1.4 充分条件与必要条件（精练）-《一隅三反》2025-2026学年高一上学期数学（人教A版2019必修第一册）

1.4 充分条件与必要条件（精练） 题组一 充分条件的判断或选择 1．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）（多选）使成立的一个充分条件是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的有 ． （1）若，则； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若，则； （4）若，则，． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）是一元二次方程存在实数根的 （充分/必要）条件． 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？ (1)在中，p：，q：； (2)已知，p：，q：； (3)已知，p：，q：． 题组二 必要条件的判断或选择 1．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）（多选）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）（多选）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则方程有实根 D．若，则 3．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）（多选）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（     ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）（多选）如果命题“若则”是真命题，那么下列说法一定正确的是（    ） A．是的充分条件 B．是的必要条件 C．是的必要条件 D．是的充分条件 5．（23-24高一上·全国·课后作业）下列“若p，则q”形式的命题中，是的必要条件的命题有 （1）若是无理数，则是无理数． （2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等． （3）若，则. （4）若和都是偶数，则是偶数． 题组三 充分必要条件的判断或选择 1（2025高一上·四川广安·期中）设，，则是的（　  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二下·天津·期末）“成立”是“成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（24-25高二下·天津河北·期末）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025·辽宁）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高一上·湖南衡阳·开学考试）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高一上·山西太原·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高一下·上海宝山·期末）“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 9．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2025 湖南 ）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2025 湖南郴州 ）命题：“”是命题：“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2024·广东·二模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题组四 已知充分条件求参数 1．（2025上海浦东新·期中）设，若是的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）（多选）已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（    ） A． B． C．0 D． 3．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）（多选）已知集合，，若是的充分条件，则实数m的值可能为（    ） A． B． C．0 D． 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 5．（2025四川绵阳·阶段练习）已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 6．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 7．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）若“”是“”的充分条件，则实数的值为 . 8．（2025江苏无锡·阶段练习）设集合． (1)求集合M，并写出集合的所有真子集； (2)若是的充分条件．求实数a的取值范围． 9．（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）已知集合. (1)求； (2)若是的充分条件，是的必要条件，求的取值范围. 10．（24-25高一上·河北秦皇岛·阶段练习）已知集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围. 题组五 已知必要条件求参数 1．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 2．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知条件，，p是q的必要条件，则实数k的取值范围是 . 4．（24-25高一上·上海·开学考试）已知；，非空集合. (1)求实数的取值范围： (2)若是的充分条件，求实数的取值范围； (3)若是的必要条件，求实数的取值范围 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 6．（2025吉林通化·期中）集合，. (1)若，求，； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 题组六 已知充分必要条件求参数 1．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025河南周口）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 4．（25-26高一上·全国·课后作业）命题“是的必要不充分条件”是假命题，则的取值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高一上·河北衡水·期中）（多选）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 8．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 9．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 10．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）设集合，集合，． (1)若集合是空集，求的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 11．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合或，. (1)若“”是“”成立的必要条件，求的取值范围； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围； (3)若“”是“”成立的充分条件，求的取值范围； (4)若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围. 题组七 充分必要条件在实际生活中的运用 1．（2025重庆沙坪坝·阶段练习）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“不返家乡”是“不破楼兰”的（    ） A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 2．（25-26 广东深圳 ）某市评选市级三好学生，申报条件之一为：申报者须获得校级三好学生资格.则“同学甲是校级三好学生”是“同学甲是市级三好学生”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高二下·上海·期末）人生在世，最大的问题，莫过于“学以成人”的问题；“学好数学”是“成人”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025高三·全国·专题练习）“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语•子路》．意思是：领导者自身品行端正时，即使不发布命令，人们也会自觉遵行；自身行为不端时，即使发布命令，人们也不会听从．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025高一上·上海·专题练习）毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025年全国第八届章鱼杯I卷（高中组）数学试题）“不来参加的同学，你们不会受到任何处分！”那么在这些同学中“来参加”是“会受到处分”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 题组八 充分必要条件的证明 1．（2025江西宜春 ）已知，求证：的充要条件是. 2．（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 3（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 4．（2025广东珠海·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 5．（2025北京）已知，求证：成立的充要条件是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4 充分条件与必要条件（精练） 题组一 充分条件的判断或选择 1．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）（多选）使成立的一个充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】根据充分条件的定义可知，，即A、B正确； 而不能推出，更不能推出，故C、D错误. 故选：AB. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的有 ． （1）若，则； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若，则； （4）若，则，． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】（1）由，可以推出，所以命题（1）符合题意； （2）由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以命题（2）符合题意； （3）由，可以推出，所以命题（3）符合题意； （4）由，得或，所以不一定推出，所以命题（4）不符合题意. 故答案为：（1）（2）（3） 3．（24-25高一上·全国·课后作业）是一元二次方程存在实数根的 （充分/必要）条件． 【答案】充分 【解析】若一元二次方程存在实数根，则， 即，解得或， 所以若，则一元二次方程一定存在实数根，若一元二次方程存在实数根，则不一定等于2； 所以，“”是“一元二次方程存在实数根”的充分条件． 故答案为：充分 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？ (1)在中，p：，q：； (2)已知，p：，q：； (3)已知，p：，q：． 【答案】(1)p是q的充分条件； (2)p是q的充分条件； (3)p不是q的充分条件． 【解析】（1）在中，，所以p是q的充分条件． （2）由于，所以p是q的充分条件． （3）方法一  由，所以p不是q的充分条件． 方法二  设集合，，则真包含于，所以p不是q的充分条件． 题组二 必要条件的判断或选择 1．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）（多选）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】，解得， 由于是的子集， 故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集， 故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求. 故选：AD. 2．（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）（多选）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则方程有实根 D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于A，，则是的必要条件，A是； 对于B，，又，则是的充分不必要条件，B不是； 对于C，方程有实根，则，解得， 而，因此是方程有实根的必要条件，C是； 对于D，，则是的必要条件，D是. 故选：ACD 3．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）（多选）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】“”成立的必要条件即不能比范围小， 观察选项，BCD符合， 故选：BCD. 4．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）（多选）如果命题“若则”是真命题，那么下列说法一定正确的是（    ） A．是的充分条件 B．是的必要条件 C．是的必要条件 D．是的充分条件 【答案】AC 【解析】命题“若则”是真命题，是指由可以推出， 则是的充分条件，是的必要条件，故AC正确. 又不一定可以推出，故BD不正确. 故选：AC. 5．（23-24高一上·全国·课后作业）下列“若p，则q”形式的命题中，是的必要条件的命题有 （1）若是无理数，则是无理数． （2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等． （3）若，则. （4）若和都是偶数，则是偶数． 【答案】（1）（2）（4） 【解析】（1）若是无理数，则是无限不循环小数，所以是无限不循环小数， 所以是无理数，所以，所以是的必要条件． （2）全等三角形面积相等，所以，所以是的必要条件． （3）若，则或；所以，所以是的不必要条件． （4）两个偶数的乘积仍是偶数．所以，所以是的必要条件． 故答案为：（1）（2）（4）. 题组三 充分必要条件的判断或选择 1（2025高一上·四川广安·期中）设，，则是的（　  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】，当时，可得，但当， 不一定能得到，则是的必要不充分条件. 故选：B 2．（24-25高二下·天津·期末）“成立”是“成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】由，解得：；由，解得：. 由于“”推不出“” 但“”可以推出“” 因此可得：“成立”是“成立”的必要不充分条件. 故选：B 3．（24-25高二下·天津河北·期末）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】已知，则，解得， 因为，所以“”不可以推导出“”，但是“”能推导出“”， 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B. 4．（2025·辽宁）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】若，则满足，但不满足，故无法得到； 若，则满足，但不满足，故无法得到， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 5．（23-24高一上·湖南衡阳·开学考试）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】若，显然所以“”不是“”的充分条件； 若，显然，所以“”不是“”的必要条件； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 6．（24-25高一上·山西太原·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为，所以或或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】由可得，即，解得或， 所以“”是“或”的既不充分也不必要条件. 故选：D 8．（24-25高一下·上海宝山·期末）“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【解析】因为不能推出，而能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 9．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由，可得，所以“”是“”的充分条件， 由，可得，所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 10．（2025 湖南 ）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 11．（2025 湖南郴州 ）命题：“”是命题：“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当时，不一定成立，故命题不是命题的充分条件； 当时，一定成立，故命题是命题的必要条件. 所以命题是命题必要不充分条件. 故选：B. 12．（2024·广东·二模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】解不等式，可得或，因为是或的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 题组四 已知充分条件求参数 1．（2025上海浦东新·期中）设，若是的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，是的充分条件，所以，故故选：C 2．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）（多选）已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】ACD 【解析】因为是的充分条件，所以， 若，显然满足题意，此时，解得； 若，则，且，解得； 综上，或，对比选项可知，ACD符合题意， 故选：ACD. 3．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）（多选）已知集合，，若是的充分条件，则实数m的值可能为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】CD 【解析】由题意得， 若是空集，显然满足题意，此时，解得， 若不是空集，则，解得， 综上，实数m的取值范围为或. 对比选项可知CD符合题意. 故选：CD. 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】设.因为是的充分条件，所以，所以. 故答案为：. 5．（2025四川绵阳·阶段练习）已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】因为“”是 “”的充分条件，所以，所以，故答案为：. 6．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集， 当时，即时，，满足题意； 当，即时，由题意得，解得， 综上，m的取值范围是． 7．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）若“”是“”的充分条件，则实数的值为 . 【答案】或 【解析】依题意，“”是“”的充分条件， 所以， 所以，解得或. 故答案为：或 8．（2025江苏无锡·阶段练习）设集合． (1)求集合M，并写出集合的所有真子集； (2)若是的充分条件．求实数a的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【解析】（1）由，得， 则，所以的所有真子集为. （2）由是的充分条件，得， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以实数a的取值范围是. 9．（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）已知集合. (1)求； (2)若是的充分条件，是的必要条件，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【解析】（1）因为， ， 或， 所以或. （2）若是的充分条件，则， 因为， 所以，解得， 若是的必要条件，则， 所以，解得， 综上的取值范围为. 10．（24-25高一上·河北秦皇岛·阶段练习）已知集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1），， ， 故，解得， 此时，满足， 故 （2）“”是“”的充分条件， 故为的子集， 若，此时，解得， 若，此时，解得， 综上，实数a的取值范围是. 题组五 已知必要条件求参数 1．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意，“若，则”为真命题，故实数的取值范围是. 故答案为： 2．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为p是q的必要条件，所以，所以， 则实数m的取值范围是，故答案为： 3．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知条件，，p是q的必要条件，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【解析】已知条件，，设集合， 因为p是q的必要条件，所以所以，解得. 答案为：. 4．（24-25高一上·上海·开学考试）已知；，非空集合. (1)求实数的取值范围： (2)若是的充分条件，求实数的取值范围； (3)若是的必要条件，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）因为集合，所以. （2）因为是的充分条件，所以， 所以，所以. （3）因为是的必要条件，所以， 所以，所以. 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【解析】（1）由，所以或，故集合. 因为，所以，将代入中的方程， 得，解得或， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 综上，实数的值为或. （2）因为“”是“” 的必要条件，所以. 对于集合，. 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，要想有，须有， 此时：，该方程组无解. 综上，实数的取值范围是. 6．（2025吉林通化·期中）集合，. (1)若，求，； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）若，，. 则，. （2）因为是的必要条件，所以. 所以. 题组六 已知充分必要条件求参数 1．