正方形 【答案】D 【分析】本题考查的是相似图形 的概念，掌握各个角对应相等，各边对应成比例的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．根据相似图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．任意两个矩形各个角对应相等，但各边不一定对应成比例，故不一定相似，不符合题意； B．任意两个菱形的各边对应成比例，但各个角不一定对应相等，故不一定相似，不符合题意； C．任意两个等腰三角形的各个角不一定对应相等，各边不一定对应成比例，故不一定相似，不符合题意； D．任意两个正方形各个角对应相等，各边对应成比例，故一定相似，符合题意． 故选：D． 【跟踪训练】 1．（2025·上海宝山·一模）下列图形，相似的一组是（  ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．有一个内角为的两个菱形 D．边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，根据相似图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、两个直角三角形不一定相似，不符合题意； B、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； C、有一个内角为的两个菱形对应边成比例，相似，符合题意； D、边长分别为2厘米和3厘米的两个菱形对应角不一定相等，不符合题意． 故选：C． 2．（2025·上海虹口·一模）下列各组图形中，一定相似的是（   ） A．两个菱形 B．两个正方形 C．两个三角形 D．两个等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查的是相似图形，根据相似图形的定义解答即可． 【详解】解：A、两个菱形的对应角不一定相等，故两个菱形不一定相似，不符合题意； B、两个正方形一定相似，符合题意； C、两个三角形不一定相似，不符合题意； D、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意， 故选：B． 3．（2024·上海青浦·统考一模）下列图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据“对应角相等，对应边成比例的图形相似”逐个判断即可． 【详解】解：A、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意． B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意； C、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项符合题意； D、两个等腰梯形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意； 故选C． 4．（2024·上海静安·统考一模）下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个平行四边形 B．两个圆 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似图形的识别，对应边成比例，对应角相等的图形叫相似图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、两个平行四边形不一定相似，例如没有内角是直角的菱形和矩形不相似，不符合题意； B、两个圆一定相似，符合题意； C、两个菱形不一定相似，例如没有内角是直角的菱形和正方形不相似，不符合题意； D、两个等腰三角形不一定相似，例如等腰直角三角形和等边三角形不相似，不符合题意； 故选B． 题型04：相似图形的识别（图形） 【例4】（2025·上海奉贤·一模）下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据相似多边形的定义，对应边成比例且对应角相等的两个多边形相似，解答即可． 本题考查了多边形的相似，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵原始矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角， A中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； B中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形不相似， 此选项符合题意； C中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； D中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； 故选：B． 【跟踪训练】 1．下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似图形的形状相同，进行判断即可． 【解析】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似，C选项中的两个图形形状相同，相似； 故选：C． 2．（2021秋•昭平县期末）下列和右图相似的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除错误答案． 【解答】解：A、形状相同，但大小不一定相同，符合相似形的定义，故正确； B、只是大小没有改变，而形状发生了改变，故错误； C、只是大小没有改变，而形状发生了改变，故错误； D、只是大小没有改变，而形状发生了改变，故错误． 故选：A． 【点评】形状相同是识别相似形的关键．即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换即为相似变换． 3．（2022秋·上海浦东新·九年级统考期中）下列各组中两个图形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似图形的定义进行分析即可． 【详解】我们把形状相同的图形叫相似图形，其特征是对应角相等，对应边成比例，观察图形得知，B图对应边的比不全相等，故不相似． 故选：B． 【点睛】此题考查了相似图形的判断，解题的关键是理解相似图形的定义． 题型05：相似三角形的性质及应用 【例5】（2024秋·上海·九年级校考期中）用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（  ） A．各边的长度 B．各内角的度数 C．五边形的周长 D．五边形的面积 【答案】B 【详解】解：∵用一个放大镜去观察一个三角形，∴放大后的三角形与原三角形相似，∵相似三角形的对应边成比例，∴各边长都变大，故此选项错误； ∵相似三角形的对应角相等，∴对应角大小不变，故选项B正确；． ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴C选项错误； ∵相似三角形的周长得比等于相似比，∴D选项错误． 故选B． 点睛：此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应边成比例，相似三角形的对应角相等，相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长得比等于相似比． 【例6】（2023上海·九年级专题练习）四边形和四边形是相似图形，点分别与对应，已知，，，那么的长是__________． 【答案】1.6 【分析】相似多边形的对应边成比例，根据相似多边形的性质即可解决问题． 【详解】∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'， ∴CD：C′D′=BC：B′C′， ∵BC=3，CD=2.4，B'C′=2， ∴C′D′=1.6， 故答案为：1.6． 【点睛】本题考查相似图形，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质． 【跟踪训练】 1．如图，四边形四边形，若 ，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似多边形的性质得到，然后根据四边形的内角和计算的度数即可． 【解析】解：四边形四边形， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例，也考查了四边形的内角和． 2.（24-25大同中学九年级月考）如图，四边形和四边形相似，点的对应点分别为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形对应角相等是解题的关键．利用相似多边形的对应角相等性质，再结合四边形的内角和为，求出每一个内角的角度，即可得出结论． 【详解】解：四边形和四边形相似， ，，，， 又， ． 故选：A． 3．（2020秋·上海宝山·九年级统考期中）如图，把一张矩形纸片沿着一条对称轴翻折，所得到的矩形与原矩形相似，已知原矩形纸片较短的边长为，那么其较长边用含的代数式表示为_______． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：设较长边为b， ∵所得到的矩形ABCD与原矩形相似， ∴， 整理得，， 解得，b=， 故答案为：. 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 题型06：新定义问题 【例7】（2025·上海静安·一模）我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，理解题意，掌握相似多边形的各边的比是解题的关键． 分别表示出原矩形的长和宽，折叠后的长与宽，结合题意“白银比”进行计算即可求解． 【详解】解：设矩形纸片长为，宽为， ∴折叠后矩形的长为，宽为， 根据题意可得，， ∴， 解得，， 故答案为： ． 【跟踪训练】 1．（2020秋•长宁区期末）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于　　． 【分析】利用相似三角形的性质求出BC长，再利用等腰三角形的性质和勾股定理计算出EF的长即可． 【解答】解：如图所示： ∵AB＝AC，AD＝CD，△ABC∽△DAC， ∴AC2＝BC•AD， ∵AC＝，AD＝， ∴CB＝2， ∵△ABC∽△DAC， ∴∠ACB＝∠CAD， ∴CB∥AD， ∵AB＝AC，F为BC中点， ∴AF⊥CB，BF＝CF＝1， ∴∠AFC＝90°， ∵CB∥AD， ∴∠FAE＝∠AFC＝90°， ∵AC＝， 在Rt△AFC中AF＝＝， ∵AD＝，E为AD中点， ∴AE＝， ∴EF＝＝＝． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，以及等腰三角形的性质和勾股定理，关键是掌握相似三角形对应边成比例、对应角相等． 2．（2020秋•青浦区期末）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD中，点Q在边AD上，如果△QAB、△QBC和△QDC都相似，那么点Q就是四边形ABCD的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝2，BC＝8，∠B＝60°，如果点Q是边AD上的“强相似点”，那么AQ＝　或　． 【分析】如图，当∠1＝∠2＝∠3时，△BAQ∽△QDC∽△CQB，设AQ＝x．利用相似三角形的性质，构建方程求解即可． 【解答】解：如图，当∠1＝∠2＝∠3时，△BAQ∽△QDC∽△CQB，设AQ＝x． 过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，则四边形AEFD是矩形， ∴AD＝EF， ∵AB＝CD＝2，AD∥BC， ∴四边形ABCD是等腰梯形， ∴∠ABE＝∠DCF＝60°， BE＝AB•cos60°＝1，CF＝CD•cos60°＝1， ∴EF＝BC﹣BE﹣CF＝6， ∴AD＝EF＝6，DQ＝6﹣x， ∵△BAQ∽△QDC， ∴＝， ∴x（6﹣x）＝4， 解得x＝3±， ∴AQ＝3±， 故答案为：或 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．（2022秋•金山区校级期末）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周长为 　　． 【分析】过D作DE⊥BC于E，根据矩形的性质得到BE＝AD＝2，求得BD＝CD，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：如图，过D作DE⊥BC于E， ∵梯形是直角梯形， ∴∠A＝∠ABC＝∠DEB＝90°， ∴四边形ABED是矩形， ∴BE＝AD＝2， ∵BC＝4， ∴CE＝BE＝2， ∴BD＝CD， ∵梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似， ∴△ABD∽△DBC， ∴＝， ∴＝＝1， ∴AB＝AD＝2， ∴BD＝CD＝AD＝2， ∴它的周长为2+2+4+2＝8+2， 故答案为：8+2． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角梯形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键， 4．（2023上海·九年级专题练习）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题： （1）当矩形的长和宽分别为，时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由． （2）边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）存在；理由见解析；（2）不存在，理由见解析． 【分析】（1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解． （2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是4，所以不存在“减半”正方形． 【详解】解：（1）存在 假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为，，则， 由①，得：，③ 把③代入②，得， 解得，． 所以“减半”矩形长和宽分别为与． （2）不存在 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是， 所以正方形不存在“减半”正方形． 【点睛】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系． 一、选择题 1．（2022秋•青浦区校级期末）下列图形中，一定相似的是（　　） A．两个正方形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个等腰三角形 【分析】根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，菱形，直角三角形，等腰三角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法． 【解答】解：A、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确； B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误； C、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误； D、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误． 故选：A． 【点评】本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑． 2．（2023秋·上海·九年级校考阶段练习）下列命题中，错误的是（    ） A．两个含有角的等腰三角形一定相似 B．两个矩形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个正方形一定相似 【答案】B 【分析】利用相似图形的定义分别判断即可得到答案． 【详解】解：A．两个含有角的等腰三角形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误； B．两个矩形一定相似，对应角相等，但对应边不成比例，故两个矩形不一定相似，说法错误，符合题意，选项正确； C．两个等边三角形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误； D．两个正方形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误， 故选B． 【点睛】本题考查了相似图形的定义，熟练掌握相似多边形对应角相等，对应边成比例是解题关键． 3．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）下列图形一定相似的为（    ） A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【答案】B 【分析】根据相似三角形及多边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A．两个等腰三角形的内角不一定相等，因此两个等腰三角形不一定相似，故A不符合题意； B．∵两个等边三角形的内角都是60°， ∴两个等边三角形一定相似，故B符合题意； C．两个矩形的对应边不一定对应成比例，因此两个矩形不一定相似，故C不符合题意； D．两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，因此两个平行四边形不一定相似，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形及多边形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．（2022秋•奉贤区期中）下列各组图形中，一定相似的是（　　） A．两个等腰直角三角形 B．各有两边长是4和5的两个直角三角形 C．各有两边长是4和5的两个等腰三角形 D．各有一个角是40°的两个等腰三角形 【分析】根据相似图形的定义，对应角相等，对应边成比例对各选项分析判断利用排除法求解． 【解答】解：A、两个等腰直角三角形，两腰成比例，夹角都是直角相等，一定相似，故本选项符合题意； B、各有两边长是4和5的两个直角三角形，不一定相似，故本选项不符合题意； C、各有两边长是4和5的两个等腰三角形，不一定相似，故本选项不符合题意； D、各有一个角是40°的两个等腰三角形，不一定相似，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了相似图形，注意相似图形从对应边与夹角两方面考虑，是基础题，熟练掌握概念是解题的关键． 