精品解析：河南省叶县高级中学2025-2026学年高一上学期学习能力摸底测数学试卷

叶县高中2025-2026年新高一学习能力摸底测试卷 数学 （范围：集合全部） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 0与表示同一个集合 B. 集合与是两个相同的集合 C. 方程的解集为 D. 集合可以用列举法表示 2. 已知集合，的元素个数为4，则集合可能为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，．若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 若集合，，且，则实数的值可以是（ ）． A. 2 B. 2， C. 2，，0 D. 2，，0，1 5. 已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A. B. C. D. 6. 若集合，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设集合或，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 设全集为，非空真子集满足：，则（ ） A. B. C. D. 11. 设集合，或，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若，则的取值范围是______． 13. 设集合.若，则______. 14. 若当时，一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． （1）大于1且小于70的正整数构成的集合A； （2）小于8的质数组成的集合C； （3）方程的实数根组成的集合D； （4）函数图象上的所有点组成的集合E； （5）不等式 的解组成的集合F． 16. （1）已知，求实数的值； （2）已知，求实数，的值. 17. 已知，，全集 （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 18. 设，， （1），求的值； （2）若非空，且，求的值； （3），求的值． 19. 已知集合，集合B满足． （1）判断，，，中的哪些元素属于B； （2）证明：若，，则； （3）证明：若，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 叶县高中2025-2026年新高一学习能力摸底测试卷 数学 （范围：集合全部） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 0与表示同一个集合 B. 集合与是两个相同的集合 C. 方程的解集为 D. 集合可以用列举法表示 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论. 【详解】对于A，0是元素不是集合，表示以0为元素的一个集合，所以A错误； 对于B，集合与的元素完全相同，且集合中元素具有无序性，所以是两个相同的集合，所以B正确； 对于C，所给集合不满足集合中元素的互异性，方程的所有解组成的集合可表示为，C选项错误； 对于D，集合表示大于4且小于5的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，所以不可以用列举法表示，所以D错误． 故选：B． 2. 已知集合，的元素个数为4，则集合可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由常见数集符号的定义，结合交集的定义求解. 【详解】有无数个元素，的元素个数为5， 的元素个数为4，的元素个数为3. 故选：C 3. 已知集合，．若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 4. 若集合，，且，则实数的值可以是（ ）． A. 2 B. 2， C. 2，，0 D. 2，，0，1 【答案】C 【解析】 【分析】因为，所以．逐一令解方程，注意检验元素的互异性即可. 【详解】因为，所以． 当时，集合不满足集合元素的互异性； 当时，或（舍去），即， 此时，，满足； 当时，或， 当时，，，满足， 当时，，，满足． 所以或或． 故选：C． 5. 已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或，解得. 综上，，即m的取值范围是 . 故选：C. 6. 若集合，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系判断. 【详解】集合， 对于A，1是集合A中的元素，所以，A正确； 对于B，因为，所以，B正确； 对于C，空集是任何集合的子集，C正确； 对于D，是集合，集合与集合之间是包含关系，所以，D错误. 故选：D. 7. 如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据Venn图表示的集合运算作答． 【详解】阴影部分在集合的公共部分，但不在集合内，表示为， 故选：C． 8. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】由， 则. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设集合或，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据集合间的关系求出参数范围，再逐项判断即可. 【详解】由题知，， 若等价于或，解得或，故A、B正确； ，则，故C正确； ，则，故D错误； 故选：ABC. 10. 