精品解析：江西省丰城中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

丰城中学2025-2026学年上学期高三开学考试试卷 数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意先求出集合中不等式的解集，然后根据集合的并集概念求出. 【详解】因为集合，所以 因为集合，所以. 故选：B. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定求解即可. 【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题的否定为“，”． 故选：B． 3. 如果可导曲线在点的切线方程为，其中，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解. 【详解】解：切线方程的斜截式为，斜率， 所以. 故选：C 4. 以下说法不正确的是（ ） A. 78，82，83，85，86，87，89，89的第75百分位数为88 B. 相关系数的绝对值接近于0，两个随机变量没有相关性 C. 的展开式中常数项为15 D. 必然事件和不可能事件与任意事件相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】求出选项A中数据的第75百分位数，即可判断A；根据相关系数的知识可判断B；求出的展开式中常数项可判断C；根据必然事件、不可能事件的概念可判断D． 【详解】对于A：因为，所以第75百分位数为，故A正确； 对于B：相关系数r的绝对值接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关关系，并不说明变量之间不存在其它相关关系，故B错误； 对于C：常数项为，故C正确； 对于D：由必然事件和不可能事件的定义，可得D正确． 故选：B． 5. 某校高二年级学生中有60%的学生喜欢打篮球，40%的学生喜欢打排球，80%的学生喜欢打篮球或排球．在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，若该学生喜欢打篮球，则他也喜欢打排球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用条件概率公式计算即可. 【详解】设在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，若该学生喜欢打篮球为事件A, 在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，则他也喜欢打排球为事件B, , . 故选：A. 6. 现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（　　）（参考数据：） A. 36小时 B. 38小时 C. 40小时 D. 42小时 【答案】C 【解析】 【分析】判断第n小时后细胞的个数构成等比数列，即可求出的表达式，解不等式，即可求得答案. 【详解】记第n小时后细胞的个数为，则， ，故是首项为，公比为的等比数列， 故， 令，得， 则，故， 又为整数，故当细胞总数超过小时，所需时间至少为40小时. 故选：C 7. 已知直线l与圆交于A，B两点，点满足，若AB的中点为M，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，则、，由点在圆上可得，再由向量垂直的坐标表示可得，进而可得M的轨迹为圆，即可求的最大值. 【详解】设，中点，则，， 又，，则， 所以， 又，则，而，， 所以，即， 综上，，整理得，即为M的轨迹方程， 所以在圆心为，半径为的圆上，则. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：由点圆位置、中点坐标公式及向量垂直的坐标表示得到关于的轨迹方程. 8. 已知函数满足，当时，，若在区间内，函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意，求出，将题目要求转化为与的图象在区间内有三个不同的公共点，再结合图象即可求出的取值范围. 【详解】因为当时，， 所以当时， ，故， 所以， 问题转化为：方程在区间内有三个不同的实根，即与的图象在区间内有三个不同的公共点， 如图所示，与有一个交点，且与有两个交点即可， 设与的切点为，则，有，解得，故； 又的另一端点为，顺时针旋转时不能低于它，此时，即，故， 综上：，即. 故选：A. 二、多选题（每小题有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）有下列式子，正确的有（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】通过作差，基本不等式等证明A，B，D正确，通过举反例说明C错误即可． 【详解】对于A，　故A错误； 对于B，当时，（当且仅当x＝1时取“＝”）； 当时，（当且仅当x＝－1时取“＝”），故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，（当且仅当x＝0时取“＝”），故D正确． 故选：BD． 10. 已知数列满足，，则（ ） A. 当为奇数时， B. 当为偶数时， C. D. 数列的前项和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给出的递推公式，可以分别求出奇偶项的通项公式，据此可判断选项A，B，C的正确与否；用分组求和可计算出前项的和可判断选项D. 【详解】令，由已知可得，， 所以，又，所以，; 令，所以，当为奇数时，，故A错误； 令，所以，当为偶数时，，故B正确； 由B可知，，令， 由已知可得，， 所以，综上，故C正确； 前项中的奇数项和， 前项中的偶数项和， 所以数列的前项和为，故D正确. 故选：BCD. 11. “大鹏曲线”的方程为，其图像因为形似一只展翅高飞的大鹏而得名.直线与的交点可能个数的集合记为，下列选项正确的是（ ） A. 该曲线关于轴对称 B. C. D. “”的充要条件是“且” 【答案】AC 【解析】 【分析】根据椭圆及双曲线的性质可判断A；根据直线经过定点，利用直线方程与圆锥曲线方程联立结合圆锥曲线的性质可判断BC；根据反例可判断D. 【详解】当时，曲线为双曲线，渐近线方程为， 当时，曲线为椭圆， 对于A，根据双曲线及椭圆的性质可得该曲线关于轴对称，故A正确； 对于B，因为恒过点， 当直线时，此时直线与渐近线平行，直线与的交点为1， 当时，直线与的交点为1， 当时，直线与的交点为2，故，故B错误， 对于C，因为恒过点， 联立与椭圆得， 则， 当时，此时，故直线与下半椭圆相切，结合图象可知： 当直线时，直线与的交点为2， 故时，直线与的交点为1， 当时，直线与的交点为0， 当或时，直线与的有1个交点， 当时，直线与的交点为2， 故，故C正确， 对于D，取，，由C可知直线与的交点为1， 故且不能得到，故D错误. 故选：AC 【点睛】易错点睛： 理解分段函数的图形性质：在处理分段曲线时，容易忽略不同部分（椭圆和双曲线）的交点性质，尤其是在计算交点数时需要区分和的情况. 判别式的使用：在椭圆部分的交点计算中，需要使用判别式来判断直线与椭圆的交点数目，误用判别式或者未正确设置判别式会导致错误的交点数目. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分） 12. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是____. 【答案】 【解析】 【分析】需对和两种情况进行讨论在上的单调性，从而可确定的取值范围. 【详解】若，则，这是一个一次函数，斜率为， 在上不是单调递增的，故， 若，函数是一个二次函数，其对称轴为， 因为在上的单调递增，所以该函数开口向上，则， 同时必须在区间的左侧或者和重合， 所以，解之可得 综上，实数a的取值范围是. 故答案为： 13. 离散型随机变量的分布列为为常数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】结合裂项相消求和法，根据离散型随机变量的概率之和为1列方程求解即可. 【详解】， 因为， 所以，解得. 故答案为： 14. 我们想把9张写着1~9的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有3张卡片，且存在两个盒子中卡片的数字之和相等，则不同的放法有___________种. 【答案】204 【解析】 【分析】首先列出至少有两个卡片之和相等的盒子的情况，然后利用全排列即可求解. 【详解】由题意可知，设存在的这两个盒子中卡片的数字之和相等，设其相等的和为． 当时，共有1种情况，即； 当时，共有3种情况，即，，{(1，5，6)，(2，3，7)}； 当时，共有5种情况，即，，，，； 当时，共有7种情况，即，，，，，，； 当时，共有2种情况，即， ； 当时，共有7种情况，即，，，，，，； 当时，共有5种情况，即，，，，{(1，7，9)，(3，6，8)}； 当时，共有3种情况，即，； 当x＝19时，共有1种情况，即{(3，7，9)，(5，6，8)}； 综上所述，共有1＋3＋5＋7＋2＋7＋5＋3＋1＝34(种)情况， ∴不同的放法共有：种． 故答案为：204． 四、解答题（本大题共5小题，满分77分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）结合（1）可知函数的单调性，从而由函数的最大值求出的值，即可求出函数的最小值. 【小问1详解】 函数的定义域为， 又 令，解得 ，令，则或， 所以的单调递减区间为，单调递增区间. 【小问2详解】 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 则，解得， 所以，又，， 所以在区间上的最小值为. 16. 设数列满足，数列是公比大于0的等比数列.已知是和的等比中项. （1）求数列和数列的通项公式； （2）设，且数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列等比数列基本量的计算可得公差和公比，即可利用等比等差的通项求解， （2）利用错位相减法求解，根据的单调性，将问题转化为，解不等式即可求解. 【小问1详解】 由可得数列为等差数列， 设的公差为，的公比为， 由于是和的等比中项，所以， 由题意可得，解得， 所以， 即 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， ， 相减可得， 而，于是为单调递增数列，即， 对任意的，不等式恒成立，得， 解得或， 故的取值范围为或. 17. 如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，且． （1）求证：； （2）若三棱柱的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）取的中点为，连接， 因为底面是边长为4的等边三角形， 所以，又，为平面内两条相交直线， 所以平面，又在平面内， 所以， 又的中点为， 所以， （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，通过平面，得到即可求证； （2）建系求得直线方向向量，平面法向量代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作，垂足为， 由（1）平面，在平面内， 所以，为平面内两条相交直线， 所以平面，即为棱柱的高， 又， 三棱柱的体积为， 所以， 又，所以， 又底面是边长为4的等边三角形， 所以， 过作的平行线作为轴，为轴，建系， 则， 设，则， 由，可得， 即， 设平面的法向量为， 则， 设，得， 所以， 设直线与平面所成角为， 则 18. 已知点在抛物线上，直线过点与的焦点，交于点 . （1）求抛物线的方程与点的坐标； （2）若动点在上，且 . ① 求面积的最大值； ②若，直线交直线于点，直线交直线于点，求使得与面积相等的点的坐标. 【答案】（1）抛物线的方程为， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可得出抛物线的方程，求出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可求出点的坐标； （2）①求出，利用二次函数的基本性质可求出点到直线距离的最大值，结合三角形的面积公式可求得结果； ②求出直线、的方程，进而可求出点、的坐标，求出、的表达式，根据求出的值，即可得出点的坐标. 【小问1详解】 将点的坐标代入抛物线的方程得，解得， 所以，抛物线的标准方程为，易知点， 设点，则，所以，直线的方程为，即， 联立可得，由韦达定理可得，可得，即点. 【小问2详解】 由（1）可知，，且直线的方程为， 易知，即点， 所以，点到直线的距离为， 因为，则， 则， 当且仅当时，取最大值， 所以，，即面积的最大值为； ②如下图所示： 由①可知，， ，则直线的方程为， 将代入直线的方程可得，即点， ，则直线的方程为， 将代入直线的方程可得，即点， 因为，则，可得， 所以，，， 所以，， 所以，， 由可得，解得， 故使得和的点的坐标为. 19. 已知A，B，C是函数图象上不同的三点．若点A，B，C的横坐标成等比数列，且曲线在点B处的切线的斜率小于直线AC的斜率，则称是其定义域上的“等比偏移”函数．设． （1）讨论的极值点个数； （2）若是上的“等比偏移”函数，求实数a的取值范围； （3）当时，数列满足，，证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先对函数求导得，再按的正负分类.再分析两侧导数正负，确定有一个极大值点. （2）求取值范围利用“等比偏移”性质得出，算出点处切线斜率和直线AC斜率，作差后换元令，构造函数，求导判断其单调性，结合条件得出的范围. （3）根据已知条件得到递推关系，构造函数，利用导数判断单调性，结合的值证明.接着构造，同样用导数判断单调性，对放缩，得出.再通过变形得到的不等式，进而求出取值范围.最后分和两种情况，对求和并与比较，证明不等式成立. 【小问1详解】 由得，的定义域为，， 当时，，∴在上单调递减，的极值点个数为0． 当时，令，得， 当时，，∴在上单调递增， 当时，，∴在上单调递减， ∴在处取得极大值，无极小值，的极值点个数为1． 综上，当时，的极值点个数为0；当时，的极值点个数为1． 【小问2详解】 设，，∵是上的“等比偏移”函数， ∴，易知，不妨设， ∵，∴曲线在点B处切线的斜率， 又， ∴． ∵，∴，令，则， 所以， ∴（）（*）． 令， 则， ∴在上单调递增，∴， 结合（*）式，得，即a的取值范围为． 【小问3详解】 当时，，． 令， 则， 当时，，∴在上单调递增， ∵，，∴， 从而，，…，故． 令， 则， ∴在上单调递减，∴， ∵，∴，即， ∴， 即， 从而， ∴，． ∵，∴，， 即，， ∴当时， ， 又当时，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城中学2025-2026学年上学期高三开学考试试卷 数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 如果可导曲线在点的切线方程为，其中，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 以下说法不正确的是（ ） A. 78，82，83，85，86，87，89，89的第75百分位数为88 B. 相关系数的绝对值接近于0，两个随机变量没有相关性 C. 的展开式中常数项为15 D. 必然事件和不可能事件与任意事件相互独立 5. 某校高二年级学生中有60%的学生喜欢打篮球，40%的学生喜欢打排球，80%的学生喜欢打篮球或排球．在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，若该学生喜欢打篮球，则他也喜欢打排球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（　　）（参考数据：） A. 36小时 B. 38小时 C. 40小时 D. 42小时 7. 已知直线l与圆交于A，B两点，点满足，若AB的中点为M，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足，当时，，若在区间内，函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多选题（每小题有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）有下列式子，正确的有（　　） A. B. C. D. 10. 已知数列满足，，则（ ） A. 当为奇数时， B. 当为偶数时， C. D. 数列的前项和为 11. “大鹏曲线”的方程为，其图像因为形似一只展翅高飞的大鹏而得名.直线与的交点可能个数的集合记为，下列选项正确的是（ ） A. 该曲线关于轴对称 B. C. D. “”的充要条件是“且” 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分） 12. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是____. 13. 离散型随机变量的分布列为为常数，则______. 14. 我们想把9张写着1~9的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有3张卡片，且存在两个盒子中卡片的数字之和相等，则不同的放法有___________种. 四、解答题（本大题共5小题，满分77分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值． 16. 设数列满足，数列是公比大于0的等比数列.已知是和的等比中项. （1）求数列和数列的通项公式； （2）设，且数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 17. 如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，且． （1）求证：； （2）若三棱柱的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知点在抛物线上，直线过点与的焦点，交于点 . （1）求抛物线的方程与点的坐标； （2）若动点在上，且 . ① 求面积的最大值； ②若，直线交直线于点，直线交直线于点，求使得与面积相等的点的坐标. 19. 已知A，B，C是函数图象上不同的三点．若点A，B，C的横坐标成等比数列，且曲线在点B处的切线的斜率小于直线AC的斜率，则称是其定义域上的“等比偏移”函数．设． （1）讨论的极值点个数； （2）若是上的“等比偏移”函数，求实数a的取值范围； （3）当时，数列满足，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $