第一章 集合与常用的逻辑用语章末归纳总结-《一隅三反》2025-2026学年高一上学期数学（人教A版2019必修第一册）

第1章 集合与常用逻辑用语章末归纳总结 考点一 集合的元素的互异性 1．（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或 D．无解 【答案】A 【解析】因为，所以或， 当即时，，不符合集合元素的互异性，故不符合题意，舍； 当即（舍）或时，，符合题意，故的值为. 故选：A 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若集合中的最大元素为3，则 ． 【答案】1 【解析】因为集合中的最大元素为3， 所以,所以或. 当时，不合题意舍； 当时，不符合集合的互异性舍； 当时，集合中的最大元素为3； 所以. 故答案为：1. 3．（23-24高一·全国·课堂例题）已知集合中含有2个元素，，写出一个满足的条件的 ． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】由集合中元素的互异性可知：，解得且， 故时，，满足题意.故答案为： 1（答案不唯一） 考点二 集合间的关系 1．（25-26四川绵阳·开学考试）已知集合，则的子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由集合，所以的子集个数为个；故选：D 2．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 【答案】A 【解析】∵，是整数，是奇数，∴. 故选：A． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，则满足条件且真包含于的集合的个数为（    ） A．16 B．15 C．32 D．31 【答案】D 【解析】集合， 则，当集合中不含其他元素时，； 当集合中含有其他元素时，集合中除元素1，2外，还含有3或4或5或6或7，但不能同时全部含有， 集合的个数即为集合的真子集的个数，即． 故选：D 4．（2025·吉林长春·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．2 B．0 C．0或2 D．1或2 【答案】C 【解析】当，则，此时，满足； 当，则，此时，满足； 所以或. 故选：C 5．（2025·河南）已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，又，，所以，解得. 故选：B. 6．（2025高一上·北京·专题练习）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或，解得. 综上，，即m的取值范围是 .故选：C. 7．（24-25高一下·云南·阶段练习）已知集合，，若MN，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，且MN，所以，故选：A 考点三 集合的基本运算 1．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，所以，所以． 故选：B． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知全集，集合，，则（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【解析】由题意得，又，则， 所以或． 故选：C. 3．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由条件可知，，且，所以.故选：B 4．（25-26高一上·全国·期中）（多选）设全集，集合，若，则（    ） A． B． C．的真子集个数为32 D． 【答案】AD 【解析】由题意知，作出Venn图，如图． 由图可知，故A正确，B错误； 集合的真子集个数为，C错误； ，故，D正确. 故选：AD 5．（24-25高一上·四川眉山·期中）（多选）设集合，若，则实数可以是（    ） A．0 B．3 C． D．2 【答案】ACD 【解析】由方程，解得或，即， 因为，可得 对于方程，当时，此时集合，满足，符合题意； 当时，可得，若，可得或，解得或， 所以实数的可能取值为. 故选：ACD. 6．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选）设集合，或，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【解析】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，无解， 所以若，则，故D错误.故选：ABC. 考点四 充分必要条件 1．（2025·辽宁·一模）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】或， 或，但或， 故“”是“”的充分而不必要条件，A正确，BCD错误. 故选：A 2．（2025辽宁·期中）使成立的一个充分但不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解不等式，则，即， 取 ， ， 则集合是集合的真子集， 即使成立的一个充分但不必要条件是， 故选B. 3．（23-24高一上·甘肃白银·期中）（多选）下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”成立的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】对于A选项，当时，成立；反之，当时，若，则不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B选项，当时，若，则不能推出；反之，当时，成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C选项，当时，，所以由不能推出； 反之当时，若，，则不能推出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D选项，当，时，，所以由不能推出； 反之，当时，且，所以由能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 4．（25-26高一上·全国·单元测试） “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为在上有解，所以，解得． 因为包含， 所以“”是“，”的必要不充分条件． 故选：B. 5．（24-25重庆）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得， 是的必要不充分条件， ， 故选：B． 6．（2025·贵州安顺·模拟预测）（多选）已知集合，若“”是“”的充分条件，则实数的取值可以是（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】BC 【解析】由题意得，解得，则BC符合题意. 故选：BC. 考点五 全称量词与存在量词 1．（2025 北京 ）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】命题“”为存在量词命题,它的否定为全称量词命题, 即, 故选：A 2．（25-26高一上·全国·课后作业）下列四个命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】选项A，因为，可得，即A是真命题，所以A正确； 选项B，易知当时，不是整数，即不存在，所以B为假命题，所以B错误； 选项C，易知当时，，因此C为假命题，所以C错误； 选项D，解不等式可得，显然不存在，使得，可得D为假命题，所以D错误． 故选：A． 3．（24-25黑龙江牡丹江·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由命题“，”为假命题，则由“，”为真命题， 则，因，所以，所以可得， 所以原命题为假命题的一个充分不必要条件是，故A正确. 故选：A 考点六 综合运用 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）当时，，则； （2）由得，所以， 解得，即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即 当时，有或，解得 综上，实数的取值范围为. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）设集合，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，所以． 当时，，解得； 当时，解得． 综上所述，的取值范围为． （2）由题意，需分和两种情形进行讨论： 当时，由（1）得； 当时，因为，所以解得，或无解． 综上所述，的取值范围为． 3．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，命题：关于的方程在有两个不相等的实数根：命题对任意的恒成立. (1)若命题为真，求实数的取值范围： (2)若命题为真，求实数的取值范围： (3)若命题与命题恰有一个为真，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【解析】（1）由题设两根为，则判别式或. 关于的方程在有两个不相等的实数根， 则，由韦达定理：. 则，结合或，可得实数的取值范围为：； （2）即方程无解. 当时，方程显然无解，满足题意； 当时，判别式. 综上可得，实数的取值范围为； （3）由（1）（2）分析，若命题为假，实数的取值范围为； 若命题q假，实数的取值范围为或. 命题与命题恰有一个为真，则真假或假真. 若真假，则； 若假真，则. 综上，实数的取值范围为：或. 4．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）解：由集合， 因为，可得，则满足所以，解得， 所以实数的取值范围为：. （2）解：由命题“，都有”为真命题，则； ①当时，，即，此时； ②当时，需满足，此时方程组无解； 所以实数的取值范围为：． （3）解：因为， 则满足或或， 解得或或， 所以实数的取值范围为. 5．（24-25高一上·福建南平·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【解析】（1）由题意可知， 又，当时，，解得， 当时，，可得， 则有或，解得或， 因为，则. 综上所述，实数的取值范围为或. （2）因为命题是命题的必要不充分条件，则， 当时，，解得， 当时，则，解得. 检验：当时，，合乎题意； 当时，，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 6．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若时，存在集合，使，求出所有的集合； (3)集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，，，，， (3)能， 【解析】（1）当时，， ， 所以，． （2）当时，， 又因为，所以， 因为（是非空集合，且是的真子集），， 所以这样的集合共有6个：，，，，，． （3）能，由，可得， 若，此时由，可得； 若，由（1）知， ① 当时，，即， 此时，不是的一个子集，舍去； ② 当时，，即， 此时，此时是的一个子集； ③ 当时，，即， 此时，此时是的一个子集． 综上可得，当或时，满足， 此时实数的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 集合与常用逻辑用语章末归纳总结 考点一 集合的元素的互异性 1．（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或 D．无解 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若集合中的最大元素为3，则 ． 3．（23-24高一·全国·课堂例题）已知集合中含有2个元素，，写出一个满足的条件的 ． 考点二 集合间的关系 1．（25-26四川绵阳·开学考试）已知集合，则的子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，则满足条件且真包含于的集合的个数为（    ） A．16 B．15 C．32 D．31 4．（2025·吉林长春·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．2 B．0 C．0或2 D．1或2 5．（2025·河南）已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一上·北京·专题练习）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·云南·阶段练习）已知集合，，若MN，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点三 集合的基本运算 1．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知全集，集合，，则（   ） A．或 B． C．或 D． 3．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·期中）（多选）设全集，集合，若，则（    ） A． B． C．的真子集个数为32 D． 5．（24-25高一上·四川眉山·期中）（多选）设集合，若，则实数可以是（    ） A．0 B．3 C． D．2 6．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选）设集合，或，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点四 充分必要条件 1．（2025·辽宁·一模）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025辽宁·期中）使成立的一个充分但不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·甘肃白银·期中）（多选）下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”成立的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 4．（25-26高一上·全国·单元测试） “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25重庆）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·贵州安顺·模拟预测）（多选）已知集合，若“”是“”的充分条件，则实数的取值可以是（    ） A．1 B． C．2 D．4 考点五 全称量词与存在量词 1．（2025 北京 ）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）下列四个命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25黑龙江牡丹江·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 考点六 综合运用 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）设集合，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 3．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，命题：关于的方程在有两个不相等的实数根：命题对任意的恒成立. (1)若命题为真，求实数的取值范围： (2)若命题为真，求实数的取值范围： (3)若命题与命题恰有一个为真，求实数的取值范围. 4．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 5．（24-25高一上·福建南平·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 6．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若时，存在集合，使，求出所有的集合； (3)集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$