专题07 指数对数幂函数（14大考点67题）（期中真题汇编，福建专用）高一数学上学期

专题07 指数对数幂函数 14大高频考点概览 考点01 指数幂的运算 考点02 指数型函数恒过定点问题 考点03 比较指数幂大小 考点04 指数型函数值域问题 考点05 对数的运算 考点06 对数复合型函数定义域 考点07 对数复合型函数单调性 考点08 指对大小比较 考点09 求幂函数值 考点10 求幂函数解析式 考点11 幂函数图象与性质 考点12 幂函数的单调性 考点13 幂函数的奇偶性 考点14 函数模型及应用 地 城 考点01 指数幂的运算 一、单选题 1．(24-25高一上·福建福州高级中学·期中)已知，则的值是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】B 【分析】两边平方，得到答案. 【详解】两边平方得， 故. 故选：B 二、多选题 2．(24-25高一上·福建厦门英才学校·期中)下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据指数幂的运算法则计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：CD 三、填空题 3．(24-25高一上·福建泉州四校联考·期中)根式化为分数指数幂的形式为 . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则计算可得. 【详解】. 故答案为： 4．(24-25高一上·福建福州福九联盟·期中)计算 . 【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质化简计算可得所求代数式的值. 【详解】原式. 故答案为：. 5．(24-25高一上·福建莆田第二十四中学·期中) . 【答案】0 【分析】运用指数幂运算性质计算即可. 【详解】. 故答案为：0. 6．(24-25高一上·福建泉州第五中学·期中)计算 ． 【答案】 【分析】直接利用有理指数幂的运算性质化简求值. 【详解】 故答案为：. 四、解答题 7．(24-25高一上·福建漳州乙丙校联盟·期中)化简求值： (1) (2) (3)已知，求的值; 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则，即可得到答案； （2）根据幂的运算法则，即可得到答案； （3）由完全平方和公式，即可得到答案. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）因为，所以. 8．(24-25高一上·福建南平高级中学·期中)（1）计算； （2）化简. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）（2）应用有理数指数幂的运算性质、根式与指数幂的关系化简求值； 【详解】（1）原式； （2）原式. 9．(24-25高一上·福建厦门湖滨中学·期中)解决下列问题： (1)计算 (2) (3)已知，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用指数幂和根式运算求解； （2）由一元二次不等式求解原则进行求解. （3）利用立方和根式和指数幂运算求解. 【详解】（1）， ， ； （2）因为，所以，即， 此时有，解得 （3）因为，所以， ， . 地 城 考点02 指数型函数恒过定点问题 一、单选题 10．(24-25高一上·福建泉州德化第二中学·期中)且时，函数恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合指数函数的性质即可得解. 【详解】，故函数恒过点. 故选：A. 二、多选题 11．(24-25高一上·福建龙岩一级校联盟·期中)下列说法正确的是（    ） A．函数（且）的图象恒过定点 B．函数的单调递增区间为 C．若满足，则的图象关于点中心对称 D．若直线与函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据可判断A；根据复合函数的单调性可判断B；根据函数的对称性可判断C；利用数形结合可判断D. 【详解】对于A，当时，， 所以函数的图象恒过定点，故A正确； 对于B，设，则， 由，得或， 因为在单调递增， 在单调递减，在单调递增， 所以的单调递增区间为，故B正确； 对于C，因为满足， 当取时，，即， 所以的图象关于点中心对称，故C错误； 对于D，当时，函数的图象下图所示， 当时，函数的图象下图所示， 则当时，直线与函数的图象有两个公共点， 所以，故D正确. 故选：ABD. 12．(24-25高一上·福建厦门翔安第一中学·期中)下列结论中正确的是 （        ） A．若幂函数的图象经过点，则 B．函数且的图象必过定点 C．函数的单调增区间是 D．若幂函数，则对任意、，都有 【答案】BCD 【分析】利用幂函数的定义可判断A选项；利用可判断B选项；利用复合函数法可判断C选项；利用作差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，设幂函数的解析式为， 由题意可得，解得，则，A错； 对于B选项，因为， 所以，函数且的图象必过定点，B对； 对于C选项，因为内层函数的增区间为，减区间为， 外层函数为减函数，故函数的增区间为，C对； 对于D选项，幂函数，对任意的，则， 则对任意、， ， ， 所以， ， 所以，，可得， 所以，，D对. 故选：BCD. 13．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期中)下列命题中，正确的有（   ） A．函数最小值为 B．函数在上单调递减 C．无论取何值，函数恒过定点 D．若函数定义域为，则定义域为 【答案】BC 【分析】由基本不等式成立条件可判断A错误再由复合函数单调性可得B正确， 由指数函数图象性质可计算C正确，由抽象函数定义域可判断D错误. 【详解】选项A．，当且仅当时等号成立，而，所以A错； 选项B．设，则由可得， 函数在上单调递增，， 函数在上单调递减， 根据复合函数同增异减可知函数在上单调递减，选项B正确； 选项C．由可知恒过定点；即C正确； 选项D．函数定义域为，则由可得定义域为，即D错误. 故选：BC 地 城 考点03 比较指数幂大小 一、单选题 14．(24-25高一上·福建福州第十八中学、华侨中学等校·期中)若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数与幂函数的单调性比大小. 【详解】由已知函数在上单调递增， 则，即； 又函数在上单调递增， 则，即； 综上所述， 故选：C. 15．(24-25高一上·福建福州第一中学·)已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、幂函数单调性分析判断即可. 【详解】因为在内单调递增，则，即； 又因为在内单调递增，则，即； 综上所述：. 故选：B. 16．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期中)已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数以及幂函数单调性即可得出结论. 【详解】由函数为单调递增函数可得； 由幂函数在上单调递增，可得，所以. 故选：B 17．(24-25高一上·福建福州高级中学·期中)设，，，，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数的单调性比较大小即得. 【详解】，， ，所以. 故选：D 18．(24-25高一上·福建泉州四校联考·期中)已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数、幂函数的性质判断即可. 【详解】因为在定义域上单调递减且过点， 定义域为，在定义域上单调递增且过点， 在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下： 所以与有且仅有一个交点，且交点的横坐标属于，又， 所以，又，所以， 因为，所以， 综上可得. 故选：D 19．(24-25高一上·福建龙岩侨育中学·期中)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数的单调性比较大小. 【详解】，，， ∵函数在上单调递增，且， ∴，即. 故选：A. 20．(24-25高一上·福建厦门集美中学·期中)设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性即可比较作答. 【详解】，，故， 由于，故 ，故， 故选：D 21．(24-25高一上·福建厦门大学附属科技中学·期中)若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性判断即可. 【详解】因为 所以由指数函数为增函数知，， 由幂函数在上单调递增可知，， 所以， 故选：A 地 城 考点04 指数型函数值域问题 一、单选题 22．(24-25高一上·福建福州第三中学·期中)函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数单调性，结合二次函数值域求出值域. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减， 则，所以函数的值域为. 故选：B 二、多选题 23．(24-25高一上·福建福州第三中学·期中)已知函数的值域为集合A，函数的定义域为集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意求得，，结合集合见关系以及集合间的运算逐项分析判断即可. 【详解】因为，则，所以； 令，可得，所以集合； 可得，，故A正确，B错误； 且，， 可得，，故C错误，D正确； 故选：AD. 三、填空题 24．(23-24高一上·福建三明五校·期中)函数 在时的值域是 ． 【答案】 【分析】利用指数函数性质，结合二次函数求出值域即得. 【详解】当时，，函数， 显然当，即时，，当，即时，， 所以所求值域是. 故答案为： 25．(24-25高一上·福建福州第三中学·期中)，，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据指数函数单调性即可得到答案. 【详解】当时，，则数的取值范围是. 故答案为：. 地 城 考点05 对数的运算 一、多选题 26．(24-25高一上·福建厦门第一中学·期中)下列数值和相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据对数换底公式及对数的运算逐项判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由对数换底公式可得，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC. 二、填空题 27．(24-25高一上·福建福州第三中学·期中)计算 ． 【答案】5 【分析】根据给定条件，利用对数换底公式及运算法则计算即得. 【详解】原式. 故答案为：5 28．(24-25高一上·福建厦门第一中学·期中) . 【答案】/3.5 【分析】根据指对数的运算性质直接求解即可. 【详解】 . 故答案为:. 29．(24-25高一上·福建厦门翔安第一中学·期中)若，，则 . 【答案】 【分析】利用对数与指数的互化以及指数幂的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】因为，，则，， 因此，. 故答案为：. 30．(24-25高一上·福建福州第一中学·)计算： . 【答案】 【分析】根据指数、对数的运算性质计算可得. 【详解】 . 故答案为： 31．(24-25高一上·福建厦门大学附属科技中学·期中)已知，则 ． 【答案】 【分析】由对数式化为指数式求解. 【详解】因为， 所以，解得或（底数大于0，舍去）， 故答案为： 三、解答题 32．(24-25高一上·福建厦门翔安第一中学·期中)（1） 化简: （2） 求值: （3） 求值: 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据指数运算求得正确答案. （2）根据对数运算求得正确答案. （3）根据对数运算求得正确答案. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式 . 33．(24-25高一上·福建浦城第一中学·期中)计算下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数幂运算公式计算； （2）根据对数运算公式和换底公式计算. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 34．(24-25高一上·福建福州第四中学·)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由幂的运算法则计算；（2）由对数的运算法则计算． 【详解】（1）原式 （2）原式 35．(23-24高一上·福建厦门同安第一中学·期中)（1）化简：； （2）求值：. 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）利用指数幂的运算法则直接计算即可. （2）利用对数的运算法则直接计算即可. 【详解】（1）原式； （2）原式 . 地 城 考点06 对数复合型函数定义域 一、单选题 36．(24-25高一上·福建厦门双十中学·期中)“函数的定义域为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若函数的定义域为， 则当，，符合要求； 当时，有，解得； 综上所述，， 故“函数的定义域为”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 二、填空题 37．(24-25高一上·福建三明第一中学·期中)函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据对数函数真数大于0和指数函数的单调性即可求解. 【详解】要使函数有意义，则即， 因为为增函数，所以即. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 地 城 考点07 对数复合型函数单调性 一、单选题 38．(24-25高一上·福建厦门双十中学·期中)函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数性质计算出定义域后，结合复合函数单调性的判定方法计算即可得. 【详解】由题意可得，解得或， 由， 则其在上单调递减，在上单调递增， 又为单调递增函数， 故的单调递减区间. 故选：B. 39．(24-25高一上·福建厦门杏南中学·期中)已知函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数单调性得出不等式组即可得的取值范围. 【详解】由题意可得，函数在上单调递减，函数在单调递减，且， 即有，即， 解得. 故选：B 地 城 考点08 指对大小比较 一、单选题 40．(24-25高一上·福建厦门翔安第一中学·期中)设则的大小关系为  （        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数、幂函数等知识来确定正确答案. 【详解】， 在上单调递增，所以， 所以. 故选：D 41．(24-25高一上·福建厦门第一中学·期中)已知， 则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数性质比较，再结合指数函数性质即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 42．(24-25高一上·福建三明第一中学·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用自变量，根据二次函数、指数函数、对数函数的单调性可得的取值范围，得出结论. 【详解】由二次函数性质可得当时，， 由指数函数性质可得， 由对数函数性质可得， 因此可得. 故选：C 43．(24-25高一上·福建厦门杏南中学·期中)若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数与对数函数的性质及中间值比较大小. 【详解】，， ∵，∴， ∴， 故选：A. 44．(24-25高一上·福建莆田第四中学·期中)已知，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的图象与性质可以判断即，根据中间变量1，可以比较. 【详解】因为时，的图象永远在图象的上方， 所以，即， 又，，所以， 所以， 故选：A. 二、多选题 45．(24-25高一上·福建三明永安九中等四校联考·期中)下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性逐项分析. 【详解】对于A：因为且在上单调递增，所以，故正确； 对于B：因为在上单调递增，在上单调递增，所以，故正确； 对于C：因为，且在上单调递增，由于，所以，故正确； 对于D：因为在上单调递增，在上单调递增，所以，故错误； 故选：ABC. 地 城 考点09 求幂函数值 一、填空题 46．(24-25高一上·福建龙岩侨育中学·期中)已知幂函数的图象经过点，则 . 【答案】4 【分析】先由幂函数经过点求出即可得函数解析式，进而即可求函数值. 【详解】由题可得，所以，所以， 所以. 故答案为：4. 47．(24-25高一上·福建厦门英才学校·期中)已知幂函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【分析】将点的坐标代入函数解析式中，求出的值，即可求出函数解析式，最后代入求值即可. 【详解】因为幂函数的图象经过点，即，解得， 所以，则. 故答案为： 48．(24-25高一上·福建泉州德化第二中学·期中)幂函数的图象经过点，则 . 【答案】4 【分析】点代入幂函数的解析式，用待定系数法求出的值，计算即可求得结果. 【详解】因为幂函数的图象经过点， 所以，即， 所以，则， 所以. 故答案为：. 地 城 考点10 求幂函数解析式 一、解答题 49．(24-25高一上·福建厦门翔安第一中学·期中)已知幂函数的图象过点 (1)求函数的解析式; (2)用定义证明函数在区间上单调递减； (3)求不等式 的解集. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设出的解析式，根据图象所过点求得的解析式. （2）利用函数单调性的定义来证得结论成立. （3）根据函数的奇偶性、单调性化简所求不等式，进而求得不等式的解集. 【详解】（1）设，将代入上式得. （2）任取， 由于，所以， 所以函数在区间上单调递减. （3）的定义域为， 所以是奇函数，由（2）可知函数在区间上单调递减， 所以在上单调递减. 由 得， ，所以不等式 的解集为. 50．(24-25高一上·福建泉州第五中学·期中)已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，是否存在实数n使得的最小值为，若存在，求出实数n的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用幂函数的定义及单调性求出解析式. （2）求出函数并换元，转化为二次函数在闭区间上的最值问题求解. 【详解】（1）由是幂函数，得，解得或， 当时，函数在区间上单调递减，不满足，不符合题意； 当时，在区间上单调递增，满足，符合题意， 所以函数的解析式是． （2）假设存在实数n使得的最小值为，即， 由（1）得， 令，由，得，则，即，此时， 于是化为，此时，即， 当，即时，在上单调递增，则， 由，得，解得，不满足题意； 当，即时，则， 由，解得或，因此； 当，即时，在上单调递减，则， 由，解得，不满足题意； 所以存在实数使得的最小值为，． 51．(24-25高一上·福建莆田第二十四中学·期中)已知幂函数的图象经过点. (1)求的解析式. (2)设函数 ①判断的奇偶性； ②若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①奇函数，证明见解析；② 【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式，求出参数的值，即可得解； （2）①利用奇偶函数定义法证明即可；②先证明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解. 【详解】（1）解：幂函数的图象经过点， ，解得， ； （2）①由，可得，其定义域为. 对于任意，,所以是奇函数.   ②由（1）得． 任取，，且， 则 ． 因为，所以，，所以，即． 所以函数在单调递增， 所以在上，． 因为在上恒成立， 所以，解得． 所以的取值范围为． 地 城 考点11 幂函数图象与性质 一、单选题 52．(24-25高一上·福建厦门杏南中学·期中)已知幂函数的图象与x轴没有公共点，则（   ） A． B． C．1 D．或1 【答案】B 【分析】利用幂函数的概念与性质求解. 【详解】∵是幂函数，∴，解得或， 当时，，图象与x轴有公共点，不合题意； 当时，，图象与x轴没有公共点，符合题意， 综上，. 故选：B. 53．(24-25高一上·福建福州第八中学·期中)若幂函数的图象经过点，则下列判断正确的是（   ） A．为偶函数 B．的值域为 C．方程的实根为 D．在上为增函数 【答案】A 【分析】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可. 【详解】设，代入点可得，所以， 所以，因为，所以，即函数的定义域为， 对于A：因为的定义域为关于原点对称， 且，所以为偶函数，故A正确； 对于B：因为，所以，所以，所以的值域为，故B错误； 对于B：令，所以，解得， 所以方程的实根为，故C错误； 对于D：因为，所以在上为减函数，故D错误. 故选：A. 54．(24-25高一上·福建三明第一中学·期中)已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】待定系数法得到，得到答案. 【详解】设，将代入得，解得， 故，其定义域为，由幂函数的常见函数图象可知，C正确. 故选：C 55．(24-25高一上·福建厦门湖滨中学·期中)下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和； B．幂函数的图象不经过第三象限； C．若幂函数的图象过点，则它的图象也经过点. D．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； 【答案】D 【分析】利用幂函数的性质判断每个选项即可. 【详解】选项A，当时，幂函数不过原点，故A错误； 选项B，当时，幂函数过第三象限，故B错误； 选项C，若幂函数的图象过点，则， 所以幂函数为，当时，此时，故C错误. 选项D，当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增，故D正确； 故选：D 地 城 考点12 幂函数的单调性 一、单选题 56．(24-25高一上·福建厦门一中集美分校·期中)下列幂函数满足：“①，；②当时，为单调递增”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由①②可得为上的奇函数且在上单调递增，根据函数的定义域可判断A；根据函数的奇偶性及幂函数的单调性可判断B；根据函数的单调性可判断C；根据函数的奇偶性可判断D. 【详解】由①②可得为上的奇函数且在上单调递增. 对于A，的定义域为，不可能为奇函数，故A错误； 对于B，的定义域为，且， 故为奇函数. 根据幂函数的性质可得在上单调递增，故B正确； 对于C，根据幂函数的性质可得在上单调递减，故C错误； 对于D，的定义域为，且， 故为偶函数，故D错误. 故选:B. 57．(24-25高一上·福建福州福九联盟·期中)幂函数，，都有成立，则下列说法正确的是（   ） A． B．或 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【分析】根据幂函数的特征以及函数的单调性得到的值，再根据奇偶性定义可得到结果. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或， 因为，都有成立， 所以该函数在是减函数，所以， 即，定义域为， 则， 所以是奇函数， 故A、B错误，选项C正确，选项D错误， 故选：C. 58．(24-25高一上·福建漳州十校联盟·期中)幂函数在上是增函数，则实数的值为（    ） A．2或 B． C．2 D．或 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义，结合幂函数的单调性列式即可求解. 【详解】为幂函数， 所以，即， 即，解得或， 又在上是增函数， 所以， 当时，， 当时，， 所以. 故选：. 59．(24-25高一上·福建泉州安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学·期中)函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数解析式求得其定义域，根据二次函数与幂函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得答案. 【详解】由函数，则，整理可得，解得， 所以函数的定义域为， 令，，由，则， 易知函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在上单调递减， 所以函数的单调增区间为. 故选：C. 二、填空题 60．(24-25高一上·福建莆田第五中学·期中)已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由幂函数的定义以及单调性列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意：. 此时为偶函数.所以为所求. 故答案为： 61．(24-25高一上·福建浦城第一中学·期中)若幂函数在上为增函数，则实数的值是 ． 【答案】 【分析】由幂函数定义及幂函数单调性可得答案. 【详解】因幂函数在上单调递增， 则. 故答案为： 三、解答题 62．(24-25高一上·福建泉州安溪县·期中)已知函数. (1)求，，，的值，并判断奇偶性； (2)判断在的单调性； (3)已知曲线关于直线对称的充要条件是函数为偶函数.类比此结论，写出曲线关于点中心对称的充要条件，并据此求出函数的图象的对称中心. 【答案】(1)，非奇非偶函数； (2)单调递增，理由见解析； (3)曲线关于点中心对称的充要条件是函数是奇函数，. 【分析】（1）求出函数值，利用奇偶性定义判断即可. （2）借助幂函数、二次函数单调性判断即可. （3）类比写出结论，再求出对称中心. 【详解】（1）函数，则， 且，因此函数是非奇非偶函数. （2）函数在上都单调递增， 所以函数在上单调递增. （3）曲线关于点中心对称的充要条件是函数是奇函数， 由于， 则，即函数是奇函数， 所以函数的对称中心为. 地 城 考点13 幂函数的奇偶性 一、填空题 63．(24-25高一上·福建福宁古五校教学联合体·期中)已知幂函数的图象过点，则是 函数（填“奇”，“偶”或者“非奇非偶”）. 【答案】奇 【分析】根据幂函数定义代入点坐标可得，再由函数奇偶性定义可判断为奇函数. 【详解】设幂函数，代入点可得， 解得，即； 易知的定义域为，且满足， 所以为奇函数. 故答案为：奇 64．(24-25高一上·福建莆田第四中学·期中)若幂函数是奇函数，则 . 【答案】2 【分析】利用函数为幂函数求出的值，再验证函数是否为奇函数即可. 【详解】是幂函数， 则有，解得或， 时，是奇函数； 时，是偶函数，不合题意，舍去， 所以. 故答案为：2. 65．(24-25高一上·福建福州山海联盟教学协作体·期中)已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和性质求解即可. 【详解】因为幂函数是偶函数， 所以且为偶数， 所以或， 又因为幂函数在上是减函数， 所以，即，所以. 故答案为：. 地 城 考点14 函数模型及应用 一、单选题 66．(24-25高一上·福建厦门实验中学·期中)某化工厂生产一种溶质，按市场要求，杂质含量不能超过0.01%.若该溶质的半成品含杂质1%，且每过滤一次杂质含量减少为原来的，则要使产品达到市场要求，该溶质的半成品至少应过滤（    ） A．4次 B．5次 C．6次 D．7次 【答案】B 【分析】根据已知条件列指数不等式，解之即可得解. 【详解】依题意，设原有溶质的半成品数量为，含杂质， 则经过次过滤，含杂质， 要使该溶质经过次过滤后杂质含量不超过0.01%， 则，即， 又，，所以. 故选：B 二、解答题 67．(24-25高一上·福建厦门大学附属科技中学·期中)铁观音是中国十大名茶之一，盛产于福建．经验表明，某种铁观音茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求模型， （i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ii）求刚泡好的铁观音茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）. （参考数据，） 【答案】(1)选②，理由见解析； (2)（i）（ii）分钟 【分析】（1）根据数据的规律结合单调性及相邻数据差不为定值排除①③, 代入数据②中求参数得函数解析式； （2）（i）根据指数函数的性质可知稳定在；（ii）由题意建立方程，化为对数式，根据对数运算求解. 【详解】（1）由所给数据可知，函数应该为减函数，故③为增增函数，不合题意；又，，，不是常数，故①不符合题意；故选②. 则，解得， 所以. （2）（i）由可知，且无限趋近， 所以由题意室温为. （ii）由题意，即， 所以（分钟）， 即刚泡好的铁观音茶达到最佳饮用口感的放置时间大约分钟. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 指数对数幂函数 14大高频考点概览 考点01 指数幂的运算 考点02 指数型函数恒过定点问题 考点03 比较指数幂大小 考点04 指数型函数值域问题 考点05 对数的运算 考点06 对数复合型函数定义域 考点07 对数复合型函数单调性 考点08 指对大小比较 考点09 求幂函数值 考点10 求幂函数解析式 考点11 幂函数图象与性质 考点12 幂函数的单调性 考点13 幂函数的奇偶性 考点14 函数模型及应用 地 城 考点01 指数幂的运算 一、单选题 1．(24-25高一上·福建福州高级中学·期中)已知，则的值是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 二、多选题 2．(24-25高一上·福建厦门英才学校·期中)下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 3．(24-25高一上·福建泉州四校联考·期中)根式化为分数指数幂的形式为 . 4．(24-25高一上·福建福州福九联盟·期中)计算 . 5．(24-25高一上·福建莆田第二十四中学·期中) . 6．(24-25高一上·福建泉州第五中学·期中)计算 ． 四、解答题 7．(24-25高一上·福建漳州乙丙校联盟·期中)化简求值： (1) (2) (3)已知，求的值; 8．(24-25高一上·福建南平高级中学·期中)（1）计算； （2）化简. 9．(24-25高一上·福建厦门湖滨中学·期中)解决下列问题： (1)计算 (2) (3)已知，求的值 地 城 考点02 指数型函数恒过定点问题 一、单选题 10．(24-25高一上·福建泉州德化第二中学·期中)且时，函数恒过点（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．(24-25高一上·福建龙岩一级校联盟·期中)下列说法正确的是（    ） A．函数（且）的图象恒过定点 B．函数的单调递增区间为 C．若满足，则的图象关于点中心对称 D．若直线与函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是 12．(24-25高一上·福建厦门翔安第一中学·期中)下列结论中正确的是 （        ） A．若幂函数的图象经过点，则 B．函数且的图象必过定点 C．函数的单调增区间是 D．若幂函数，则对任意、，都有 13．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期中)下列命题中，正确的有（   ） A．函数最小值为 B．函数在上单调递减 C．无论取何值，函数恒过定点 D．若函数定义域为，则定义域为 地 城 考点03 比较指数幂大小 一、单选题 14．(24-25高一上·福建福州第十八中学、华侨中学等校·期中)若，，，则（   ） A． B． C． D． 15．(24-25高一上·福建福州第一中学·)已知，，，则（   ） A． B． C． D． 16．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期中)已知，，，则（   ） A． B． C． D． 17．(24-25高一上·福建福州高级中学·期中)设，，，，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 18．(24-25高一上·福建泉州四校联考·期中)已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 19．(24-25高一上·福建龙岩侨育中学·期中)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 20．(24-25高一上·福建厦门集美中学·期中)设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 21．(24-25高一上·福建厦门大学附属科技中学·期中)若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点04 指数型函数值域问题 一、单选题 22．(24-25高一上·福建福州第三中学·期中)函数的值域为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 23．(24-25高一上·福建福州第三中学·期中)已知函数的值域为集合A，函数的定义域为集合，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 24．(23-24高一上·福建三明五校·期中)函数 在时的值域是 ． 25．(24-25高一上·福建福州第三中学·期中)，，则实数的取值范围是 ． 地 城 考点05 对数的运算 一、多选题 26．(24-25高一上·福建厦门第一中学·期中)下列数值和相等的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 27．(24-25高一上·福建福州第三中学·期中)计算 ． 28．(24-25高一上·福建厦门第一中学·期中) . 29．(24-25高一上·福建厦门翔安第一中学·期中)若，，则 . 30．(24-25高一上·福建福州第一中学·)计算： . 31．(24-25高一上·福建厦门大学附属科技中学·期中)已知，则 ． 三、解答题 32．(24-25高一上·福建厦门翔安第一中学·期中)（1） 化简: （2） 求值: （3） 求值: 33．(24-25高一上·福建浦城第一中学·期中)计算下列各式的值： (1)； (2) 34．(24-25高一上·福建福州第四中学·)计算： (1)； (2)． 35．(23-24高一上·福建厦门同安第一中学·期中)（1）化简：； （2）求值：. 地 城 考点06 对数复合型函数定义域 一、单选题 36．(24-25高一上·福建厦门双十中学·期中)“函数的定义域为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 37．(24-25高一上·福建三明第一中学·期中)函数的定义域为 . 地 城 考点07 对数复合型函数单调性 一、单选题 38．(24-25高一上·福建厦门双十中学·期中)函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 39．(24-25高一上·福建厦门杏南中学·期中)已知函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点08 指对大小比较 一、单选题 40．(24-25高一上·福建厦门翔安第一中学·期中)设则的大小关系为  （        ） A． B． C． D． 41．(24-25高一上·福建厦门第一中学·期中)已知， 则（     ） A． B． C． D． 42．(24-25高一上·福建三明第一中学·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 43．(24-25高一上·福建厦门杏南中学·期中)若，，，则（   ） A． B． C． D． 44．(24-25高一上·福建莆田第四中学·期中)已知，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 45．(24-25高一上·福建三明永安九中等四校联考·期中)下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点09 求幂函数值 一、填空题 46．(24-25高一上·福建龙岩侨育中学·期中)已知幂函数的图象经过点，则 . 47．(24-25高一上·福建厦门英才学校·期中)已知幂函数的图象经过点，则 ． 48．(24-25高一上·福建泉州德化第二中学·期中)幂函数的图象经过点，则 . 地 城 考点10 求幂函数解析式 一、解答题 49．(24-25高一上·福建厦门翔安第一中学·期中)已知幂函数的图象过点 (1)求函数的解析式; (2)用定义证明函数在区间上单调递减； (3)求不等式 的解集. 50．(24-25高一上·福建泉州第五中学·期中)已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，是否存在实数n使得的最小值为，若存在，求出实数n的值． 51．(24-25高一上·福建莆田第二十四中学·期中)已知幂函数的图象经过点. (1)求的解析式. (2)设函数 ①判断的奇偶性； ②若在上恒成立，求的取值范围. 地 城 考点11 幂函数图象与性质 一、单选题 52．(24-25高一上·福建厦门杏南中学·期中)已知幂函数的图象与x轴没有公共点，则（   ） A． B． C．1 D．或1 53．(24-25高一上·福建福州第八中学·期中)若幂函数的图象经过点，则下列判断正确的是（   ） A．为偶函数 B．的值域为 C．方程的实根为 D．在上为增函数 54．(24-25高一上·福建三明第一中学·期中)已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 55．(24-25高一上·福建厦门湖滨中学·期中)下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和； B．幂函数的图象不经过第三象限； C．若幂函数的图象过点，则它的图象也经过点. D．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； 地 城 考点12 幂函数的单调性 一、单选题 56．(24-25高一上·福建厦门一中集美分校·期中)下列幂函数满足：“①，；②当时，为单调递增”的是（   ） A． B． C． D． 57．(24-25高一上·福建福州福九联盟·期中)幂函数，，都有成立，则下列说法正确的是（   ） A． B．或 C．是奇函数 D．是偶函数 58．(24-25高一上·福建漳州十校联盟·期中)幂函数在上是增函数，则实数的值为（    ） A．2或 B． C．2 D．或 59．(24-25高一上·福建泉州安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学·期中)函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 60．(24-25高一上·福建莆田第五中学·期中)已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则 . 61．(24-25高一上·福建浦城第一中学·期中)若幂函数在上为增函数，则实数的值是 ． 三、解答题 62．(24-25高一上·福建泉州安溪县·期中)已知函数. (1)求，，，的值，并判断奇偶性； (2)判断在的单调性； (3)已知曲线关于直线对称的充要条件是函数为偶函数.类比此结论，写出曲线关于点中心对称的充要条件，并据此求出函数的图象的对称中心. 地 城 考点13 幂函数的奇偶性 一、填空题 63．(24-25高一上·福建福宁古五校教学联合体·期中)已知幂函数的图象过点，则是 函数（填“奇”，“偶”或者“非奇非偶”）. 64．(24-25高一上·福建莆田第四中学·期中)若幂函数是奇函数，则 . 65．(24-25高一上·福建福州山海联盟教学协作体·期中)已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则 ． 地 城 考点14 函数模型及应用 一、单选题 66．(24-25高一上·福建厦门实验中学·期中)某化工厂生产一种溶质，按市场要求，杂质含量不能超过0.01%.若该溶质的半成品含杂质1%，且每过滤一次杂质含量减少为原来的，则要使产品达到市场要求，该溶质的半成品至少应过滤（    ） A．4次 B．5次 C．6次 D．7次 二、解答题 67．(24-25高一上·福建厦门大学附属科技中学·期中)铁观音是中国十大名茶之一，盛产于福建．经验表明，某种铁观音茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求模型， （i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ii）求刚泡好的铁观音茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）. （参考数据，） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$