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】集合， 因等价于， 即或，解得或，经检验符合题意； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2025河南周口）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为“”是“”的必要不充分条件， 所有，所以， 即实数的取值范围为． 故选：A． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【解析】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）命题“是的必要不充分条件”是假命题，则的取值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】由是的必要不充分条件，得， 则由命题“是的必要不充分条件”是假命题，得， 所以的取值可能是1． 故选：A. 5．（24-25高一上·河北衡水·期中）（多选）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由必要不充分条件定义可知：或，或， 或，或， 实数的值可以是，和. 故选：ABD. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)． (2)2 【解析】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为． 8．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）当时，集合，可得或， 因为，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 9．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【解析】（1）， 当时，或． ． （2）因为，或． 是的必要不充分条件，所以或， 所以或． 10．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）设集合，集合，． (1)若集合是空集，求的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为集合是空集，所以， 解得，所以的取值范围为． （2）． 集合不是空集，则，解得． “”是“”的充分不必要条件等价于集合是集合的真子集， 则，等号不同时取到，解得， 故的取值范围为． 11．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合或，. (1)若“”是“”成立的必要条件，求的取值范围； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围； (3)若“”是“”成立的充分条件，求的取值范围； (4)若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). (4). 【解析】（1）若“”是“”成立的必要条件，则是的子集，故，解得. 所以的取值范围是. （2）若“”是“”成立的必要不充分条件，则是的真子集，故， 解得.所以的取值范围是. （3）若“”是“”成立的充分条件，则是的子集， 易知，所以.所以的取值范围是. （4）若“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集， 因为，所以.所以的取值范围是. 题组七 充分必要条件在实际生活中的运用 1．（2025重庆沙坪坝·阶段练习）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“不返家乡”是“不破楼兰”的（    ） A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解析】由诗句可知，若“不破楼兰”，则“不返家乡”， 所以“不破楼兰”，能推出“不返家乡”，所以“不返家乡”是“不破楼兰”的必要条件. 故选：A 2．（25-26 广东深圳 ）某市评选市级三好学生，申报条件之一为：申报者须获得校级三好学生资格.则“同学甲是校级三好学生”是“同学甲是市级三好学生”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据评选规则：若同学甲是市级三好学生，则同学甲必须是校级三好学生， 但是同学甲是校级三好学生不一定能评上市级三好学生， 所以“同学甲是校级三好学生”是“同学甲是市级三好学生”的必要不充分条件. 故选：B 3．（23-24高二下·上海·期末）人生在世，最大的问题，莫过于“学以成人”的问题；“学好数学”是“成人”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】“学好数学”不一定能推出“成人”，充分性不成立， “成人”能推出“学好数学”，必要性成立， 故“学好数学”是“成人”的必要不充分条件． 故选：B． 4．（2025高三·全国·专题练习）“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语•子路》．意思是：领导者自身品行端正时，即使不发布命令，人们也会自觉遵行；自身行为不端时，即使发布命令，人们也不会听从．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意，“其身正，不令而行”，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件；“其身不正，虽令不从”，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件．综上可知，“身正”是“令行”的充要条件. 故选：C． 4．（2025高一上·上海·专题练习）毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由“不到长城非好汉”可知，要想成为好汉必须到过长城， 但到过长城未必是好汉， 因此“到长城”是“好汉”的必要不充分条件． 故选：B. 5．（2025年全国第八届章鱼杯I卷（高中组）数学试题）“不来参加的同学，你们不会受到任何处分！”那么在这些同学中“来参加”是“会受到处分”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由“不来参加的同学，你们不会受到任何处分！”可知“来参加”不一定“会受到处分”，“受到处分”的一定是“来参加”的同学，所以“来参加”是“会受到处分”的必要不充分条件，故选：C. 题组八 充分必要条件的证明 1．（2025江西宜春 ）已知，求证：的充要条件是. 【答案】证明见解析 【解析】①必要性：因为.所以. 所以. ②充分性：因为， 所以，又， 所以且. 因为. 所以，即. 综上可得，当时，的充要条件是. 2．（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【答案】证明见解析. 【解析】充分性： 若，则， 即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 3（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【答案】证明见解析 【解析】证明：充分性： 当时，多项式可化为， 即，所以， 则，所以， 即，为等边三角形，即充分性成立； 必要性：由为等边三角形，且，所以， 则，，所以，即必要性成立． 故为等边三角形的充要条件是． 4．（2025广东珠海·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 【答案】答案见解析 【解析】证明：①充分性：即证明关于x的方程的系数满足方程有一个根为－1； 由，得， 代入方程得，得， 所以，是方程的一个根. ②必要性：即证明若是方程的根； 将代入方程，即有. 综上由①②可知，故关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 5．（2025北京）已知，求证：成立的充要条件是. 【答案】证明见解析 【解析】先证充分性：因为，所以， 所以 . 再证必要性：因为， 所以，又，所以且， 所以，所以，即. 综上可知，当时，成立的充要条件是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$