2.2.1直线的倾斜角与斜率（课时2）讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

2.2.1直线的倾斜角与斜率（课时2） 一、知识梳理 1.一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量为直线l的一个______，记作______. 2.如果为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数，向量都是l的一个_____，而且直线l的任意两个方向向量一定_____； 3.如果，是直线l上两个不同的点，则__________是直线l的一个方向向量. 4.一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个_____，记作____. 5.向量 n，v 分别是直线l的方向向量和法向量，则____. 二、例题讲解 例1 已知直线 通过点 与 ，求直线 的一个方向向量，并确定直线 的斜率与倾斜角． 解：由已知可得 是直线 的一个方向向量． 因此，直线的斜率 ，直线的倾斜角 满足 ，从而可知 ． 由上可以看出，通过直线的方向向量能够确定直线的斜率与倾斜角，而且一条直线的所有方向向量都共线，因此也可得到：如果 是平面直角坐标系中的三个不同的点，则这三点共线的充要条件是 与 共线． 例 2 已知 ，判断 是否共线. 解：因为 ， ，又因为 ，所以 与 不共线，从而 不共线． 一般地，如果表示非零向量 的有向线段所在直线与直线 垂直，则称向量 为直线 的一个法向量，记作 ． 一条直线的方向向量与法向量互相垂直．特别地，当 与 不全为 0 时，因为向量 与 是互相垂直的，所以，如果其中一个为直线 的一个方向向量，则另一个一定是直线 的一个法向量． 三、课堂练习 1.已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为( ) A. B. C. D. 2.已知点，，若向量是直线l的方向向量，则直线l的倾斜角为( ) A. B. C. D. 3.若直线经过点和点，则该直线的方向向量可以是( ) A. B. C. D. 4.若直线l的一个方向向量为，则它的倾斜角为( ) A. B. C. D. 5.已知直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为( ) A. B. C. D. 6.若直线l的一个方向向量，则l的倾斜角为( ) A. B. C. D. 7.已知直线的斜率为，则直线l的一个方向向量的坐标为( ) A. B. C. D. 8.若直线l的一个方向向量为，则该直线的倾斜角大小为( ) A. B. C. D. 9.已知是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角为____. 10.已知直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为______________. 四、课后练习 1.经过，两点的直线的一个方向向量为，则( ) A. B. C.-3 D.3 2.已知直线和不重合，，分别是，的方向向量，则是的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 3.已知直线的倾斜角为80°，则直线的一个方向向量的坐标为( ) A. B. C. D. 4.已知直线的斜率为10，则直线的一个法向量的坐标为( ) A. B. C. D. 5.已知倾斜角为的直线的方向向量为，则m的值为( ) A.1 B. C. D. 6.若直线l的倾斜角为，则它的方向向量可以为( ) A. B. C. D. 7.（多选）已知经过，两点的直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角可能为( ) A. B. C. D. 8.已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角__________ 9.直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为________. 10.若向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为____________. 答案及解析 一、知识梳理 1.方向向量 //l 2.方向向量 共线 3. 4.法向量 v⊥l 5.n⊥v 三、课堂练习 1.答案：D 解析：由于直线l的一个方向向量为， 所以直线l的斜率为-1，所以直线的倾斜角为. 故选：D. 2.答案：A 解析：直线的斜率， 所以直线l的倾斜角为. 故选：A. 3.答案：A 解析：由于直线经过点和点，故直线的方向向量与向量平行的向量， 故选：A 4.答案：B 解析：因为直线l的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 故直线的倾斜角为. 故选：B. 5.答案：B 解析：因为直线l的一个方向向量为，所以直线l的斜率为. 故选：B. 6.答案：C 解析：设l的倾斜角为，， 由题意得l的斜率，则， 故选：C. 7.答案：D 解析：斜率为k的直线的一个方向向量为， 因此直线l的一个方向向量为， 而ABC中向量与不共线，， 所以直线l的一个方向向量的坐标为. 故选：D 8.答案：C 解析：由题意知，设直线l的倾斜角为，则， 又， 所以，即. 故选：C. 9.答案： 解析：依题意，直线l的斜率，其倾斜角为. 故答案为： 10.答案：-5 解析：由题意可知，直线l的斜率为. 故答案为：-5. 四、课后练习 1.答案：D 解析：由点，，可得直线AB的斜率为， 因为经过A，B两点的直线的一个方向向量为，所以. 故选：D. 2.答案：A 解析：因为直线和不重合，所以可以推出， 而只能推出与共线，不一定相等， 所以是的充分非必要条件. 故选：A. 3.答案：A 解析：当直线的倾斜角时，直线的一个方向向量为.故选A. 14.答案：A 解析：由题意知，直线的一个方向向量为，所以直线的法向量可以是或. 故选：A. 5.答案：C 解析：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线的方向向量为，所以. 故选：C 6.答案：B 解析：因为直线l的倾斜角为， 所以， 由斜率的定义可知，取，解得一组解可以是，， 所以直线的一个方向向量可以是， 故选：B 7.答案：BC 解析：由题意，，解得，则， 设倾斜角为，则，解得或. 故选：BC. 8.答案： 解析：记直线l的倾斜角为， 由题知，又， 所以，即. 故答案为： 9.答案： 解析：因为直线l的一个方向向量为，所以直线l的斜率为， 设直线l的倾斜角为，则， 所以，则， 故答案为：. 10.答案： 解析：由题意直线l的一个方向向量是， 则直线的斜率为，因此倾斜角为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$