专题06 函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（12大考点93题）（期中真题汇编，福建专用）高一数学上学期

专题06 函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性） 12大高频考点概览 考点01 根据解析式直接判断函数的单调性 考点02 复合函数的单调性 考点03 用定义法证明具体函数的单调性 考点04 用定义法证明抽象函数的单调性 考点05 根据单调性求参数值 考点06 最值问题 考点07 由函数的奇偶性求值及参数值 考点08 由函数的奇偶性求解析式 考点09 用定义法证明函数的奇偶性 考点10 由单调性、奇偶性解不等式及比大小 考点11 函数周期性的简单应用 考点12 函数对称性的应用 地 城 考点01 根据解析式直接判断函数的单调性 一、单选题 1．(24-25高一上·福建厦门英才学校·期中)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可. 【详解】对于A：函数为非奇非偶函数，故A错误； 对于B：函数为偶函数，故B错误； 对于C：函数为非奇非偶函数，故C错误； 对于D：函数的定义域为，令， 则，即为奇函数， 又，则在上单调递增，在上单调递增， 且为连续函数，所以在定义域上单调递增，故D正确. 故选：D 2．(23-24高一上·福建福州第四中学·)下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一判断奇偶性和单调性即可求解 【详解】对于A：的定义域为，且， 所以为偶函数，当时，由一次函数的性质可知， 在上单调递减， 即在上单调递减，故A错误； 对于B：的定义域为，且，所以为奇函数，故B错误； 对于C：的定义域为，且， 所以为偶函数，当时，， 由指数函数的性质可知，在上单调递增，故C正确； 对于D：的定义域为，且， 所以为偶函数，由幂函数的性质可知，在上单调递减，故D错误； 故选：C. 二、多选题 3．(24-25高一上·福建福州第十八中学、华侨中学等校·期中)下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据函数的奇偶性与单调性分别判断即可. 【详解】对于，根据一元二次函数的性质，知为偶函数，且在区间单调递增，正确； 对于，当时，，所以在区间单调递减，错误； 对于，易知为偶函数，且当时，单调递增，正确； 对于，为奇函数，错误. 故选：. 4．(24-25高一上·福建龙岩一级校联盟·期中)下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据函数的解析式逐项判断. 【详解】A. 是偶函数，又在上单调递减，故正确； B. 是偶函数，又在上单调递增，故错误； C. 是偶函数，又在上单调递减，故正确； D. 是奇函数，又在上单调递减，故错误； 故选：AC 5．(24-25高一上·福建莆田第四中学·期中)下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用一次函数和二次函数的性质，判断选项中函数的奇偶性和单调性. 【详解】对于A，函数是偶函数，在上单调递增，A选项正确； 对于B，函数是偶函数，在上解析式为，单调递增，B选项正确； 对于C，函数是奇函数，C选项错误； 对于D，函数是偶函数，在上单调递减，D选项错误； 故选：AB. 6．(24-25高一上·福建莆田第二十四中学·期中)下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据偶函数的定义结合上的单调性.我们将依次对每个选项进行分析判断. 【详解】A选项,对于函数，，而，，所以它不是偶函数，不符合要求. A错误. B选项,对于函数，，满足偶函数定义. 当时，，随着的增大，也增大，所以函数在上单调递增，符合要求. B正确. C选项,对于函数，，是偶函数. 对,当时, 随着的增大，也增大，所以函数在上单调递增，符合要求. C正确. D选项，对于函数，，是偶函数. 对,开口向下，所以函数在上单调递减，不符合要求.D错误. 故选：BC. 地 城 考点02 复合函数的单调性 一、单选题 7．(24-25高一上·福建厦门集美中学·期中)函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数法可求得函数的递减区间. 【详解】对于函数，有，即，解得， 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在上单调递增，在上单调递减， 且内层函数在上为增函数， 由复合函数法可知，函数的递减区间为. 故选：A. 8．(24-25高一上·福建泉州泉州科技中学·期中)函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的原则可确定答案. 【详解】由得或. 令，则. 幂函数在上单调递减， 二次函数对称轴为直线，函数在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数单调性可得函数的单调递增区间为. 故选：A. 9．(24-25高一上·福建泉州四校联考·期中)已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数在上单调递增，则在上单调递增，根据复合函数的单调性“同增异减”求出函数在定义域内的递减区间即可． 【详解】因为函数在上单调递增，所以在上单调递增， 设， 由，解得或， 所以在上单调递减， 所以的单调减区间为. 故选：B. 10．(24-25高一上·福建福州十校·期中)函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求出单调递减区间即可. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 令，则， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：C. 地 城 考点03 用定义法证明具体函数的单调性 11．(24-25高一上·新疆兵地联盟·期中)已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明； (3)若对任意的，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用配凑法直接求解即可； （2）任取，由可得结论； （3）根据单调性可得，根据可构造不等式求得结果. 【详解】（1），. （2）在上单调递增，证明如下： 任取， ， ，，，， 在上单调递增. （3）由（2）知：在上单调递增，， ，解得：，的取值范围为. 12．(24-25高一上·福建莆田第九中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 【答案】(1)； (2)单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据奇函数性质求得，结合对应函数值求得，即得解析式； （2）应用单调性定义，作差法证明函数单调性； （3）根据函数的奇偶性、单调性解不等式即可. 【详解】（1）由题设，即，故， 由，故； （2）函数在上的单调递增，证明如下： 令，则， 而，故， 故函数在上的单调递增. （3）由题设得，则， 故解集为. 13．(24-25高一上·福建厦门英才学校·期中)已知函数，． (1)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给与证明； (2)求函数，的最大值和最小值． 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2)， 【分析】（1）根据单调性的定义证明即可； （2）结合（1）中函数的单调性求出函数的最值. 【详解】（1）在上单调递增，证明如下： 设任意的且，则 ， 因为且，所以，，， 所以，所以，即， 所以在上单调递增； （2）由（1）可知在上单调递增， 所以，. 14．(24-25高一上·福建厦门翔安第一中学·期中)已知幂函数的图象过点 (1)求函数的解析式; (2)用定义证明函数在区间上单调递减； (3)求不等式 的解集. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设出的解析式，根据图象所过点求得的解析式. （2）利用函数单调性的定义来证得结论成立. （3）根据函数的奇偶性、单调性化简所求不等式，进而求得不等式的解集. 【详解】（1）设，将代入上式得. （2）任取， 由于，所以， 所以函数在区间上单调递减. （3）的定义域为， 所以是奇函数，由（2）可知函数在区间上单调递减， 所以在上单调递减. 由 得， ，所以不等式 的解集为. 15．(24-25高一上·福建南安华侨中学、石狮八中、泉州外国语学校、泉州城东中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)用定义法证明在上单调递增； (2)求使成立的实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义，利用赋值法可得函数解析式，再利用定义法可证明函数单调性； （2）根据函数的奇偶性与单调性可得不等式，结合函数定义域，解不等式组即可. 【详解】（1）由题意可知，故， 又由可得，解得； 所以，，此时定义域关于原点对称， 且， 故是定义在上的奇函数，满足题意，所以，． 在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，，，，所以， 所以，即， 因此在上单调递增； （2）由（1）可知，是在上单调递增的奇函数， 所以由可得， 因此需满足，解得，即； 故实数的取值范围为. 16．(24-25高一上·福建三明永安九中等四校联考·期中)已知函数为奇函数，． (1)求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据求解出的值； （2）根据定义法判断的单调性； （3）根据奇偶性和单调性将问题转化为，由此可求的取值范围. 【详解】（1）因为为奇函数，所以， 所以，所以， 所以. （2），， 则， 因为，所以， 所以，所以， 所以在上单调递增. （3）因为是上的奇函数，所以， 因为在上单调递增，所以恒成立， 所以恒成立，所以； 因为，当时取等号，所以， 所以. 17．(24-25高一上·福建莆田第二十四中学·期中)已知是定义在上的奇函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意，由此即可得解. （2）由定义法证之即可. （3）结合奇函数的单调性即可求. 【详解】（1）因为定义在区间上的函数为奇函数， 则，经验证满足题意，则. 则. （2）由（1）知，在上单调递增， 证明如下：设，则， 其中，， 所以，即， 故函数在上单调递增. （3）是奇函数，不等式化为， 在上是增函数， ，解得，故不等式的解集为. 18．(24-25高一上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)已知函数为定义在上的偶函数，且当时，． (1)利用单调性的定义证明在区间上单调递增； (2)（i）判断在区间上的单调性（直接给出答案，无需证明）； （ii）若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）在区间上单调递减；（ii） 【分析】（1）由单调性的定义证明即可； （2）（i）用偶函数性质判断即可；（ii）由函数的奇偶性与单调性求解即可 【详解】（1）证明：，，且， ， 因为，所以， 所以，，即， 所以在区间上单调递增. （2）（i）函数为定义在上的偶函数，偶函数在对称区间上的单调性相反， 所以在区间上单调递减. （ii）由得， ，，在区间上单调递减， ， 所以，解得， 所以的取值范围是． 19．(24-25高一上·福建南平高级中学·期中)已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)若任意，使得恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)在上单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据函数所过的点列方程求参数，即可得解析式； （2）利用单调性定义证明函数单调性即可； （3）问题化为任意，使得恒成立，求出右侧表达式的最小值，即可得范围. 【详解】（1）由题设，解得，则. （2）在上单调递减，证明如下： 任取，且，则， ，且， ，，则， ，即， 所以函数在上单调递减. （3）因为任意，使得恒成立， 即任意，使得恒成立， 由（2）知，函数在上单调递减， 当时，，所以， 所以实数a的取值范围． 20．(24-25高一上·福建福州青鸟北附高级中学·期中)给定，，且， (1)求的定义域以及的解析式 (2)判断在区间上的单调性，在区间上的单调性，并利用单调性的定义证明 【答案】(1)答案见解析 (2)在区间上单调递减，在区间上单调递增；证明见解析 【分析】（1）利用二次根式的性质和分式的性质求解定义域，结合给定条件利用待定系数法求解解析式即可. （2）先判断函数的单调性，再利用定义法证明即可. 【详解】（1）令，解得， 令，解得，则的定义域为, 因为，所以，， 因为，所以， 解得，得到，令，解得， 则的定义域为. （2）判断：在区间上单调递减， 我们任取，且使， 则， ， 因为，所以， 因为，所以，得到， 即，故在区间上单调递减， 判断：在区间上单调递增， 我们任取，且使， 则， ， ，因为，所以， 因为，所以，， 得到，即， 故在区间上单调递增. 地 城 考点04 用定义法证明抽象函数的单调性 21．(24-25高一上·福建厦门湖滨中学·期中)已知函数的定义域为，且满足对于任意， 都有， 且当时， ，且． (1)求与的值； (2)判断的奇偶性； (3)判断的单调性，并证明. 【答案】(1)， (2)奇函数 (3)是上的减函数，证明见解析 【分析】（1）通过赋值即可求解； （2）令，结合可判断； （3）令，由可判断，即可判断其单调性. 【详解】（1）令，则，即， ， ； （2）令，则，即，可得为奇函数； （3）是上的减函数. 证明：令，则， 则， 由时，， 可得，即有，即，即， 则是上的减函数. 22．(24-25高一上·福建福州第三中学·期中)已知定义在上的函数，，对，，都有，且当时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明单调性； (3)若，求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据所给关系式利用赋值法计算可得； （2）构造，根据函数单调性定义证明； （3）依题意可得，结合（2）的单调性得到，即，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）因为，，都有且， 所以，则， ，则， 所以. （2）在上单调递增，证明如下： 因为，，都有，即， 在R上任取且，则，所以，则. 又， 所以函数在上单调递增. （3）不等式即， 即， 即， 又函数在上单调递增，所以不等式等价于， 即，又，所以不等式等价于， 当，即时，不等式等价于，所以不等式的解集为； 当，即时，解得，即不等式的解集为； 当，即时，解得，即不等式的解集为； 综上可得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 23．(24-25高一上·福建泉州第七中学·期中)定义在上的函数，满足，，当时，. (1)求的值； (2)用定义证明在上是个增函数； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法可特函数值； （2）利用定义法可得函数单调性； （3）根据函数单调性解不等式. 【详解】（1）由已知， 令时，， 解得； （2）由已知，可得， 任取，，且，即， 所以， 即， 即函数在上是个增函数； （3）由已知， 即， 又， 所以即为， 又函数在上单调递增， 则， 解得. 地 城 考点05 根据单调性求参数值 一、单选题 24．(24-25高一上·福建龙岩一级校联盟·期中)已知是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段函数在R上单调递减，需满足每一段上单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得，解得， 故实数的取值范围是. 故选：A 25．(24-25高一上·福建福州福清·期中)“”是“函数是上的增函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据一次函数单调性求得，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若函数是上的增函数，则，解得， 显然是的真子集， 所以“”是“函数是上的增函数”的必要不充分条件. 故选：B. 26．(24-25高一上·福建莆田第二十四中学·期中)函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的单调性可求解． 【详解】因为对任意，都有成立，所以是减函数， 则，解得． 故选：D． 27．(24-25高一上·福建泉州泉州科技中学·期中)已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】法一：设，分，，讨论函数的符号及单调性，再确定在上的单调性； 法二：设，分情况去掉绝对值符号，再结合对勾函数的单调性得出结论. 【详解】法一：令， 当时，在上单调递增，在上单调递增，不合题意； 当时，在上单调递减， 且当时，也在上单调递减，由已知有，所以； 当时，在上单调递增，而， 故若在上单调递减，则必有，所以， 综上，有或. 法二：当时， 当，即时，，解得，此时， 当，即时，解得，此时无解， 当，即时，，解法，此时无解， 所以， 又因为，在上单调递减， 所以由对勾函数的性质得，解得，此时，． 综上：． 当时， 当，即时， ，解得，此时无解， 当，即时，解得，此时，当，即时，，解得，此时， 综上：. 此时，在上单调递减， 所以. 综上：实数a的取值范围为或. 故选：D 【点睛】方法点睛：含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单． 二、多选题 28．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期中)下列命题中，正确的有（   ） A．函数最小值为 B．函数在上单调递减 C．无论取何值，函数恒过定点 D．若函数定义域为，则定义域为 【答案】BC 【分析】由基本不等式成立条件可判断A错误再由复合函数单调性可得B正确， 由指数函数图象性质可计算C正确，由抽象函数定义域可判断D错误. 【详解】选项A．，当且仅当时等号成立，而，所以A错； 选项B．设，则由可得， 函数在上单调递增，， 函数在上单调递减， 根据复合函数同增异减可知函数在上单调递减，选项B正确； 选项C．由可知恒过定点；即C正确； 选项D．函数定义域为，则由可得定义域为，即D错误. 故选：BC 三、解答题 29．(24-25高一上·福建福州高级中学·期中)已知函数，． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若函数在上单调，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）得到的两根为，由韦达定理进行求解； （2）根据对称轴得到不等式，求出答案. 【详解】（1）由题意得的两根为， 由韦达定理得，解得，满足题意； （2），的对称轴为， 故需满足或，解得或， 综上，实数的取值范围为或. 30．(24-25高一上·福建厦门集美中学·期中)已知是定义在上的奇函数，当时，．    (1)求的解析式； (2)画出的简图；写出的单调递增区间（只需写出结果，不要解答过程） (3)若函数在是单调递减，求的取值范围 【答案】(1) (2)作图见解析，递增区间是 (3) 【分析】（1）利用奇函数的定义求出解析式. （2）利用二次函数图象及奇函数的对称性作出函数图象，再结合图象求出递增区间. （3）由（2）求出递减区间，再列出不等式求解. 【详解】（1）函数是上的奇函数，当时，， 当时，，， 所以. （2）当时，的图象是二次函数在轴及右侧部分， 再作出它关于原点对称的图形，函数的图象如图，    观察图象得的单调递增区间是. （3）由（2）中图象得函数的单调递减区间是， 由函数在是单调递减，得，解得， 所以的取值范围是. 地 城 考点06 最值问题 一、单选题 31．(24-25高一上·福建泉州泉州科技中学·期中)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数单调性可得函数的值域. 【详解】由得且. ∵在上为减函数，在上为增函数， ∴在上均单调递减. 当且时，，当时，， ∴函数的值域为. 故选：D. 32．(24-25高一上·福建泉州泉州科技中学·期中)当时，下列函数的最小值不为4的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式可得选项A、B错误；利用函数的单调性可得选项C正确、选项D错误. 【详解】A．， 取等号时，即，所以函数的最小值为，故不符合题意； B．， 取等号时，即，所以函数的最小值为，故不符合题意； C．根据对勾函数的单调性可知：在上单调递增， 所以函数最小值为：，故符合题意； D．因为在为单调增函数，所以函数的最小值为，故不符合题意. 故选：C． 二、解答题 33．(24-25高一上·福建泉州四校联考·期中)已知函数. (1)判断函数在的单调性，并用定义证明； (2)求函数在的值域. 【答案】(1)函数在上单调递减，证明见解析 (2) 【分析】（1）判断出函数在上单调递减，任取、且，作差，变形并判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； （2）分析函数在上单调性，即可求出该函数在区间上的值域. 【详解】（1）函数在上单调递减，证明如下： 任取、且， 则 ， 因为，则，，， 因为，，则，可得， 所以，即， 所以函数在上是减函数. （2）任取、，且，即，则， ，可得，且，，， 所以，即， 所以函数在上为增函数， 故当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，，所以，， 因此函数在的值域为. 地 城 考点07 由函数的奇偶性求值及参数值 一、单选题 34．(24-25高一上·福建福宁古五校教学联合体·期中)设为上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．2 C．0 D．4 【答案】A 【分析】先根据奇函数性质求得参数的值，进一步根据奇函数性质求函数值. 【详解】因为为上的奇函数，当时，， 所以，解得， 所以当时，， 所以. 故选：A. 二、填空题 35．(24-25高一上·福建泉州安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学·期中)若函数为奇函数，则实数 . 【答案】2 【分析】根据奇函数的定义，即对于任意实数，都有根据这个定义列出等式，然后通过化简等式来求解实数的值. 【详解】因为为奇函数，所以. 先求出，将换为，可得. 而. 所以. . 展开左边式子. 展开右边式子. 左右两边的系数应该相等，，解得. 故答案为：2. 36．(24-25高一上·福建福州第四中学·)设函数是奇函数，则 ． 【答案】/0.75 【分析】利用奇函数的性质求出，再求出即可得. 【详解】由函数是奇函数，得，解得：， 而，所以. 故答案为： 37．(24-25高一上·福建福州第三中学·期中)已知函数的图象关于轴对称，则 ；当时，，则实数的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】利用偶函数的性质求出，再利用单调性，结合恒成立问题求出范围. 【详解】由函数的图象关于轴对称，得函数是偶函数， 则，即，解得，， ，，；，，， ，因此函数是偶函数，所以； 函数在上单调递增， 而当时，，则， 解得或，因此或， 所以实数的取值范围为或. 故答案为：；或 三、解答题 38．(24-25高一上·福建福州高级中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数． (1)求实数的值； (2)根据函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)设关于的方程有两个不同的实根，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）根据得到方程，求出； （2）定义法证明函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论； （3）由函数奇偶性和单调性得到有两个不同的实根，换元后得到有两个不等正根，由根的判别式和韦达定理得到不等式，求出答案. 【详解】（1）由题意得，即， 即， 所以，解得； （2）由（1）得， 任取，且， 则 ， 因为，故，又， 故，即， 所以在上单调递增； （3）因为为定义在上的奇函数， 所以， 因为在上单调递增， 所以有两个不同的实根， 设，故有两个不等正根， 需满足，解得， 故的取值为. 39．(24-25高一上·福建福州第三中学·期中)已知是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)解关于的方程； (3)若存在区间（），使得函数在上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用奇函数的性质求出并验证即可. （2）换元解方程，再解指数方程即可. （3）探讨函数的单调性，结合已知构造方程，再利用一元二次方程实根分布求出范围. 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，得，解得， 所以，，即是奇函数， 所以. （2）令，则方程化为，即， 解得或，由（1）知， 当时，，即，解得，； 当时，，即，无解， 所以原方程的解为. （3）由（1）知，函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，依题意得，，即， 令，因此是方程，即的两个不等的正根， 于是，解得， 所以的取值范围是. 40．(24-25高一上·福建厦门海沧实验中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数. (1)求m的值； (2)根据函数单调性的定义证明在上单调递增. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，由代入计算，即可求得，然后检验，即可得到结果； （2）根据题意，由函数单调性的定义代入计算，即可证明. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数， 所以，解得， 当时，， 满足，即是奇函数， 所以. （2）任取两个实数，且， 则 ， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上单调递增. 41．(24-25高一上·福建福州福九联盟·期中)已知定义域为的函数是奇函数，且. (1)求实数，的值； (2)试判断的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)， (2)函数在上为减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）法1：根据求解出的值，并进行检验；法2：根据奇函数定义可得，结合求得的值； （2）计算并将其结果因式分解，根据条件判断出的正负，由此可知的单调性； （3）根据奇偶性将不等式化为，再根据单调性求解出不等式解集. 【详解】（1）法1：函数是定义域为的奇函数， ，即， 又，即， 由①②解得，， 经检验，，符合题意. 法2：函数是定义域为的奇函数， ，即， ，即， ， 又，即， 由①②解得，. （2）函数在上为减函数. 证明如下： 由（1）得函数，任取且， 则， ，，又， ，即， 函数在上为减函数. （3）函数为奇函数， 可化为， 又函数在上为减函数， ，解得：， 原不等式的解集为. 42．(24-25高一上·福建厦门音乐学校·期中)已知函数为奇函数.（为常数，） (1)求的值及函数的值域； (2)用函数单调性的定义证明函数在R上是增函数； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)，值域为； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用奇函数的性质求出，再求出函数值域. （2）利用函数单调性的定义，结合指数函数单调性推理证明. （3）利用函数奇偶性和单调性脱去法则，再借助一元二次不等式求解. 【详解】（1）函数是奇函数，其定义域为， 则，解得，于是， ，函数为奇函数，所以； 由，得，因此， 所以函数的值域为. （2）任取，且， 则， 由，得，则，，， 于是，即， 所以函数在上是增函数. （3）函数是上的奇函数，且在上是增函数， 则， 于是，整理得， 解得，即，解得， 所以原不等式的解集为. 43．(24-25高一上·福建三明第一中学·期中)已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若函数在上的最小值为11，求实数的值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据奇函数这一性质求解即可； （2）求出，令，令，根据二次函数的单调性，分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）因为函数是定义域为上的奇函数，所以 经检验当时，， 所以恒成立，满足是奇函数， 所以； （2）因为， 所以， 令，则， 令，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即时，， 解得. 当，即时，， 解得，无解. 综上所述，当时，在上的最小值为11. 地 城 考点08 由函数的奇偶性求解析式 一、多选题 44．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期中)已知函数为上的奇函数，且时，，则（   ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【分析】根据可求得，将代入解析式可知A正确；当时，，结合奇偶性可求得B正确；根据函数单调性可确定C错误；根据函数单调性和函数最值可知D正确. 【详解】为上的奇函数，，即， 当时，； 对于A，，A正确； 对于B，当时，，，B正确； 对于C，当时，且， 在上单调递增，，C错误； 对于D，当时，， 在上单调递减，在上单调递减， ，，，D正确. 故选：ABD. 二、填空题 45．(24-25高一上·福建厦门湖滨中学·期中)设是定义在上的函数，时，，当为奇函数时，函数 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用奇偶性求另一半区间解析式即可. 【详解】当时，，． 因为是奇函数，则，则. 故答案为： 46．(24-25高一上·福建南平高级中学·期中)已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】取，可得，利用偶函数的定义可求得函数在时的解析式. 【详解】当时，，且函数为偶函数， 故. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 三、解答题 47．(24-25高一上·福建厦门翔安第一中学·期中)已知是定义在上的偶函数，当时，    (1)求的值; (2)求的解析式; (3)画出简图；写出的单调递增区间（只需写出结果，不要解答过程）. 【答案】(1) (2) (3)作图见解析，单调递增区间为 【分析】（1）根据函数的奇偶性以及函数的解析式求得正确答案. （2）根据函数的奇偶性求得正确答案. （3）根据的解析式画出图象，并有图象写出单调递增区间. 【详解】（1）依题意，是偶函数， . （2）依题意，是偶函数， 当时， 当时，，所以. 所以. （3）由（2）得，所以的图象如下图所示：    根据图象可知，的单调区间为. 48．(23-24高一上·福建三明五校·期中)已知偶函数定义域为，当时，． (1)求出函数的解析式； (2)判断函数在区间[0,1)的单调性并用定义法证明. 【答案】(1)； (2)在上是增函数，证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式即得. （2）判断函数单调性，再利用单调性定义推理判断即可. 【详解】（1）偶函数定义域为，当时，， 当时，，则， 所以函数的解析式是. （2）当时，，在上是增函数. 任取，则， 而，，且，则，因此， 所以在上是增函数. 49．(24-25高一上·福建师范大学泉州附属中学·期中)已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请根据图象.    (1)补全函数图象并写出函数的增区间. (2)求函数的解析式. (3)若函数，求函数的最小值. 【答案】(1)图象见解析，单调递增区间为，； (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的图象关于轴对称，可作出的图象，由函数图象可得的单调递增区间； （2）令，则，根据条件可得，利用函数是定义在上的偶函数，可得，从而可得函数的解析式； （3）先求出抛物线对称轴，然后分，，三种情况，根据二次函数的增减性解答. 【详解】（1）如图，根据偶函数的图象关于轴对称，可作出的图象， 则的单调递增区间为，；    （2）令，则， ， 函数是定义在上的偶函数， ， 所以； （3），对称轴为， 当即时，函数在上单调递增，故； 当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，故； 当即时，函数在上单调递减，故； ． 地 城 考点09 用定义法证明函数的奇偶性 50．(24-25高一上·福建厦门杏南中学·期中)已知函数 (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)将函数表达式改写为分段函数形式，并作出的图像； (3)当时，解不等式. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)，图像见解析 (3) 【分析】（1）根据奇偶性的定义进行判断和证明. （2）根据绝对值的知识进行化简，进而画出图像. （3）根据一元二次不等式的解法来求得正确答案. 【详解】（1）的定义域是，关于原点对称. 因为， 所以是奇函数. （2）. 的图像如图所示. （3）当时，， 因此，由可得，即 即，解得. 所以，当时，解不等式的解集为. 51．(24-25高一上·福建厦门英才学校·期中)已知函数．    (1)证明函数是偶函数； (2)在如图所示的平面直角坐标系中作出函数的图象； (3)根据图象求该函数的单调区间（直接写出答案即可）． 【答案】(1)证明见解析 (2)图象见解析 (3)单调递增区间为，，单调递减区间为， 【分析】（1）根据偶函数的定义证明即可； （2）首先将函数写成分段函数，再根据二次函数的图象画出的图象； （3）结合图象得到函数的单调区间. 【详解】（1）函数的定义域为， 且， 所以为偶函数； （2）因为， 又，对称轴为，开口向上，顶点坐标为； 所以的图象如下所示：    （3）由（2）中函数图象可知，的单调递增区间为，， 单调递减区间为，. 52．(24-25高一上·福建福宁古五校教学联合体·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且.定义在上的增函数满足对任意的，，都有. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)若，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上为单调递增函数，证明见解析 (2)为奇函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意先求出参数，进一步根据单调性的定义证明即可； （2）根据奇偶性的定义判断并证明即可； （3）根据单调性、奇偶性分析得知，成立，故只需求出时，的最大值. 【详解】（1）依题意得，. 所以，，，经检验，该函数是奇函数. 判断在上为单调递增函数. 证明：任取，且，， . ， ，即 所以在上为单调递增函数. （2）判断为奇函数. 的定义域为，关于原点对称. 令得， 令得，所以是奇函数； （3）由（2）可知，是奇函数，故有 又在上递增，所以，， 因为，所以， 令，则， ， 当且仅当，即时，上式等号成立， 所以. 53．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期中)已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)讨论的单调性，并用单调性的定义证明； (3)若对任意的实数，恒成立，求实数的范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据条件，利用奇偶函数的判断方法，即可求解； （2）利用函数单调性的定义即可得证； （3）利用函数的单调性和奇偶性，得到，令，从而得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）是奇函数， 证明如下：的定义域为，关于原点对称， ，则， 所以为奇函数. （2）为上的增函数． 证明：任取，，且， 则， 因为，，且，所以，， 所以即， 所以在上单调递增. （3）由（1）（2）可知为奇函数，且在上为增函数， 所以恒成立， 所以恒成立，令，则， 即恒成立， 因为，当且仅当，即取等号， 所以. 54．(24-25高一上·福建福州福清·期中)设. (1)求证：； (2)证明：为奇函数； (3)试判断在上的单调性，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)增函数，理由见解析 【分析】（1）根据函数解析式直接证明即可； （2）根据题意结合奇函数定义分析证明； （3）根据题意结合单调性的定义分析证明. 【详解】（1）因为， 所以． （2）由题意可知：的定义域，关于原点对称， 且， 所以为奇函数． （3）在上为增函数，证明如下： ，，且， 则 因为，则，，， 可得，即， 故在上为增函数． 55．(24-25高一上·福建莆田第四中学·期中)已知函数. (1)证明：函数是奇函数； (2)用定义证明：函数在上是增函数. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）根据奇函数的定义证明即可； （2）根据增函数的定义证明即可. 【详解】（1）由函数,可得其定义域为R，关于原点对称, 又由, 所以函数为定义域R上的奇函数. （2）当时,, 任取,且, 可得 因为,且，可得, 所以，即. 所以函数在上是增函数. 地 城 考点10 由单调性、奇偶性解不等式及比大小 一、单选题 56．(24-25高一上·福建福州福清·期中)已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数可得，再结合单调性分析判断即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，则， 且在区间上单调递减，可得， 结合选项可知D正确，ABC错误. 故选：D. 57．(24-25高一上·福建莆田第二十四中学·期中)设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质得到，再根据函数的单调性判断即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 又在区间上单调递增，，所以， 则. 故选：B. 58．(24-25高一上·福建福州第十八中学、华侨中学等校·期中)已知函数是定义域为R的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性可得，利用单调性可得，求解即可. 【详解】由题意，当时，， 因为二次函数的图象开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递增，又函数是定义域为R的奇函数， 所以函数在上单调递增； 由，得， 因为函数是定义域为R的奇函数，所以， 因为函数在上单调递增，所以，解得或， 则的取值范围为. 故选：A 59．(24-25高一上·福建莆田第九中学·期中)函数在上单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得，利用函数的单调性可得，解可得x的取值范围，即可得答案． 【详解】因为函数在上单调递减，且为奇函数， 若，则， 由可得：， 解得：. 故选：D. 60．(24-25高一上·福建福州福九联盟·期中)设函数，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由偶函数的定义可知为偶函数，再判断出在上单调递增，由结合的单调性，即可得出答案. 【详解】因为的定义域为， 所以， 所以为偶函数，所以 当时，，因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，所以， 故选：D. 61．(24-25高一上·福建泉州第五中学·期中)已知函数在上单调递增，且，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得出的对称轴为，又由函数在上单调递增，可得在上单调递减，然后通过比较大小从而可得的大小. 【详解】由题意知，函数满足， 所以，函数关于对称； 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 又因为，, 所以，即. 故选：D. 62．(24-25高一上·福建福州高级中学·期中)定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，构造函数，变形给定不等式确定函数在上的单调性，进而求解不等式. 【详解】令，则，， 对，且，都有， 则，整理得， 所以函数在上单调递减， 不等式，因此， 所以原不等式的解集为. 故选：C 63．(24-25高一上·福建福宁古五校教学联合体·期中)已知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性及单调性求解即可. 【详解】由知定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数， 当时，为增函数， 所以由可得， 由单调性可得，即或， 所以不等式的解集为. 故选：A 64．(24-25高一上·福建漳州十校联盟·期中)已知函数为定义在R上的偶函数，，且，且，求不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，由已知条件确定它的奇偶性与单调性，然后利用其性质分类讨论解不等式． 【详解】，且， 则，， 所以， 设，则， ，因此时，是增函数， 又因为是偶函数，所以，所以是奇函数， 因此在上也是增函数， ，则， ，， 时，，即，所以， 时，，即，所以， 综上，不等式的解集为， 故选：B． 【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性解不等式，解题时主要要构造新函数，利用它的性质求解．在题中出现时，构造新函数需要通过提取（或分子分母同除以或不等式两边同除以）得出，当然本题中不等式右边不为0，因此需先移项变形，再确定构造的函数． 65．(24-25高一上·福建福州第一中学·)已知函数是定义在上的偶函数，且，若对任意的，，当时，有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构建，可知是定义在上的奇函数，在内单调递增，结合单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】构建，则的定义域为，显然， 且，可知函数是定义在上的奇函数， 因为，即，则， 由题意可知：在内单调递增，则在内单调递增， 当时，；当时，； 不等式即为，其解集为. 故选：D. 66．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期中)若定义在上的函数的最小值为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】讨论和的情况，根据可求得值，进而得到解析式；根据复合函数单调性和奇偶性可得单调性，利用单调性和奇偶性可得自变量大小关系，解不等式即可求得结果. 【详解】当时，在上单调递减，此时无最小值，不合题意； 当时，（当且仅当时取等号）， ，解得：，， ，即为定义在上的偶函数； 当时，令，则， 在上单调递增，由复合函数单调性知：在上单调递增， 在上单调递增， 由得：，即，解得：， 不等式的解集为. 故选：A. 67．(24-25高一上·福建泉州安溪县·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，，判断函数的奇偶性，再结合已知解不等式即可. 【详解】令，，函数是上的奇函数，则， 函数是偶函数，而不等式化为，即， 又当时，，于是，解得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：A 68．(24-25高一上·福建厦门、泉州五校·期中)已知奇函数满足 ，且在上单调递减，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇函数性质得到，又，在上单调递减，推出，在上单调递减，故和时，满足要求，得到答案. 【详解】为奇函数，故， ， 又，在上单调递减， 故当时，，此时，不合要求， 当时，，此时，满足要求， 由对称性可知，在上单调递减， 故当时，，此时，满足要求， 当时，，此时，不合要求， 综上，的解集为. 故选：B. 69．(24-25高一上·福建三明永安一中、沙县一中两校协作·期中)已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，其中，分析函数的奇偶性与单调性，可得出，分、两种情况将不等式变形，结合函数的单调性即可得解. 【详解】构造函数，其中， 则，所以，函数为偶函数， 对任意的对任意、，且，都有， 不妨设，则，可得，即， 所以，函数在上为减函数，则该函数在上为增函数， 且，， 当时，由可得，可得； 当时，由可得，可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性； （2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集. 二、多选题 70．(24-25高一上·福建福州高级中学·期中)已知定义在上的函数满足，当时，，，则（    ） A． B．为偶函数 C．在上单调递增 D．当时， 【答案】ACD 【分析】A选项，赋值得到，，从而得到；B选项，赋值得到，令得，B错误；C选项，令，其中，结合题目条件得到，C正确；D选项，变形得到，当时，，结合函数单调性得到D正确. 【详解】A选项，中，令得， 又，故， 中，令得， 中，令得，A正确； B选项，中，令得，解得， 中，令得， 又的定义域为，故为奇函数，B错误； C选项，令，其中， 则，即， 又时，，故， 故在上单调递增，C正确； D选项，因为， 所以， 在上单调递增，当时，，故， 所以，即， 故当时，，D正确. 故选：ACD 71．(24-25高一上·福建莆田第四中学·期中)已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【答案】BC 【分析】用赋值法先令求得，再令即可求得判断A；令可得奇偶性判断B；任取，则，由可得单调性判断C；利用奇偶性与单调性解不等式判断D. 【详解】对于A，在中，令得，因此， 再令得，则，故A错误； 对于B，令得，所以，是偶函数，故B正确； 对于C，设，则，， 所以，在上是增函数， 从而，故C正确； 对于D，是偶函数，则等价于， 又在上是增函数，所以，解得且，故D错误. 故选：BC. 72．(24-25高一上·福建莆田莆田第六中学·期中)定义在R上的函数满足：①，有；②函数是以为对称轴的“轴对称函数”，则使得不等式．成立的的取值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】BC 【分析】根据已知条件求得为偶函数，结合其单调性，求解不等式即可求得参数范围. 【详解】函数是以为对称轴的“轴对称函数”， 则以为对称轴的函数，即函数是偶函数， 又在上是增函数， 不等式，故，解得， 故选：BC． 73．(24-25高一上·福建厦门湖滨中学·期中)已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上是减函数 C． D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】利用赋值法求得，从而得以判断A；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，从而判断函数的单调性，即可判断B；利用抽象函数的性质求得式子的值，由此得以判断C；先求得，再将不等式转化为，从而得到关于的不等式，解之即可判断D. 【详解】对于A，因为， 令，得，所以，故A正确； 对于B，令，得，所以， 任取，且，则， 因为，所以，即，所以， 所以在上是减函数，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，因为，，所以， 又因为， 所以由得，故， 因为在上是减函数， 所以，解得， 所以不等式的解集为，故D正确. 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：对于解含抽象函数的不等式问题，一般先利用抽象函数的性质求得其在定义域上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式(组)的问题. 三、填空题 74．(24-25高一上·福建福州高级中学·期中)定义在上的偶函数，若，当时，为增函数，则满足不等式的实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出当时，，再由函数的奇偶性得到在上单调递减，且，故当时，，得到答案. 【详解】当时，为增函数，， 故当时，， 又为定义在上的偶函数， 故在上单调递减，且， 故当时，， 故的实数的取值范围是. 故答案为： 75．(24-25高一上·福建龙岩非一级达标校·期中)已知函数满足对于任意两个不相等的实数，都有，则不等式的解集为 【答案】 【分析】根据题意可知函数在上单调递增，利用单调性解不等式可得结果. 【详解】不妨令，则由，得， 令函数，则可知在上单调递增． 由．得， 则，解得 可得不等式解集为. 故答案为： 76．(24-25高一上·福建福州山海联盟教学协作体·期中)设为偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为 ． 【答案】 【分析】根据给定的条件分析的性质，再根据性质分段解不等式即可. 【详解】由题意偶函数在区间上单调递减，， 所以在区间上单调递增，， 因为，所以或， 即或， 解得或，所以的解集为. 故答案为：. 77．(24-25高一上·福建泉州安溪县·期中)设函数.若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，探讨函数的奇偶性及单调性，再解不等式即可. 【详解】函数， 令，函数，， 函数是偶函数，函数在上单调递增， 不等式，即， 因此，即或，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为： 78．(24-25高一上·福建龙岩一级校联盟·期中)已知定义在上的函数在上单调递增，若，且函数为奇函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由题意分析函数的单调性，画出其代表图，观察图象即可解出不等式. 【详解】因为函数在上单调递增，且函数为奇函数， 所以函数在上单调递增， 由于，所以， 不等式等价为或， 由图象可知：或. 故答案为： 79．(24-25高一上·福建厦门翔安第一中学·期中)已知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】分析函数的单调性，且可得出，然后分、、解原不等式，综合可得出原不等式的解集. 【详解】因为偶函数的定义域为，且在上是增函数， 且，则，函数在上为减函数， 当时，则，则，可得，解得； 当时，则，且， 若时，则，此时原不等式无解； 若，即时，由，可得，解得； 也满足. 综上所述，原不等式的解集为. 故答案为：. 80．(24-25高一上·福建南平高级中学·期中)已知定义域为的奇函数的图象是一条连续不断的曲线．对，当时，总有，则满足的实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题设知在上单调递增，且在上为偶函数，利用偶函数及单调性求不等式中参数范围. 【详解】由，当时，总有， 所以在上单调递增，又在上为奇函数， 故在上，，即为偶函数， 所以在上单调递减， 由，即， 所以，则，可得或， 又，可得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 81．(24-25高一上·福建福州第二中学·)已知函数， (1)判断函数的奇偶性； (2)根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (3)对于函数，，若，求实数的取值范围. 【答案】(1)为奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）定义法判断函数的奇偶性； （2）根据函数单调性的定义证明函数的单调性； （3）利用函数单调性解不等式. 【详解】（1）函数，定义域为R， ，所以为奇函数. （2）证明：根据题意，任取， 则， 因为，则，，， 则，即， 故在上单调递减． （3）由（1）得，在上单调递减， 若，， 解得，即所求范围是． 82．(24-25高一上·福建厦门大学附属科技中学·期中)已知函数. (1)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)解不等式：. 【答案】(1)增函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数单调性定义即可证明函数在(0,+∞)为增函数； （2）先证明函数为奇函数，再由奇函数性质及函数单调性求解即可. 【详解】（1）函数在上的单调递增,证明如下： 设任意且， 则， 因为且， 所以，， 所以，即， 所以函数在上的单调递增. （2）由知定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为奇函数， 由可得， 因为，， 所以，解得， 即不等式的解集为. 地 城 考点11 函数周期性的简单应用 一、单选题 83．(24-25高一上·福建泉州第七中学·期中)已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】推导出函数是周期为8的周期函数，再结合函数的周期性求解即可. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，且满足， 则， 所以，即， 所以，函数是周期为8的周期函数， 且当时，， 则. 故选：B. 二、填空题 84．(24-25高一上·福建莆田第四中学·期中)设是定义在R上的函数，满足，且；当时，，则 . 【答案】3 【分析】根据函数的奇偶性和对称性，得到函数的周期，利用函数周期性求函数值． 【详解】函数满足，且 则有， 故函数是周期为2的函数． . 故答案为：3. 地 城 考点12 函数对称性的应用 一、单选题 85．(24-25高一上·福建福州第三中学·期中)函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则（   ） A．0 B．2024 C．4051 D．8102 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出函数的图象的对称中心，再利用对称性求出函数值的和. 【详解】依题意，， 显然，即函数是奇函数， 因此函数的图象的对称中心为，即， 所以 . 故选：D 86．(24-25高一上·福建泉州第七中学·期中)已知函数的定义域为R，对于，恒有，且当时，，则下列命题中错误的是（   ） A． B．在上单调递减 C． D．关于直线对称 【答案】D 【分析】对于A，令即可判断；对于B，由单调性的定义结合的性质即可判断；对于C，令，可得，取即可判断；对于D，由，可得图象关于点中心对称，即可判断. 【详解】对于A，令，得，即，故A正确； 对于B，任取，则， 由于，所以，则，即， 所以函数为上单调递减，故B正确； 对于C，令得，，即， 取，得，即，故C正确； 对于D，由，则图象关于点中心对称，故D错误. 故选：D． 87．(24-25高一上·福建福州八县（）协作校·期中)已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递减 D． 【答案】D 【分析】由为奇函数可得，取，即可判断A；由为偶函数可得，即可判断B；分析可得在上单调递增，结合B选项可判断C；由，取，即可判断D． 【详解】A选项，因为奇函数，则， 令，得，可得，故A正确； B选项，因为偶函数，则， 即为函数图象的一条对称轴，故B正确； C选项，由，得为图象的一个对称中心， 又在上单调递增，则在[2,4]上单调递增， 所以在当单调递增， 又由B选项可知函数在上单调递减，故C正确； D选项，由B选项，，令，可得，故D错误． 故选：D． 二、多选题 88．(24-25高一上·福建厦门集美中学·期中)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．函数的值域为 B．函数的图象关于点成中心对称图形 C．的解集为 D．若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有个交点，记为，则 【答案】BCD 【分析】根据题意，分析函数的值域可得A错误，设，分析为奇函数，可得的对称中心， 可得B正确，由的对称性可得，结合函数的单调性即可判断C正确，由、 的对称性可得两个函数的交点也关于对称，进而分析可得D正确． 【详解】对于A，函数，由于，则，则， 即函数的值域为，A错误； 对于B，设， 则， 其定义域为，有，则为奇函数， 故的对称中心为，B正确； 对于C，的对称中心为，即， 故可得， 由于函数单调递增且恒为正，故在上单调递减， 故，解得，故C正确， 对于D，函数满足为奇函数，且的对称中心为， 而的对称中心为， 则与函数的图象的个交点也关于对称， 则，， 则，D正确． 故选：BCD． 三、填空题 89．(24-25高一上·福建福州福建师范大学附属中学·期中)已知函数为奇函数.，与的图象有8个交点，分别为，则 【答案】16 【分析】根据奇函数的定义以及图像平移可知与的图像的交点关于点对称，结合对称性即可得结果. 【详解】因为函数为奇函数， 则，可得， 可知的图象关于点对称， 又因为， 将向右平移1个单位，再向上平移3个单位，即可得， 可知的图象关于点对称， 由题意可知：与的图象的交点关于点对称， 可得， 所以. 故答案为：16. 四、解答题 90．(24-25高一上·福建泉州安溪县·期中)已知函数. (1)求，，，的值，并判断奇偶性； (2)判断在的单调性； (3)已知曲线关于直线对称的充要条件是函数为偶函数.类比此结论，写出曲线关于点中心对称的充要条件，并据此求出函数的图象的对称中心. 【答案】(1)，非奇非偶函数； (2)单调递增，理由见解析； (3)曲线关于点中心对称的充要条件是函数是奇函数，. 【分析】（1）求出函数值，利用奇偶性定义判断即可. （2）借助幂函数、二次函数单调性判断即可. （3）类比写出结论，再求出对称中心. 【详解】（1）函数，则， 且，因此函数是非奇非偶函数. （2）函数在上都单调递增， 所以函数在上单调递增. （3）曲线关于点中心对称的充要条件是函数是奇函数， 由于， 则，即函数是奇函数， 所以函数的对称中心为. 91．(24-25高一上·福建漳州十校联盟·期中)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.给定函数. (1)写出函数图象的对称中心（只写出结论即可，不需证明）; (2)当时， ①判断函数在区间上的单调性，并用定义证明; ②已知函数是奇函数，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)①函数在区间上单调递增，证明见解析；②[0，1]. 【分析】（1）由函数成中心对称的充要条件可得为奇函数，可得对称中心； （2）①根据单调性定义按照步骤即可证明函数在区间上单调递增； ②依题意并根据二次函数性质得出两函数的值域之间的包含关系，限定出最值之间的不等关系，解不等式即可求得结果. 【详解】（1）根据题意可知，函数是由函数向左平移个单位， 向上平移1个单位得到的； 所以为奇函数， 可得函数图象的对称中心是. （2）当时，. ①函数在区间上单调递增； 证明如下:，且， ， 因为，所以， 所以， 所以，即. 所以在单调递增， ②因为是奇函数，所以关于点对称， 设在上的值域为在上的值域为B. 因为对任意，总存在，使得，所以， 由①可知在上单调递增，又，所以， 又， 当时，在上单调递增， 又关于点对称，所以函数在也单调递增， 故在上单调递增， 又因为，故， 因为，所以，得，又，所以此时不存在. 当时，在单调递减，在单调递增， 又的对称中心为，所以在单调递增，在单调递减， 所以，要使， 只需，且， 解得，又所以， 当时，在单调递减，所以在单调递减， 所以在单调递减，所以， 所以，所以，又，所以此时不存在， 综上：，即的范围是. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据二次函数性质得出两函数的值域之间的包含关系，限定出最值之间的不等关系，解不等式即可求得结果. 92．(24-25高一上·福建莆田第五中学·期中)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.依据推广结论，给定函数. (1)求函数图象的对称中心； (2)求的值； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设函数的对称中心为：，根据函数为奇函数，求的值. （2）根据（1）中的结论，可得，利用该式可化简求值. （3）问题转化为函数在上的值域是在上的值域的子集，根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【详解】（1）设函数的对称中心为：，则函数为奇函数. 所以，即， 所以 . 所以函数的对称中心为. （2）因为函数的对称中心为. 所以. 所以，，，…，， 所以. （3）因为，为增函数，且，， 所以函数，的值域为. 因为时，. 所以若，即，则； 若，即，则； 若，即，则； 若，即，则. 又函数的图象关于点对称， 所以当时，函数，的值域为，由可得； 当时，函数，的值域为，由，可得； 当时，函数，的值域为，由，可得； 当时，函数，的值域为，由可得. 综上可知：.即所求实数的取值范围是：. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是求出两函数的值域，再利用两函数值域的包含关系即可得到不等式组，解出即可. 93．(24-25高一上·福建福州八县（）协作校·期中)已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)请你应用题设结论，求函数图象的对称中心； (2)用定义证明在区间上的单调性； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先根据函数的奇偶性以及对称中心得到关系式，化简可求得对称中心； （2）根据定义法证明函数的单调性即可； （3）先求出的值域，然后根据条件得到的值域是值域的子集，可求出结果. 【详解】（1）设函数图象的对称中心为， 则， 即， 即， ， 整理得， 于是， 解得， 所以的对称中心为； （2）任取，且， 则， 因为且， 所以， 即， 所以在上单调递增； （3）由题意得：的值域是值域的子集， 由（2）知在上单调递增， 故的值域为， 于是原问题转化为在上的值域， 因为对称轴为，在对称轴处取得最小值， ①当，即时，在上单调递增， 同时的图象恒过对称中心， 可知在上也单调递增， 故在上单调递增， 又， 故， 所以， 所以，解得， 又，故此时； ②当，即时， 在上单调递减，上单调递增， 又过对称中心， 故在上单调递增，上单调递减， 故此时 欲使， 只需，且， 解得且， 解不等式得：，又， 故此时； ③当，即时， 在上单调递减，在上也单调递减， 由对称性知在上单调递减， 于是， 因为， 故，解得， 又，故此时， 综上，实数m的取值范围是. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性） 12大高频考点概览 考点01 根据解析式直接判断函数的单调性 考点02 复合函数的单调性 考点03 用定义法证明具体函数的单调性 考点04 用定义法证明抽象函数的单调性 考点05 根据单调性求参数值 考点06 最值问题 考点07 由函数的奇偶性求值及参数值 考点08 由函数的奇偶性求解析式 考点09 用定义法证明函数的奇偶性 考点10 由单调性、奇偶性解不等式及比大小 考点11 函数周期性的简单应用 考点12 函数对称性的应用 地 城 考点01 根据解析式直接判断函数的单调性 一、单选题 1．(24-25高一上·福建厦门英才学校·期中)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（   ） A． B． C． D． 2．(23-24高一上·福建福州第四中学·)下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．(24-25高一上·福建福州第十八中学、华侨中学等校·期中)下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·福建龙岩一级校联盟·期中)下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·福建莆田第四中学·期中)下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·福建莆田第二十四中学·期中)下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 复合函数的单调性 一、单选题 7．(24-25高一上·福建厦门集美中学·期中)函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·福建泉州泉州科技中学·期中)函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高一上·福建泉州四校联考·期中)已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 10．(24-25高一上·福建福州十校·期中)函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点03 用定义法证明具体函数的单调性 11．(24-25高一上·新疆兵地联盟·期中)已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明； (3)若对任意的，都有，求的取值范围. 12．(24-25高一上·福建莆田第九中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 13．(24-25高一上·福建厦门英才学校·期中)已知函数，． (1)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给与证明； (2)求函数，的最大值和最小值． 14．(24-25高一上·福建厦门翔安第一中学·期中)已知幂函数的图象过点 (1)求函数的解析式; (2)用定义证明函数在区间上单调递减； (3)求不等式 的解集. 15．(24-25高一上·福建南安华侨中学、石狮八中、泉州外国语学校、泉州城东中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)用定义法证明在上单调递增； (2)求使成立的实数的取值范围． 16．(24-25高一上·福建三明永安九中等四校联考·期中)已知函数为奇函数，． (1)求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 17．(24-25高一上·福建莆田第二十四中学·期中)已知是定义在上的奇函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式：. 18．(24-25高一上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)已知函数为定义在上的偶函数，且当时，． (1)利用单调性的定义证明在区间上单调递增； (2)（i）判断在区间上的单调性（直接给出答案，无需证明）； （ii）若，求的取值范围． 19．(24-25高一上·福建南平高级中学·期中)已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)若任意，使得恒成立，求实数a的取值范围． 20．(24-25高一上·福建福州青鸟北附高级中学·期中)给定，，且， (1)求的定义域以及的解析式 (2)判断在区间上的单调性，在区间上的单调性，并利用单调性的定义证明 地 城 考点04 用定义法证明抽象函数的单调性 21．(24-25高一上·福建厦门湖滨中学·期中)已知函数的定义域为，且满足对于任意， 都有， 且当时， ，且． (1)求与的值； (2)判断的奇偶性； (3)判断的单调性，并证明. 22．(24-25高一上·福建福州第三中学·期中)已知定义在上的函数，，对，，都有，且当时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明单调性； (3)若，求关于的不等式的解集． 23．(24-25高一上·福建泉州第七中学·期中)定义在上的函数，满足，，当时，. (1)求的值； (2)用定义证明在上是个增函数； (3)解关于的不等式. 地 城 考点05 根据单调性求参数值 一、单选题 24．(24-25高一上·福建龙岩一级校联盟·期中)已知是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．(24-25高一上·福建福州福清·期中)“”是“函数是上的增函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 26．(24-25高一上·福建莆田第二十四中学·期中)函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27．(24-25高一上·福建泉州泉州科技中学·期中)已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 28．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期中)下列命题中，正确的有（   ） A．函数最小值为 B．函数在上单调递减 C．无论取何值，函数恒过定点 D．若函数定义域为，则定义域为 三、解答题 29．(24-25高一上·福建福州高级中学·期中)已知函数，． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若函数在上单调，求实数的取值范围． 30．(24-25高一上·福建厦门集美中学·期中)已知是定义在上的奇函数，当时，．    (1)求的解析式； (2)画出的简图；写出的单调递增区间（只需写出结果，不要解答过程） (3)若函数在是单调递减，求的取值范围 地 城 考点06 最值问题 一、单选题 31．(24-25高一上·福建泉州泉州科技中学·期中)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 32．(24-25高一上·福建泉州泉州科技中学·期中)当时，下列函数的最小值不为4的有（    ） A． B． C． D． 二、解答题 33．(24-25高一上·福建泉州四校联考·期中)已知函数. (1)判断函数在的单调性，并用定义证明； (2)求函数在的值域. 地 城 考点07 由函数的奇偶性求值及参数值 一、单选题 34．(24-25高一上·福建福宁古五校教学联合体·期中)设为上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．2 C．0 D．4 二、填空题 35．(24-25高一上·福建泉州安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学·期中)若函数为奇函数，则实数 . 36．(24-25高一上·福建福州第四中学·)设函数是奇函数，则 ． 37．(24-25高一上·福建福州第三中学·期中)已知函数的图象关于轴对称，则 ；当时，，则实数的取值范围为 ． 三、解答题 38．(24-25高一上·福建福州高级中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数． (1)求实数的值； (2)根据函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)设关于的方程有两个不同的实根，求的取值范围． 39．(24-25高一上·福建福州第三中学·期中)已知是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)解关于的方程； (3)若存在区间（），使得函数在上的值域为，求的取值范围． 40．(24-25高一上·福建厦门海沧实验中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数. (1)求m的值； (2)根据函数单调性的定义证明在上单调递增. 41．(24-25高一上·福建福州福九联盟·期中)已知定义域为的函数是奇函数，且. (1)求实数，的值； (2)试判断的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 42．(24-25高一上·福建厦门音乐学校·期中)已知函数为奇函数.（为常数，） (1)求的值及函数的值域； (2)用函数单调性的定义证明函数在R上是增函数； (3)求不等式的解集. 43．(24-25高一上·福建三明第一中学·期中)已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若函数在上的最小值为11，求实数的值. 地 城 考点08 由函数的奇偶性求解析式 一、多选题 44．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期中)已知函数为上的奇函数，且时，，则（   ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 二、填空题 45．(24-25高一上·福建厦门湖滨中学·期中)设是定义在上的函数，时，，当为奇函数时，函数 ． 46．(24-25高一上·福建南平高级中学·期中)已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时， . 三、解答题 47．(24-25高一上·福建厦门翔安第一中学·期中)已知是定义在上的偶函数，当时，    (1)求的值; (2)求的解析式; (3)画出简图；写出的单调递增区间（只需写出结果，不要解答过程）. 48．(23-24高一上·福建三明五校·期中)已知偶函数定义域为，当时，． (1)求出函数的解析式； (2)判断函数在区间[0,1)的单调性并用定义法证明. 49．(24-25高一上·福建师范大学泉州附属中学·期中)已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请根据图象.    (1)补全函数图象并写出函数的增区间. (2)求函数的解析式. (3)若函数，求函数的最小值. 地 城 考点09 用定义法证明函数的奇偶性 50．(24-25高一上·福建厦门杏南中学·期中)已知函数 (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)将函数表达式改写为分段函数形式，并作出的图像； (3)当时，解不等式. 51．(24-25高一上·福建厦门英才学校·期中)已知函数．    (1)证明函数是偶函数； (2)在如图所示的平面直角坐标系中作出函数的图象； (3)根据图象求该函数的单调区间（直接写出答案即可）． 52．(24-25高一上·福建福宁古五校教学联合体·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且.定义在上的增函数满足对任意的，，都有. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)若，使得成立，求实数的取值范围. 53．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期中)已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)讨论的单调性，并用单调性的定义证明； (3)若对任意的实数，恒成立，求实数的范围． 54．(24-25高一上·福建福州福清·期中)设. (1)求证：； (2)证明：为奇函数； (3)试判断在上的单调性，并说明理由. 55．(24-25高一上·福建莆田第四中学·期中)已知函数. (1)证明：函数是奇函数； (2)用定义证明：函数在上是增函数. 地 城 考点10 由单调性、奇偶性解不等式及比大小 一、单选题 56．(24-25高一上·福建福州福清·期中)已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 57．(24-25高一上·福建莆田第二十四中学·期中)设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 58．(24-25高一上·福建福州第十八中学、华侨中学等校·期中)已知函数是定义域为R的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 59．(24-25高一上·福建莆田第九中学·期中)函数在上单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 60．(24-25高一上·福建福州福九联盟·期中)设函数，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 61．(24-25高一上·福建泉州第五中学·期中)已知函数在上单调递增，且，记，则（   ） A． B． C． D． 62．(24-25高一上·福建福州高级中学·期中)定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 63．(24-25高一上·福建福宁古五校教学联合体·期中)已知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 64．(24-25高一上·福建漳州十校联盟·期中)已知函数为定义在R上的偶函数，，且，且，求不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 65．(24-25高一上·福建福州第一中学·)已知函数是定义在上的偶函数，且，若对任意的，，当时，有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 66．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期中)若定义在上的函数的最小值为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 67．(24-25高一上·福建泉州安溪县·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 68．(24-25高一上·福建厦门、泉州五校·期中)已知奇函数满足 ，且在上单调递减，则的解集是（    ） A． B． C． D． 69．(24-25高一上·福建三明永安一中、沙县一中两校协作·期中)已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 70．(24-25高一上·福建福州高级中学·期中)已知定义在上的函数满足，当时，，，则（    ） A． B．为偶函数 C．在上单调递增 D．当时， 71．(24-25高一上·福建莆田第四中学·期中)已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 72．(24-25高一上·福建莆田莆田第六中学·期中)定义在R上的函数满足：①，有；②函数是以为对称轴的“轴对称函数”，则使得不等式．成立的的取值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 73．(24-25高一上·福建厦门湖滨中学·期中)已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上是减函数 C． D．不等式的解集为 三、填空题 74．(24-25高一上·福建福州高级中学·期中)定义在上的偶函数，若，当时，为增函数，则满足不等式的实数的取值范围是 ． 75．(24-25高一上·福建龙岩非一级达标校·期中)已知函数满足对于任意两个不相等的实数，都有，则不等式的解集为 76．(24-25高一上·福建福州山海联盟教学协作体·期中)设为偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为 ． 77．(24-25高一上·福建泉州安溪县·期中)设函数.若，则的取值范围是 . 78．(24-25高一上·福建龙岩一级校联盟·期中)已知定义在上的函数在上单调递增，若，且函数为奇函数，则不等式的解集为 . 79．(24-25高一上·福建厦门翔安第一中学·期中)已知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是 . 80．(24-25高一上·福建南平高级中学·期中)已知定义域为的奇函数的图象是一条连续不断的曲线．对，当时，总有，则满足的实数的取值范围为 ． 四、解答题 81．(24-25高一上·福建福州第二中学·)已知函数， (1)判断函数的奇偶性； (2)根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (3)对于函数，，若，求实数的取值范围. 82．(24-25高一上·福建厦门大学附属科技中学·期中)已知函数. (1)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)解不等式：. 地 城 考点11 函数周期性的简单应用 一、单选题 83．(24-25高一上·福建泉州第七中学·期中)已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则（   ） A． B． C． D．0 二、填空题 84．(24-25高一上·福建莆田第四中学·期中)设是定义在R上的函数，满足，且；当时，，则 . 地 城 考点12 函数对称性的应用 一、单选题 85．(24-25高一上·福建福州第三中学·期中)函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则（   ） A．0 B．2024 C．4051 D．8102 86．(24-25高一上·福建泉州第七中学·期中)已知函数的定义域为R，对于，恒有，且当时，，则下列命题中错误的是（   ） A． B．在上单调递减 C． D．关于直线对称 87．(24-25高一上·福建福州八县（）协作校·期中)已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递减 D． 二、多选题 88．(24-25高一上·福建厦门集美中学·期中)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．函数的值域为 B．函数的图象关于点成中心对称图形 C．的解集为 D．若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有个交点，记为，则 三、填空题 89．(24-25高一上·福建福州福建师范大学附属中学·期中)已知函数为奇函数.，与的图象有8个交点，分别为，则 四、解答题 90．(24-25高一上·福建泉州安溪县·期中)已知函数. (1)求，，，的值，并判断奇偶性； (2)判断在的单调性； (3)已知曲线关于直线对称的充要条件是函数为偶函数.类比此结论，写出曲线关于点中心对称的充要条件，并据此求出函数的图象的对称中心. 91．(24-25高一上·福建漳州十校联盟·期中)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.给定函数. (1)写出函数图象的对称中心（只写出结论即可，不需证明）; (2)当时， ①判断函数在区间上的单调性，并用定义证明; ②已知函数是奇函数，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 92．(24-25高一上·福建莆田第五中学·期中)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.依据推广结论，给定函数. (1)求函数图象的对称中心； (2)求的值； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 93．(24-25高一上·福建福州八县（）协作校·期中)已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)请你应用题设结论，求函数图象的对称中心； (2)用定义证明在区间上的单调性； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$