1.4 充分条件与必要条件（精讲）-《一隅三反》2025-2026学年高一上学期数学（人教A版2019必修第一册）

1.4 充分条件与必要条件（精讲） 考向一 充分条件的判断或选择 【例1-1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（    ） A．为无理数 B．为无理数 C．为无理数 D． 【例1-2】（24-25高一上·山西大同·阶段练习）（多选）指出下列哪些命题中是的充分条件（   ） A．在中，， B．已知，，， C．已知，， D．已知，， 【一隅三反】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题中，不是“四边形是正方形”的充分条件的有（    ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 2．（24-25高一上·全国·课后作业）两个三角形全等的充分条件是（    ） A．两个三角形的两角对应相等 B．两个三角形的两边对应成比例且夹角相等 C．两个三角形的三边对应成比例 D．两个三角形的两边对应相等且夹角相等 3．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的是（    ） A．若一个三角形为直角三角形，则这个三角形的外接圆半径为斜边的一半 B．若两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，则这两个图形关于这点中心对称 C．若圆内一条直径平分另一条直径，则这两条直径互相垂直 D．若平面内有不在同一条直线上的三个点，则这三个点确定一个圆 考向二 必要条件的判断或选择 【例2-1】（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）在下列若则的命题中，是的必要条件的命题是（    ） A．若四边形的一组邻边相等，则四边形是平行四边形 B．若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等 C．若，则 D．若是无理数，则也是无理数 【例2-2】（23-24 河北张家口·阶段练习）下列哪一项是“”的必要条件（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列选项正确的是（    ） A．“平行四边形的对角线互相垂直”是“这个平行四边形是菱形”的充分条件 B．“两个三角形的周长相等”是“这两个三角形全等”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的必要条件 3．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）（多选）使成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 考向三 充分必要条件的判断或选择 【例3-1】（25-26高一上·云南玉溪·开学考试）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例3-2】（2025高一上·全国·专题练习）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【例3-3】（25-26高三上·安徽·开学考试）“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·全国·单元测试）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一下·广东揭阳·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东德州·开学考试）使成立的充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 考向四 已知充分条件求参数 【例4-1】（24-25高一上·北京·阶段练习）若不等式是成立的充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（2025高一上·全国·专题练习）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（24-25高一上·四川凉山·阶段练习）若“”是“或”的充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）已知不等式成立的充分条件是，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025北京）若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东江门·期中）若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（      ） A． B． C． D． 考向五 已知必要条件求参数 【例5-1】（24-25上海崇明·阶段练习）已知：，：，若是的必要条件，则实数的取值范围是 . 【例5-2】（24-25高一上·江西·期中）已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)已知“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【一隅三反】 1．（23-24高一上·江苏·阶段练习）设p：，q：，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若，求； (2)若，，且是的必要条件，求的取值范围． 3．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，非空集合 (1)若，求：的取值集合 (2)若是的必要条件，求：的取值集合 考向六 已知充分必要条件求参数 【例6-1】（23-24高一上·北京·阶段练习）设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，是否存在实数m，使得是成立的_______？ (1)是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由；） (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数m存在，求出m的取值范围，若问题中的m不存在，请说明理由． 【一隅三反】 1．（24-25辽宁）命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）在A充分不必要条件，B必要不充分条件，C充要条件这三个条件中选择一个补充下面的问题，若问题中的存在，求的取值范围；若问题中的不存在，说明理由. 已知集合，，是否存在实数，使得是的________? 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 3．（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）已知集合，，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 考向七 充分必要条件在实际生活中的运用 【例7】（2025高一·江苏）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关. 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【一隅三反】 1．（24-25高一上·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2．（24-25高一上·江苏苏州·期中）老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025高一上·全国·专题练习）王大妈在地摊上因为贪图便宜买了劣质商品，非常气愤的说了句“真是便宜没好货”，按照王大妈的理解，“好货”是“不便宜”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考向八 充分必要条件的证明 【例8-1】（24-25高一上·全国·课后作业）证明：“中两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 【例8-2】（24-25福建福州）求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 【一隅三反】 1．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 2．（24-25高一上·全国·课堂例题）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 3．（2025广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 1． 单选题 1．（24-25 天津红桥 ）设， 则“”是 的（    ）条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 2．（2025湖南）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·河南濮阳·期末）某生命科学研究所通过研究发现，当一个人的肥胖指数大于24但不大于28时，可认定为轻微肥胖；当一个人的肥胖指数大于28时，可认定为严重肥胖，且轻微肥胖和严重肥胖均为肥胖类型的一种，据上述文字叙述可以得知（   ） A．严重肥胖是肥胖指数大于24的充分不必要条件 B．严重肥胖是肥胖指数大于24的必要不充分条件 C．严重肥胖是肥胖指数大于24的充要条件 D．严重肥胖既不是肥胖指数大于24的充分条件也不是必要条件 5．（2025高一·全国·专题练习）已知p是q成立的必要条件，q是r成立的充要条件，r是s成立的充分条件，s不是q成立的充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．p是r成立的充要条件 B．s是r成立的必要不充分条件 C．p是s成立的充分不必要条件 D．q是s成立的必要不充分条件 6．（25-26高一上·全国·课后作业）集合，若“”是“”的充分不必要条件，则不能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（24-25 湖北武汉 ）已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·广东·期末）已知为整数，全集，，，设甲：；乙：，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2． 多选题 9．（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知命题，要使为的必要条件，则的取值可以为（    ） A． B．0 C．4 D．5 10．（25-26高一上·全国·单元测试）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．命题“若，则中至少有1个大于2”为真命题 D．集合中的元素个数为8 11．（25-26高一上·全国·课后作业）关于的方程至少有一个负根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3． 填空题 12．（23-24高一上·天津河东·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的 条件.（填“充分”或“必要”） 13．（25-26高一上·全国·课前预习）下列“若，则”形式的命题中，是的充分不必要条件的序号有 ． ①若均为非零实数，则是有理数； ②若四边形的对角线互相垂直，则四边形是菱形； ③若是等边三角形，则是锐角三角形； ④若，则． 14．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数 ． 4． 解答题 15．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知全集，集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围. 16．（23-24高一上·广东广州·阶段练习）设集合． (1)，求； (2)若“”是“”的必要条件，求m的取值范围． 17．（24-25高一上·陕西安康·阶段练习）已知命题p：关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)若p是真命题，求实数m的取值集合A； (2)在（1）的条件下，集合，若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围． 18．（2025高一上·全国·专题练习）已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 19．（2025湖南）设a，b，c为的三边，求方程与有公共根的充要条件． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4 充分条件与必要条件（精讲） 考向一 充分条件的判断或选择 【例1-1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（    ） A．为无理数 B．为无理数 C．为无理数 D． 【答案】D 【解析】若，则为有理数，A错误； 若，则为有理数，B错误； 若，则为有理数，C错误； 若为无理数，则，所以，D正确． 故选：D. 【例1-2】（24-25高一上·山西大同·阶段练习）（多选）指出下列哪些命题中是的充分条件（   ） A．在中，， B．已知，，， C．已知，， D．已知，， 【答案】ABD 【解析】在中，由大角对大边知，，所以是的充分条件，故A正确； 由，故是的充分条件，故B正确； 由，所以不是的充分条件，故C错误. ，故是的充分条件，故D正确.故选：ABD 【一隅三反】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题中，不是“四边形是正方形”的充分条件的有（    ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 【答案】C 【解析】根据正方形的判定及菱形、矩形、平行四边形的性质，知A，B，D中描述的四边形均为正方形，是“四边形是正方形”的充分条件， 对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故C不是“四边形是正方形”的充分条件. 故选：C 2．（24-25高一上·全国·课后作业）两个三角形全等的充分条件是（    ） A．两个三角形的两角对应相等 B．两个三角形的两边对应成比例且夹角相等 C．两个三角形的三边对应成比例 D．两个三角形的两边对应相等且夹角相等 【答案】D 【解析】根据全等三角形的判定定理可得， 当两个三角形的两边及其夹角对应相等时，两个三角形全等． 故选：D. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的是（    ） A．若一个三角形为直角三角形，则这个三角形的外接圆半径为斜边的一半 B．若两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，则这两个图形关于这点中心对称 C．若圆内一条直径平分另一条直径，则这两条直径互相垂直 D．若平面内有不在同一条直线上的三个点，则这三个点确定一个圆 【答案】AD 【解析】对于A中，若一个三角形为直角三角形，则这个三角形的外接圆半径为斜边的一半， 即，所以是的充分条件，所以A正确； 对于B中，根据中心对称的性质可得，线段被该点总是平分时， 这两个图形才关于这点中心对称，即，所以B错误； 对于 C中，若圆内一条直径平分另一条直径，此时这两条直径不一定互相垂直， 即，所以C错误；对于D中，根据圆的作法可得，若平面内有不在同一条直线上的三个点， 则这三个点确定一个圆，即，D正确．故选：AD. 考向二 必要条件的判断或选择 【例2-1】（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）在下列若则的命题中，是的必要条件的命题是（    ） A．若四边形的一组邻边相等，则四边形是平行四边形 B．若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等 C．若，则 D．若是无理数，则也是无理数 【答案】C 【解析】对于A：因为不是的充分条件，则不是的必要条件，故A错误； 对于B：若一个三角形三边分别为5，6，9，另一三角形三边分别为6，6，8， 两个三角形周长相等，却不全等，则不是的必要条件，故B错误； 对于C：由可以推出，所以是的充分条件， 则是的必要条件，故C正确； 对于D：若，则，不是无理数，不是的充分条件，则不是的必要条件，故D错误； 故选：C 【例2-2】（23-24 河北张家口·阶段练习）下列哪一项是“”的必要条件（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】“”的必要条件不等式范围包含“”，选项中仅有满足.故选：D 【一隅三反】 1．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，因此只有B是其必要条件．故选：B． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列选项正确的是（    ） A．“平行四边形的对角线互相垂直”是“这个平行四边形是菱形”的充分条件 B．“两个三角形的周长相等”是“这两个三角形全等”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】A 【解析】对于A中，平行四边形的对角线互相垂直是菱形的判定定理，即，所以A正确； 对于B中，三边分别为3，4，5的三角形是周长为12的直角三角形， 三边为4，4，4的三角形是等边三角形，两三角形周长相等但不全等，即，所以B错误； 对于C中，例如：当时，满足，但， 所以是的充分条件，所以C错误； 对于D中，若，满足，但不成立，所以D错误．故选：A. 3．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）（多选）使成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于选项A，由不能推出，由可以推出，所以是的必要条件. 对于选项B，由不能推出，由可以推出，所以是的必要条件. 对于选项C，由能推出，由不能推出，所以是的充分条件. 对于选项D，由能推出，由不能推出，所以是的充分条件.故选：AB. 考向三 充分必要条件的判断或选择 【例3-1】（25-26高一上·云南玉溪·开学考试）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当，则，充分性成立， 当，则，可得或，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 【例3-2】（2025高一上·全国·专题练习）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题意可得， 即“”可以推得“”，满足充分性，但由“”得不出“”，不具备必要性，所以为充分不必要条件.故选：A. 【例3-3】（25-26高三上·安徽·开学考试）“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，“”是“”的充分必要条件，不合题意； 对于B，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意； 对于C，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，符合题意； 对于D，由推不出，比如满足，不满足， 但是由可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意．故选：C 【一隅三反】 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，，满足，充分性成立； 当时，或，必要性不成立，即“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为方程的根为或，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A. 3．（24-25高一下·广东揭阳·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，因为，所以，即， 当时，取，则， 所以“”是“”的一个充分不必要条件，故A正确； 对于B，即，“”是“”的充要条件，故B错误； 对于C，由，取，则， 由，取，则，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，由，取，则， 由，取，则，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误． 故选：A． 4．（25-26高一上·山东德州·开学考试）使成立的充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为不是的真子集，故不满足题意； 对于B，因为， 所以是成立的充要条件，故不满足题意； 对于C，因为， 所以是成立的充分不必要条件，满足题意； 对于D，因为， 所以是成立的必要不充分条件，不满足题意. 故选：C. 考向四 已知充分条件求参数 【例4-1】（24-25高一上·北京·阶段练习）若不等式是成立的充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，不等式且成立的充分条件是， 则，所以，所以实数a的取值范围是.故选：B. 【例4-2】（2025高一上·全国·专题练习）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 【一隅三反】 1．（24-25高一上·四川凉山·阶段练习）若“”是“或”的充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，则，因为“”是“或”的充分条件， 所以，解得，故选：C. 2．（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）已知不等式成立的充分条件是，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，所以，解得， 所以实数的取值范围是．故选：B. 3．（2025北京）若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，解不等式，得， 由不等式成立的充分条件是，得，于是，解得， 所以实数a的取值范围是.故选：D 4．（24-25高一上·广东江门·期中）若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意知：，，因为是的必要不充分条件， 所以⫋，所以，解得.故选：C 考向五 已知必要条件求参数 【例5-1】（24-25上海崇明·阶段练习）已知：，：，若是的必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为是的必要条件，所以是的子集， 故，解得，故答案为： 【例5-2】（24-25高一上·江西·期中）已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)已知“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或.(2) 【解析】（1）当时，，又，则或， 所以或. （2）由“”是“”的必要条件，知， 当时，显然，则，即； 当时，由得，即， 综上，，即实数的取值范围为. 【一隅三反】 1．（23-24高一上·江苏·阶段练习）设p：，q：，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【解析】由q是p的必要条件，得，所以.故选：A 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若，求； (2)若，，且是的必要条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【解析】（1）当时，集合， 又所以． （2）因为，且是的必要条件，所以， 当时，，解得； 当时， 又，故． 综上，的取值范围为. 3．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，非空集合 (1)若，求：的取值集合 (2)若是的必要条件，求：的取值集合 【答案】(1)(2) 【解析】（1）化简得，所以或，所以， 因为，所以且，所以，即，所以或， 当时，解得或，即不符合题意，舍去； 经检验，当时，满足题意；故. （2）若是的必要条件，则且， 所以或或或或或， ①由（1）可知，当时，； ②当时，，解得或， 显然不成立； 当，显然，不符合题意，舍去； ③当时，由（1）可得或，显然此时不合题意，舍去； 当时，显然，不符合题意，舍去； ④当时，，此时方程无解，不合题意，舍去； 故和也不成立，所以舍去； 综上所述： 考向六 已知充分必要条件求参数 【例6-1】（23-24高一上·北京·阶段练习）设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，又是的必要不充分条件， 所以，解得，经检验满足题意.故选：D. 【例6-2】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，是否存在实数m，使得是成立的_______？ (1)是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由；） (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数m存在，求出m的取值范围，若问题中的m不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)①；② 【解析】（1）若存在实数m，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数m，使得是成立的充要条件. （2）因为，故，故. 选①：充分不必要条件. 由题意，故，解得，故，即m的取值范围为 选②：必要不充分条件. 由题意，故，解得，故，又，故m的取值范围为. 【一隅三反】 1．（24-25辽宁）命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由条件可知集合是集合的真子集，所以． 故选：D． 2．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）在A充分不必要条件，B必要不充分条件，C充要条件这三个条件中选择一个补充下面的问题，若问题中的存在，求的取值范围；若问题中的不存在，说明理由. 已知集合，，是否存在实数，使得是的________? 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【解析】选A：若是的充分不必要条件，则是的真子集， 故且等号不同时成立，即，无解， 故不存在实数，使得是的充分不必要条件. 选B：若是的必要不充分条件，则是的真子集， 当时，，解得，满足题意； 当时，，此时且等号不同时成立， 解得，故，综上有， 故若是的必要不充分条件，则. 选C：若是的充要条件，则，故，无解， 故不存在实数，使得是的充要条件. 3．（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）已知集合，，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）已知“”是“”的充分不必要条件，根据充分不必要条件的定义可知集合是集合的真子集. 已知，，则，解得. 故实数的取值范围为. （2）当时，因为，所以，解得，此时成立； 当时，，解得. 因为，，则或，解得或，故此时. 综上，若，则实数的取值范围为. 考向七 充分必要条件在实际生活中的运用 【例7】（2025高一·江苏）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关. 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】由题意“不破楼兰终不还”只可知，“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”， 故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件，故选：A. 【一隅三反】 1．（24-25高一上·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】由题意知“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件，即“能扫一屋”是“能扫天下”的必要条件. 故选：B. 2．（24-25高一上·江苏苏州·期中）老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题意可知，“做容易题”不一定能推出“做难题”， 但“做难题”一定可以推出“做容易题”，故“做容易题”是“做难题”的必要不充分条件，故选：B. 3．（2025高一上·全国·专题练习）王大妈在地摊上因为贪图便宜买了劣质商品，非常气愤的说了句“真是便宜没好货”，按照王大妈的理解，“好货”是“不便宜”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题， 根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”， 所以“好货”是“不便宜”的充分不必要条件．故选：A. 考向八 充分必要条件的证明 【例8-1】（24-25高一上·全国·课后作业）证明：“中两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 【答案】证明见解析 【解析】证明：充分性：在中，设边上的高为，边上的高为． 则， 因为，所以， 故为等腰三角形，充分性成立． 必要性：若为等腰三角形，设，边上的高为，边上的高为， 则根据三角形面积公式， 可得，必要性成立． 故“两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 【例8-2】（24-25福建福州）求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 【答案】证明见解析 【解析】证明：充分性：因为，所以， 代入方程，得， 即． 所以方程有一个根为1． 必要性：因为方程有一个根为1， 所以满足方程， 所以，即． 故关于的方程有一个根为1的充要条件是． 【一隅三反】 1．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 【答案】证明见解析 【解析】必要性：若有一个根为2，则满足方程，即， 充分性：若，则，即满足方程， 则关于x的方程有一个根为2； 综上命题得证． 2．（24-25高一上·全国·课堂例题）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【答案】证明见解析 【解析】证明：充分性：若，则， 方程有两个实根，， 根据根与系数的关系得． 所以方程有两个异号实根． 必要性：若一元二次方程有两个异号实根，， 则，即． 所以是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 3．（2025广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【答案】证明见解析 【解析】先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 1． 单选题 1．（24-25 天津红桥 ）设， 则“”是 的（    ）条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解析】由题意或， 而若，则有，所以肯定有或， 取，即满足或，但是不满足， 所以“”是的充分而不必要条件. 故选：A. 2．（2025湖南）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，可得，又，所以， 由，得， 因此“”是“”的充要条件． 故选：A 3．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由于，整理得，故， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确． 故选：A. 4．（24-25高一上·河南濮阳·期末）某生命科学研究所通过研究发现，当一个人的肥胖指数大于24但不大于28时，可认定为轻微肥胖；当一个人的肥胖指数大于28时，可认定为严重肥胖，且轻微肥胖和严重肥胖均为肥胖类型的一种，据上述文字叙述可以得知（   ） A．严重肥胖是肥胖指数大于24的充分不必要条件 B．严重肥胖是肥胖指数大于24的必要不充分条件 C．严重肥胖是肥胖指数大于24的充要条件 D．严重肥胖既不是肥胖指数大于24的充分条件也不是必要条件 【答案】A 【解析】由题意可得严重肥胖一定能推出肥胖指数大于24，但肥胖指数大于24，不大于28时不能推出严重肥胖，因此严重肥胖是肥胖指数大于24的充分不必要条件． 故选：A． 5．（2025高一·全国·专题练习）已知p是q成立的必要条件，q是r成立的充要条件，r是s成立的充分条件，s不是q成立的充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．p是r成立的充要条件 B．s是r成立的必要不充分条件 C．p是s成立的充分不必要条件 D．q是s成立的必要不充分条件 【答案】B 【解析】依题意得. 由得，但p不一定能推出r，充分性不一定满足，故A错. 由得，又，所以s是r成立的必要不充分条件，故B对. 由得，又，无法建立p与s的确切关联，即p不一定能推出s，s不一定能推出p，故C错； 因为，所以，又，所以q是s成立的充分不必要条件，故D错. 故选：B. 6．（25-26高一上·全国·课后作业）集合，若“”是“”的充分不必要条件，则不能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 可得,结合选项可知不能是2， 故选：A 7．（24-25 湖北武汉 ）已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，或，是的充分不必要条件， 所以且，则.故选：D 8．（24-25高三上·广东·期末）已知为整数，全集，，，设甲：；乙：，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】若，则或或，则或或或， 当时，不符合题意，故舍去，其他均符合题意，所以； 因为的元素必有1，可能有，，要使，则， 所以或，解得或，即，此时， 验证得仅或时符合条件，所以，故必要性成立； 当时，不成立，故充分性不成立； 故甲是乙的必要条件但不是充分条件. 故选：B． 2． 多选题 9．（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知命题，要使为的必要条件，则的取值可以为（    ） A． B．0 C．4 D．5 【答案】AB 【解析】由为的必要条件，可得，.故选：AB. 10．（25-26高一上·全国·单元测试）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．命题“若，则中至少有1个大于2”为真命题 D．集合中的元素个数为8 【答案】BCD 【解析】选项A，当时，满足，但无法得到，必要性不成立，所以A错误； 选项B，的解集为，由能够得到，充分性成立，所以B正确； 选项C，假设都不大于2，则，这与已知矛盾，所以要满足中至少有1个大于2，所以C正确； 选项D，因为，且8的因数有， 所以当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以，共有8个元素，所以D正确. 故选：BCD. 11．（25-26高一上·全国·课后作业）关于的方程至少有一个负根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 当方程有两个负根时，则有，解得， 当方程有一个负根一个正根时，则有即， 综上所述，当关于的方程至少有一个负根时，有， 选项中，在的范围内，且比小的范围有A、B、C． 故选：ABC. 3． 填空题 12．（23-24高一上·天津河东·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的 条件.（填“充分”或“必要”） 【答案】充分 【解析】由题意，，∴若，则；若，不一定有. ∴“”是“”的充分条件.故答案为：充分. 13．（25-26高一上·全国·课前预习）下列“若，则”形式的命题中，是的充分不必要条件的序号有 ． ①若均为非零实数，则是有理数； ②若四边形的对角线互相垂直，则四边形是菱形； ③若是等边三角形，则是锐角三角形； ④若，则． 【答案】③④ 【解析】①：当时，是无理数，因此不是的充分条件； ②：当四边形对角线互相垂直但不互相平分时，四边形不是菱形，因此不是的充分条件； ③：等边三角形一定是锐角三角形，充分性成立；但锐角三角形不一定是等边三角形，必要性不成立．因此是的充分不必要条件； ④：当时，可知，充分性成立；当时，也可能均小于0，必要性不成立，因此是的充分不必要条件． 故答案为：③④ 14．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数 ． 【答案】5 【解析】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 4． 解答题 15．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知全集，集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1），故，， 或. （2）若“”是“”的充分条件，则， 当时，， 当时，，解得， 综上，. 16．（23-24高一上·广东广州·阶段练习）设集合． (1)，求； (2)若“”是“”的必要条件，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【解析】（1）当时，，故或， 又，故 （2）“”是“”的必要条件，故， 当时，，∴，符合题意； 当时，需满足，解得 综上所述，m的取值范围为或. 17．（24-25高一上·陕西安康·阶段练习）已知命题p：关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)若p是真命题，求实数m的取值集合A； (2)在（1）的条件下，集合，若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）若是真命题，则，解得， 则； （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 当时，由，解得，此时，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围为． 18．（2025高一上·全国·专题练习）已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由，可得， 因为， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，解得， 综上，. 故实数的取值范围为． （2）由题意可得，是的充分不必要条件，故是的真子集， 又，， 则，解得， 故实数的取值范围是． 19．（2025湖南）设a，b，c为的三边，求方程与有公共根的充要条件． 【答案】答案见详解 【解析】必要性： 设方程与的公共根为， 则，， 两式相加得（舍去）， 将代入， 得， 整理得. 所以. 充分性： 当时，， 于是等价于， 所以， 该方程有两根，. 同样等价于， 所以， 该方程亦有两根，. 显然，两方程有公共根. 故方程与有公共根的充要条件是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$