1.3 空间向量及其运算的坐标表示 同步作业-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 【基础巩固】 1．已知点，1，关于轴的对称点为，则等于（ ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】点，1，关于轴的对称点为，，，由空间中两点间距离公式得：．故选：． 2．已知向量，，，，，，且，则（ ） A．5 B．11 C． D． 【答案】C 【解析】向量，，，，，，且， 则，解得．故选：． 3．若，，则（ ） A．25 B． C． D．29 【答案】B 【解析】，，所以，， 所以，故． 故选：． 4．空间一点在平面上的射影为，4，，在平面上的射影为，0，，则在平面上的射影的坐标为（ ） A．，4， B．，0， C．，4， D．，2， 【答案】C 【解析】点在平面上的射影为，4，，在平面上的射影为，0，， 则点的坐标为，4，，则点在平面上的射影的坐标为，4，． 故选：． 5．（多选）已知空间向量，且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】设，因为，则， 所以，解得，，，所以， 则，故正确；，， 则，得到，故正确；因为，， 所以，又，则，故错误； 因为，，所以，，， 则，故正确．故选：． 6．已知向量，，则 ____． 【答案】 【解析】向量，，则， 所以．故答案为：． 7．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，其中．则的长的最小值为 _____． 【答案】 【解析】平面平面，平面平面， ，平面，平面， 则以为坐标原点，为，，轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，2，，，2，， ，，， ， 当时，取得最小值为．故答案为：． 8．在空间直角坐标系中，已知，1，、，，、，1，． (1)若点满足，求； (2)求△的面积． 【答案】见解析 【解析】(1)设点，，，因为， 则，，，，， 所以，解得， 即点，，，所以，故； (2)因为，， 所以，则为锐角， 所以， 因此． 【能力拓展】 9．已知空间直角坐标系中，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因点在直线上运动，则，设，则，，， 因为：，，所以，2，，，1，， 因此：，， 于是得； 则当时，取得最小值为，此时点， 所以当取得最小值时，点的坐标为．故选：． 10．（多选）在棱长为1的正方体中，、分别为、的中点，点满足，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则三棱锥外接球的表面积为 B．若，则异面直线与所成角的余弦值为 C．若，则△面积的最小值为 D．若存在实数，使得，则的最小值为 【答案】AD 【解析】对于：由题意，与重合， 故三棱锥的外接球与以，，为长宽高的长方体的外接球相同， 故半径，表面积为，故对； 对于：以为原点建系，，1，，，0，，，0，，，1，，，，由，所以， ，，，故错； 对于：由 得，，，，，， 由可得， 所以，， ， 当时，，故正确； 对于：由得，在线段上运动， 设在底面的投影为，连接，， 由于，所以，故， 连接，相交于，连接， ， 当，重合时取等号，故错． 故选：． 11．在空间直角坐标系中，点坐标可记为，，：定义柱面坐标系，在柱面坐标系中，点坐标可记为，，．如图所示，空间直角坐标，，与柱面坐标，，之间的变换公式为：，，．则在柱面坐标系中，点与点，，两点距离的最小值为 ____． 【答案】 【解析】在柱面坐标系中，点与点，，， 则在空间直角坐标系中，，1，，，，， 则， 当，即时，点与点两点距离的最小值为． 故答案为：． 【素养提升】 12．在四棱锥中，底面是正方形，底面，，，． (1)设平面与棱相交于点． 求证：； 求截面的面积； (2)设平面与棱相交于点，求的长． 【答案】见解析 【解析】(1)证明：因为底面是正方形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以； 如图， 因为底面，所以， 因为，，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，， 所以，且， 所以四边形为直角梯形，其中，， 因为，，所以， 则， ， 所以直角梯形的面积为，即截面的面积为； (2)如图，延长交于点，连接，则与交点即为点， 因为，所以为线段中点， 又因为，所以△△， 所以，以为原点建立空间直角坐标系如图， 则，0，，，4，，，2，，，1，，设点，，，则，，，，3，， 因为，所以，解得， 所以，，，． 第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 【基础巩固】 1．已知点，1，关于轴的对称点为，则等于（ ） A． B． C． D．2 2．已知向量，，，，，，且，则（ ） A．5 B．11 C． D． 3．若，，则（ ） A．25 B． C． D．29 4．空间一点在平面上的射影为，4，，在平面上的射影为，0，，则在平面上的射影的坐标为（ ） A．，4， B．，0， C．，4， D．，2， 5．（多选）已知空间向量，且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 6．已知向量，，则_________． 7．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，其中．则的长的最小值为_________． 8．在空间直角坐标系中，已知，1，、，，、，1，． (1)若点满足，求； (2)求△的面积． 【能力拓展】 9．已知空间直角坐标系中，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 10．（多选）在棱长为1的正方体中，、分别为、的中点，点满足，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则三棱锥外接球的表面积为 B．若，则异面直线与所成角的余弦值为 C．若，则△面积的最小值为 D．若存在实数，使得，则的最小值为 11．在空间直角坐标系中，点坐标可记为，，：定义柱面坐标系，在柱面坐标系中，点坐标可记为，，．如图所示，空间直角坐标，，与柱面坐标，，之间的变换公式为：，，．则在柱面坐标系中，点与点，，两点距离的最小值为_________． 【素养提升】 12．在四棱锥中，底面是正方形，底面，，，． (1)设平面与棱相交于点． 求证：； 求截面的面积； (2)设平面与棱相交于点，求的长． 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$