5．（2023•长宁区一模）下列各组图形中一定是相似形的是（　　） A．两个等腰梯形 B．两个矩形 C．两个直角三角形 D．两个等边三角形 【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形是相似多边形． 【解答】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等， ∴两个等边三角形一定是相似形， 又∵直角三角形，等腰梯形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例， ∴两个直角三角形、两个等腰梯形、两个矩形都不一定是相似形， 故选：D． 【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等． 6．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）两个大小不一的五边形和五边形如图所示放置，点F在线段上，点H在线段上，对应连接并延长刚好交于一点O，则这两个五边形的关系是（    ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据相似多边形的定义即可解答． 【详解】解：∵两个大小不一的五边形和五边形对应边不成比例 ∴五边形和五边形一定不相似． 故选B． 【点睛】本题考查了相似多边形的定义，掌握对应边成比例的多边形是相似三角形成为解答本题的关键． 7．如图四边形四边形，，，，则（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．根据相似多边形的性质列出对应边成比例即可求解． 【解析】解：四边形四边形， ， ，，， ， ． 故选：． 2、 填空题 8．（2023秋·河南许昌·九年级期末）下列五组图形中，①两个等腰三角形；②两个等边三形；③两个菱形；④两个矩形；⑤两个正方形．一定相似的有 （填序号） 【答案】②⑤ 【分析】根据相似图形的性质对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】两个等腰三角形的顶角不一定相等，故不一定相似； 两个等边三角形一定相似； 两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似； 两个矩形的相邻边长比例不一定相等，故不一定相似； 两个正方形一定相似； 故答案为：②⑤． 【点睛】本题考查了图形相似的知识；解题的关键是熟练掌握相似图形的性质，从而完成求解． 9.（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是 ．（用a的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】连接，根据菱形对角线互相垂直，构建直角三角形，再根据相似，得出，再根据直角三角形30°角所对的边是斜边的一半得出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵菱形与菱形相似， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， 即，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似的性质，解题的关键是熟练掌握菱形对角线互相垂直，相似多边形对应角相等． 10.（2022秋·上海松江·九年级统考期末）我们知道：四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形．如图，已知梯形ABCD中，ADBC，AD＝1，BC＝2，E、F分别是边AB、CD上的点，且EFBC，如果四边AEFD与四边形EBCF相似，那么的值是 ． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质得出=，把AD=1和BC=2代入求出EF，再根据相似多边形的性质得出 ，再求出答案即可． 【详解】解：∵四边AEFD与四边形EBCF相似， ∴， ∵AD=1，BC=2， ∴ ， 解得：EF=， ∵四边AEFD与四边形EBCF相似， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了梯形和相似多边形的性质，能根据相似多边形的性质得出比例式是解此题的关键． 三、解答题 11．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开（对折）得到，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，求的值．      【答案】 【分析】此题考查了相似多边形的性质，设，，则，，根据相似多边形的性质得到，然后代入求解即可．解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等． 【解析】设，，则，， 由相似图形的性质得：，即， 解得或（不符题意，舍去）， 则． 12．九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长厘米，宽厘米，想在边上找点E，作，交于点F，使矩形矩形（不全等） (1)求的长度： (2)小阳想进一步探究，是否任意一个矩形都可以画出平行线，使分成的两个矩形相似（不全等），如果能够，请直接写出能够实现的原矩形的长与宽的比值k的取值范围，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)4或9 (2) 【分析】（1）根据矩形矩形得到，然后代数求解即可； （2）设，，，根据矩形矩形得到，得到，，然后根据一元二次方程的判别式求解即可． 【解析】（1）解：∵四边形是矩形 ∴厘米，厘米， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， 解得或9， 经检验，或9符合题意， ∴的长度为4或9； （2）解：设，， ∵矩形矩形 ∴ ∴ 整理得， 根据题意得， ∴ ∴（负值舍去） 原矩形的长与宽的比值k的取值范围为． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质，一元二次方程的判别式，解分式方程，根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$