设全集为，非空真子集满足：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由集合之间的基本关系或者Venn图可得 【详解】由，可知；由，得． A（×）由题意可知，集合都是集合的子集，但是它们两个的关系无法确定． B（√）由，可知． C（√）由和，知，又因为集合是全集的非空真子集，故． D（√）由和，知，所以． 一题多解 多方法解题 A（×）根据题意，可画出如下符合题意的Venn图，由图可知，． B（√）C（√）D（√）由题可知，且．集合间的关系不确定，可分和两种情况，但不论哪种情况，结合Venn图均可得，． 故选：BCD 11. 设集合，或，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据集合包含的定义即可判断A；根据元素与集合的关系求解判断B；根据交集、并集结果求出参数范围可判断CD. 【详解】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，无解， 所以若，则，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集情况得出参数范围. 【详解】因为中只有两个元素，所以，则最小可以等于2，但要小于3，故的取值范围为． 故答案为：． 13. 设集合.若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由得，求出并验证. 【详解】因为，所以，解得或， 若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，不符合题意. 故的值为. 故答案为：. 14. 若当时，一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】将方程变形整理得，由得取值范围，其补集即为所求. 【详解】 设全集为时，集合为方程无实根时的取值， 则集合为方程有实根时的取值，于是，将方程变形整理得. 若方程有实数根，则由得，即， 由此解得，即， 所以或. 即当或时，方程0在内无实数根. 故答案为：. 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． （1）大于1且小于70的正整数构成的集合A； （2）小于8的质数组成的集合C； （3）方程的实数根组成的集合D； （4）函数图象上的所有点组成的集合E； （5）不等式 的解组成的集合F． 【答案】（1），是有限集 （2），是有限集 （3），是有限集 （4），是无限集 （5），是无限集 【解析】 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据描述写出集合的描述形式，即可判断有限或无限. 【小问1详解】 由大于1且小于70的正整数，则，故，是有限集； 【小问2详解】 因为小于8的质数有2，3，5，7，所以，是有限集． 【小问3详解】 方程的实数根为、，所以，是有限集． 【小问4详解】 由表示坐标系中的曲线，故，是无限集． 【小问5详解】 由，得，所以，是无限集． 16. （1）已知，求实数的值； （2）已知，求实数，的值. 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）利用，再分，，三种情况讨论，利用集合的性质，即可求解； （2）利用集合相等的条件，建立方程组，即可求解. 【详解】（1）若时，解得，此时，，不满足集合的互异性，所以， 若时，解得或，当时，，，所以满足题意， 当时，，，不满足集合的互异性，所以， 若，解得（舍）或（舍）， 综上，实数的值为. （2）因为，则或， 由，解得，由，解得， 经检验，和均符合题意， 综上，或. 17. 已知，，全集 （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出当时，再根据交集的定义求出即可； （2）先将转化成，再分和两种情况讨论即可得解. 【小问1详解】 当时，， 所以或， 又因为， 所以. 【小问2详解】 由可得. 所以当时，有，解得； 当时，有，解得. 综上，的取值范围为. 18. 设，， （1），求的值； （2）若非空，且，求的值； （3），求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】先通过解二次方程化简集合． （1）根据，利用二次方程根与系数的关系列出方程求出的值． （2）根据非空，且，，将3代入二次方程求出，注意要验证是否满足题意． （3）由，将2代入二次方程求出，注意要验证是否满足题意． 【小问1详解】 ∵，， ∴． ∴2和3是方程的两个根， ∴，∴． 【小问2详解】 ，∵非空且， ∴与有公共元素而与无公共元素， ∴，∴，解得，或． 当时，满足题意； 当时，此时不满足题意， ∴. 【小问3详解】 ∵，∴， ∴，解得． 当时，满足题意； 当时，不满足题意，故． 19. 已知集合，集合B满足． （1）判断，，，中的哪些元素属于B； （2）证明：若，，则； （3）证明：若，则． 【答案】（1）， （2）证明：先证明：若，，则； 设，，为整数， 所以， 由于，都是整数，所以， 当，时，，，所以，所以； （3）证明：因为， 所以， 因为，所以，都是有理数， 所以，都是整数， 所以为整数， 所以， 假如，则，则应为的倍数， 设为整数，若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 所以，即. 【解析】 【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可； （2）先证明若，，则，即可得到，从而得证； （3）依题意可得，从而求出，再说明即可. 【小问1详解】 因为，所以； 因为，所以； 因为没有倒数，所以； 因为，所以； 综上可得，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $