精品解析：四川省内江市第一中学2025-2026学年高二上学期入学考试数学试题

内江一中2027届高二入学考试 数 学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，已知角的始边是轴的非负半轴，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解，利用三角函数的定义求解. 【详解】因为角终边经过点，所以， 故. 故选：C. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式及诱导公式化简求值可得结果. 【详解】 . 故选：B. 3. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的坐标表示，共轭复数定义可得答案. 【详解】由题意知，则. 故选：A 4. 已知正三角形的边长为4，那么的直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以BC中点O为原点，BC为x轴建立直角坐标系，再画出直观图形，根据，，, 即可得到答案. 【详解】解：如图所示，以BC中点O为原点，BC为x轴建立直角坐标系，再即可得到的直观图如下图所示： 则的面积为：. 故选：B . 5. 在△中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理，可得，从而可设，，进而结合余弦定理，可求出答案. 【详解】由正弦定理，可得， 设，则， 由余弦定理，可得. 故选：B. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于基础题. 6. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数是偶数”，事件为“向上的点数不超过3”，则概率（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：五种情况，得到答案. 【详解】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：五种情况， 故. 故选：. 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 7. 在中，为其内部一点，且满足，则和的面积比是 A. 3：4 B. 3:2 C. 1:1 D. 1:3 【答案】D 【解析】 【详解】取 中点 ,则由 得 ,所以, 在线段上,因此 ，选D. 8. 函数的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位得到函数的图象，则关于函数有下列四个说法，其中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的一条对称轴为直线 C. 函数的一个对称中心坐标为 D. 再向左平移个单位得到的函数为偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象求得的解析式，根据三角函数图象变换求得，根据的最小正周期、对称轴、对称中心、图象变换等知识确定正确答案. 【详解】对于， 由图可知，， ，， 由于，所以，所以. 图象上的所有点向右平移个单位得到函数， 的最小正周期为，A选项错误. ，B选项错误. 点的纵坐标是，所以不是的对称中心，C选项错误. 再向左平移个单位得到， 所得函数为偶函数，所以D选项正确. 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于样本数据5，2，7，9，8，11，说法正确的是（ ） A. 中位数为7 B. 中位数为7.5 C. 极差为9 D. 方差为2 【答案】BC 【解析】 【分析】AB选项，将数据从小到大排列，从而利用中位数的定义进行求解；C选项，利用极差的定义计算即可；D选项，先计算出平均数，从而计算出方差. 【详解】AB选项，按照从小到大排序如下：2,5,7,8,9,11，共6个数据，所以第3和第4个数据的平均数为中位数，即，A错误，B正确； C选项，极差为，C正确； D选项，平均数为，故方差为，D错误. 故选：BC 10. 已知向量，，下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则与夹角的正弦值为 C. 若，则 D. 若，则或16 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，根据向量共线求出可判断；对B，根据数量积关系求出即可判断；对C，根据垂直关系求出可判断；对D，求出，根据模为13求出可判断. 【详解】对A，因为．所以．解得，A错误； 对B，若，则，，，则，B正确； 对C，因为．所以，解得，C错误； 对D，因为，所以，解得或16，D正确． 故选：BD. 11. 已知 的内角 所对的边分别为 ， 下列四个命题中， 正确的命题是（     ） A. 在中，若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若在线段 上，且，则的面积为8 D. 若 ，动点在所在平面内且 ，则 动点的轨迹的长度为 【答案】ACD 【解析】 【详解】利用正弦定理结合三角形中大边对大角，可判断A；化简条件得到，求得或，可判定B；设，在中，利用余弦定理求得，得到，求得和，结合面积公式，可判定C；根据题意得到点在以为弦的一个圆上，结合正弦定理和圆的性质，以及弧长公式，可判定D． 【分析】对于A中，，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B中，由， 可得， 整理得， 由正弦定理得，可得， 因为，可得或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，由在线段上，且，，，， 则，设， 在中，利用余弦定理， 整理得，解得或（舍去）， 所以， 在中，可得，则， 所以的面积为，故C正确； 对于D，在中，因为，， 则点在以为弦的一个圆上， 由正弦定理可得外接圆的直径为，即， 当点在外部时，如图所示， 因为，可得，所以， 所以的长度为， 同理，当点在内部时，可得对应的弧长也是， 所以动点的轨迹的长度为，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式，求出结果即可. 【详解】由扇形面积公式，得. 故答案为：. 13. 已知，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角公式和诱导公式，对已知条件进行变换，进而求出结果. 【详解】根据二倍角公式，由得， 即， 根据诱导公式， 所以. 故答案为： 14. 如图，在中，斜边，，在以为直径的半圆上有一点（不含端点），，设的面积，的面积. （1）若，求______；（2）令则的最大值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据已知用表示出、，分别由、并结合三角恒等变换及正弦型函数的性质，求或面积的最大值. 【详解】因为中，，， 所以，，， 又因为为以为直径的半圆上一点， 所以， 在中，，，， 作于点，则， ， ， 若，则，因为， 所以，即，整理得， 所以，； 由，则 ， 因为，所以， 当时，即，有最大值． 故答案为：， 四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 某学校高一新生体检，校医室为了解新生的身高情况，随机抽取了100名同学的身高数据（单位:），制作成频率分布直方图如图所示. （1）估计这100名同学身高的上四分位数； （2）用分层抽样的方法从中抽出一个容量为17的样本，如果样本按比例分配，则各区间应抽取多少人? 【答案】（1）176.25 （2）7人，6人，4人 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求得，再由百分位数的定义列方程求解即得； （2）根据抽样比即可计算出各组应抽取的人数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.35，第三组的频率为，第四组的频率为0.20，第五组的频率为0.10， 则解得， 因为前3组的频率和为0.7，前4组的频率和为0.9， 所以第75百分位数在第四组，不妨设为， 则， 解得，即第75百分位数约为176.25； 【小问2详解】 根据题意，第组应抽取人， 第组应抽取人， 第组应抽取人. 16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求的值； （2）求的周长的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化，然后再利用余弦定理可计算得角；（2）由正弦定理可表示出，然后将三角形的周长表示为角的三角函数，然后求解值域. 【详解】（1）由题意得，， ， ∴由正弦定理可得. 又. （2）由及正弦定理得， . . 由得，， ∴当，即时，. 【点睛】解三角形中关于边的最值的问题的求解一般利用正弦定理边角互化，转化为角的三角函数的值域求解. 17. 已知函数. （1）化简的解析式； （2）若为锐角，且，，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简计算即得； （2）利用条件先求出和，再由展开求得和，最后由两角差的正弦公式求得的值，结合角的范围即得答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 即，即， 由题意，，则， 故，， 因 ，则， 由， 因为锐角，故，则得. 18. 如图所示，平行四边形ABCD中，，，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且． （1）以，为基底表示向量与； （2）若，，与的夹角为，求． （3）设线段AM、HF的交点为，在（2）的条件下，求的余弦值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算及向量的中点表示即可求解； （2）根据（1）的结论及向量的数量积的定义，结合向量的数量积的运算律即可求解； （3）利用（1）（2）及向量的数量积运算律，结合向量的模公式及向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 平行四边形ABCD中，，，H，M分别是AD，DC的中点，． ， . 【小问2详解】 由（1）知，，， ，，与的夹角为， , . 【小问3详解】 由（1）（2）知，，，，， ，，， ， ， 因为线段AM、FM的交点为， 所以就是向量与的夹角， 所以. 故的余弦值为. 19. 已知 （1）求的最小正周期； （2）若函数在区间上恰有两个零点， ① 求m的取值范围； ② 求的值. 【答案】（1） （2）①或 ② 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简函数表达式，进一步结合周期公式即可求解； （2）①通过换元，将问题转换为的图象与直线在有两个交点，画出对应的图形即可得解；②根据对称性即可求解. 【小问1详解】 ， ∴的最小正周期为即为所求. 【小问2详解】 ①令，其中x与t是一一对应的， 当时，， ， 所以，如图， 要使在区间上恰有两个零点 等价于的图象与直线在有两个交点， 所以要使在区间上恰有两个零点， 的取值范围为或； ②设是函数的两个零点（即）， 由正弦函数图象对称性可知， 即，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江一中2027届高二入学考试 数 学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，已知角的始边是轴的非负半轴，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知正三角形的边长为4，那么的直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 在△中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数是偶数”，事件为“向上的点数不超过3”，则概率（ ） A. B. C. D. 7. 在中，为其内部一点，且满足，则和的面积比是 A. 3：4 B. 3:2 C. 1:1 D. 1:3 8. 函数的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位得到函数的图象，则关于函数有下列四个说法，其中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的一条对称轴为直线 C. 函数的一个对称中心坐标为 D. 再向左平移个单位得到的函数为偶函数 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于样本数据5，2，7，9，8，11，说法正确的是（ ） A. 中位数为7 B. 中位数为7.5 C. 极差为9 D. 方差为2 10. 已知向量，，下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则与夹角的正弦值为 C. 若，则 D. 若，则或16 11. 已知 的内角 所对的边分别为 ， 下列四个命题中， 正确的命题是（     ） A. 在中，若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若在线段 上，且，则的面积为8 D. 若 ，动点在所在平面内且 ，则 动点的轨迹的长度为 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的面积为_____. 13. 已知，则______ 14. 如图，在中，斜边，，在以为直径的半圆上有一点（不含端点），，设的面积，的面积. （1）若，求______；（2）令则的最大值为______. 四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 某学校高一新生体检，校医室为了解新生的身高情况，随机抽取了100名同学的身高数据（单位:），制作成频率分布直方图如图所示. （1）估计这100名同学身高的上四分位数； （2）用分层抽样的方法从中抽出一个容量为17的样本，如果样本按比例分配，则各区间应抽取多少人? 16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求的值； （2）求的周长的最大值. 17. 已知函数. （1）化简的解析式； （2）若为锐角，且，，求的值. 18. 如图所示，平行四边形ABCD中，，，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且． （1）以，为基底表示向量与； （2）若，，与的夹角为，求． （3）设线段AM、HF的交点为，在（2）的条件下，求的余弦值． 19. 已知 （1）求的最小正周期； （2）若函数在区间上恰有两个零点， ① 求m的取值范围； ② 求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $