精品解析：四川省内江市第一中学2025-2026学年高二（2班）上学期入学考试数学试题

内江一中2027届高二（2班）入学考试 数 学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式及诱导公式化简求值可得结果. 【详解】 . 故选：B. 2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的坐标表示，共轭复数定义可得答案. 【详解】由题意知，则. 故选：A 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把方程化为斜截式，得到直线的斜率，即可求解. 【详解】由得：，设其倾斜角为，， 所以斜率， 故倾斜角为， 故选：C 4. 已知向量，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量的模长公式代入计算，即可得到，再根据数量积的定义，即可得到结果. 【详解】因为，则，且，则， 即，所以，设与的夹角为，则， 即，所以，因为，则. 故选：D 5. 如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，，边长，，然后即可求三角形的周长． 【详解】 根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，， 底边长，高， 所以， 直角三角形的周长为． 故选：A． 6. 在中，，的角平分线AD交BC边于点D，的面积是的面积的2倍，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，结合等面积法可得，即可由正弦定理求解，由三角恒等变换即可求解. 【详解】，的角平分线AD交BC边于点D，故， 故， 由正弦定理可得，故，故， 故，故， 故选：C. 7. 菱形十二面体是由12个全等的菱形构成的，其有24条棱，14个顶点，它每个面的两条对角线之比为，已知一个菱形十二面体的棱长为，体积为16，则该菱形十二面体的内切球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形十二面体的性质，结合其内切球的性质，将菱形十二面体分割为十二个四棱锥，结合其几何性质，求其高，可得球的半径，可得体积. 【详解】由题意，设菱形十二面体内切球的球心为，其中一个面为菱形， 过作平面的垂线，以为垂心，连接， 可得四棱锥，如下图所示： 由棱形十二面体的性质，可知为菱形的中心，即， 易知棱形十二面体体积等于十二个四棱锥的体积， 故四棱锥的体积， 由题意，可得，，在菱形中，易知， 在，由，且，则，， 故菱形的面积， 在四棱锥中，， 由内切球的性质，可得其半径为， 其体积. 故选：C. 8. 函数的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位得到函数的图象，则关于函数有下列四个说法，其中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的一条对称轴为直线 C. 函数的一个对称中心坐标为 D. 再向左平移个单位得到的函数为偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象求得的解析式，根据三角函数图象变换求得，根据的最小正周期、对称轴、对称中心、图象变换等知识确定正确答案. 【详解】对于， 由图可知，， ，， 由于，所以，所以. 图象上的所有点向右平移个单位得到函数， 的最小正周期为，A选项错误. ，B选项错误. 点的纵坐标是，所以不是的对称中心，C选项错误. 再向左平移个单位得到， 所得函数为偶函数，所以D选项正确. 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 对于平面，若，则 B. 对于平面和直线，若，则 C. 对于平面和直线，若，则 D. 对于平面和直线，若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A选项，根据线面平行的性质定理判断即可；对于B选项，根据线面垂直的判定定理可判断；对于C，结合正方体中的线面关系可判断；对于D选项，利用反证法证明. 【详解】对于A选项，因为，， 所以，所以，由于，，所以，故A正确； 对于B选项，由，可知过的平面与的交线与平行，且所有的交线互相平行， ，可得与交线垂直，但无法推出，B错误； 对于C选项，如图，在正方体中，，平面，平行与平面， 但平面平面，C错误； 对于D选项，如图，设， 假设与平面不平行，又， 所以与平面相交，设交点为， 在内过点作直线，因为，，则， 则过点有两条直线垂直于平面，矛盾， 所以假设不成立，故，D正确. 故选：AD 10. 已知 的内角 所对的边分别为 ， 下列四个命题中， 正确的命题是（     ） A. 在中，若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若在线段 上，且，则的面积为8 D. 若 ，动点在所在平面内且 ，则 动点的轨迹的长度为 【答案】ACD 【解析】 【详解】利用正弦定理结合三角形中大边对大角，可判断A；化简条件得到，求得或，可判定B；设，在中，利用余弦定理求得，得到，求得和，结合面积公式，可判定C；根据题意得到点在以为弦的一个圆上，结合正弦定理和圆的性质，以及弧长公式，可判定D． 【分析】对于A中，，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B中，由， 可得， 整理得， 由正弦定理得，可得， 因为，可得或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，由在线段上，且，，，， 则，设， 在中，利用余弦定理， 整理得，解得或（舍去）， 所以， 在中，可得，则， 所以的面积为，故C正确； 对于D，在中，因为，， 则点在以为弦的一个圆上， 由正弦定理可得外接圆的直径为，即， 当点在外部时，如图所示， 因为，可得，所以， 所以的长度为， 同理，当点在内部时，可得对应的弧长也是， 所以动点的轨迹的长度为，故D正确． 故选：ACD. 11. 如图，等边的边长为，边上的高为，沿把折起来，则（ ） A. 在折起的过程中始终有平面 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 当时，点到的距离为 D. 当时，点到平面的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线线垂直可证线面垂直，可判断A选项，根据三棱锥体积公式可知当时，体积最大，即可判断B选项，根据等边三角形可值，再根据等腰三角形性质可判断C选项；根据线面垂直可知D选项中点到平面的距离为，即可判断D选项. 【详解】 A选项：因为，，且，，平面，所以平面，故A选项正确； B选项：又已知三棱锥的体积， 所以当即时，三棱锥的体积最大， 最大值为，故B选项正确； C选项当时，是等边三角形，且是以为底的等腰三角形， 设的中点为，连接， 则，即为点到的距离， ，故C选项正确； 当时，，，且，，平面，故平面， 则就是点到平面的距离，且，故D选项错误； 故选：ABC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆C的一条直径的两个端点为和，则圆C的标准方程是_______ 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心坐标与半径，即可求圆C的方程． 【详解】由题意，圆C的圆心为， 则半径为， 所以圆C的标准方程是. 故答案为：. 13. 已知，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角公式和诱导公式，对已知条件进行变换，进而求出结果. 【详解】根据二倍角公式，由得， 即， 根据诱导公式， 所以. 故答案为： 14. 如图，在中，斜边，，在以为直径的半圆上有一点（不含端点），，设的面积，的面积. （1）若，求______；（2）令则的最大值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据已知用表示出、，分别由、并结合三角恒等变换及正弦型函数的性质，求或面积的最大值. 【详解】因为中，，， 所以，，， 又因为为以为直径的半圆上一点， 所以， 在中，，，， 作于点，则， ， ， 若，则，因为， 所以，即，整理得， 所以，； 由，则 ， 因为，所以， 当时，即，有最大值． 故答案为：， 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 过点的圆的两条切线，切点为，求： （1）求切线的方程； （2）求切线段的长度． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分切线斜率不存在和存在两种情况讨论求解即可； （2）根据切线长的性质可得，进而结合图形求解即可. 【小问1详解】 由圆，则圆心为，半径为3， 当切线斜率不存在时，切线方程为， 此时圆心到切线方程为的距离为3，等于半径，满足题意； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 则切线方程为，即. 综上所述，切线方程为或. 【小问2详解】 由切线的性质，得， 当切线为时，此时切线与轴垂直， 则. 16. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设结合正弦定理可得，再根据余弦定理求解即可； （2）结合正弦定理、三角恒等变换公式化简可得，再利用正弦函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由题意得，， ， 由正弦定理可得，即， ， 又． 【小问2详解】 由及正弦定理得， ， 由于为锐角三角形，则，解得， 则，∴， 则， 即周长的取值范围为. 17. 如图所示，平行四边形ABCD中，，，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且． （1）以，为基底表示向量与； （2）若，，与的夹角为，求． （3）设线段AM、HF的交点为，在（2）的条件下，求的余弦值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算及向量的中点表示即可求解； （2）根据（1）的结论及向量的数量积的定义，结合向量的数量积的运算律即可求解； （3）利用（1）（2）及向量的数量积运算律，结合向量的模公式及向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 平行四边形ABCD中，，，H，M分别是AD，DC的中点，． ， . 【小问2详解】 由（1）知，，， ，，与的夹角为， , . 【小问3详解】 由（1）（2）知，，，，， ，，， ， ， 因为线段AM、FM的交点为， 所以就是向量与的夹角， 所以. 故的余弦值为. 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为的等边三角形，点在棱上，，且三棱锥的体积为，求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件证得平面即可得解； （2）根据三棱锥的体积求得，可得，作辅助线作于，作于，连，利用定义法找到二面角的平面角，再求得相关线段长，解三角形可得答案. 【小问1详解】 在三棱锥中，因为为的中点， 且，则，又平面平面， 平面平面，平面， 所以平面，而平面， 所以. 【小问2详解】 因是边长为的等边三角形，所以，则， 因平面，所以为三棱锥的高，设为， 所以，， 所以，即有，所以， 作于，作于，连，则， 因为平面， 所以平面， 平面，则，因为， 平面，所以平面， 而平面，故， 则为二面角的平面角. 又，所以， 在中，，，所以， 由知，故，所以，即, ∴，从而， 又因为在中，，所以为等腰直角三角形， 所以，即二面角的大小为. 19. 已知函数为奇函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为. （1）求的解析式与单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解； （2）利用图象变换法,求得的函数表达式，解方程求得的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求出即可. 【小问1详解】 由题意可得：因为图象的相邻两条对称轴间的距离为， 所以的最小正周期为，即可得， 又为奇函数，则， 又，所以，故. 令，得， 所以函数的递减区间为. 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 又，则或， 即或. 令，当时，， 画出的图象如图所示： 的两个根对应的点关于直线对称，即， 有， 在上有两个不同的根， 所以； 又的根为， 所以方程在内所有根的和为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江一中2027届高二（2班）入学考试 数 学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，的角平分线AD交BC边于点D，的面积是的面积的2倍，则（） A. B. C. D. 7. 菱形十二面体是由12个全等的菱形构成的，其有24条棱，14个顶点，它每个面的两条对角线之比为，已知一个菱形十二面体的棱长为，体积为16，则该菱形十二面体的内切球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位得到函数的图象，则关于函数有下列四个说法，其中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的一条对称轴为直线 C. 函数的一个对称中心坐标为 D. 再向左平移个单位得到的函数为偶函数 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 对于平面，若，则 B. 对于平面和直线，若，则 C. 对于平面和直线，若，则 D. 对于平面和直线，若，则 10. 已知 的内角 所对的边分别为 ， 下列四个命题中， 正确的命题是（     ） A. 在中，若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若在线段 上，且，则的面积为8 D. 若 ，动点在所在平面内且 ，则 动点的轨迹的长度为 11. 如图，等边的边长为，边上的高为，沿把折起来，则（ ） A. 在折起的过程中始终有平面 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 当时，点到的距离为 D. 当时，点到平面的距离为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆C的一条直径的两个端点为和，则圆C的标准方程是_______ 13. 已知，则______ 14. 如图，在中，斜边，，在以为直径的半圆上有一点（不含端点），，设的面积，的面积. （1）若，求______；（2）令则的最大值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 过点的圆的两条切线，切点为，求： （1）求切线的方程； （2）求切线段的长度． 16. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）求的周长的取值范围． 17. 如图所示，平行四边形ABCD中，，，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且． （1）以，为基底表示向量与； （2）若，，与的夹角为，求． （3）设线段AM、HF的交点为，在（2）的条件下，求的余弦值． 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为的等边三角形，点在棱上，，且三棱锥的体积为，求二面角的大小. 19. 已知函数为奇函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为. （1）求的解析式与单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $