精品解析：辽宁省 丹东市第五中学2025-2026学年八年级上学期开学数学试题

2024-2025（下）七年级暑假作业验收数学试卷 满分：100分 考试时间：90分钟 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分） 1. 博物馆是历史的见证者和收录者，是人们直观感受历史脉络，提升历史认知的重要场所．以下四个博物馆标识，其图案不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 3. 沈阳故宫是中国现存最完整的两大古代宫殿建筑群之一，其部分建筑彩画中使用了一种传统颜料颗粒．经测量，该颜料颗粒的直径约为0.000085米，将数据0.000085用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 367人中有两人的生日相同 B. 抛掷一枚硬币，正面朝上 C. 打开电视，它正在播广告 D. 打雷后会下雨 5. 下列图形中，线段的长度表示点到直线的距离的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 7. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； （3）画射线.射线即为所求． 上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的网格，图形中各个顶点均为格点，设，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”为（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（ ） A. B. 长方形的周长为 C. 当秒时， D. 当时，秒 二、填空题（本题共5小题，每小题2分，共10分） 11. 已知，，则_____． 12. 从单词“”中随机抽取一个字母，字母“”出现的概率是_____． 13. 当一个等腰三角形底角的度数变化时，这个等腰三角形顶角的度数也随之发生了变化，若设这个等腰三角形底角的度数为，顶角的度数为，则与的关系式为_____． 14. 折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读，如图5将纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点，若且，则的度数为___________ 15. 如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=20，ab=30，则阴影部分的面积为________． 三、解答题 16. 计算： （1） （2）利用简便方法计算： 17. 先化简，再求值：，其中 18. 如图，在中，若，，是的角平分线，点在上，且，求的度数． 19. 下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线及直线外一点． 求作：直线，使． 作法：如图2， ①在直线上取一点，连接； ②的平分线； ③P为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ④作直线． 则直线就是所求作的直线． 请你根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）． 20. 一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球． （1）求小颖摸到黄球的概率； （2）在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红色乒乓球，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则 ． 21. 抗美援朝纪念馆位于丹东市鸭绿江畔的英华山上，是全国唯一全面反映中国人民抗美援朝战争和抗美援朝运动历史的专题纪念馆，周末小明和家人一起骑行从家出发去抗美援朝纪念馆，在馆内参观了1个小时，随后骑行去姥姥家，如图，折线表示他们离开家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的关系，根据图中信息解答下列问题： （1）小明家与纪念馆的距离是_________千米，小明从家骑行到纪念馆的速度是_________千米/小时； （2）图中点B表示的实际意义是___________； （3）求小明及家人骑行去姥姥家的速度是多少千米/小时？ 22. 我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： （1）若，求的值； （2）填空： ①若，则 ； ②若，则 ； （3）两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，当A，O，D在同一直线上时，连接．若，求的面积． 23. 如图1，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． （1）【特殊情形，整体感知】 通过观察图1，线段与的数量关系是___________； （2）【转化应用，类比迁移】 在中，，，点O是直线上一动点（不与点C，B重合），线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接． 如图2，点O在边上时，猜想与的位置关系并说明理由； ②如图3，点O在的延长线上，若，当四边形的面积为18时，求点D到的距离； （3）【积累经验，拓展延伸】 若，，直接选出此时对应的α与β的数量关系___________． A． B． C． D． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025（下）七年级暑假作业验收数学试卷 满分：100分 考试时间：90分钟 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分） 1. 博物馆是历史的见证者和收录者，是人们直观感受历史脉络，提升历史认知的重要场所．以下四个博物馆标识，其图案不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．该文字图案是轴对称图形，不合题意； B．该文字图案不是轴对称图形，符合题意； C，该文字图案是轴对称图形，不合题意； D，该文字图案是轴对称图形，不合题意． 故选：B． 2. 下列各式能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 根据平方差公式对各选项分别进行判断． 【详解】解：A、不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； C、不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D、能用平方差公式计算，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 沈阳故宫是中国现存最完整的两大古代宫殿建筑群之一，其部分建筑彩画中使用了一种传统颜料颗粒．经测量，该颜料颗粒的直径约为0.000085米，将数据0.000085用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查较小数的科学记数法，掌握知识点是解题的关键． 根据小于1的数的科学记数法的定义，即可解答． 【详解】解：． 故选C． 4. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 367人中有两人的生日相同 B. 抛掷一枚硬币，正面朝上 C. 打开电视，它正在播广告 D. 打雷后会下雨 【答案】A 【解析】 【分析】根据必然事件的定义和随机事件的定义依次判断四个选项即可． 本题考查了必然事件、随机事件，解题的关键是理解必然事件是一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、一年最多有366天（闰年），367人中至少有两人生日相同，是必然事件，符合题意； B、抛硬币正面朝上的概率为，属于随机事件，不符合题意； C、打开电视可能播广告或其他内容，结果不确定，属于随机事件，不符合题意； D、打雷后可能下雨也可能不下雨，属于随机事件，不符合题意； 故选：A． 5. 下列图形中，线段的长度表示点到直线的距离的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度这一概念是解题的关键． 根据点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度这一定义，逐一判断各选项中线段是否为点到直线的垂线段． 【详解】解：选项A中，不垂直于，线段的长度不表示点到直线的距离； 选项B中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离； 选项C中，，垂足为，线段的长度表示点到直线的距离； 选项D中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离； 故选：C． 6. 若，则为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．根据多项式乘以多项式的计算法则求出即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， 故选：A． 7. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； （3）画射线.射线即为所求． 上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质． 由题意可知，．又由即可证明．即可得到答案． 【详解】解：根据角平分线的作法可知，，． 又∵， ∴． ∴，即射线即为的角平分线． 故选A． 8. 如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的网格，图形中各个顶点均为格点，设，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形外角的性质，根据全等三角形的判定与性质可得，从而可得，再根据三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义——“优美比”，熟练掌握新定义，等腰三角形定义，三角形的三边关系，分类讨论，是解决问题的关键． 分两种情况讨论：为底边或腰长，分别计算对应的腰长或底边，再求优美比k，并验证是否满足三角形三边关系． 【详解】解：当为底边时： 周长为，两腰之和为，则腰长为． 验证：，满足三角形三边关系． ∴． 2． 当为腰长时，周长为， 底边长为， 验证：，满足三角形三边关系． ∴． 综上，优美比k为或． 故选：C． 10. 如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（ ） A. B. 长方形的周长为 C. 当秒时， D. 当时，秒 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用图象法表示两个变量间的关系，能看懂图象，根据动点P所在的位置与图象的关系逐项判断即可． 【详解】解：A、根据题意，动点P在边上时，的面积y值不变， ∴，故A选项说法正确，不符合题意； B、由图象知，动点P在边上运动时间为4秒， ∴， ∴长方形的周长为， 故选项B说法正确，不符合题意； C、当秒时，动点P在边上，此时， 故选项C说法正确，不符合题意； D、当时，有两种情况： 当动点P在边上时，由得； 当动点P在边上时，由得， 综上，当时，秒或3秒， 故选项D说法错误，符合题意， 故选：D． 二、填空题（本题共5小题，每小题2分，共10分） 11. 已知，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法即可答案． 【详解】解：由题意可知： 故答案为：21． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法，本题属于基础题型． 12. 从单词“”中随机抽取一个字母，字母“”出现的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键．根据简单概率公式计算概率即可． 【详解】解∶∵在单词“”中，一共有11个字母，其中字母“”有2个， ∴字母“”出现的概率是， 故答案为∶． 13. 当一个等腰三角形底角的度数变化时，这个等腰三角形顶角的度数也随之发生了变化，若设这个等腰三角形底角的度数为，顶角的度数为，则与的关系式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、利用关系式表示函数关系，熟练掌握三角形的内角和定理和等腰三角形的性质是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据等腰三角形的性质可得x的取值范围，由此即可得． 【详解】解：根据题意，得， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读，如图5将纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点，若且，则的度数为___________ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质以及平行线的性质，正确求出的度数是解答本题的关键． 由折叠的性质可得，再根据平行线的性质可得，根据三角形的内角和定理用含有的代数式表示出的度数，再根据三角形的外角性质可得的度数，进而得出的度数． 【详解】解：将纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=20，ab=30，则阴影部分的面积为________． 【答案】155 【解析】 【分析】先由图形得出阴影部分的面积等于两个正方形面积之和减去两个三角形的面积，然后在化简计算过程中配成含有（a＋b）2和ab的式子，就能把a＋b＝20，ab＝30代入计算了． 【详解】解：∵a＋b＝20，ab＝30， ∴S阴影＝a2＋b2−a2−b(a＋b)， ＝(a2＋b2−ab)， ＝[(a＋b)2−3ab]， ＝(400−90)， ＝155， 故答案为：155． 【点睛】本题考查整式乘法与几何图形的面积计算，熟练掌握完全平方公式在化简计算中的常见变形方法是解题的关键． 三、解答题 16. 计算： （1） （2）利用简便方法计算： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，同底数幂的乘法逆运算，积的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先进行幂的乘方、积的乘方运算，单项式乘以多项式，再进行加减计算； （2）利用同底数幂的乘法逆运算，积的乘方逆运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 先根据完全平方公式和多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后计算除法，化简后再代入x，y求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，在中，若，，是的角平分线，点在上，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质等知识，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． 19. 下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线及直线外一点． 求作：直线，使． 作法：如图2， ①在直线上取一点，连接； ②的平分线； ③P为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ④作直线． 则直线就是所求作的直线． 请你根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）． 【答案】 解：如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【解析】 【分析】本题考查了尺规作角平分线和线段，平行线的判定，等腰三角形的性质； 根据尺规作角平分线和作线段的方法进行作图即可． 【详解】略 20. 一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球． （1）求小颖摸到黄球的概率； （2）在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红色乒乓球，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）利用概率公式直接计算即可． 【小问1详解】 解：∵随一个不透明的盒子中装有个白色乒乓球，个黄色乒乓球，个红色乒乓球， 小颖摸到黄球的概率为： 【小问2详解】 根据题意，得 解得，经检验是方程的解， 故答案为：． 21. 抗美援朝纪念馆位于丹东市鸭绿江畔的英华山上，是全国唯一全面反映中国人民抗美援朝战争和抗美援朝运动历史的专题纪念馆，周末小明和家人一起骑行从家出发去抗美援朝纪念馆，在馆内参观了1个小时，随后骑行去姥姥家，如图，折线表示他们离开家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的关系，根据图中信息解答下列问题： （1）小明家与纪念馆的距离是_________千米，小明从家骑行到纪念馆的速度是_________千米/小时； （2）图中点B表示的实际意义是___________； （3）求小明及家人骑行去姥姥家的速度是多少千米/小时？ 【答案】（1）5；15 （2）小明和家人离家小时时，参观完离家5千米的抗美援朝纪念馆，准备骑行到能姥家 （3）17千米/小时 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，正确理解题意、理解函数图象横、纵坐标表示的意义是解题的关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据函数图象解答即可； （3）根据速度=路程÷时间可得答案． 【小问1详解】 解：由图象知：小明家与纪念馆的距离是5千米， 小明从家骑行到纪念馆的速度是千米/小时； 【小问2详解】 小时， 图中点B表示的实际意义是小明和家人离家小时时，参观完离家5千米的抗美援朝纪念馆，准备骑行到能姥家； 【小问3详解】 千米/小时， 则小明及家人骑行去姥姥家的速度是17千米/小时． 22. 我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： （1）若，求的值； （2）填空： ①若，则 ； ②若，则 ； （3）两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，当A，O，D在同一直线上时，连接．若，求的面积． 【答案】（1） （2）①11②2 （3）30 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，熟练的运用完全平方公式的几个变形是解本题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算即可； （2）利用完全平方公式的变形式进行求解即可； （3）先证明 三点共线， 可得 结合已知条件可得 再利用 ，求解，从而可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， ∴； 故答案为：11； ②，， ∴ 即， ∴； 故答案为：2； 【小问3详解】 解：三点共线，且 三点共线， ，， ， ； ． 23. 如图1，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． （1）【特殊情形，整体感知】 通过观察图1，线段与的数量关系是___________； （2）【转化应用，类比迁移】 在中，，，点O是直线上一动点（不与点C，B重合），线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接． 如图2，点O在边上时，猜想与的位置关系并说明理由； ②如图3，点O在的延长线上，若，当四边形的面积为18时，求点D到的距离； （3）【积累经验，拓展延伸】 若，，直接选出此时对应的α与β的数量关系___________． A． B． C． D． 【答案】（1） （2）①，理由如下： 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②1 （3）ABC 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，合理添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，证明，即可得出结果； （2）①在上截取，连接，推出，进而推出，证明，得到，角的和差关系，求出，即可得出结论； ②过点D作于点F，证明，得到，设，分割法求面积，列出方程进行求解即可； （3）分点在线段上，点在线段的延长线上，在的延长线上三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴， ， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①略 ②过点D作于点F，则， ∵， ∴， 由旋转有， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵四边形的面积， ∴， ∴， ∴或（舍去）； ∴，即点D到的距离为1； 【小问3详解】 解：分三种情况讨论： ①当点在线段上时， 由（2）①可知：， ∴， 即：； ②当点在线段的延长线上时， 由（2）②可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当点在的延长线上时，如图：作，连接， 与（1）同理可得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上：或或． 故选：ABC 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $